Quattordicesima Lezione

Le Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori, polarizzazione onde piane, onde piane in direzione arbitraria, onde em in buoni conduttori

Riassunto della lezione precedente

Teorema di Poynting: relazioni energetiche Condizioni al contorno per equazioni di

Maxwell Teorema di unicità per problemi “interni”

Regime permanente armonicoImmaginiamo un semplice circuito LR, con un generatore di corrente

Vogliamo calcolare la tensione misurata ai capi del generatore

L

Ri

VR

VLV?

)cos(0 tii

Regime permanente armonico

Legge di K. alle Maglie:

quindi

L

Ri

VR

VLV?

)cos(0 tii

LR VVV ?

La corrente che scorre è sempre i data (Legge di K. per le correnti), per cui:

Legge di Ohm

iRVR )cos(0 tRi Relazione per gli induttori

dt

diLVL tsinLi 0

tsinLitRiV 00? cos In generale, per un circuito lineare, a sorgenti armoniche

corrisponderanno risposte armoniche con la stessa frequenza, con fasi diverse

2/coscos 00? tLitRiV

Regime permanente armonico: i fasoriUn espediente utile: l’uguaglianza di Eulero

oppure

Allora potremo scrivere, per esempio tje Recos

REGOLA 1: In pratica, invece delle funzioni armoniche, useremo la parte reale dell’esponenziale complesso

jsine j cos

)2

cos( ttsin

)2

(Re

tje

tjjee

2Re

Il vantaggio: integrazioni e differenziazioni banali, e le equazioni integrodifferenziali nel tempo che descrivono circuiti con memoria, divengono algebriche

Di fatto, useremo nei conti tutto l’esponenziale, recuperando la parte reale solo alla fine

Regime permanente armonico: i fasoriinfatti

Notiamo che in qualunque operazione ci ritroviamo exp(jt) a fattore: perché non sottintenderlo? Questa sarà la nostra REGOLA 2: sottintendiamo l’esponenziale nel tempo (così il tempo non compare più da nessuna parte esplicitamente)

Quel che rimane, lo chiamiamo Fasore ed è generalmente un numero complesso: per esempio

Il fasore corrispondente a Acos(t) è A

Quindi, quando rivogliamo la grandezza nel tempo, moltiplichiamo il fasore per exp(jt) e prendiamo la parte reale del risultato. Vediamolo per il nostro semplicissimo esempio

tjtj ejedt

d

j

edte

tjtj

Il fasore corrispondente a Asin(t) è 2

j

Ae

Regime permanente armonico: i fasoriIn termini fasoriali la corrente che scorre nel circuito è semplicemente i0 e

… il cappelletto solo per ricordare che sto usando il trucco dei fasori e che le quantità possono essere complesse.

Se vogliamo recuperare l’espressione nel tempo? Semplice!

RiVR 0ˆ LijVL 0

ˆ

0?̂ iLjRV

Quindi

tjeVtV ??

ˆRe)( tjsintLjRi cosRe0

tsinLitRi 00 cos

Equazioni di Maxwell in regime armonico permanente

Basta rimpiazzare le derivate nel tempo con prodotti per j

BE j JDH j

L’equazione di Helmholtz

La quantità /c si definisce numero d’onda, e si indica con k; si definisce anche un vettore d’onda, come un vettore di modulo k e direzione corrispondente al vettore di Poynting

D 0 B

2

2

22 1

tc

E

E

EE

2

22

c

Diventa (nota, non usiamo il cappelletto per semplificare le notazioni…)

022 EE

k

Onde piane in regime armonico permanente

022

2

xx EkEz

Vediamo di nuovo il caso dell’onda piana: immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z

x

z

xx zEz uE

)()( L’equazione d’onda per il campo elettrico diventa semplicemente

La soluzione è una combinazione di esponenziali in kjkzjkz

x eEeEE Volendo recuperare l’espressione nel tempo, per esempio della

componente progressiva (assumiamo E+ reale (E0) per semplificare)

)Re()( tjxx eEtE )Re( kztjeE

c

ztE cos0 CVD

Polarizzazione onde piane Fin qui abbiamo visto onde piane con una sola

componente di campo E, e che quindi oscillano sempre in uno stesso piano: queste si dicono polarizzate linearmente (anche ovviamente se con due componenti di campo E, purché l’oscillazione avvenga in un piano)

Un insieme di onde piane propagantesi nella stessa direzione, ma con orientazioni e fasi arbitrarie dei campi, generano un’onda non polarizzata

Due onde piane, stessa freq, ma diverse ampiezze fasi ed orientazioni (ma con relazioni prefissate) producono un’ onda polarizzata ellitticamente

Polarizzazione onde piane

Infatti, se per esempio abbiamo

Notiamo che, mettendoci in un punto (es z=0)

Che è l’equazione parametrica di una ellisse. Se è /2 ed E1=E2 è proprio una circonferenza: polarizzazione circolare

v

ztEEx cos1

v

ztEEy cos2

tEE

tEE

z

y

x

cos

cos

0

2

1

Polarizzazione onde piane

Infatti, nella polarizzazione circolare avremo

v

ztEEx cos1

v

ztsinEE y 1

y 0,0 zt

x

0,2

zt

x

y

Polarizzazione onde piane

In termini di fasori avremmo (pol. Ellittica)

Nota: fin qui abbiamo parlato di c come velocità di fase dell’onda em nel vuoto o in aria; il discorso resta valido in generale con l’accorgimento di usare la giusta velocità

jkzx eEE 1

)(2

kzjy eEE

Polarizzazione onde piane

Polarizzazione Lineare

Polarizzazione Circolare

Onde piane in direzione arbitraria Abbiamo introdotto le onde piane pensando ad una

propagazione lungo un asse (z) Vediamo come generalizzare il discorso al caso un cui

compaiono tutte le variabili spaziali: facciamolo direttamente per i fasori

zkykxkj zyxe 0EE

Dove E0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma può avere tutte le componenti

zzyyxx EEE uuuE 0000

Onde piane in direzione arbitraria L’equazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari

Concentriamoci sulla prima e sostituiamo l’espressione generale per l’onda piana

022

2

2

2

2

2

x

xxx Ekz

E

y

E

x

E

022 EE

k

0

0

0

22

22

22

zz

yy

xx

EkE

EkE

EkE

xxzxyxx EkEkEkEk 02

02

02

02

2222 kkkk zyx Cioè, il vettore d’onda k che ha

modulo k può essere diviso in 3 componenti, proprio pari a kx, ky, kzzzyyxx kkk uuuk

Onde piane in direzione arbitraria Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana

che si propaga lungo una direzione generica:

rkEEE jzkykxkjee zyx

00

Onde piane in direzione arbitraria In generale quindi E ed H per un’onda piana saranno

Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che

kj Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una

semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si “algebrizzano”

rkEE je0rkHH je0

BE jDH j

0 D0 B Sia E che H

ortogonali a k

00 HEk 00 EHk

00 Ek00 Hk

Onde piane in direzione arbitraria

Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H generale: dalla prima

00 HEk 00 EHk 00 Ek

00 Hk

)(1

)( rEurH k

00

1EkH

ovvero

Dove è l’impedenza d’onda del mezzo: generalizza l’espressione già trovata!

Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei

I conduttori sono quelli per i quali si ha movimento di cariche per un campo elettrico applicato, ovvero esiste una corrente di conduzione che soddisfa la legge di Ohm

EJ Per cui l’equazione di Ampère diventa (fasori)

EEH j Se il secondo termine (corrente di conduzione) domina sul

primo (corrente di spostamento) così che la corrente di spostamento possa essere trascurata fino alle frequenze radio più alte (non ottiche), il materiale di definisce “buon conduttore”

Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei

Sappiamo che in un conduttore (anche reale) non vi sono cariche libere: infatti ricordando che la divergenza di un rotore è nulla, abbiamo dalla legge di Ampère

Per cui EH j0

Allora, per un “buon conduttore”: la carica libera è zero vale la legge di Ohm corrente di spostamento trascurabile rispetto alla corrente di

conduzione, per cui

0 D

EH

Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei

Allora, dalla legge di Faraday

Usando la solita identità per il rotore di rotore, ricordando che la divergenza di E è nulla (no cariche), e sostituendo l’espressione del rotore di H

Equazione d’onda per i conduttoriEE j2

HE j HE j

Ricordando poi la legge di Ohm EJ Ricaviamo l’equazione per J

JJ j2

Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei Il caso più semplice è quello monodimensionale: conduttore piano

di profondità infinita su cui incida un’onda piana ortogonalmente In tal caso, J alla superficie

segue l’andamento di E (grazie alla legge di Ohm), e vale

L’equazione d’onda per E diventa

zEx uEJJ 000)0(

Le cui soluzioni sono ancora una volta esponenzialixx

z eCeCE 21

J

EH

x

z

zzz EEj

x

E 22

2

Effetto pelle Le condizioni al contorno impongono C2=0 (o il campo crescerebbe

fino all’infinito per x crescenti) e C1=E0

Ora per definizione

Per cui, ricordando che

x

j2

xz eEE 0

xz eEJ 0

2

1 jj

avremo

jfj

11

Dove è dimensionalmente una distanza (metri) e si chiama profondità di penetrazione

f

1

Effetto Pelle Allora riscriviamo le nostre soluzioni in termini di tale parametro

Quindi, il campo penetrando si attenua (fino a ridursi di un fattore e per x=,circa 37%) e si sfasa

x

xj

x

z eeEE

0xj

x

z eeEJ

0

Termine di attenuazione

Termine di sfasamento

J

EH

Il risultato è rigorosamente valido solo per conduttori piani, ma funziona in generale per valori di minori della curvatura della superficie

Effetto pelle

Evoluzione temporale della soluzione calcolata

Un caso “vero”: distribuzione di corrente su una striscia di rame di 70 micron, al variare della frequenza tra 1 e 5 GHz. Ottenuto da un metodo rigoroso