Dodicesima Lezione

Le Equazioni di Maxwell

Riassunto della lezione precedente Alcune note sulle trasformazioni relativistiche responsabili

di B Quando la legge di Faraday restituisce risultati prevedibili

con la forza di Lorentz Natura e conseguenze della legge di Lenz: autoinduzione,

“inerzia” ed “attrito viscoso” prodotti da B; effetto Meissner Mutua ed autoinduttanza Induttore Trasformatore Generatore fem alternata

Legge di Ampère rivista: la legge di Ampère-Maxwell

• James Clerk Maxwell (1831-1879) diede una trattazione unitaria e sistematica dei risultati di Faraday, Ampère e Gauss. Le forme differenziali che abbiamo visto sono sue….

• Si accorse che la legge di Ampère, così come scritta, aveva una limitazione gravissima: contraddiceva il principio di conservazione della carica!!

Legge di Ampère rivista: la legge di Ampère-Maxwell

• Infatti: calcoliamo la divergenza della legge di Ampère (la scriviamo per H)

JH

JH

0• Visto che la divergenza di un rotore è sempre nulla:

quindi la divergenza di J sembra nulla, mentre deve essere (lezione 7)

dt

d J

• Che è il principio di conservazione della carica in forma differenziale!!

• Manca qualcosa…...

Legge di Ampère rivista: la legge di Ampère-Maxwell

• Maxwell postulò che dovesse esistere un altro termine nella legge di Ampère che sparisce in assenza di variazioni temporali, ovvero

• Il termine aggiuntivo si definisce corrente di spostamento

DJH

t

• Se ora calcoliamo la divergenza della legge così modificata, ricordando la legge di Gauss,

tt

JDJH

0

• Cioè proprio il principio di conservazione (o di continuità) di carica

Leggi di Maxwell

S

dst

d nBlE

BE

t

D

QdsS

nDD

S

dst

Id nDlH

0 S

ds nBB

0 B

DJH

t

BvEF

q

+ Tutto sui campi EM ed i loro effetti!

Quanto è importante il termine di corrente di spostamento??

Supponiamo di avere un pallone carico elettricamente con carica Q

Lo gonfiamo e sgonfiamo ciclicamente tra due raggi rmin ed rmax, per esempio secondo la legge

trrrr

tr cos22

)( minmaxminmax

Produce un campo elettromagnetico? O produce almeno un campo magnetico?

Saremmo indotti, dalla legge di Ampère, a pensare che un campo magnetico c’è ma…..

Quanto è importante il termine di corrente di spostamento??

Sembrerebbe esserci infatti una corrente (anzi, c’è) in ogni superficie intermedia attraversata dal pallone: del resto la continuità della carica (forma integrale):

)(4)( 2 rjr

t

rQ

Cioè ogni superficie intermedia misura una j(r)

Q

E

j

B?

Su una di queste superfici prendiamoci una curva : c’è una corrente attraverso essa e ci aspetteremmo un campo che circola come indicato….

Strano: B sembra avere una direzione speciale, che nulla ha a che fare con la simmetria sferica, e che dipende dalla scelta di

Quanto è importante il termine di corrente di spostamento??

Del resto se esistesse tale B, risulterebbe anche variabile nel tempo e, per la legge di Faraday, produrrebbe ovunque un campo elettrico tempo-variante

Mentre, se ci mettiamo ad r>rmax, sappiamo che il campo elettrico generato da una sfera carica dipende solo dalla distanza tra il punto di misura ed il suo centro (Q/4r2)

Non variando Q, non avremmo un campo elettrico che varia nel tempo! Un ulteriore riprova che qualcosa non va

Quanto è importante il termine di corrente di spostamento??

Ci salva il termine della corrente di spostamento: il campo magnetico non dipende solo da j ma anche dalla corrente di spostamento, ovvero dalla variazione per unità di tempo del flusso elettrico! Calcoliamolo

204 r

QE

t

Q

rt

E

20

4

1

j

Dove abbiamo confrontato con l’espressione ottenuta dal principio di conservazione di carica

La corrente di spostamento compensa completamente la corrente di “conduzione”!

0 jjH

Quanto è importante il termine di corrente di spostamento??

Consideriamo un altro caso: un filo è attraversato da una corrente che carica un condensatore

La corrente i è proprio pari a dQ/dt, variazione della carica sul condensatore

Se non ci fosse il termine di corrente di spostamento saremmo costretti a immaginare che il campo magnetico sparisce in corrispondenza delle armature

La legge di Ampère/Maxwell da, in corrispondenza del filo IrB 02

La legge di Ampère/Maxwell da, in corrispondenza del condensatore

trB D

02 dt

dQ0 I0

Quindi: in generale

Un campo elettrico è prodotto: o da cariche elettriche o da un campo magnetico che varia nel tempo

Un campo magnetico è prodotto: o da correnti elettriche o da un campo elettrico che varia nel tempo

Possiamo avere un campo elettrico dove non ci sono cariche ed un campo magnetico dove non ci sono correnti

Qualitativamente...Un campo elettrico che varia nel tempo produce un campo magnetico che varia nel tempo, che produce un campo elettrico che varia nel tempo….

Ma cos’è c che compare nelle equazioni? (nascosto da noi in o) Nelle equazioni di Maxwell era una costante da determinare sperimentalmente (come o) che appariva essere Quantitativamente uguale alla velocità della luce nel vuoto Pari alla velocità con cui si propaga l’interazione elettromagnetica (lo

vedremo)

“….sarebbe difficile evitare la conclusione che la luce consiste di oscillazioni trasversali del medesimo mezzo che è la causa dei fenomeni elettrici e magnetici” J.C. Maxwell

Implicazioni in equazioni Poniamoci in una regione (magari nel vuoto) in cui non ci

sono né correnti né cariche, ma c’è un campo elettromagnetico

BE

t

DH

t

Prendiamo il rotore della prima

HE

t0

Applichiamo la solita identità a sinistra e sostituiamo la seconda a destra

tt

DEE

02

Non ci sono cariche

2

2

00t

E

Equazione d’onda

Quindi, nel vuoto

Equazione di Helmholtz o d’onda Vediamo cosa rappresenta in un caso semplice:

immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z

2

2

22 1

tc

E

E

x

z

xx tzEtz uE

),(),(

2

2

22

2 1

t

E

cz

E xx

Provando a sostituire verifichiamo che le soluzioni hanno l’aspetto di

c

ztfEx

Non avendo parlato di condizioni al contorno non possiamo dire nulla per ora sul dettaglio di f

Equazione d’onda Prendiamo per esempio la soluzione con il segno negativo:

All’aumentare del tempo, subisce una traslazione sull’asse z: mettiamoci a guardare f ad un certo istante, e vediamo una forma per f. Se aumenta t, devo aumentare z per continuare a vedere la stessa forma

Di quanto devo aumentare z? se passa t, devo spostarmi di z tale che

c

ztfEx

Cioè: mi devo spostare verso z crescenti alla velocità della luce. La soluzione descrive un campo che si propaga alla velocità c in direzione di z

tc

z

c

t

z

Equazione d’onda Viceversa, dovremo viaggiare a -c nell’altra soluzione

Le soluzioni delle equazioni di Maxwell sono onde

'light itself (including radiant heat, and other radiations if any) is an electromagnetic disturbance in the form of waves propagated through the electromagnetic field’ J.C. Maxwell

Immaginiamo che a dare il via a quest’onda, da qualche parte lontano nello spazio dal nostro punto attuale di osservazione, sia stata una corrente alternata tsinii 0

Ci aspettiamo campi anch’essi sinusoidali: in effetti

c

ztsinEEx 0

Soddisfa l’equazione d’onda

Equazione d’onda Se E ha tale forma, il campo H riusciamo a ricavarlo

dall’equazione di Faraday

Tutto diretto lungo y: sia H che E sono ortogonali alla direzione di propagazione (ed ortogonali tra loro) ed uniformi nel piano xy: onda piana

BE

t

z

E

tx

yuEH

00

11

c

zt

cty

cos0

uH

cost

c

ztsin

cy

0

uH

Equazione d’onda

Notate Ex ed Hy sono in un rapporto costante:

0cH

E

y

x 0

0

377 Impedenza d’onda

Il segno dipende dalla direzione di propagazione (quale sia l’effettiva direzione di propagazione dipenderà dalle condizioni al contorno)