Teoria della relatività-1 17 dicembre 2012

Postulati della teoria

Sincronizzazione degli orologi

Relatività della simultaneità (approccio qualitativo)

Trasformazioni di Galileo e di Lorentz, trasformazioni inverse

Spazio-tempo, quadri-vettori

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Fondamenti

• La teoria della relatività si fonda su due postulati

• Il principio di relatività: le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali

• La costanza della velocità della luce nel vuoto: ha lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali

333

Fondamenti

• Il secondo postulato significa che esiste una velocità limite massima per la trasmissione di segnali

• Esso distingue la fisica classica, in cui non esiste un limite massimo alla velocità, da quella relativistica

• Ha come conseguenza la relatività della simultaneità per sistemi inerziali in moto relativo

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Sincronizzazione degli orologi

• Per poter eseguire misure di grandezze fisiche in un sistema di riferimento (inerziale) è indispensabile che gli orologi di osservatori posti in luoghi diversi del sistema siano tra loro sincronizzati

• Bisogna quindi trovare una procedura di sincronizzazione adeguata

555

Sincronizzazione degli orologi

• Consideriamo due punti P1 e P2 del sistema S

• Per sincronizzare gli orologi si può procedere come segue

• Si misura la distanza L tra i due punti

• Si invia un segnale luminoso, ad es. da P1 verso P2 convenendo che al momento dell’invio da P1 il tempo dell’orologio in P1 sia posto uguale a zero e che al momento della ricezione in P2 il tempo dell’orologio in P2 sia posto uguale a

L

c

666

Sincronizzazione degli orologi

• Supponiamo che l’osservatore (cioè lo sperimentatore) si trovi nel punto O di un sistema inerziale S e riceva un segnale da un punto differente P di S, distante L da O

• Se vuole conoscere quando il segnale è stato spedito deve sottrarre al tempo segnato dal proprio orologio nell’istante della ricezione il tempo di percorrenza

• E quindi a parità di tempo di ricezione, il tempo di invio è tanto più indietro nel passato, quanto più P è lontano O

tinvio P tricezione O L

c

777

Sincronizzazione degli orologi

• Il ritmo degli orologi è però uguale nei diversi punti di S

• La sincronizzazione è indispensabile per poter definire la simultaneità di due eventi che avvengono in punti differenti dello spazio

tP tP(2) tP

(1) tO(2)

L

c

tO

(1) L

c

tO

O P

888

Misure di lunghezza• La sincronizzazione è necessaria per eseguire misure di

lunghezza di oggetti in movimento• Infatti, affinche’ la misura sia sensata, occorre che la

posizione degli estremi sia misurata simultaneamente

• Poiché, come vedremo, la simultaneità dipende dal sistema di riferimento, ne segue che misure di uno stesso oggetto effettuate in sistemi in moto relativo, danno risultati diversi

v

xx1 x2

999

Relatività della simultaneità

• È conseguenza della finitezza della velocità limite

• Supponiamo di avere due sistemi, S e S’, in moto relativo con velocità v

• In ciascun sistema ci sia un regolo, a riposo, e disposto parallelamente al moto

vS’

S

101010

Relatività della simultaneità

• Supponiamo di essere gli osservatori del sistema S e di trovarci in O

• Supponiamo che un fulmine colpisca il nostro regolo (in S) nel punto A (e il regolo di S’ nel punto A’) e un secondo fulmine colpisca il nostro regolo nel punto B (e l’altro regolo nel punto B’)

• A e B siano equidistanti da O

vA’ B’ S’

SOA B

A’ B’

111111

Relatività della simultaneità

• Poiché siamo equidistanti dai punti A e B, possiamo dire che i due fulmini hanno colpito simultaneamente se (e solo se) riceviamo la loro luce in O nello stesso istante

• Se questo è il caso, allora possiamo concludere che per l’osservatore O’ in S’, posto a metà tra i punti A’ e B’ i due eventi non sono simultanei

S’

SOA B

O’A’ B’

121212

Relatività della simultaneità • Questo è dovuto al fatto che mentre la luce si muove da

A e B verso O’, con velocità c, O’ si muove a sinistra con velocità v, allontanandosi da A e avvicinandosi a B

vS’

SO

O’

A B

vS’O’

SOA B

vS’O’

SOA B

t0

t1

t2

131313

Relatività della simultaneità

• L’osservatore in O’ riceverà quindi prima il segnale da B’ e successivamente quello da A’

• Trovandosi a metà strada dai due punti, ne conclude che l’evento in B’ è antecedente a quello in A’ cioè gli eventi, simultanei in S, non lo sono in S’

• È chiaro che se la luce avesse velocità infinita, essa raggiungerebbe sia O che O’, sia da dx che da sx, in un tempo nullo, e quindi i due eventi sarebbero simultanei sia in S che in S’

vS’

SO

O’

A

A’

B

B’

141414

Trasformazione di coordinate

• Per semplicità consideriamo due sistemi inerziali S(x,y,z,t) e S’ (x’,y’,z’,t’) i cui assi siano paralleli e il cui moto relativo con velocità v avvenga lungo la direzione comune dell’asse x, x’

x

y

z

x’

y’

z’

v

151515

Trasformazioni di Galileo

• In fisica classica le trasformazioni di coordinate tra i due sistemi inerziali sono quelle di Galileo

tt

zz

yy

vtxx

'

'

'

'

• L’ultima eq. stabilisce il fatto che in fisica classica il tempo è assoluto, cioè non dipende dal sistema di riferimento

161616

Trasformazioni di Lorentz

• In relativita`, dai due postulati della teoria si deduce un insieme di trasformazioni di coordinate di tipo diverso, le trasformazioni di Lorentz (TdL)

• ove

xc

vtt

zz

yy

vtxx

2'

'

'

'

1

1 2

1

1 v

c

2

v

c

171717

Trasformazioni di Lorentz

• Le trasformazioni inverse per passare dal sistema S’ al sistema S si possono ottenere invertendo il sistema lineare precedente

• Si possono anche ottenere più semplicemente osservando che S si muove con velocità -v rispetto a S’

''

'

'

''

2x

c

vtt

zz

yy

vtxx

181818

Trasformazioni di Lorentz

• Queste eqq. diventano più simmetriche se si introduce la variabile x0=ct, nel qual caso, dette x1=x, x2=y, x3=z, abbiamo

33

22

101

100

'

'

'

'

xx

xx

xxx

xxx

x0 '

x1'

x2 '

x3 '

0 0

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

x0x1x2x3

L

x0x1x2x3

• E in forma matriciale

• Ove L è la matrice associata alla TdL

191919

Spazio-tempo

• Possiamo introdurre uno spazio astratto a quattro dimensioni (lo spazio-tempo) e considerare la quaterna (x0, x1, x2, x3) come un vettore in tale spazio, ovvero un quadri-vettore (o 4-vettore)

• Le TdL trasformano le componenti di questo vettore tra loro, in particolare ‘mescolano’ lo spazio e il tempo