1 1

I quattro postulati della Meccanica Quantistica

Piu’ avanti vedremo che occorre allargare il quadro per introdurre

lo spin, le statistiche quantistiche...

1

Postulato 1

Lo stato di un sistema si rappresenta con una funzione d'onda complessa Ya(x; t) dove: x sta per l'insieme delle coordinate, t e’ il tempo, a un insieme (eventualmente vuoto) di costanti del moto ( i numeri quantici). Se a contiene i valori di tutti gli osservabili compatibili (=che possono essere simultaneamente conservati), lo stato quantico ne risulta individuato.

2

x tutti i gradi di liberta’: la formulazione si

estende a molte particelle e il mondo intero.

2| , | 1adx x tY

( , ), , i x t

a ax t x t e Y Y contiene l’info completa

2

Fra funzioni d’onda vale il principio di sovrapposizione:

FaY+bc

Spazio di funzioni

Y(x,t), c(x,t) funzioni d’onda implica che lo e’

anche ogni combinazione lineare

Non e’ vero!

3

3

Fra funzioni d’onda il prodotto scalare e’ l’overlap, un numero complesso

Se e’ nullo funzioni ortogonali

bra

ket

dimensione d dello spazio = numero massimo di funzioni ortogonali

*( ) ( )dx x xY F Y F

*

2

Normalizzazione: ( ) ( ) 1

per ( ) .

dx x x

x L

Y Y Y Y

Y

Inglese: bracket=parentesi

Tranne qualche caso, d

4

fra funzioni: trasformazioni unitarie= trasformazioni lineari U

che conservano i prodotti scalari

fra vettori: rotazioni= trasformazioni lineari U che

conservano i prodotti scalari

La funzione d’onda esprime lo stato di un sistema riferendolo ad una base di funzioni; si possono fare trasformazioni di base. Si estendono le nozioni valide in uno spazio vettoriale.

In 3d,

2

2 2.a b a b

Disuguaglianza di Schwarz in uno spazio vettoriale

. cosa b ab

Disuguaglianza di Schwarz in 3

dimensioni:

5 5

2| | 1Y F Y Y F F

analogamente,

2

2 2.a b a bDisuguaglianza di Schwarz in n

dimensioni:

5

1 2 i

1

v (v , v ,......v ) v , con .d

d i i j ij

i

e e e

fra vettori: espansione su una base

fra funzioni d’onda: espansione su una base, in analogia con la trasformata di Fourier.

Basi: onde piane, seni (buca a pareti finite)

soluzioni dell’oscillatore armonico,………

6 6

Esempio: I polinomi sono uno spazio vettoriale di dimensione infinita,

ma non basta!

Una funzione trascendente, come sin(x), non e’ un polinomio ( una

combinazione lineare di polinomi con un numero finito di termini).

Ci vuole uno spazio vettoriale di dimensione infinita, discreta o continua,

che includa i limiti delle successioni convergenti.

Un tale spazio si dice completo.

6

L’ espansione su una base richiede che ci sia una norma (i

vettori di base devono avere norma 1).

Complicazione: per molti problemi d e’ infinito

l’espansione richiede una serie convergente.

Spazio normato e completo

7

Uno spazio metrico normato completo e’ uno spazio di Banach.

Esempio: sia C[0,1] l’insieme delle funzioni complesse continue in [0,1].

C[0,1] e’ uno spazio vettoriale. Possiamo definire la norma di una f

sup | ( ) |, x [0,1].f f x

Una successione fn converge a una funzione f(x) se

0 tale che , |f ( ) ( ) | , [0,1]nn n N x f x x

Questa e’ la convergenza uniforme. Ma allora si dimostra che f e’ continua.

Quindi C[0,1] e’ completo ed e’ di Banach.

Spazio di Banach

8 8 8

Lo spazio di Hilbert e’ quello in cui si

definiscono le funzioni d’onda.

E’ sempre possibile espandere

la y su un set completo

Uno spazio di Hilbert è uno spazio di Banach normato e completo rispetto

alla norma indotta da un prodotto scalare . Il contesto e’ quello di Fourier.

2

2

Si dimostra: e' uno spazio di Hilbert

ad es.: f L

vale Fourier; ma non e' l'unica base.ikx

L

e

Per la Meccanica Quantistica y deve essere definita in uno spazio

di funzioni in cui una base abbia come vettori le autofunzioni di

un operatore osservabile (per esempio, le onde piane che sono autofunzioni

dell’impulso).

9 9

,a x tY

, , ,..... insieme degli osservabili compatibilia A B C

varie scelte possibili: per la particella libera E,p oppure E, L

, , ,..... insieme degli osservabili compatibili

individua lo stato

a A B C

due stati diversi hanno almeno un numero quantico diverso

9

Primo postulato in 1 pagina:

10 10 10

Y + F Y + F

F Y F Y†

ˆGli osservabili Q sono rappresentati da operatori Q lineari, cioe'

ˆ ˆ ˆ Q( ) Q Q

hermitiani, cioe'

ˆ ˆ ˆ ˆQ = Q

Po

ovvero Q

stulato

= Q ,

dotati

2

a b a b

Y

Y

Y Y

di un set completo di autovettori (cioe' ogni puo' essere espansa

ˆin una serie convergente nelle autofunzioni di qualsiasi Q).

ˆ Se lo stato e' , il valore di aspettazione di ogni Q e' dato da

Q Y Yˆ= Q .

11 11

Matrici degli operatori:

*

Date due funzioni d'onda, si definisce l'elemento di matrice:

ˆ ˆ( ) ( )

integrazione su tutte le coordinate.

A A dx x A x

dx

FY F Y F Y

prodotto scalare di per .

Qui, le componenti sono ( ), (

ˆ

)

A

x

A

x

F Y F Y

F Y

Heisenberg: invento’ la teoria delle

matrici prima della invenzione

dell’equazione di Schroedinger; risulto’

poi che i due formalismi sono

equivalenti.

11

12 12

† †ˆ ˆ ˆe' definito da: , ,A A Ay y y

*ˆ ˆ ˆ( ) ,

ˆcon che agisce su .

,

l

A A A dx x

t

A x

A ke

y y y y y

†

*† † *

ˆ ˆ significa:

ˆ ˆ ˆ( ) dove agisce solo su ( ) ( )

A A

dx A x x A x dx x A x

y y

y y y

Definizione di coniugato Hermitiano di A a partire da A

*

ˆ ˆ ˆSe agisce sul bra : ( ) .

ˆ ˆMa in genere, .

ˆ ˆ: se , , .

A A dx A x x

A A

Esempio A i A i A i

y y

y y

y y y y

†ˆ ˆˆ ˆ ˆEsiste tale che ? Si, che B B A sappiamo B Ay y

13

†

Ricordate l'oscillatore armonico:

1 1creazione annichilazione .

2 2

d da q a q

dq dq

+

†ˆIl coniugato hermitiano di e' .A A

.

Come trovare la matrice del coniugato Hermitiano di A a partire da un A qualsiasi.

†* ˆ , ,A A

yy

y

In parole: la regola per la matrice dell’operatore coniugato Hermitiano:

trasporre e prendere il cc

14

ˆT Ty y

valore di aspettazione dell’operatore T nello stato y

E’ la media di molte misure dell’osservabile T sullo stato y.

T Osservabile

il risultato di ogni

misura deve essere

reale!

* †

† *

devono coincidere sempre

T T

T T y y

y y

* †osservabileT T T

†

†

Definizione

autoaggiunto o Hermitiano

antiHermitiano iA Hermitiano

A A A

A A A

15

Gli autovalori di una matrice hermitiana sono reali

*

**

†

Ricordiamo che = .

ˆSia autovalore di un operatore T

T = .

Allora, prendendo normalizzata,

. Prendendo il c.c.

T hermitiana e allora possiamo anche dire:

a b b a

T T

T T

T T

y y

y

y y y y y y

y y y y

* †

† *

.

Quindi

T T

T T

y y y y

16 16

†osservabileT T T

m

n

T m t m

T n t n

m

n

n T m t n m

m T n t m n

† †*( )

m m

n n

n T m t n m n T m t n m

se T Tn T m t n m n T m t n m

† *prendendo il coniugato, n nm T n t m n n T m t n m

Sottraendo, 0 .

Questo implica che se 0, allora 0.

n m

n m

t t n m

t t n m

Inoltre, se T e’ hermitiano

autovalori diversi autovettori ortogonali: infatti,

* †ˆ ˆ ˆ matrice hermitianamnm T n n T m n T m T

Significato fisico: se la misura da’ valori diversi gli stati

sono ortogonali, cioe’ mutuamente esclusivi.

Charles Hermite (1822-1901)

† * †

†

ˆ ˆ ˆHermitiano con ( ) .

Troviamo p .

A A A A Aab ba

*

* *

* *

( )

[ ( ( ) ) ( )]

( ( ) ) | ( )

df p g i dx f x g x

dx

d di dx f x

dp i

dx

g x g x f xdx dx

df x g x i dxg x f x

dx

+

17

L’impulso e’ hermitiano?

17

e' complesso 0d

p i pdx

y

Charles Hermite (1822-1901) 2e' Hermitiano sup L

* 2( ( ) ) | 0 ,f x g x se f g L

*( ( ))d

f p g dxg x i f x pf gdx

18

Questo e’ lo spazio di Hilbert; vale anche per le onde piane nella scatola

2,

nik x

n

e nk

LL

18

*( ( ) ) | 0 perche' sono periodiche, p= k.f x g x

19 19

Deve esistere un set completo {|m> } di autostati

T |m> = tm

|m>

per ogni operatore osservabile T . Ad esempio, l’impulso P ha come

autostati le onde piane. Significa che preparando il sistema in qualunque

stato fisico e sottoponendolo a misure di T si ottera’ comunque un risultato,

e questo deve essere uno degli m-

L’opposto sarebbe ammettere che ci sono stati del sistema in cui T non si

puo’ misurare in linea di principio, mentre invece la misura e’ sempre

fattibile.

Completezza

con ampiezza di m

1 r

in

elazione di chiusuram

m

m m

m m mY Y Y

Y

Set completo significa:

20 20

La funzioned'onda di 1 particella libera si espande:

e la serie converge. Ad esempio, m puo'

essere una componente del momento angolare.

In generale occorrono altri numeri quantici a,b,c... di operatori A,

m

m

m aY

B,C...

ˆ compatibili con T per individuare

(ad esempio, l'energia della particella, che corrisponde all'operatore H).

Significato: ampiezza di probabilita' che

la misura di da' .

Non e' tutto. Se una

m

m

a m

T t

Y

Y

misura di T su da' t dopo la misura

il sistema non e' piu' in ma collassa in

uno stato con l'autovalore e con gli altri numeri quantici

compatibili.

m

mt

Y

Y

21 21

Nel caso di misure dell'impulso di una particella,

e' l

Ecco

a trasformata di Fourie

relazione di chiusura

.

r

1m

m

m

l m m

m

a

Y Y

( )

2

, , la chiusura e'2 2

2 ( )iq

iq

x

m

yiq

x

xdqf x e q

e ddqe

qm x y

22 22

Per un sistema composto da piu' particelle restano vere:

con ampiezza:

con 1

ˆ ˆe la misura di da' , collassa in , ma e'

un osservabile dell'intero sistema, non di una p

m m

m

m m

m

m a a m

m m m m

T t m ogni T

Y Y

Y Y

Y

articella.

Per esempio potrebbe essere il momento angolare totale.

Sistemi di piu’ particelle

23

Le formulazioni di Schroedinger e di

Heisenberg

sono equivalenti.

Sulla reinterpretazione quantistica delle

relazioni cinematiche e meccaniche

24 24

1 esprime la completezza della base { }m

m m m

ˆ ˆij i j ij i jA A B By y y y

ˆ ˆˆ ˆi j i k k j

k

AB A By y y y y y

ˆ ˆQuindi, ik kjij

k

AB A B

Prodotto righe per colonne-

rappresentazione degli operatori con matrici

T |m> = tm

|m> implica <n| T |m > = tm

mn

Un operatore e’ rappresentato da una matrice diagonale sulla base delle sue autofunzioni

Matrici come Rappresentazioni degli operatori

Si prendono tutti gli elementi di matrice su una base :

Il prodotto degli operatori ha una matrice che e’ il prodotto delle matrici le

matrici hanno gli stessi autovalori degli operatori.

ˆ ˆˆ ˆi j

ijAB ABy y

25

†

In altri termini, conserva la norma.

1

U

U Uy y

† 1 † *

†

Un cambiamento base si realizza con una

trasformazione unitaria U delle ampiezze, .

unitaria dove

gode della proprieta' che 1.

Matrici e trasformazioni unitarie

nmmn

U

U U U U U

U U

y y

y y y y

Cambiamento di Rappresentazione degli operatori.

Trasformazioni canoniche quantistiche

Per esempio se un campione viene ruotato o traslato rispetto all’apparato di

misura, la sua funzione d’onda subisce una trasformazione unitaria ma

facendo la stessa rotazione o traslazione sugli operatori avremo gli stessi

risultati.

Fisicamente possiamo anche usare diverse tecniche per caratterizzare un

pacchetto d’onde: ad esempio con misure di x o di p. L’info e’ la stessa a

meno di una trasformata di Fourier.

Una rappresentazione puo’ essere la piu’ adatta per un particolare

problema.

†

†

† .

Si tratta di una diversa rappresentazione della stessa fisic

,

a.

UAU

A UAU

A U

U

AU y yy y y y

y y

† † †

†

Poiche' 1,

quindi mediare A su e' equivalente a mediare su .

U U A U UAU U

UAU U

y y y y

y y

Sia A un operatore qualsiasi:

27

Infatti, se [ A, B] =0 , AB=BA, cambiando base, UABU† = UBAU†. Inserendo U†U=1, UAU†UBU† = UBU†UAU† . Quindi UAU† e UBU† che sono A e B nella nuova rappresentazione commutano: due matrici che commutano seguitano a commutare anche cambiando base.

Trasformazioni canoniche in meccanica quantistica

Una trasformazione unitaria corrisponde ad un cambiamento di base. Essa cambia la descrizione ma preserva le regole di commutazione fra gli operatori come le parentesi di Poisson classiche.

_e compatibili [ , ] 0 resta veroA B A B

_e compatibili [ , ] 0A B A B

=cambiamenti di Rappresentazione

.3

3, ( , )

2

i p x E p td p

i x t i g p t ey

.3

3( , )

2

i p x E p td p

pg p t e

.3

3Dato il pacchetto , ( , )

2

ˆ ˆconsideriamo , , con .

i p x E p td p

x t g p t e

p x t p i

y

y

28

,0 ( ) e' una

( , ) t

tra

rasforma

sformazi

contien

one can

e la stessa inforta di ,

( , ) trasformata di , .

ˆNella rappresentazione degli impulsi

operatoreche moltipl

on

ic

m

a p

az

ic

i

e

a

r

.

oneg p t x t

g p t p i x

p

p

p

g

p

x

t

y

y

y

ˆOperatore p nella rappresentazione dei p

.3

3, ( , )

2

i p x E p td p

x t g p t ey

*media di x sul pacchetto : ( ) ( )x dx x x xy y

Quale sara’ la media di p ? Ragioniamo per analogia

3 3* 2

3 3

Ma come si

( ) ( ) | ( ) |2

scrive direttamente in termin

2

i di x ?

d p d pp g p pg p g p p

y

29

Impulso medio di un pacchetto d’onde

Per un trattamento rigoroso e’ utile un teorema.

Teorema di Plancherel

30

* *

* ( ) *

* *

( ) ( ) ( )2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).2

Scambiando le integrazioni,

( ) ( ) ( ) ( )

i x i t

i x t

d ddx x e dt t e

ddx x dt t e dx x dt t x t

dt t dx x x t dt t t

a b a b

a b a b

b a a b

2

* *

Siano ( ), funzioni L

( ) ( )2

t t

ddt t t

a b

a b a b

La dimostrazione e’ facile se si usa la delta.

Il Teorema di Plancherel dice che:

31

* * ( ) ( )2

ddt t t

a b a b

* *

i

i

NB ( ) somiglia a un prodotto scalare

dove al posto di i c'e' un indice continuo t.

Il teorema implica che e'un prodottoscalare

fra due vettori e che non cambia passando

dallecompo

idt t ta b b a

b a

a b

nenti t allecomponenti . Possiamo calcolarlo

nella rappresentazione x o p e viene uguale.

*

i

i

La definizione di prodotto scalare fra vettori complessi e e'

i

a b

b a b a

3

3

* *( ) ( ) Primo membro: ( )2 2

d pg p p g p

da b

* *

3

3

A tal fine, usiamo Plancharel : ( ) ( )2

con , ( ) ( ) ( )2 (2 )

ddt t t

d d ppg p g p

a b a b

a b

32

3 3* 2

3 3( ) ( )Nella rappresentazione ,

Vogliamo scrivere direttamente in termin

| ( ) | .2

i i

2

d x .

d p d pp g p pg p g pp p

p

y

.3

3Data la funzione d'onda , ( , ) ,

2

i p x E p td p

x t g p t ey

ˆTrasformiamo p dalla rappresentazione p

ˆ alla rappresentazione x .

* *3 , [ ],doSecondo membro ( ) ( ve

[ ] e' la trasformata di Fourier di) )

)

( ( .

dt t t pg p

p

d x

g p p

x t F

F g p

ya b

.3

3Tale trasformata vale ( ) , .

2

i p x E p td p

p g p e i x ty

*3*secondo membro: ( ) , ,i d xdt x t xt tt y ya b

3

3

* *( ) ( ) Primo membro: ( )2 2

d pg p p g p

da b

* 3 *, , ( ) ( ).

Ritroviamo che nella rappresentazione x.

p i dx x t x t d p g p pg p

p i

y y

A partire da *( ) ( )x dx x x xy y

.3

3, ( , )

2sostituendovi

i p x E p td p

x t g p t ey

'. ' .3 3*

3 3

'. ' .3 3*

3 3

3 3*

3 3

'( ( ', ) ) ( , ) .

2 2

Scambiando le integrazioni,

'( ', ) ( , )

2 2

'( ', ) ( , )

2 2

i p x E p t i p x E p t

i p x E p t i p x E p t

i

d p d px dx g p t e x g p t e

d p d px g p t g p t dxe xe

d p d pg p t g p t e

' '. .

( )

E p E p t ip x ip x

pdxe i e

x nella rappresentazione dei p.

Analogamente possiamo scrivere

34

' '. .3 3*

3 3

'3 3*

3 3

'( ', ) ( , ) ( )

2 2

Ora portiamo( ) fuori e introduciamo la delta di Dirac:

'( ', ) ( , ) ( )

2 2

i E p E p t ip x ip x

p

p

i E p E p t

p

d p d px g p t g p t e dxe i e

i dx

d p d px g p t g p t e i dxe

' .

'3 33*

3 3

'( ', ) ( , ) ( ) 2 ' .

2 2

Ricordando la derivata della delta,

i p p x

i E p E p t

p

d p d pg p t g p t e i p p

3*

3( , ) ( )( ) ( , )

2p

d px g p t i g p t

ˆpx i

36

ˆ ˆRappresentazione p: p=p px i

ˆˆ ˆRappresentazione x: x=x p xi

37 37

Lagrangiana del rotatore rigido piano classico .

2 21( , ) ( )

2T m x y +L

( , )zL I

L

2

( , ) ( , ) Hamilton equation 2

z zz z

L LH L L

I I L

si trova anche da , ,

che

x y

z y x

p mx p my

L xp yp I

0 L ( ) L (0)z zt

L

37

cos sin

sin cos

x x

y y

2 21( , ) ,

2I I m L

38

Analogamente al commutatore fondamentale , p x>

il commutatore , comporta l'indeterminazione z z

p x i

L i L

2ˆˆ ( , )

2

zz

LH L

I

Calcolo dell’operatore Lz

z y xL xp yp

Vogliamo trovare che in coordinate polari ( , )

analogo

z

z

L i

a p i E iz t

Rotatore rigido piano quantistico

Dobbiamo stabilire una importante regola di

commutazione momento-angolare-angolo

39 39

, ,

va messo in coordinate polari

ˆ ˆ ˆz y x x y

p i p iL xp ypy

conx

+

+

Passiamo da a derivate rispetto a ,ˆ ˆ,y xp p

x x x

y y y

2 2

arctan

x y

y

x

+

cos

sin

x

y

40 40

Inoltre, cos , sin

yx

x y

x x x

y y y

+

+

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1

1 1

1

1

y y y

x x x x x yy y

x x

y x

y y x x yy

x

+ + +

+ +

sin cos,

x y

2

1arctan

1

du

du u

+

2 2

arctan

x y

y

x

+

cos

sin

x

y

41 41 41

+

sin coscos sin

cos ˆ ˆ ˆ, ,sinx y z y x

x y

p i p i L xpy

xy

yp

x

+

ˆ [cos sin ]

[cos sin

cos (sin ) (cos

cos sin

])sin

z y xp

i

y xL p i

+

2 2cos sin[ ]i i

zL i

,zL i

Usando

Si trova

42 42

2

210 , 2 1

2 2 2

im imim

m m m

e ee

y y y

m intero: quantizzazione natura facit saltus!

2 2 2

L'energia del rotatore e' quantizzata: .2 2

z

z

L m

L mE

I I

Risolviamo l'equazione agli autovalori z m m

m

m

L m

i m

y y

y y

deve avere un solo valo2

re

y

im

m

e

Altre conseguenze di zL i

43 43 43

2 2ˆ ˆ ˆmedia, deviazione standard : ( )A AA A A

Principio di indeterminazione di Heisenberg

2 2x p z Lp i L i

(Ungenauighkeitsrelationen)

Direzione della

fotoemissione

Raggio X

Elettrone da

localizzare

Esiste

classicamente una

incertezza che

cresce con

44

Non e’ vero!

La novita’ consiste nel fare dell’incertezza una legge fondamentale della natura

Einstein sosteneva invece che l’incertezza venisse dall’incompletezza della teoria

(Dio non gioca a dadi)

45 45

Due operatori sono compatibili , cioe’ misurabili

simultaneamente con precisione, se commutano

,

ˆ ˆ[ , ]

2A B

A B

y

y y

Principio di indeterminazione generalizzato

45

2 2ˆ ˆ ˆmedia, deviazione standard : ( )A AA A A

Principio di indeterminazione di Heisenberg

Prima mostriamo che ai fini della dimostrazione si puo’ sempre supporre che sia <A>=0, <B>=0

Ungenauighkeitsrelationen, genau=esatto

46 46 46

ˆ ˆ ˆ ˆ 0A A B B Osservazione banale:

2 2 2 2

ˆ ˆtanto vale prendere 0, 0

ˆ ˆA B

A B

A B

2 2

2 2

2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ ] . Se invece di consideriamo Q= ,

ˆ ˆ ˆ 0. La deviazione standard di Q: [ ] :

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ ] [ ] .

A

Q

Q A

A A A A A

Q A A Q Q

A A A A A A

Togliere il valor medio non cambia la deviazione standard:

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ[ , ] [ , ]A A B B A B

Togliere il valor medio non cambia nemmeno i commutatori:

47 47

Due operatori sono compatibili , cioe’ misurabili

simultaneamente con precisione, se commutano

,

ˆ ˆ[ , ]

2A B

A B

y

y y

Principio di indeterminazione generalizzato

se <A>=0, <B>=0

Allora possiamo riformulare come segue:

2 2 †

2 2 †

ˆ ˆ ˆ ˆ, dove

ˆ ˆ ˆ ˆ, dove

A

B

A A A f f f A

B B B g g g B

y y y y y

y y y y y

Disuguaglianza di Schwarz: 222 2

2 2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ | | dove z = .

ˆ ˆˆ ˆAttenzione: non e' lo stesso che .

A B

A B

f g Af f g g B

z AB

AB A B

y y

y y

y y y y y y

per ogni y,

* *

*2 2 2 2 2

Osservazione: Numeri complessi:

z=a+ib, a,b , Re( ), Im( )

2

( )2

a z b z

z a ib z z ib

z zz a b b

i

+

Riprendiamo la disuguaglianza di Schwarz:

Per metterlo nella forma voluta ci vuole un trucco

2 2 2 ˆ ˆ, | | dove z = .A BDunque z AB y y

22

2 2ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ [ , ]

.2 2

A B

A BAB BA

i i y y y y

49 49

_compatibili [ , ] 0A e B A B

2 2 2ˆ ˆˆ ˆEsempio : , , ( )2 2

minimum uncertainty wavepacket

p x p xA p B x A B i

ˆ ˆ[ , ]

2A B

A B y y

50

Esercizio sui commutatori: Calcolare [ABC,DEF]

_ _ _

. , , ,ABC DEF AB C DEF AB DEF C +

_ _ _

Si usera' , , ,AB C A B C A C B +

_ _ _ _

, , , ,ABC DEF AB C DEF A B DEF C A DEF BC + +

_ _ _

si usera' poi , , ,A BC B A C A B C +

_

_

_ _

_ _ _

_ _ _, , . , . ,

,

,

.

, ,

, ,

ABDE C F AB C DE F ADE B

ABC DEF AB

F C

C DE

A B

F A B DE F

DE FC DE A F BC A D

C A DE F

E

B

FB

C

C

+ +

+ + +

+ +

_ _ _ _ _

_ _ _

_ _

, , , , ,

, , ,

, ,

ABC DEF ABDE C F ABD C E F AB C D EF ADE B F C

AD B E FC A B D EFC DE A F BC

D A E FBC A D EFBC

+ + +

+ + +

+ +

_ _ _

e usando ancora , , ,AB C A B C A C B +

50

51

Prodotto di matrici A e B diagonali:

per esempio, nel caso 2X2

1 1 1 1

2 2 2 2

0 0 0

0 0 0

a b a bAB

a b a b

Viene diagonale e gli

elementi sono i prodotti degli

elementi di A e B

Fisicamente sono

grandezze compatibili,

con valori ben definiti

sulla base prescelta.

Commutano anche gli operatori

Cambiando base,deve esistere U tale che A va in UAU†e,B va in UBU† UAU†UBU† = UBU†UAU†=0 . Quindi le due matrici comutano su qualunque base.

A e B osservabili compatibili † †

_, , [ , ] 0A A B B A B

Commutatori e grandezze compatibili:

A B osservabili compatibili hanno un set completo di autostati simultanei

Mostriamo che allora B e’ diagonale sulla stessa base

n mn m a a

|an> base su cui A e’ n n nA a a a

n n nB a b a

Facciamo dapprima l’ipotesi cheA non ha autovalori degeneri, poi la rimuoveremo.

Teorema

52

_[ , ] ( ) 0,m n m n m na A B a a a a B a

Dato che ( ) 0 concludiamo che 0

Ma allora e' ortogonale a

. QED

m n m n

n m

n n n

a a a B a

B a a n m

B a b a

Se A e’ degenere, diagonalizzando la matrice di B nel sottospazio di autovalore an

troviamo combinazioni lineari di autostati degeneri di A che appartengono ad an e sono anche un set di autostati simultanei di B. Abbiamo quindi dimostrato il Teorema:

Dimostrazione

A e B compatibili set di autostati simultanei

_ _[ , ] 0 Sia m n. [ , ] ( ) 0m n m nA B a A B a a AB BA a

m n m n na BA a a B a a

†

m n m n m n m m na AB a A a B a Aa B a a a B a

53

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆ ˆˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ( ) 0

ab ab ab ab

n n n n n n n n

ab ab ab

n n n n n n

ab

n

AB Ab b A a b

BA Ba a b

AB BA

y y y y

y y y

y

La base |yn (ab)> diagonalizza ambedue gli operatori A e B

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆab ab ab ab

n n n n n nA a B by y y y

54

Viceversa, se A e B hanno un set completo di autostati simultanei |yn (ab)>

allora A e B sono compatibili.

_ _[ , ] 0 su un set completo [ , ] 0

su qualunque altra base.

A B A B

Teorema

54

Dimostrazione

Cambiando base, come si e’ visto, deve esistere U tale che

|yn (ab)> U |yn (ab)>

UAU†UBU† = UBU†UAU†=0 . Quindi le due matrici commutano su qualunque base.

QED

55

, ,

, ,

z x y z

z x y z x y z

yp zp zp xp

y p z p p z p x i yp xp i L

+

, , , ,zx y z y x z zzx y xL L yp zp zp yxp p zp pxp zpzp x

,

,

,

x y z

y z x

z x y

L L i L

L L i L

L L i L

,

etc

x y x y y x zz

L L L L L L L L i L

L L i L

Componenti del momento angolare: sono incompatibili

56 56

57

2 2 2 2 2 2 2, , , poiche' , 0x x y z x y z x x xL L L L L L L L L L L

+ + +

_ _ _

2

Semplifichiamo con , , ,

, , , .y x y y x y x y

AB C A B C A C B

L L L L L L L L

+

+

2 , )

,

(y x y z z y

x

y z

y z

z yL L L i L i L L

L L i L

i L L L L

++

2

Poiche' allo stesso modo

, , , ( )y z zz x z z x z yx zL L L L L L L i LL L L L

+ + +

2 2 2, 0, , 0, , 0x y zL L L L L L

Compatibilita’ del quadrato del momento angolare con qualsiasi

componente

, , ,

x y z y z x z x yL L i L L L i L L L i L

57

58

Operatore di

annichilazione

1

2

da q

dq

+

Operatore di creazione † 1

2

da q

dq

2

2

2

1

2

dH q

dq

+

†, 1a a

†

1

1v

n n n

n n n

a u

a

y y

y y

+

vogliamo determinare le costanti un e vn e le matrici di q e p .

† 1

2H a a

+

†

† operatore numero

n na a n

a a

y y

Matrici per l’oscillatore armonico

Ricordando che:

58

†

1

2 † †

1 1

2 † †

1 1

Da moltiplicando scalarmente i due membri per se stessi

si ha | |

ma 1,quindi | | .

n n n

n n n n n

n n n n n

u a

u a a

u a a

y y

y y y y

y y y y

+

+ +

+ +

59

2 † † † 2 †

† 2 †

2

| | . Per definizione di , | | ;

ˆma , 1 | | (1 ) (1 ) 1 .

Quindi | | 1 e possiamo scegliere la fase arbitraria :

n n n n n n

n n n n n

n

u a a a u aa

a a u a a n n

u n

y y y y

y y y y

+ + +

+

†

1

†

1

1

1

1

n n

n n

a n

an

y y

y y

+

+

+

+

†

1 0

† 2†

012

† 3†

023

†

0

( )

2 2

( )

3 2.3

1

!

n

n

a

aa

aa

an

y y

yyy

yyy

y y

Analogamente

2| v |n n 1n na ny y

2 †

1v | v |n n n n n n n na a a a ay y y y y y

59

60 60

†

1

† †

1 , 1,

†

Usando 1 troviamo le matrici degli operatori sulla base { }.

1 1

0 0 0

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

2

n n m

m n m n m nm n

a n

a a n n

a

y y y

y y y y

+

+ +

+

+ +

1

, 1,

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

0 0 0 0 2

y y

y y

n n

m n m nm n

a n

a a n a

Matrice infinita non simmetrica

†

, 1 , 1,,Sono matrici coniug te.1 am n m nm nm n

a n a n + +

60

61

Matrici di x e di p per l’oscillatore armonico:

† †0

0

†

Dato che , gli elementi 2 2

di matrice di x e p si trovano da quelli di a,a :

x ix a a p a a

x

+

0, 1 , 11

2mn m n m n

xx n n + + +

†

, 1 , 1,,1 m n m nm nm n

a n a n + +

, 1 , 1

0

12

mn m n m n

ip n n

x + + +

61

62

†

0

0

0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 2 0

0 2 0 0 0 0 0 3

0 0 3 0 0 0 0 0 2

2

0 1 0 0 0 1 0 0

1 0 2 0 1 0 2 0

0 2 0 3 0 2 0 32 2

0 0 3 0 2 0 0 3 0 2

2 0 2 0

a a

x ix p

x

2

20

1

2 0, 1 , 1

0

Altro modo di calcolarle:

, ( ) ( ) 12

xx

mn m n n n n mn m n m n

xxx dx x x N H e x n n

xy y y

+

+ +

62

x,p sono hermitiane

63 63

0, 1 , 1Usando le , 1 .

2mk m k m k

xx m m + + +

2

2 0, 1 , 1 , 1 , 11 1 .

2

Espandiamo:

mk kn m k m k k n k nmn

k k

xx x x m m n n + + + + + +

2 2

0 0, 1 , 1 , 1

Per illustrare il metodo delle matrici, vedremo ora che e' facile

calcolare ,

facendo il prodotto righe per colonne partendo

da 1 ,cioe' 2 2

mk kn mk knmn mn

k k

mn m n m n mk m k

x x x p p p

x xx n n x k k +

+ + + +

, 1

0, 1 , 1

1 ,

1 .2

m k

kn k n k n

xx n n

+

+ + +

22 0

, 1 , 1 , 1 , 1

, 1 , 1 , 1 , 1

( ( 1) ( 1) 12

1 )

+

+ + +

+ + + + +

+ + +

m k k n m k k nmn

k

m k k n m k k n

xx m n m n

mn m n63

64 64

2

mk knmn

k

p p p

2

2, , 22

0

( 1)( 2) (2 1) ( 1)2

m n mn m nmn

p m m m m mx

+ + + + + +

, 1 , 1

0

12

mn m n m n

ip n n

x + + +

, 1 , 1

0

1 12

mk m k k n

ip m n

x + + + +

, 1 , 1

0

12

kn k n k n

ip n n

x + + +

2

2 0, 2 , 2( 1)( 2) (2 1) ( 1) .

2

Allo stesso modo,

m n mn m nmn

xx m m m m m +

+ + + + +

, 1 , 1 , 2Usando si ottiene:m k k n m n

k

64

Le matrici di x e p dell’oscillatore sono infinite ma sparse,

quindi le moltiplicazioni sono facili. Si verifica allo stesso

modo che:

, mk kn mk kn mn

k

m p x n m px xp n p x x p i

(metodo di Heisenberg)

2

2 2

0

0

1 1

2 2 2

+ +

mnmn mn

mn

pH m x n

m

22 2

0

0

1

2 2 +

pH m x

m

65

66

Matrici e modelli matematici

Autovalori:

++

224

2

1VEEEE baba

aE

bE

legante

antilegante

V

In certi problemi, sono pochi gli stati che interagiscono in modo importante;

allora il metodo delle matrici si presta ad utili modellazioni. Il modello non

banale piu semplice e l'Hamiltoniano 2 x2 :

a

b

E VH

V E

66

67

68

Tomografia quantistica

In generale per conoscere lo stato quantico di un sistema bisogna disporre di

numerosi campioni uguali sui quali effettuare una serie di misure di diversi

osservabili. Dalle distribuzioni di probabilita’ degli osservabili si cerca poi di

capire quale e’ lo stato puro o la matrice densita’.

Per sistemi complessi in stati puri o misti sono

necessarie misure di piu’ osservabili per determinare

lo stato. Quali e quante? Questo problema complicato

e’ studiato dalla tomografia quantistica.

Per sistemi semplici come una particella in una

buca o un oscillatore armonico basta una misura

di energia per determinare lo stato.

69

Postulato 3

Ogni misura di un osservabile Q

ˆ deve dare un autovalore di ;Q y y

2

Probabilita' di λ nello stato :

( ) | |P y

F

F

Ampiezza di λ nello stato Φ :

( )A y F

Questo postulato fornisce l’interpretazione fisica del formalismo. Ulteriore

implicazione: la misura cambia lo stato e provoca il collasso della y

sull’autostato: se la ripetiamo subito ritroviamo .

Perche’ il set deve essere completo (come richiesto dal secondo postulato):

1 chiusura necessaria perche' sia

m

m

m m

m m

Y Y

1m

m mY Y Y Y somma delle probabilita’

di tutti i valori di un

osservabile=1 69

70

• Discreto

Formalismi da usare a seconda dell’operatore e del sistema

• continuo

keeQ kkk ,ˆ

mnnm ee )( khee kh

yy mm

m

ee

2|| ymm eP

yy kk eedk

dkedP k

2|| y

(Trasformata di Fourier) (Serie di

Fourier)

..2,1,0,ˆ neeQ nnn

70

71

Soluzione nello spazio delle distribuzioni ' 'x

x x x

Nessuna soluzione in L2 (spazio delle funzioni a

quadrato integrabile).

' ( ') ( ') ( )

x xdx x x x y y y y

L’osservabile x e la sua equazione agli autovalori

Quali sono le autofunzioni? Devono permettere di

scrivere l’ampiezza di trovare la particella in x:

ˆ x xx x

xφ non ha il modulo quadrato! Non e' una ampiezza come le altre.

Ma per localizzare una particella in un ponto occorrerebbe infinita energ

' ( ') ( ') ( )

Pero

i

'

a.

xdx x x x x y y y y

71

La x e’ un osservabile che gioca un ruolo speciale, in quanto funge da

coordinata. L’operatore x moltiplica per x.

72

*

La relazione di chiusura nel caso continuo

Infatti ( ) ( ) va ben

e' : 1.

e.

x

x

x x

a b a x x b dxa x b x

L'ortogonalita': ' '' ( '' ') ( '') ( ')x x dx x x x x x x

72

Altro esempio in 1d di spettro continuo: ampiezza di trovare

l’impulso p nello stato y

1

ˆAutostati di  p :2

pxi

p p pp f x p f x f x e

1, ( ) ( )

2

pxi

pf dxe x py y y y

e’ l’ ampiezza di trovare l’impulso p in una misura sullo stato y

Relazione di chiusura nel caso contin : 1.uoq

q q

Postulato 3 e momento angolare quantistico

z Il momento angolare L =-i

la misura della componente del momento angolare

deve dare m ,

Qualunque direzione

numero quantico az

definita da n

i

p

mutale,

uo' ess

in

ere

tero.

presa

m

come asse z.

Questo e' incomprensibile classicam

ente!

Cambiando la direzione, i valori misurati sono gli stessi, ma cambiano le probabilita’ 73

zL m

zL m

Ogni misura di una componente di L deve dare un autovalo re m .

Di quale probabilita´si tratta? Il significato fisico e`il seguente. Supponiamo che io voglia determinare la distanza dell’elettrone dal nucleo dell’atomo di H. Se preparo un atomo di H e faccio la misura posso ottenere qualsiasi valore. Se preparo un gran numero di atomi di H tutti nelle stesse condizioni e su ciascuno faccio la misura trovo valori distribuiti secondo una legge |ψ(r )|2 e posso determinare <r> come media statistica della distribuzione.

74

Ripetere la misura su molti campioni

L’osservazione perturba il sistema

Questo non e`come ripetere molte volte la misura sullo stesso atomo di H, perche`l’atto di misurare la posizione disturba il sistema. Se si trova la particella in x , immediatamente dopo la sua funzione d’onda e`piccata intorno a x , per un fenomeno che si chiama collasso della funzione d’onda. Pero’ ci sono anche grandezze che hanno valore ben definito. se misuriamo su molti atomi di H nello stato normale l’energia di legame, troviamo sempre 13.59 eV. Se misuriamo una componente del momento angolare L = r ∧ p il risultato e`sempre 0.

L’onda e’ estesa, l’elettrone e’ puntiforme: Di cosa e’

fatta l’onda?

y

2

, 1.dx x t75

Interpretazione di Copenhagen (Niels Bohr, Werner Heisenberg)

La funzione d'onda e’ una ampiezza di probabilita’. Ad esempio, in un problema unidimensionale,

y

y

2

e' la probabilita' di trovare la particella

2

in (a, b) al tempo t.

e una densita' di probabilita' normalizzata a 1, cioe'

,

, ,

b

ab aP dx x t

x t x t

Un approccio probabilistico era apparso nella fisica teorica con Gibbs e Boltzmann, agli albori della meccanica statistica. Qui il discorso e` del tutto diverso, riguarda 1 elettrone e non un enorme numero di particelle, e la temperatura non entra nel problema. Nelle applicazioni classiche la statistica entrava perche`noi disponiamo di una descrizione incompleta del sistema. Se conoscessi lo stato interno di una slot machine potrei predire con certezza il momento opportuno di metterci la monetina; poiche`non lo conosco, posso solo parlare di probabilita´. Quindi la probabilita’ cambia se cambia la conscenza soggettiva.

Fisica classica: la

probabilita’ e’ figlia

dell’ignoranza

Fisica quantica: la

probabilita’ e’ nelle leggi

naturali

Nell’interpretazione di Copenhagen, proposta da Bohr e colleghi, la funzione d’onda ψ contiene una descrizione statistica che e`pero’ la piu´completa possibile. La particella non ha una traiettoria classica e non ha valori ben definiti degli osservabili, tranne quelli i cui operatori hanno ψ come autofunzione. Il mondo microscopico e` diverso da quello macroscopico; non e` strano che una particella non abbia una posizione precisa come avrebbe un corpo classico; d’altra parte i fisici sanno che una particella ed i suoi stati possono avere molte qualita´ (spin, isospin, elicita´, colore di quark e gluoni, parita´ intrinseca, fasi, etc.) che i corpi classici non hanno. Quindi la descrizione statistica non e`, come nei casi usuali, soggettiva e dovuta a incompleta informazione. 76

Operatore densita’

Se il sistema e’ in uno stato quantico ben definito si dice che si trova in uno

stato puro. Altrimenti il sistema e’ in uno stato misto.

ˆ , probabilita' che il sistema sia in .

ˆQui { } e' una base. Il valore medio di A e' evidentemente

ˆ ˆ ˆˆA A . Questo si ottiene calcolando Tr( A). La traccia TrM

di una matrice M e'

n n n n n

n

n

n n n

n

P P

P

y y y

y

y y

, ,

†

la somma degli elementi diagonali. Poiche'

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆTr( A) ( A) (A) A A .

ˆ ˆ ˆ Evidentemente, ( ) 1,

qk n n n

n

qq n n n kq n n n

q q k n n

n

n

P q k

P q k P

Tr P

y y

y y y y

77

In generale il processo di preparazione di un sistema produce molte copie

identiche ma puo’ accadere che non tutte sono in uno stesso stato

quantico.

In questo caso non si puo’ assegnare al sistema una funzione d’onda ma

un operatore densita’

Esempio: stato puro

cannone

elettronico

Esempio

Se e' l'onda di De Broglie con p= k, c'e' differenza fra uno stato puro

1 1 1ˆcon = (x)= (e +e ) e uno stato misto con

2 24

ikx ikx

k

k

x k k k k ky

+

2 2

Cannone che spara contro un muro:

1 1(x)= cos( ) densita' di probabilita' (x) cos( )

Oscillazioni dovute all'interferenza quantica k -k

k kkx kxy y

Esempio: stato misto

cannone

elettronico

cannone

elettronico

2

2

e 1(x)= densita' di probabilita' (x)

22

e 1(x)= densita' di probabilita' (x)

22

50% di probabilita' per ciascuna

Niente oscillazioni dovute all'interferenza quantica k -k

ikx

k k

ikx

k k

y y

y y

1 1ˆ A sparare sono 2 cannoni uguali

2 2k k k k +

79

Per una particella di Schroedinger, il limite classico e’ h0. Non mancano sottili problemi nella interpretazione, alcuni dei quali ancora aperti, che potrebbero avere conseguenze osservabili. Ci sono aspetti paradossali, ad esempio nella regione di confine fra la Fisica classica e quella quantistica. Un paradosso famoso e quello del gatto di Schroedinger. Un atomo puo essere preparato in uno stato y = c1 y1 + c2 y 2, dove c1 , c2 sono numeri complessi e y1 , y 2, sono autofunzioni ortogonali di un osservabile A corrispondenti ad autovalori a1; a2. Una misura di A fa collassare la y ed obbliga il sistema a scegliere fra i due autovalori.

Gatto di Schroedinger

Si rinchiuda un gatto in una scatola d’acciaio insieme con la seguente macchina infernale: in un contatore Geiger si trova una minuscola porzione di sostanza radioattiva, così poca che nel corso di un’ora forse uno dei suoi atomi si disintegra, ma anche in modo parimenti verosimile nessuno; se ciò succede, allora il contatore lo segnala e aziona un relais di un martelletto che rompe una fiala con del cianuro.

80

Ebbene, il gatto di Schroedinger potrebbe essere preparato in una sovrapposizione di gatto vivo e gatto morto, e stare in uno stato misto finche’ non viene osservato? Oppure chi sa, si osserva da solo?

Dopo avere lasciato indisturbato questo intero sistema per un’ora, si direbbe che il gatto è ancora vivo se nel frattempo nessun atomo si e’ disintegrato. La prima disintegrazione atomica lo avrebbe avvelenato. La funzione Ψ dell’intero sistema porta ad affermare che in essa il gatto vivo e il gatto morto non sono stati puri, ma miscelati con uguale peso

Dove si trova il confine classico-quantistico?

81

Successivamente e’ stata scoperta la superfluidita’ e si e’ capito che essa e la

superconduttivita’ sono fenomeni quantistici macroscopici.

Quindi il confine non e’ quello fra macroscopico e microscopico.\

Superfluido che esce dal

contenitore.

Supercorrente che fa’

levitare un magnete

82

Einstein pensava che la teoria fosse incompleta (diceva che Dio non gioca a dadi.) E’ una questione fisica. L'interpretazione di Copenhagen e’ sempre stata confermata dagli esperimenti. Ma i lavori sono in corso.

Nel 2012 il Nobel e’ andato a Serge Haroche e David J. Wineland per studi sperimentali di ottica quantistica in cui sono stati creati sistemi quantistici formati da atomi e fotoni che sono stati tenuti per 50 millisecondi in uno stato di sovrapposizione quantistica evitando la decoerenza (gatti di Schroedinger). Questo potrebbe aprire la strada al computer quantistico.

83

Il Sole 24 ore

84

Postulato 4

ˆ ˆ( , , )i H q p tt

Y Y

NB Se H non dipende da t, vale la soluzione formale

( ) : ( ) (0)t U tY Y

84

ˆ

0

L'esponenziale di un operatore o di una matrice significa:

ˆ

( ) : operatore di evoluzione temporale!

n

iHt

n

iHt

U t en

Del primo ordine in t, richiede una sola condizione iniziale.

85

Che relazione c’e’ fra l’operatore di una grandezza Q e quello della sua

derivata temporale dQ/dt ?

ˆ

0

ˆ

† 1

ˆ

( ) : operatore di evoluzione temporale!

e' unitario: ( ) ( ) .

n

iHt

n

iHt

iHt

U t en

U t e U t

†

( ) : ( ) (0)

(0) (0) 1, anche ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) 1

t U t

Se t t U t U t

Y Y

Y Y Y Y Y Y

NB Anche se H dipende da t, U e’ unitario:

86

ˆ ˆ( , , )iH q p t

t

Y Y

ˆ ˆˆ ˆ ˆ:

dQ d QQ Q Q

dt dt t t t

Y YY Y Y Y Y Y + Y + Y

86

Y Y Y Y

ˆ ˆi iH H

t t

ˆ ˆ ( )ˆ ˆ ,dQ Q i i

QH HQdt t

Y Y Y Y + Y Y + Y

Y Y

ˆ ˆˆˆ ,

dQ Q iH Q

dt t

+

equazione del moto, in analogia col caso classico

Definizione della derivata temporale di un operatore quantistico Q: La media dell’operatore dQ/dt deve essere la derivata della media di Q.

La derivata dell’ operatore x deve essere un operatore velocita’

La derivata dell’ operatore px deve cessere un operatore forza, componente x

87

,k k k k k

A B A BA B

q p p q

Costanti del moto: 0F

t

, 0F H

( , , )F F p q t

{ , },

{ , } ( )i i i i i

dF FF H

dt t

F FF

p

H

pq qH

H

+

Rivediamo le parentesi di Poisson classiche

87

Buoni numeri quantici= quantita’ conservate, H=costante

ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, 0 Se 0,basta , 0

dQ Q i QH Q H Q

dt t t

+

88

2

ˆ2

pH V x

m +

22ˆ , ,ˆ ,

2 2

i i p iH x x p x

mx

m

,ˆ , 22 2

+ i i p

p p x p x p i pm m

xm

1

, , ( ),ˆ

i i p i d dVH x H V x i

m m dx mx

dx

anche in meccanica quantistica!F ma

Esempio: particella in un potenziale in 1d

ˆ ˆdVF

dxm x

88 ma non si cerca piu’ la legge oraria, il senso e’ diverso.

89

Orologi atomici: meglio di 1s in un milione di anni. Utili ad esempio per il

gps. Bisogna usare stati atomici eccitati che hanno vita lunga, e quindi

energia e frequenza ben definita.

Di solito di usa una riga molto stretta del Cs

Nel 2015 il laboratorio di metrologia quantistica di Riken in giappone ha

costruito un orologio che sbaglia di 1 sec ogni 15 miliardi di anni.

in evidente analogia con

in ambedue i casi e’ una proprieta’ della trasformata di Fourier:

tagliando un pezzo di una sinusoide la frequenza non e’ piu’ ben

definita

ˆ

2

E it

E t

. L’energia e’ legata alla frequenza e misure precise di energia richiedono tempo

89

2

p ix

p x

Principio di indeterminazione energia-tempo

La probabilita’ quantistica predice la distribuzione di risultati di molte misure fatte su campioni diversi. La necessita’ di campioni diversi e’ evidente se si considera il collasso della funzione d’onda. Questo problema si potrebbe evitare se si disponesse di un solo campione ma si fosse capaci di farne molte copie identiche.

90

Indispensabile avere molti campioni ?

Clonatrice quantistica1 2

1 2

Stato iniziale della clonatrice con lo stato da clonare

e stati , ,

da trasformare in copie:

.

Qui, rappresenta lo stato della clonatrice e dell'ambiente.

Alla fine questo deve di

n

ns E

E

a a a

a a a

ventare

.

Qui e' modificato dall'operatore di evoluzione:

U s E

E E E

Clonare un sistema quantistico Abbiamo un sistema A in stato che dipende da certi gradi di liberta' q .

Clonarlo significa prendere un sistema B in uno stato che dipende anch'esso dagli stessi

gradi di liberta' q e trasformarl

AA

B

B

e

y

o in capo a un tempo t in una copia di .B A

y y

†

Essenzialmente la ragione e' che si parte

con uno stato tale che 1

e si vuole far evolvere finche'

( ) ( ) 1.

l'operatore di evoluzione e' unitario

( ) ( ) (0) (0) .

t t

Ma

t t U U

a a

a

a a a

Clonatrice quantistica

No cloning theorem Wootters, W.K. and Zurek, W.H.: A Single Quantum Cannot be Cloned. Nature 299

(1982), pp. 802-803. Questo non si puo’ fare.

Questo argomento semplice e’ un po’

incompleto perche’ non tiene conto

della evoluzione della clonatrice.

1 2

1 2

Stato iniziale della clonatrice con lo stato da clonare

e stati , ,

da trasformare in copie:

.

Qui, rappresenta lo stato della clonatrice e dell'ambiente.

Alla fine questo deve di

n

ns E

E

a a a

a a a

ventare

.

Qui e' modificato dall'operatore di evoluzione:

U s E

E E E

No cloning theorem

Per aggiustare l’argomento si pensa di clonare due stati diversi,

e y e confrontare I r isultati

Clonatrice quantistica

1 2

Se caricassimo la clonatrice con un altro stato sarebbe

.

Alla fine questo dovrebbe diventare

.

ns E

U s E

y

y y

y

y a a a

y y y y

†

Avremmo all'inizio.

Alla fine questo overlap dovrebbe diventare .n

s s

s U U s E E

y

y y

y

y

1

Ma U deve essere unitario, quindi l'overlap finale deve essere uguale a quello iniziale.

Viene: .

1 per ogni n naturale.

Ma | | 1 e questo non puo' essere.

n

n

E E

E E

y

y

y y

y

y

Quindi U non esiste.

Confronto dei risultati: come evolve l’overlap

1 2Clonazione di : .ns E U s E a a a

94

No broadcasting theorem

Dato uno stato in uno spazio di Hilbert H non e' possibile trasformarlo in uno stato

in uno spazio di Hilbert H H.

E' un corollario del no cloning theorem.

A

A A

y

y y

Se siamo in possesso di un solo campione non possiamo farne copie e quindi non potremo (in generale) conoscere lo stato del nostro unico campione!

Non solo bisogna ripetere la misura su molti

campioni!

Vedremo che questo teorema evita un contrasto grave fra meccanica quantistica e relativita’.

95

Richard Feynman (New York, 1918-1988)

95

96

t

q2

t1

q1

t2

q

Cammini virtuali: formulazione di Feynman

della Meccanica Quantistica

I diversi cammini virtuali non sono alternativi

ma interferiscono. Il peso di un cammino

iSe' proporzionale a exp[ ], dove S e' l'azione.

La somma sui cammini (path integral) e' delicata

dal punto di vista matematico.

96

You are joking, Mr Feynman!

Somma delle ampiezze

su tutti i cammini= path integral