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Prof. Roberto Milizia, presso Liceo Scientifico “E. Ferdinando” – Mesagne (BR) 1

UNITA’ 7. ESPONENZIALI E LOGARITMI.

1. La potenza con esponente reale.

2. Le proprietà delle potenze.

3. Equazioni esponenziali che si riconducono alla stessa base.

4. La funzione esponenziale.

5. Il grafico della funzione esponenziale.

6. Le caratteristiche della funzione esponenziale.

7. Disequazioni esponenziali che si riconducono alla stessa base.

8. I logaritmi.

9. I logaritmi decimali e i logaritmi naturali.

10. Il numero di Nepero.

11. Equazioni e disequazioni esponenziali che si risolvono con i logaritmi.

12. Le proprietà dei logaritmi.

13. Le equazioni logaritmiche.

14. La funzione logaritmica.

15. Il grafico della funzione logaritmica.

16. Le caratteristiche della funzione logaritmica.

17. Le disequazioni logaritmiche.

18 Sistemi di equazioni esponenziali.

19. Sistemi di equazioni logaritmiche.

20. Calcolo del dominio, della parità, delle intersezioni con gli assi e del segno di funzioni

esponenziali e logaritmiche.

21. Il concetto intuitivo di limite e il calcolo degli asintoti.

22. La traslazione, la simmetria centrale e la simmetria assiale applicata alle funzioni


23. Applicazioni pratiche della funzione esponenziale.

24. La capitalizzazione continua.

25. La crescita continua di una popolazione.

26. La variazione della pressione atmosferica.

27. La legge del decadimento radioattivo.

28. Applicazioni pratiche della funzione logaritmica.

29. Le scale logaritmiche.

30. Il pH di una soluzione.

31. Il livello d’intensità sonora.

32. La magnitudo di un terremoto.

33. La magnitudine di una stella.

21. Esercizi vari e problemi di applicazione.


1. La potenza con esponente reale.

Dato un numero reale a tale che 0a e 1a , sappiamo già che la potenza con esponente

intero positivo è definita così:

aaaaan ..... n volte

La potenza con esponente intero negativo è definita così:

n

n

n

aaa

11

La potenza con esponente razionale è definita così:

n mn

m

aa

Si può anche definire la potenza con esponente reale, in cui l’esponente può essere un numero

reale qualsiasi, cioè un numero razionale o un numero irrazionale come ecc. , ,3 ,2

Il valore approssimato di una potenza con esponente reale si può determinare con una

calcolatrice scientifica, utilizzando l’apposito tasto di elevamento a potenza, indicato col

simbolo xy

Per esempio: 4,7288....3 2 ; 45....242,165 3 ; .8,82497...2

Esercitarsi con la propria calcolatrice.


2. Le proprietà delle potenze.

Per risolvere equazioni e disequazioni esponenziali, è opportuno ricordare tutte le proprietà

delle potenze, che sono valide sia con esponenti interi positivi (1, 2, 3, ….), sia con esponenti

interi negativi (-1, -2, -3,…), sia con esponenti razionali

,....

7

5 ,

4

3- ,

2

1, sia con esponenti

irrazionali ,....).32 , ,2(

Se a e b rappresentano due numeri reali tali che 0a e 1a , 0b e 1b ,

e se x ed y rappresentano due numeri reali qualsiasi, sono valide le seguenti proprietà delle

potenze:

1) yxyx aaa

2) yx

y

x

aa

a

3) )( xxx baba

4)

x

b

a

b

ax

x

5) )( yxyx aa

6) x

x

x

aaa

11

7) y xy

x

aa

8) 10 a infatti: 13

3330

a

aaa

9) 00 indeterminato infatti:

0

0

0

000

3

3330

indeterminato


3. Equazioni esponenziali che si riconducono alla stessa base.

Si chiamano equazioni esponenziali quelle equazioni che contengono l’incognita nell’esponente

di qualche potenza.

Se è possibile trasformare ambo i membri dell’equazione sotto forma di potenze con la stessa

base, queste equazioni si risolvono abbastanza facilmente applicando opportunamente le

proprietà delle potenze.

Se ciò non è possibile bisogna utilizzare il concetto di logaritmo e le proprietà dei logaritmi, che

studieremo successivamente.

Esempio 1. 3 22 82 3 xxx

Esempio 2. 1 21 33 3

13

9

13 21

2

11

xxxxx

Esempio 3. 3

8 4

2

3 22 2)(2 28 168 42

3

42342

x

xxx

x

x

4. La funzione esponenziale.

Dato un numero reale a che sia 0a e 1a , si chiama funzione esponenziale xaxf )(

quella funzione che ad ogni valore di Rx associa il valore Ry tale che xaxfy )( .

Bisogna osservare che affinché la funzione esponenziale sia definita Rx è necessario che

la base sia 0a altrimenti per alcuni valori di x la funzione esponenziale non si potrebbe

calcolare. Per esempio se fosse 2)2(y oppure

)5(y non si potrebbe stabilire il

segno di y poiché l’esponente non è pari né dispari.

Inoltre la base deve essere 1a altrimenti se fosse 1a , per qualunque valore di x si avrebbe

11 xy e la funzione esponenziale avrebbe sempre il valore costante 1.

Quindi la funzione esponenziale può avere la base a tale che:

10 a oppure 1a

E’ importante distinguere questi due casi perché alcune proprietà della funzione esponenziale

sono diverse secondo che la base sia compresa tra 0 e 1 oppure sia maggiore di 1.


5. Il grafico della funzione esponenziale.

Il grafico della funzione esponenziale è utile per determinare le caratteristiche della funzione

esponenziale. Conviene tracciare il grafico su un piano cartesiano distinguendo il caso con

10 a e il caso con 1a poiché alcune delle loro caratteristiche sono diverse.

Se la base a risulta 10 a , possiamo scegliere come esempio il valore 2

1a e la funzione

esponenziale diventa:

x

xay

2

1. Per tracciare il grafico si assegnano alla variabile x alcuni

valori arbitrari, si calcolano i valori corrispondenti y della funzione, si costruisce una tabella

con i valori ottenuti, si disegnano i punti sugli assi cartesiani e si traccia il grafico della

funzione esponenziale.

Se 822

13 3

3

yx

Se 422

12 2

2

yx

Se 222

11 1

1

yx

Se 12

10

0

yx

Se 2

1

2

11

1

yx

Se 4

1

2

12

2

yx

Se 8

1

2

13

3

yx

x y

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8 x

y


Se la base a risulta 1a , possiamo scegliere come esempio il valore 2a e la funzione

esponenziale diventa: xxay 2 . Per tracciare il grafico si assegnano alla variabile x alcuni

valori arbitrari, si calcolano i valori corrispondenti y della funzione, si costruisce una tabella

con i valori ottenuti, si disegnano i punti sugli assi cartesiani e si traccia il grafico della

funzione esponenziale.

Se 8

1

2

123

3

3

yx

Se 4

1

2

122

2

2

yx

Se 2

1

2

121

1

1

yx

Se 120 0 yx

Se 221 1 yx

Se 422 2 yx

Se 823 3 yx

x y

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

x

y


6. Le caratteristiche della funzione esponenziale.

Se nella funzione esponenziale la base a risulta 10 a , dal grafico ottenuto si possono

dedurre le seguenti caratteristiche:

Dominio: D=R, cioè la funzione y si può calcolare per qualunque valore di x;

Codominio: ;0C , cioè il valore della funzione è sempre positivo;

Parità o Periodicità: la funzione non è pari, non è dispari e non è periodica;

Intersezioni con gli assi: la funzione interseca l’asse y nel punto P(0;1)

Segno della funzione: la funzione è sempre positiva (il suo grafico si trova sempre sopra

l’asse x);

Asintoti: la funzione ha un asintoto orizzontale destro di equazione 0y (asse x)

Crescenza e decrescenza: la funzione è sempre decrescente, cioè all’aumentare di x diminuisce

anche la y;

Concavità: il grafico della funzione rivolge sempre la concavità verso l’alto;

Limitatezza: la funzione è illimitata superiormente mentre è limitata inferiormente dal valore

0y .

Se nella funzione esponenziale la base a risulta 1a , dal grafico ottenuto si possono dedurre

le seguenti caratteristiche:

Dominio: D=R, cioè la funzione y si può calcolare per qualunque valore di x;

Codominio: ;0C , cioè il valore della funzione è sempre positivo;

Parità o Periodicità: la funzione non è pari, non è dispari e non è periodica

Intersezioni con gli assi: la funzione interseca l’asse y nel punto P(0;1)

Segno della funzione: la funzione è sempre positiva (il suo grafico si trova sempre sopra

l’asse x);

Asintoti: la funzione ha un asintoto orizzontale sinistro di equazione 0y (asse x)

Crescenza e decrescenza: la funzione è sempre crescente, cioè all’aumentare di x aumenta

anche la y;


Limitatezza: la funzione è illimitata superiormente mentre è limitata inferiormente dal valore

0y .

Inoltre si osserva che, rispetto all’asse y, il

grafico della funzione xy 2 è simmetrico del

grafico della funzione

x

y

2

1.


7. Disequazioni esponenziali che si riconducono alla stessa base.

Sono disequazioni che contengono l’incognita nell’esponente di qualche potenza.

Se è possibile trasformare ambo i membri della disequazione sotto forma di potenze con la

stessa base, si risolvono abbastanza facilmente applicando opportunamente le proprietà delle

potenze.

Bisogna ricordare, però, che quando la base è 1a la funzione esponenziale è crescente

e quindi all’esponenziale maggiore corrisponde anche l’ascissa maggiore, perciò:

21 21 xxaaxx

mentre quando la base è 10 a la funzione esponenziale è decrescente e quindi

all’esponenziale maggiore corrisponde l’ascissa minore, perciò:

21 21 xxaaxx

Se invece non è possibile trasformare ambo i membri della disequazione sotto forma di potenze

con la stessa base, bisogna utilizzare il concetto di logaritmo e le proprietà dei logaritmi, che

studieremo successivamente.

Esempio 1. 22 )2(2 42 42 5

6

325

3

23-2x5

3

325 332 xxx

10

21 02110 0

5

61510 0

5

632

5

632

xx

xxx

Esempio 2. 8 53 2

1

2

1

32

1

2

1533

xx

xx

Esempio 3.

022

13

2

132

3

1

3

1

3

1

3

1 2

13232

xx

xx

2

1 36 036 0

2

416

xxx

x


8. I logaritmi.

I logaritmi sono dei numeri che sono stati introdotti per la prima volta intorno al 1600 da

Nepero, matematico, fisico e astronomo scozzese, allo scopo di semplificare i calcoli che

contenevano numeri molto grandi.

Successivamente si è visto che i logaritmi potevano avere altre applicazioni e sono anche utili

per risolvere equazioni e disequazioni esponenziali in cui non è possibile trasformare ambo i

membri in potenze con la stessa base.

Per esempio l’equazione: 112 x

non si può risolvere trasformando il numero 11 in potenza con base 2.

Osservando l’equazione, però, notiamo che l’incognita x è l’esponente che bisogna porre sulla

base 2 per ottenere il numero 11.

Questo numero in matematica si indica con il simbolo 11log2 che si legge: logaritmo in base 2

di 11.

Perciò l’equazione 112 x ha come soluzione 11log2x .

Allo stesso modo si possono risolvere altre equazioni esponenziali simili, in cui non è possibile

trasformare ambo i membri in potenze con la stessa base.

Esempio 1. 7log 75 5 xx

Esempio 2. 25log 257 7 xx

Dopo questi esempi numerici è opportuno dare la definizione generale di logaritmo.

Dato un numero reale a tale che 0a e 1a

e dato un numero reale b tale che 0b

si chiama logaritmo in base a di b, e si indica con il simbolo balog

l’esponente che bisogna mettere sulla base a per ottenere il numero b.

Cioè: bxbax

alog

Da questa definizione di logaritmo ne consegue che:

x

a abx loglog a cioè x

a ax log

Questo vuol dire che se si prende un numero positivo x, si calcola l’esponenziale xa e poi del

risultato ottenuto si calcola il logaritmo in base a, si ottiene il numero iniziale x.

Allo stesso modo, dalla definizione di logaritmo: bxbax

alog consegue che:

bx aaab

log cioè

baablog

Questo vuol dire che se si prende un numero positivo b, si calcola il balog e poi del risultato

ottenuto si calcola l’esponenziale baa

log si ottiene il numero iniziale b.

Per questo motivo si dice che il calcolo del logaritmo è l’operazione inversa del calcolo

dell’esponenziale.

http://it.wikipedia.org/wiki/Nepero


9. I logaritmi decimali e i logaritmi naturali.

I logaritmi più usati in pratica, per le numerose applicazioni in ambito scientifico, sono i

logaritmi in base 10, detti logaritmi decimali e i logaritmi in base e, detti logaritmi naturali.

Questi logaritmi si possono calcolare facilmente utilizzando una calcolatrice scientifica,

premendo il tasto dei logaritmi decimali indicato con log oppure il tasto dei logaritmi naturali

indicato con ln.

Per esempio: ....1139,113log13log10 ....7634,158log58log10

....5835,336ln36log e ....9767,4145ln145log e

Se si vuole calcolare il valore di un logaritmo espresso in una base diversa, bisogna prima

trasformare questo logaritmo dalla sua base alla base 10 o alla base e, utilizzando delle formule

di trasformazione che dimostreremo successivamente.

Per esempio calcoliamo 11log2

Trasformazione in base 10 ....459,3...30103,0

...04139,1

2log

11log

2log

11log11log

10

102

Trasformazione in base e ....459,3...6931,0

...3978,2

2ln

11ln

2log

11log11log2

e

e

Allo tesso modo si può calcolare: ......06504,329log3 .....56457,03log7

Esercitarsi con la propria calcolatrice.

10. Il numero di Nepero.

Il numero e, base dei logaritmi naturali, si chiama numero di Nepero. E’ un numero

irrazionale che vale: ...597182818284,2e Si ottiene calcolando l’espressione x

x

11 quando x

assume un valore molto grande e si scrive:

x

x xe

11lim

La sua importanza è dovuta al fatto che questo numero si ritrova in molti problemi di carattere

scientifico.


11. Equazioni e disequazioni esponenziali che si risolvono con i logaritmi.

Le equazioni esponenziali in cui non è possibile trasformare ambo i membri in potenze con la

stessa base, si risolvono utilizzando il concetto di logaritmo e ricordando che il logaritmo in una

certa base di un certo numero è l’esponente che bisogna porre su quella base per ottenere quel

numero.

Esempio 1. ;75 3 x ;7log3 5x 37log5 x

Esempio 2. 4

6log3

6log34 6log34 62

1 2

1

2

1

2

1

34

xxx

x

Esempio 2. ;153 2

1

x

;15log2

13

x ;15log21 3x 15log21 3x

Allo stesso modo le disequazioni esponenziali in cui non è possibile trasformare ambo i membri

in potenze con la stessa base, si risolvono utilizzando il concetto di logaritmo e ricordando che

il logaritmo in una certa base di un certo numero è l’esponente che bisogna porre su quella base

per ottenere quel numero. Bisogna ricordare, però, che quando la base è compresa tra 0 e 1 si

cambia il verso della disequazione, mentre quando la base è maggiore di 1 si lascia invariato il

verso della disequazione.

Esempio 1. ;75 x (base maggiore di 1) 7log5x

(x è maggiore dell’esponente da porre sulla base 5 per ottenere il numero 7)

Esempio 2. 5log3 5log3 1) di minore (base 52

1

2

1

2

1

3

xx

x

( x-3 è minore dell’esponente da porre sulla base 1/2 per ottenere il numero 5)

Esempio 3. 9

1log ) 1 di minore (base

9

1

9

5

9

5

x

x

( x è maggiore dell’esponente da porre sulla base 5/9 per ottenere il numero 1/9)

Esempio 4. ;83 52 x (base maggiore di 1)

( 2x-5 è maggiore dell’esponente da porre sulla base 3 per ottenere il numero 8)

;8log52 3x ;8log52 3x 2

8log5 3x


12. Le proprietà dei logaritmi.

Qualunque sia la loro base, i logaritmi verificano importanti proprietà che sono molto utili per

risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche.

a. Logaritmo del prodotto.

Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei due logaritmi.

Cioè: cbcb aaa loglog)(log

Per dimostrarlo supponiamo che: xba log e yca log

allora vuol dire che: ba x e ca y

moltiplichiamo queste equazioni membro a membro: cbaa yx

per una proprietà delle potenze risulta: cba yx

e per definizione di logaritmo: )(log cbyx a

sostituendo a x ed y i loro valori si ottiene: )(logloglog cbcb aaa (tesi)

b. Logaritmo del quoziente.

Il logaritmo del quoziente di due numeri è uguale alla differenza dei due logaritmi.

Cioè: cbc

baaa logloglog

Per dimostrarlo supponiamo che: xba log e yca log

allora vuol dire che: ba x e ca y

dividiamo queste equazioni membro a membro: c

b

a

ay

x

per una proprietà delle potenze risulta: c

ba yx

e per definizione di logaritmo: c

byx alog

sostituendo a x ed y i loro valori si ottiene: c

bcb aaa logloglog (tesi)

Da questa proprietà deriva come caso particolare il logaritmo del reciproco di un numero:

cccc

aaaaa loglog0log1log1

log

cioè il logaritmo del reciproco di un numero è uguale all’opposto del logaritmo del numero.


c. Logaritmo di una potenza.

Il logaritmo della potenza di un numero è uguale all’esponente per il logaritmo del numero.

Cioè: bnb a

n

a loglog

Per dimostrarlo supponiamo che: xba log

allora vuol dire che: ba x

eleviamo ambo i membri alla potenza n-esima: nnx ba )(

per una proprietà delle potenze risulta: nnx ba

e per definizione di logaritmo: n

a bnx log

sostituendo ad x il suo valore si ottiene: n

aa bbn loglog (tesi)

Da questa proprietà deriva come caso particolare il logaritmo della radice:

bn

mbb a

n

m

a

n m

a logloglog

d. Cambiamento di base.

Per trasformare un logaritmo da una certa base a ad un’altra base c qualsiasi, si applica questa

formula di trasformazione:

a

bb

c

ca

log

loglog

Per dimostrare la formula supponiamo che: xba log

allora vuol dire che: ba x

calcoliamo il logaritmo in base c di ambo i membri: ba c

x

c loglog

per una proprietà dei logaritmi risulta: bax cc loglog

cioè a

bx

c

c

log

log

sostituendo ad x il suo valore si ottiene: a

bb

c

ca

log

loglog (tesi)


13. Equazioni logaritmiche.

Sono equazioni che contengono l’incognita all’interno di qualche logaritmo.

Per esempio sono logaritmiche le seguenti equazioni:

05log3 x ; 3)23(log2 x

Non sono invece logaritmiche le seguenti equazioni:

05log3 x xx 315log2

Per risolvere le equazioni logaritmiche conviene seguire queste indicazioni:

1. bisogna determinare le condizioni di esistenza dell’equazione, imponendo che ogni

logaritmo abbia l’argomento positivo e la base positiva e diversa da 1;

2. i logaritmi dell’equazione devono avere tutti la stessa base, altrimenti bisogna ricondurli ad

una stessa base;

3. bisogna applicare opportunamente le proprietà dei logaritmi fino ad avere un solo

logaritmo al primo membro ed un solo logaritmo al secondo membro.

Dall’uguaglianza dei due logaritmi si deduce l’uguaglianza degli argomenti, cioè:

B(x)A(x)xBxA aa )(log)(log

Vediamo alcuni esempi tipici di equazioni logaritmiche:

Esempio 1. 2)42(log3 x (equazione logaritmica elementare)

Esempio 2. )2(log)13(log 22 xx

Esempio 3. )29log()2log(log xxx

Esempio 4. 2)2(log)4(log 5

2

5 xx

Esempio 5. 12ln)1ln( xx

Esempio 6. 3log)14(log 33 xx

Esempio 7. xx 3log2log


Esempio 9. 06loglog2 xx

Esempio 10. 23log3log3 xx


SOLUZIONI

Esempio 1. 2)42(log3 x

C.E. 242042 xxx

Per definizione di logaritmo 4

5529424232 xxxx accettabile


CE

02

013

x

x

2

13

x

x

3

1

2

3

1

x

x

x

2

3 32 213 xxxx

Esempio 3. )29log()2log(log xxx

CE 22

9

2

9x

2x

0x

92

2

0

029

02

0

x

x

x

x

x

x

x

39292)29log()2log()29log()]2(log[ 222 xxxxxxxxxxx

3x non accettabile

3x accettabile

Esempio 4. 2)2(log)4(log 5

2

5 xx

CE 2 2

22

02

042

x

x

xx

x

x

27252)2(log22

)2)(2(log2

2

4log 2

55

2

5

xxx

x

xx

x

x accett.

Esempio 5. 12log)1log( xx

CE 0 0

1

02

01

x

x

x

x

x

12

11)12(1212log)1log(log2log)1log(

exexexexxexxexx

Soluzione accettabile

0 22

9

22


Esempio 6. 3log)14(log 33 xx

CE 0

0x

4

1-x

0

14

0

014

x

x

x

x

x

3

33333333 3loglog)14(log3log3log)14(log13log)14(log xxxxxx

accett. 23

1123271427log)14(log27loglog)14(log 33333 xxxxxxxx

Esempio 7. xx 3log2log

CE 0 0

0

03

0

x

x

x

x

x

0999loglog)3log(log 2222 xxxxxxxx

0x

0)19( xx


CE 5 7

5

07

05

x

x

x

x

x

)7(log)5(log22

)7(log)5(log

4log

)7(log)5(log 22

22

2

22 xx

xx

xx

01890725107)5()7(log)5(log 222

2

2

2 xxxxxxxxx

9728118481

62

12

non accettabile

2

39x

32

6

accettabile

9

119019 xxx


Esempio 9. 06loglog2 xx 0 CE x

Conviene porre tx log di conseguenza si avrà 22log tx e l’equazione diventa:

062 tt 25241

2

51t

Esempio 10. 23log3log3 xx CE 1

0

x

x

xxx

x

x

x

xx 3

2

3

3

2

3

3

3

2

3

3

33 log23log2

log

13log2

log

3log3log2

log

3log3log

03log2log 3

2

3 xx

Conviene porre tx 3log quindi 22

3log tx e l’equazione diventa:

0322 tt 16124

2

42t

14. La funzione logaritmica.

Dato un numero reale a che sia 0a e 1a , si chiama funzione logaritmica xxf alog)(

quella funzione che ad ogni valore di Rx associa il valore Ry tale che

xxfy alog)( .

Quindi la funzione logaritmica può avere la base a tale che:

10 a oppure 1a

E’ importante distinguere questi due casi perché alcune proprietà della funzione logaritmica

sono diverse secondo che la base sia compresa tra 0 e 1 oppure sia maggiore di 1.

3

3 13log3

2

6

exxex

22 2log 22

4 exxex

eaccettabil 3

131log1

2

2 1

3 xxx

eaccettabil 2733log32

6 3

3 xxx


15. Il grafico della funzione logaritmica.

Questo grafico è utile per determinare le caratteristiche della funzione logaritmica. Conviene

tracciare il grafico su un piano cartesiano distinguendo il caso con 10 a e il caso con

1a poiché alcune delle loro caratteristiche sono diverse.

Se la base a risulta 10 a , possiamo scegliere come esempio il valore 2

1a e la funzione

logaritmica diventa: .loglog2

1 xxy a . Per tracciare il grafico si assegnano alla variabile x

alcuni valori arbitrari, si calcolano i valori corrispondenti y della funzione, si costruisce una

tabella con i valori ottenuti, si disegnano i punti sugli assi cartesiani e si traccia il grafico della

funzione logaritmica xy2

1log con 0x .

Se 38

1log

8

1

2

1 yx

Se 24

1log

4

1

2

1 yx

Se 12

1log

2

1

2

1 yx

Se 01log12

1 yx

Se 12log22

1 yx

Se 24log42

1 yx

Se 38log82

1 yx

x y

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 -1

4 -2

8 -3

x

y


Se la base a risulta 1a , possiamo scegliere come esempio il valore 2a e la funzione

logaritmica diventa: .loglog 2 xxy a . Per tracciare il grafico si assegnano alla variabile x

alcuni valori arbitrari, si calcolano i valori corrispondenti y della funzione, si costruisce una

tabella con i valori ottenuti, si disegnano i punti sugli assi cartesiani e si traccia il grafico della

funzione logaritmica xy 2log con 0x .

Se 38

1log

8

12 yx

Se 24

1log

4

12 yx

Se 12

1log

2

12 yx

Se 01log1 2 yx

Se 12log2 2 yx

Se 24log4 2 yx

Se 38log8 2 yx

x y

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

x

y


16. Le caratteristiche della funzione logaritmica.

Se nella funzione logaritmica la base a risulta 10 a , dal grafico ottenuto si possono

dedurre le seguenti caratteristiche:

Dominio: ;0D , cioè la funzione y si può calcolare solo per x>0;

Codominio: C=R, cioè la funzione y può avere come valore qualsiasi numero reale;

Parità o Periodicità: la funzione non è pari, non è dispari e non è periodica;

Intersezioni con gli assi: la funzione interseca l’asse x nel punto P(1;0)

Segno della funzione: la funzione è positiva per 10 x e il suo grafico si trova sopra l’asse

x; la funzione è negativa per x>1 e il suo grafico si trova sotto l’asse x;

Asintoti: la funzione ha un asintoto verticale di equazione 0x (asse y)

Crescenza e decrescenza: la funzione è sempre decrescente, cioè all’aumentare dell’ascissa x

diminuisce anche l’ordinata y;


Limitatezza: la funzione è illimitata superiormente e inferiormente.

Se nella funzione esponenziale la base a risulta 1a , dal grafico ottenuto si possono dedurre

le seguenti caratteristiche:

Dominio: ;0D , cioè la funzione y si può calcolare per qualunque valore di x;

Codominio: C=R, , cioè la funzione y può avere come valore qualsiasi numero reale;

Parità o Periodicità: la funzione non è pari, non è dispari e non è periodica

Intersezioni con gli assi: la funzione interseca l’asse x nel punto P(1;0)

Segno della funzione: la funzione è negativa per 10 x e il suo grafico si trova sotto l’asse

x; la funzione è positiva 1x e il suo grafico si trova sopra l’asse x;

Asintoti: la funzione ha un asintoto verticale di equazione 0x (asse y)

Crescenza e decrescenza: la funzione è sempre crescente, cioè all’aumentare dell’ascissa x

aumenta anche l’ordinata y;

Concavità: il grafico della funzione rivolge sempre la concavità verso il basso;

Limitatezza: la funzione è illimitata superiormente e inferiormente.

Inoltre si osserva che, rispetto all’asse x, il grafico

della funzione xy 2log è simmetrico del grafico

della funzione xy2

1log .


17. Le disequazioni logaritmiche.

Sono disequazioni che contengono l’incognita all’interno di qualche logaritmo.

Per risolvere le disequazioni logaritmiche conviene seguire queste indicazioni:

1. bisogna determinare le condizioni di esistenza della disequazione, imponendo che ogni

logaritmo abbia l’argomento positivo e la base positiva e diversa da 1;

2. i logaritmi della disequazione devono avere tutti la stessa base, altrimenti bisogna ricondurli

ad una stessa base;

3. bisogna applicare opportunamente le proprietà dei logaritmi fino ad avere un solo

logaritmo al primo membro ed un solo logaritmo al secondo membro.

Dalla disuguaglianza tra i due logaritmi si deduce poi la disuguaglianza tra gli argomenti,

ricordando che se la base risulta 1a la funzione logaritmica è crescente e perciò

al logaritmo maggiore corrisponde l’argomento maggiore e quindi:


se invece la base a risulta 10 a la funzione logaritmica è decrescente e perciò

al logaritmo maggiore corrisponde l’argomento minore e quindi:


Esempio 1. Risolvere la disequazione 1)1(log2 x 101 : xxCE

La disequazione si può scrivere: 2log)1(log 22 x

ed essendo la base maggiore di 1 si deduce: 321 xx

Ora bisogna trovare l’intersezione fra questi valori e le condizioni di esistenza risolvendo il

sistema:

313

1

x

x

x

18. Sistemi di equazioni esponenziali.

19. Sistemi di equazioni logaritmiche.

20. Calcolo del dominio, della parità, delle intersezioni con gli assi e del segno delle funzioni



23. Applicazioni pratiche della funzione esponenziale.

La funzione esponenziale ha numerose applicazioni pratiche in vari ambiti:

in ambito economico con la legge della capitalizzazione continua;

in ambito biologico con la legge della crescita continua di una popolazione;

in ambito fisico con la legge di variazione della pressione atmosferica e con la legge del

decadimento radioattivo.

La capitalizzazione continua.

Quando viene effettuato un deposito bancario in regime di capitalizzazione continua, l’interesse

maturato si calcola istante per istante e il montante M ottenuto alla fine del contratto si calcola

con la seguente legge esponenziale:

iteCM

dove C è il capitale investito;

e è il numero di Nepero;

i è il tasso annuale d’interesse;

t è il tempo in cui il capitale è stato investito.

La crescita continua di una popolazione.

Quando una popolazione presenta un tasso di natalità e di mortalità costanti nel tempo, il

numero di individui varia secondo una legge esponenziale di questo tipo:

t

o eNN

dove No è il numero di individui presenti all’istante iniziale t=0;

γ è il tasso di crescita, ottenuto come differenza fra tasso di natalità e tasso di mortalità;

t è il tempo trascorso dall’inizio dell’osservazione.

La variazione della pressione atmosferica.

La pressione atmosferica assume il suo valore massimo al livello del mare ma, con l’aumentare

dell’altitudine, il suo valore diminuisce con andamento esponenziale secondo questa formula:

h

o epp 127,0

dove po rappresenta la pressione atmosferica al livello del mare che vale: Papo

51001,1 ;

h è l’altitudine, espressa in chilometri, rispetto al livello del mare.

La legge del decadimento radioattivo.

Una sostanza radioattiva, come l’uranio, il polonio, il radio, il torio, è formata da atomi che

decadono spontaneamente, cioè col passare del tempo emettono delle particelle e si trasformano

in atomi di tipo diverso. Questo decadimento avviene nel tempo con una legge di tipo

esponenziale:

t

o eNN

dove No è il numero di atomi radioattivi presenti all’istante iniziale t=0;

λ è un valore costante, tipico di ogni sostanza radioattiva;

t è il tempo trascorso, espresso in anni, dall’inizio dell’osservazione.

Si chiama periodo di dimezzamento di una sostanza radioattiva, e si indica con T, l’intervallo di

tempo dopo il quale il numero di atomi radioattivi diventa la metà di quello iniziale.


24. Applicazioni pratiche della funzione logaritmica.

Anche la funzione logaritmica ha numerose applicazioni pratiche in vari ambiti:

in ambito grafico, con la realizzazione delle scale logaritmiche;

in acustica, con la formula per calcolare il livello di intensità sonora di un rumore;

in ambito chimico, con la formula per calcolare il pH di una soluzione;

in ambito geologico, con la formula per calcolare la magnitudo di una terremoto;

in ambito astronomico, con la formula per calcolare la magnitudine di una stella.

Le scale logaritmiche.

Le scale logaritmiche vengono utilizzate per rappresentare graficamente quelle grandezze

fisiche che presentano grandi intervalli di variabilità, da valori molto piccoli a valori molto

grandi, e non si potrebbero rappresentare tutti i valori con una normale scala lineare.

Per esempio, lo spettro delle onde elettromagnetiche contiene le onde radio e televisive che

hanno frequenze di circa 106 Hz, le microonde con frequenza di circa 10

10 Hz, i raggi infrarossi

con frequenza di circa 1012

Hz, la luce visibile con frequenza di circa 1014

Hz, i raggi

ultravioletti con frequenza di circa 1016

Hz, i raggi x con frequenza di circa 1018

Hz, e i raggi

gamma con frequenza di circa 1024

Hz.

Se si usasse una scala lineare sarebbe praticamente impossibile rappresentare lo spettro di tutta

la radiazione elettromagnetica. Tuttavia, mentre le frequenze variano da 106 Hz a 10

24 Hz, i loro

logaritmi decimali variano da 6 a 24, per cui diventa possibile rappresentare lo spettro della

radiazione indicando nel grafico anziché la frequenza vera e propria, il suo logaritmo decimale.

Per esempio, scegliendo l’unità di un centimetro è possibile rappresentare lo spettro di tutta la

radiazione su un segmento orientato lungo circa 25 cm, come in figura.

Il livello di intensità sonora.

E’ una grandezza fisica che indica come l’orecchio umano percepisce l’intensità sonora di un

rumore. Il livello d’intensità sonora si indica con Ls , si misura in decibel (dB) e si calcola con

questa formula di tipo logaritmico:

o

sI

IL 10log

dove I è l’intensità sonora di un rumore espressa in W/m2 ;

Io è la minima intensità sonora che l’orecchio umano è in grado di percepire: 2

1210m

WIO


Il pH di una soluzione.

E’ una grandezza fisica che indica la concentrazione degli ioni idrogeno all’interno di una

soluzione acquosa. La concentrazione degli ioni idrogeno si indica con [H+] e il pH della

soluzione si calcola con questa formula di tipo logaritmico:

HpH 10log

Il pH può variare da 0 a 14 e, secondo il valore che assume, una soluzione viene detta:

acida se pH<7

neutra se pH=7

basica se pH>7

Esempio 1. Il succo di limone ha una concentrazione di ioni idrogeno lmolH /102][ 3 .

Determinare il pH.

7,2)7,2(002,0log1000

2log102loglog 1010

3

1010 HpH

Esempio 2. La coca cola ha pH=2,4. Determinare la concentrazione degli ioni H+.

4,2][log][log4,2log 101010 HHHpH

lmolH /1098,300398,0251

1

10

110][ 3

4,2

4,2

La magnitudo di un terremoto.

E’ una grandezza fisica che indica l’energia rilasciata durante un terremoto nella zona della

crosta terrestre in prossimità dell’epicentro.

Si calcola con una formula di tipo logaritmico, introdotta dal geofisico statunitense Richter.

Se il sismografo si trova a 100 Km dall’epicentro, la formula per calcolare la magnitudo M di

un terremoto è la seguente:

oE

EM 10log

dove E è l’energia rilasciata dal terremoto, che viene misurata dal sismografo con uno

spostamento oscillatorio espresso in micron (1 micron =10-6

m);

Eo è la minima energia sviluppata da un terremoto che un sismografo è in grado di rilevare, pari

ad 1 micron.

Se il sismografo si trova ad una distanza dall’epicentro diversa da 100 Km, nella formula si

introducono dei fattori correttivi che tengono conto della distanza dall’epicentro e

dell’attenuazione subita dalle onde sismiche nel propagarsi.

La magnitudine di una stella.

E’ una grandezza fisica che misura la luminosità di una stella rilevabile dalla terra,

nell’intervallo visibile della radiazione elettromagnetica. Si calcola con la formula:

V

FL 10log5,2

dove F è il flusso luminoso della stella, espresso in lumen (lm) e misurabile con un flussometro;

V è il flusso luminoso di una stella di riferimento, la stella Vega, alla quale viene attribuita per

convenzione una magnitudine pari a zero.

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