LA TEORIA DELLA RELATIVITÁ - Mario Sandri · la teoria della relatività • Contribuire a...

UNIVERSITArsquo DEGLI STUDI DI TRENTO SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE ALLrsquoINSEGNAMENTO SECONDARIO

INDIRIZZO SCIENTIFICO MATEMATICO FISICO INFORMATICO

classe A049 matematica e fisica

Unitagrave didattica

LA TEORIA DELLA

RELATIVITAacute

Dott Mario Sandri

Matricola 117039

Anno Accademico 20052006

La teoria della Relativitagrave Mario Sandri

INDICE DEI CONTENUTI

Pagina 4 Destinatari

Pagina 4 Prerequisiti

Pagina 4 Accertamento dei prerequisiti

Pagina 5 Obiettivi

Pagina 5 Obiettivi generali

Pagina 5 Obiettivi trasversali

Pagina 6 Obiettivi specifici

Pagina 6 Conoscenze (obiettivi cognitivi)

Pagina 6 Competenze (obiettivi operativi)

Pagina 6 Capacitagrave (obiettivi metacognitivi)

Pagina 7 Sviluppo dei contenuti

Pagina 8 La vita e le opere di Albert Einstein

Pagina 8 Primi anni di vita

Pagina 9 La sua opera scientifica

Pagina 12 Gli ultimi anni di vita

Pagina 14 La teoria della Relativitagrave

Pagina 14 Scopo della relativitagrave

Pagina 16 Relativitagrave speciale

Pagina 18 I postulati della relativitagrave speciale

Pagina 20 La relativitagrave del tempo e la dilatazione del tempo

Pagina 24 Viaggi spaziali e invecchiamento biologico

Pagina 24 Il decadimento del muone

Pagina 25 Esempio

Pagina 25 Esempio

Pagina 26 Esempio

Pagina 27 Esempio

Pagina 29 La relativitagrave delle lunghezze e la contrazione delle lunghezze

Pagina 32 Esempio

Pagina 33 La composizione relativistica delle velocitagrave

Pagina 35 Esempio

Pagina 35 Esempio

Pagina 2


Pagina 37 Quantitagrave di moto e massa relativistiche

Pagina 40 Esempio

Pagina 40 Esempio

Pagina 42 Energia relativistica ed E = mc2

Pagina 43 Materia e antimateria

Pagina 44 Energia cinetica relativistica

Pagina 46 Esempio

Pagina 46 Esempio

Pagina 47 Esempio

Pagina 48 LrsquoUniverso relativistico

Pagina 49 Lrsquoesperimento di Michelson-Morley

Pagina 52 Il principio di equivalenza e la curvatura dello spazio-tempo

Pagina 53 Relativitagrave generale

Pagina 55 Cosmologia

Pagina 58 Metodologie didattiche

Pagina 58 Materiali e strumenti utilizzati

Pagina 59 Controllo dellrsquoapprendimento

Pagina 59 Valutazione

Pagina 59 Recupero e approfondimento

Pagina 59 Tempi dellrsquointervento didattico

Pagina 60 Bibliografia

Pagina 3


DESTINATARI

Questa unitagrave didattica egrave rivolta a studenti del 5deg anno del Liceo Scientifico e del Liceo

Scientifico PNI

PREREQUISITI

bull Conoscere i fondamenti della meccanica

bull Conoscere i fondamenti dellrsquoelettromagnetismo

bull Conoscere i fondamenti della meccanica galileiana

bull Conoscere la terminologia fisica

bull Conoscere la composizione dei moti

bull Conoscere i moti relativi

bull Conoscere il concetto di spazio tempo e velocitagrave

bull Conoscere le derivate

bull Saper fare calcoli letterari

bull Saper fare calcoli numerici

ACCERTAMENTO DEI PREREQUISITI

Questa unitagrave didattica prevede che lrsquoalunno abbia completamente acquisito nelle unitagrave didattiche

precedenti le conoscenze e le competenze sui concetti fondamentali della meccanica e sulla

terminologia specifica della disciplina noncheacute su concetti fondamentali dellrsquoelettromagnetismo

della cinematica quali composizione dei moti spazio e tempo e della matematica quali il calcolo

letterale e numerico

Come accertamento dei prerequisiti si accettano i risultati delle verifiche sommative delle unitagrave

didattiche precedenti pur ritenendo necessario condurre una lezione dialogata durante la quale

lrsquoinsegnante verifica ulteriormente le conoscenze ponendo alcune domande opportune

Alcuni punti essenziali e di strategica importanza sono da rivedere integrare e rinforzare in

classe durante la prima ora dellrsquounitagrave didattica con modalitagrave dialogica-interattiva Gli studenti

carenti in determinati argomenti saranno invitati entro la successiva lezione a rivedere le

tematiche in questione

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OBIETTIVI

Obiettivi generali

bull Acquisire le conoscenze competenze e capacitagrave previste dallrsquounitagrave didattica per lrsquoargomento

la teoria della relativitagrave

bull Contribuire a sviluppare e soddisfare lrsquointeresse degli studenti per la fisica in generale e per

la meccanica in particolare

bull Saper utilizzare consapevolmente procedure matematiche nellrsquoambito fisico

bull Riconoscere il contributo dato dalla meccanica allo sviluppo delle scienze umane

bull Migliorare lrsquoabilitagrave di lettura di eventi fisici evidenziando in tal senso anche capacitagrave critiche

bull Motivare gli alunni ad attivitagrave di studio teorico degli aspetti quotidiani della fisica

bull Contribuire a rendere gli studenti in grado di affrontare situazioni problematiche di natura

meccanica avvalendosi dei modelli piugrave adatti alla loro rappresentazione

bull Condurre ad un appropriato utilizzo del lessico specifico della fisica e a saper argomentare

con proprietagrave di espressione e rigore logico

bull Sviluppare il senso critico e la capacitagrave di correggere errori

bull Acquisire unrsquoadeguata conoscenza e comprensione dei contenuti proposti insieme alla

consapevolezza del proprio stile di apprendimento

bull Possedere e migliorare il metodo di studio

bull Abituare ad un metodo autonomo di lavoro consolidando la capacitagrave progettuale ed

organizzativa

Obiettivi trasversali

bull Educare gli alunni ad un comportamento corretto e responsabile verso compagni ed

insegnanti e al rispetto reciproco nei rapporti interpersonali

bull Sviluppare attitudine alla comunicazione favorendo lo scambio di opinioni tra docente e

allievo e tra allievi

bull Proseguire ed ampliare il processo di preparazione scientifica e culturale degli studenti

bull Contribuire a sviluppare lo spirito critico e lrsquoattitudine a riesaminare criticamente ed a

sistemare logicamente le conoscenze acquisite

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Obiettivi specifici

Conoscenze (obiettivi cognitivi)

bull Conoscere le trasformazioni di Lorentz

bull Conoscere i postulati della relativitagrave speciale

bull Conoscere la dilatazione dei tempi

bull Conoscere la contrazione delle lunghezze

bull Conoscere la composizione delle velocitagrave relativistica

bull Conoscere la quantitagrave di moto relativistica

bull Conoscere la relazione tra massa ed energia

bull Conoscere lrsquoenergia cinetica relativistica

Competenze (obiettivi operativi)

bull Saper determinare le trasformazioni delle coordinate

bull Saper determinare la velocitagrave relativa relativistica

bull Saper determinare la dilatazione del tempo

bull Saper determinare la contrazione della lunghezza

bull Saper determinare la quantitagrave di moto relativistica

bull Saper determinare lrsquoenergia cinetica relativistica

Capacitagrave (obiettivi metacognitivi)

bull Riconoscere la stretta analogia tra relativitagrave e mondo fisico

bull Acquisire la capacitagrave di leggere ed interpretare fenomeni del mondo reale e fisico

applicando le competenze matematiche acquisite

bull Saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite per risolvere problemi

bull Essere in grado di riconoscere in contesti diversi la presenza di fenomeni relativistici

ed essere in grado di trarre informazioni sul fenomeno che rappresentano utilizzando

le conoscenze e competenze acquisite

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SVILUPPO DEI CONTENUTI

There was this huge world out there independent of us human beings and standing before

us like a great eternal riddle at least partly accessible to our inspection and thought The

contemplation of that world beckoned like a liberation

It is almost a miracle that modern teaching methods have not yet entirely strangled the

holy curiosity of inquiry for what this delicate little plant needs more than anything

besides stimulation is freedom

When the Special Theory of Relativity began to germinate in me I was visited by all sorts

of nervous conflicts I used to go away for weeks in a state of confusion

It followed from the special theory of relativity that mass and energy are both but different

manifestations of the same thing -- a somewhat unfamiliar conception for the average mind

Furthermore the equation E is equal to m c-squared in which energy is put equal to mass

multiplied by the square of the velocity of light showed that very small amounts of mass may be

converted into a very large amount of energy and vice versa The mass and energy were in fact

equivalent according to the formula mentioned before This was demonstrated by Cockcroft and

Walton in 1932 experimentally

The physicist cannot simply surrender to the philosopher the critical contemplation of the

theoretical foundations for he himself knows best and feels most surely where the shoe

pinches he must try to make clear in his own mind just how far the concepts which he

uses are justified The whole of science is nothing more than a refinement of everyday

thinking

Dear Mother -- Good news today HA Lorentz has wired me that the British expeditions

have actually proved the light deflection near the sun

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LA VITA E LE OPERE DI ALBERT EINSTEIN

Il fisico Albert Einstein nato in Germania poi cittadino svizzero e quindi statunitense (Ulm

Wuumlrttemberg 1879 - Princeton New Jersey 1955) contribuigrave piugrave di qualsiasi altro scienziato alla

moderna visione della realtagrave fisica del sec XX Sulla scia degli eventi della prima guerra mondiale

le teorie di Einstein specialmente la sua teoria della relativitagrave sembrarono a molte persone la via

per giungere a una qualitagrave di pensiero libera e incontaminata che la guerra e le sue conseguenze

avevano praticamente eliminato Raramente uno scienziato ha suscitato tanto interesse nellrsquoopinione

pubblica per la sua dedizione allrsquoaccrescimento della conoscenza

Primi anni di vita

Quando Einstein era bambino i suoi genitori ebrei non osservanti si trasferirono da Ulm a

Monaco di Baviera La sua famiglia si occupava della fabbricazione di apparecchi elettrici ma nel

1894 la ditta falligrave e quindi gli Einstein andarono a vivere a Milano Fu in questo periodo che Albert

Einstein decise ufficialmente di rifiutare la sua cittadinanza tedesca Lrsquoanno seguente senza aver

ancora terminato la scuola secondaria Einstein non riuscigrave a superare lrsquoesame di ammissione a un

corso di ingegneria elettrica presso lrsquoIstituto federale svizzero per la tecnologia (il Politecnico di

Zurigo) Passograve quindi lrsquoanno successivo nei pressi di Aarau frequentando la scuola secondaria

cantonale dove trovograve insegnanti eccellenti e ottime opportunitagrave per lo studio della fisica Einstein

tornograve quindi nel 1896 al Politecnico di Zurigo dove ebbe tra i suoi maestri il fisico Hermann

Minkowski e dove nel 1900 conseguigrave il diploma per lrsquoinsegnamento della matematica e della fisica

nelle scuole secondarie Nel 1901 assunta la cittadinanza svizzera si sposograve con una studentessa di

origine serba Dopo circa due anni ottenne un posto allrsquoufficio brevetti svizzero di Berna Il lavoro

lo occupava molto ma proprio durante questo periodo dal 1902 al 1909 Einstein pubblicograve una

sorprendente serie di articoli di fisica teorica scrivendo la maggior parte di questi lavori nei ritagli

di tempo e senza avere la possibilitagrave di contatti con la letteratura scientifica e con altri fisici teorici

Einstein presentograve uno di questi scritti allrsquoUniversitagrave di Zurigo per il conseguimento del dottorato

che ottenne nel 1905 Tre anni piugrave tardi spedigrave un secondo lavoro allrsquoUniversitagrave di Berna diventando

libero docente o lettore di quella Universitagrave Infine lrsquoanno successivo Einstein ricevette un

incarico di professore associato di fisica allrsquoUniversitagrave di Zurigo Nel 1909 Einstein fu riconosciuto

studioso e pensatore scientifico di primo piano in tutta lrsquoEuropa di lingua tedesca In rapida

successione tenne insegnamenti di fisica allrsquoUniversitagrave tedesca di Praga e al Politecnico di Zurigo

Nel 1914 arrivograve a ricoprire lrsquoincarico piugrave prestigioso e meglio retribuito che un fisico teorico

potesse ottenere in Europa professore alla Kaiser Wilhelm Gesellschaft di Berlino Sebbene

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Einstein avesse un doppio incarico di insegnamento allrsquoUniversitagrave di Berlino da questo periodo in

poi non tenne piugrave alcun corso universitario regolare Rimase perograve allrsquointerno dellrsquoUniversitagrave fino al

1933 e da quellrsquoanno fino al 1955 anno della sua morte ricoprigrave un equivalente incarico di ricerca

presso lrsquoInstitute for Advanced Study di Princeton New Jersey

La sua opera scientifica

Nel primo dei tre lavori pubblicati nel 1905 Einstein esaminograve il fenomeno scoperto da Max

Planck per il quale lrsquoenergia elettromagnetica sembra essere emessa dagli oggetti radianti in

quantitagrave discrete Lrsquoenergia di queste entitagrave i cosiddetti quanti di luce era direttamente

proporzionale alla frequenza della radiazione Questa circostanza dava abbastanza da pensare

percheacute la teoria elettromagnetica classica basata sulle equazioni di Maxwell e sulle leggi della

termodinamica aveva stabilito che lrsquoenergia elettromagnetica consisteva in onde propagantisi in un

mezzo che pervade tutto lo spazio ldquolrsquoetere luminifero e che le onde avrebbero potuto contenere

quantitagrave qualsiasi di energia anche quantitagrave comunque piccole Einstein utilizzograve lrsquoipotesi

quantistica di Planck per descrivere la radiazione elettromagnetica visibile cioegrave la luce Secondo il

pensiero euristico di Einstein la luce puograve essere immaginata come formata da particelle discrete di

radiazione Einstein si servigrave poi di questa interpretazione per spiegare lrsquoeffetto fotoelettrico per il

quale certi metalli emettono elettroni quando vengono colpiti da radiazioni luminose di determinate

frequenze Questa teoria e la sua seguente elaborazione sviluppata dallo scienziato stesso ha

costituito la base di gran parte della meccanica quantistica Il secondo dei lavori che Einstein

pubblicograve nel 1905 una memoria negli Annalen der Physik intitolata Zur Elektrodynamik bewegter

Koumlrper nella quale erano esposti i principi della sua teoria oggi nota della relativitagrave ristretta che

doveva sconvolgere le concezioni della fisica classica gettando le basi per una nuova impostazione

delle ricerche scientifiche la teoria si basa sul principio che le leggi fisiche devono essere le stesse

per ogni sistema di riferimento inerziale e che la velocitagrave della luce nel vuoto egrave una costante ed egrave

indipendente da quella della sorgente luminosa Einstein in quel periodo era a conoscenza della

teoria dellrsquoelettrone sviluppata da Hendrick Antoon Lorentz secondo la quale la massa di un

elettrone aumenta se la sua velocitagrave si avvicina a quella della luce Inoltre Einstein sapeva che la

teoria dellrsquoelettrone basata sulle equazioni di Maxwell presupponeva lrsquoesistenza dellrsquoetere ma che

i tentativi fatti per determinarne le proprietagrave fisiche non avevano avuto successo Einstein perciograve

formulograve lrsquoipotesi che le equazioni che descrivono il moto di un elettrone possano in effetti

descrivere il moto non accelerato di qualsiasi particella e di qualsiasi corpo opportunamente definito

come rigido Basograve la sua nuova cinematica sulla reinterpretazione del principio di relativitagrave classico

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cioegrave che le leggi della fisica devono avere la stessa forma in qualsiasi sistema di riferimento Come

seconda ipotesi fondamentale Einstein suppose che la velocitagrave della luce rimanesse costante in tutti i

sistemi di riferimento come era previsto dalla teoria maxwelliana classica e abbandonograve lrsquoipotesi

dellrsquoetere cosmico dato che non aveva alcun ruolo nella sua cinematica e nella sua

reinterpretazione della teoria dellrsquoelettrone di Lorentz Una conseguenza della teoria di Einstein egrave il

fenomeno della dilatazione del tempo per cui il tempo analogamente a ciograve che avviene per la

lunghezza e la massa egrave funzione della velocitagrave del sistema di riferimento Alcuni mesi piugrave tardi ma

sempre nel 1905 Einstein elaborograve la teoria secondo la quale in un certo senso massa ed energia

sono equivalenti Einstein non fu il primo a proporre tutti gli elementi che facevano parte della

teoria della relativitagrave speciale ma fu il primo a unificare importanti enunciazioni della meccanica

classica e dellrsquoelettrodinamica maxwelliana Il terzo lavoro di Einstein pubblicato nel 1905

riguardava la meccanica statistica un campo di studio elaborato tra gli altri da Ludwig Boltzmann e

Josiah Willard Gibbs Senza conoscere le ricerche di Gibbs Einstein sviluppograve il lavoro di

Boltzmann e calcolograve la traiettoria media di una particella microscopica urtata in collisioni casuali

dalle molecole di un fluido o di un gas Einstein osservograve che i suoi calcoli potevano spiegare il

fenomeno del moto browniano cioegrave il movimento disordinato del polline immerso in un liquido

osservato per la prima volta dal botanico inglese Robert Brown Il lavoro di Einstein dimostrograve

lrsquoesistenza di molecole di dimensioni atomiche esistenza che aveva giagrave dato origine a numerose

discussioni teoriche I suoi risultati furono ottenuti indipendentemente anche dal fisico polacco

Marian von Smoluchowski e piugrave tardi vennero rielaborati dal fisico francese Jean Perrin Grazie a

tale teoria fu possibile ottenere una diversa e diretta valutazione del numero di Avogadro Questi

studi gli valsero la nomina a professore ordinario di fisica teorica presso lrsquouniversitagrave tedesca di

Praga (1911-1912) e poi quella di professore ordinario di matematiche superiori presso il

politecnico di Zurigo (1912-1913) nel 1913 senza rinunciare alla cittadinanza svizzera accettograve

lrsquoincarico per lrsquoinsegnamento della fisica e della matematica presso lrsquoAccademia delle scienze

prussiana nel 1914 si stabiligrave definitivamente in Germania e nello stesso anno succedette a J E

Vanrsquot Hoff nella direzione del Kaiser Wilhelm Institut a Berlino passograve quindi a seconde nozze con

una sua cugina

Dopo il 1905 Einstein continuograve a lavorare in tutti e tre questi campi Contribuigrave largamente agli

sviluppi della teoria quantistica ma cercograve soprattutto di ampliare la teoria della relativitagrave speciale

estendendola ai fenomeni concernenti lrsquoaccelerazione La chiave per questa elaborazione vide la

luce nel 1907 con lrsquoenunciazione del principio di equivalenza secondo il quale lrsquoaccelerazione

gravitazionale non si puograve distinguere a priori dallrsquoaccelerazione causata da forze meccaniche la

massa gravitazionale egrave perciograve identica alla massa inerziale Einstein elevograve questo principio che egrave

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implicito nelle teorie di Isaac Newton a principio guida del suo tentativo di spiegare sia

lrsquoaccelerazione elettromagnetica che quella gravitazionale come facenti parte di un unico insieme di

leggi fisiche Cosigrave nel 1907 propose che se la massa egrave equivalente allrsquoenergia il principio di

equivalenza richiede che la massa gravitazionale interagisca con la massa apparente della radiazione

elettromagnetica compresa quella della radiazione luminosa Nel 1911 Einstein fu in grado di

prevedere che un raggio di luce proveniente da una stella lontana passando vicino al Sole viene

attratto e leggermente deviato in direzione della massa solare Allo stesso modo la luce che si

irradia dal Sole interagisce con la massa solare e il risultato di questa interazione egrave una leggera

variazione dello spettro ottico solare verso la sua estremitagrave infrarossa A questo punto Einstein

sapeva anche che ogni nuova teoria della gravitazione avrebbe dovuto tenere conto di una piccola

ma persistente anomalia del moto del pianeta Mercurio intorno al Sole Verso il 1912 Einstein iniziograve

una nuova fase delle sue ricerche sulla gravitazione con lrsquoaiuto del matematico Marcel Grossman

suo amico per riformulare le sue teorie utilizzando il calcolo tensoriale elaborato da Tullio Levi-

Civita e Gregorio Ricci-Cubastro Il calcolo tensoriale facilitava enormemente i calcoli nello

spazio-tempo a quattro dimensioni Einstein ricavograve questa nozione da unrsquoelaborazione matematica

della sua teoria della relativitagrave speciale fatta da Hermann Minkowski Nel 1916 nella memoria

intitolata Die Grundlagen der allgemeinen Relativitaumltstheorie espose in forma definitiva la sua

teoria della relativitagrave generale dove in base al postulato dellrsquoequivalenza fra tutti i sistemi inerziali

e non inerziali formulograve una nuova teoria della gravitazione in cui il campo gravitazionale generato

da ogni corpo materiale egrave rappresentato come una modificazione delle proprietagrave geometriche dello

spazio fisico Come conseguenza di ciograve la geometria euclidea risultograve insufficiente a descrivere le

leggi secondo le quali i corpi si comportano nello spazio infatti la curvatura dello spazio

ipotizzata dalla teoria induce a considerare la retta il piano e le altre entitagrave geometriche il principio

drsquoinerzia e le altre leggi classiche della teoria newtoniana della gravitazione universale come casi

limite validi solo con grandissima approssimazione per lo spazio del nostro sistema planetario La

formulazione matematica della teoria fu possibile in quanto Einstein adottograve la nuova matematica

non euclidea formulata da Riemann In essa il campo gravitazionale era espresso da equazioni

covarianti percheacute cosigrave come per le equazioni di Maxwell le equazioni del campo assumono la

stessa forma in tutti i sistemi di riferimento equivalenti Dimostrando la propria validitagrave fin

dallrsquoinizio le equazioni covarianti del campo fornirono il moto osservato di Mercurio intorno al

Sole La teoria della relativitagrave generale di Einstein nella sua forma originale egrave stata verificata in

numerose occasioni e in particolar modo nelle spedizioni per le eclissi solari le quali permisero di

verificare la previsione di Einstein per la deflessione della luce dovuta al campo gravitazionale

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Gli ultimi anni di vita

Quando le spedizioni inglesi in occasione dellrsquoeclissi solare del 29 marzo 1919 confermarono

le previsioni di Einstein lo scienziato venne lungamente celebrato dalla stampa popolare Anche la

sua etica personale aveva acceso lrsquoimmaginazione della gente Einstein che dopo il suo ritorno in

Germania nel 1914 non richiese la cittadinanza tedesca rifiutata anni prima entrograve a far parte del

piccolo gruppo di professori tedeschi pacifisti che non appoggiava la politica degli armamenti della

Germania Dopo la fine della guerra quando gli alleati vittoriosi tendevano a escludere gli scienziati

tedeschi dagli incontri internazionali Einstein un ebreo che viaggiava con passaporto svizzero fu

considerato accettabile come rappresentante tedesco La sua visione politica di pacifista e sionista

lo fece entrare in conflitto con i conservatori tedeschi che lo bollarono di tradimento e disfattismo I

riconoscimenti pubblici tributati alla sua teoria della relativitagrave gli valsero anche negli anni Venti

furiosi attacchi da parte dei fisici antisemiti Johannes Stark e Philipp Lenard uomini che dopo il

1932 cercarono di fondare in Germania la cosiddetta fisica ariana Le circostanze in cui Einstein

ricevette il premio Nobel nel 1921 dimostrano come la teoria della relativitagrave rimanesse discutibile e

controversa per i fisici piugrave rigidi e chiusi infatti il premio fu assegnato ad Einstein non per la

relativitagrave ma per il suo lavoro del 1905 sullrsquoeffetto fotoelettrico Con lrsquoavvento del nazismo in

Germania Einstein si trasferigrave negli Stati Uniti e abbandonando il suo pacifismo convenne sia pure

con riluttanza che il nuovo stato di cose poteva essere cambiato soltanto con la forza delle armi In

questo contesto Einstein inviograve una lettera al presidente Roosevelt con la quale lo spingeva a

istituire un programma di ricerca per la realizzazione della bomba atomica prima che lo facesse la

Germania La lettera scritta dallrsquoamico di Einstein Leo Szilard fu uno dei molti scambi di opinioni

avuti tra Einstein e la Casa Bianca e contribuigrave alla decisione di Roosevelt di fondare il progetto

Manhattan Sebbene fosse considerato dallrsquoopinione pubblica un eroe delle cause impopolari come

la sua opposizione negli anni Cinquanta alla Commissione sulle attivitagrave antiamericane del senatore

McCarthy le sue iniziative a favore del disarmo nucleare le maggiori energie di Einstein erano

comunque rivolte ancora ai problemi della fisica Allrsquoetagrave di 59 anni quando altri fisici teorici

avevano ormai abbandonato da tempo le ricerche scientifiche originali Einstein insieme ai suoi

collaboratori Leopold Infeld e Banesh Hoffmann giunse a nuovi e importanti risultati nella teoria

della relativitagrave Fino al termine della sua vita Einstein cercograve di elaborare una teoria unificata dei

campi con la quale i fenomeni della gravitazione e dellrsquoelettromagnetismo potessero essere derivati

da un unico gruppo di equazioni Pochi fisici seguirono la strada di Einstein negli anni dopo il 1920

dato che la loro attenzione fu attirata piugrave della fisica quantistica che dalla relativitagrave Da parte sua

Einstein non riuscigrave mai ad accettare la nuova meccanica quantistica con il suo principio di

indeterminazione formulato da Werner Heisenberg ed elaborata in un nuovo modello

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epistemologico da Niels Bohr Sebbene le ultime idee di Einstein siano state abbandonate per

diversi anni adesso i fisici si stanno dedicando seriamente e con grande impegno alla realizzazione

del sogno di Einstein una grande unificazione delle teorie fisiche Nel 1950 pubblicograve unrsquoappendice

alla terza edizione del suo libro The Meaning of Relativity in cui formulava alcune ipotesi sul

problema cosmologico affermando tra lrsquoaltro che lrsquoasserzione di un inizio dellrsquoespansione

dellrsquouniverso va considerata solo una singolaritagrave in senso matematico che lo spazio

quadridimensionale egrave isotropo rispetto a tre dimensioni che lrsquouniverso va inteso come unrsquoentitagrave

finita in espansione che lrsquoetagrave dellrsquouniverso egrave maggiore di quella della Terra (ipotesi questa poi

confermata) Nel 1953 pubblicograve una seconda appendice alla stessa opera con la quale esponeva i

principi di una generalizzazione della teoria della relativitagrave (teoria del campo unificato) mediante

cui erano legate in una sola relazione le teorie della gravitazione e dellrsquoelettromagnetismo il che

ricondurrebbe a un unico sistema tutti i fenomeni fisici macroscopici Non fu possibile per Einstein

giungere a controllare lrsquoesattezza delle sue formulazioni poicheacute non esiste una matematica in grado

di risolvere il sistema di equazioni proposto per la verifica sperimentale della nuova teoria

Convinto della giustezza delle sue idee lo scienziato finigrave con lrsquoisolarsi dalla maggior parte dei

fisici che egli giudicava soggetti a una concezione statica della materia e legati allrsquointerpretazione

probabilistica dei fenomeni fisici da lui ritenuta pur essendone uno degli ideatori non

soddisfacente Per la genialitagrave delle sue concezioni per la profonditagrave di pensiero per lrsquoinflusso

esercitato su intere generazioni di studiosi Einstein deve essere considerato uno dei maggiori se

non il piugrave grande scienziato di tutti i tempi

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LA TEORIA DELLA RELATIVITArsquo

La teoria della relativitagrave di Albert Einstein ha dato origine alla piugrave grande rivoluzione nel campo

della fisica e della astronomia del sec XX Essa ha introdotto nel pensiero scientifico il concetto di

relativitagrave (la nozione che nellrsquouniverso non vi egrave nessun moto assoluto ma soltanto moto relativo)

sostituendo in tal modo la teoria della meccanica di Isaac Newton formulata 200 anni prima

Einstein ha mostrato che noi non viviamo in uno spazio euclideo piatto e nel tempo assoluto e

uniforme dellrsquoesperienza quotidiana ma in un ambiente diverso lo spazio-tempo curvo La teoria

ha giocato un ruolo importante negli sviluppi della fisica che hanno portato allrsquoera nucleare (con

tutte le sue potenzialitagrave sia per quanto riguarda i benefici che per quanto riguarda le distruzioni) e

che hanno reso possibile una comprensione del microcosmo delle particelle elementari e delle loro

interazioni Essa ha anche rivoluzionato il nostro punto di vista sulla cosmologia con le sue

predizioni di fenomeni astronomici apparentemente strani come a esempio il big bang le stelle di

neutroni i buchi neri e le onde gravitazionali

Scopo della relativitagrave

La teoria della relativitagrave egrave unrsquounica teoria che comprende la teoria dello spazio-tempo della

gravitazione e della meccanica Essa tuttavia egrave generalmente considerata come formata di due parti

separate teoricamente indipendenti la relativitagrave speciale o ristretta e la relativitagrave generale Un

motivo di questa divisione egrave senzrsquoaltro il fatto che Einstein presentograve la relativitagrave speciale nel 1905

mentre la relativitagrave generale non venne pubblicata nella sua forma finale fino al 1916 Unrsquoaltra

ragione risiede nei campi di applicazione molto diversi delle due parti della teoria la relativitagrave

speciale nel campo della fisica microscopica la relativitagrave generale nel campo dellrsquoastrofisica e della

cosmologia Un terzo motivo risiede nel fatto che i fisici hanno accettato e compreso la relativitagrave

speciale fin dagli inizi degli anni Venti Essa divenne rapidamente uno strumento di lavoro per i

teorici e per gli sperimentatori nei campi allora nascenti della fisica atomica e nucleare e della

meccanica quantistica Questa rapida accettazione non ebbe luogo tuttavia per la relativitagrave

generale La teoria infatti non sembrograve avere lo stesso diretto collegamento con lrsquoesperienza come la

teoria speciale la maggior parte delle sue applicazioni si avevano su scala astronomica ed essa si

limitava in apparenza ad aggiungere minuscole correzioni alle previsioni della teoria della

gravitazione di Newton il suo influsso sulla cosmologia non si sarebbe sentito per un altro decennio

ancora Inoltre il livello di comprensione della matematica che interveniva nella teoria era portato

a un grado di difficoltagrave estremamente alto Allrsquoastronomo inglese sir Arthur Eddington uno dei

primi a comprendere interamente la teoria nei suoi dettagli fu chiesto una volta se era vero che

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soltanto tre persone al mondo comprendevano la relativitagrave generale Si dice che egli avesse risposto

Chi egrave la terza Questo stato di cose perdurograve per quasi quarantrsquoanni La teoria della relativitagrave

generale veniva considerata un argomento di grande impegno adatto non per i fisici ma per i

matematici puri e per i filosofi Verso il 1960 tuttavia cominciograve a rinascere un notevole interesse

per la relativitagrave generale che in tal modo egrave diventata una branca importante della fisica e

dellrsquoastronomia (nel 1977 la battuta di Eddington venne ricordata a una conferenza sulla relativitagrave

generale alla quale erano presenti piugrave di 800 ricercatori in quel campo) Questo sviluppo ha le sue

radici in primo luogo nellrsquoapplicazione iniziata attorno al 1970 di nuove tecniche matematiche

allo studio della relativitagrave generale Tali tecniche hanno semplificato in modo ragguardevole i

calcoli e hanno permesso di estrarre dalla complessitagrave matematica i concetti fisici significativi In

secondo luogo tale sviluppo egrave dovuto alla scoperta di fenomeni astronomici fuori del comune in cui

la relativitagrave generale poteva giocare un ruolo importante tra questi si includono i quasar (1963) il

fondo di radiazione a microonde a 3 K (1965) le pulsar (1967) e la probabile scoperta dei buchi

neri (1971) Inoltre il rapido sviluppo tecnologico degli anni Sessanta e Settanta ha fornito ai fisici

sperimentali nuovi strumenti di alta precisione per verificare se la teoria della relativitagrave generale

fosse la corretta teoria della gravitazione La distinzione tra la relativitagrave speciale e lo spazio tempo

curvo della relativitagrave generale egrave in larga misura una questione di gradualitagrave In realtagrave la relativitagrave

speciale egrave unrsquoapprossimazione allo spazio tempo curvo valida in regioni dello spazio-tempo

sufficientemente piccole nella stessa maniera in cui la superficie totale di una mela egrave curva anche

se una piccola regione di essa puograve essere considerata approssimativamente piatta Perciograve la relativitagrave

speciale puograve venire usata ogni volta che la scala dei fenomeni studiati egrave piccola in confronto alla

scala su cui la curvatura dello spazio-tempo (gravitazione) comincia a manifestarsi Per la maggior

parte delle applicazioni nella fisica atomica o nucleare questrsquoapprossimazione egrave cosigrave accurata che la

relativitagrave speciale puograve considerarsi esatta in altre parole si puograve ammettere che la gravitagrave sia

completamente assente Da questo punto di vista la relativitagrave speciale e tutte le sue conseguenze

possono venire dedotte da un unico semplice postulato In presenza della gravitagrave tuttavia puograve

manifestarsi la natura approssimata della relativitagrave speciale stessa e quindi egrave necessario introdurre il

principio di equivalenza per determinare la maniera in cui la materia si comporta nello spazio tempo

curvo Infine per capire in che modo lo spazio-tempo viene incurvato dalla presenza della materia

egrave necessario applicare la relativitagrave generale

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Relativitagrave speciale

I due concetti fondamentali della relativitagrave speciale sono il sistema inerziale e il principio di

relativitagrave Un sistema di riferimento inerziale egrave una qualsiasi regione dello spazio come a esempio

un laboratorio in caduta libera in cui tutti i corpi si muovono in linea retta con velocitagrave uniforme

Tale regione egrave esente da effetti di gravitazione e viene detta sistema galileiano Il principio di

relativitagrave postula che il risultato di un qualsiasi esperimento fisico eseguito allrsquointerno di un

laboratorio in un sistema inerziale egrave indipendente dalla velocitagrave uniforme del sistema stesso In altre

parole le leggi della fisica devono avere la stessa forma in qualsiasi sistema inerziale Un corollario

che ne discende egrave che la velocitagrave della luce deve essere la stessa in ogni sistema inerziale (dal

momento che la misura della velocitagrave della luce egrave un esperimento fisico) indipendentemente dalla

velocitagrave della sorgente e da quella dellrsquoosservatore In definitiva tutte le leggi e tutte le conseguenze

della relativitagrave generale possono venir dedotte da questi concetti La prima conseguenza importante

egrave la relativitagrave della simultaneitagrave Poicheacute una definizione operativa di eventi simultanei in punti

diversi dello spazio implica lrsquoinvio di segnali luminosi tra essi si deduce che due eventi simultanei

in un sistema inerziale possono non essere simultanei quando sono osservati da un sistema di

riferimento che risulti in moto relativo rispetto al primo Questa conclusione ha permesso di

rigettare il concetto newtoniano di un tempo assoluto e universale Unrsquoaltra conseguenza della

relativitagrave egrave che la legge di trasformazione che permette il passaggio dalle coordinate x y z t di un

sistema di riferimento inerziale alle coordinate xrsquo yrsquo zrsquo trsquo di un altro sistema di riferimento che si

muove con velocitagrave v rispetto al primo (a esempio nella direzione x) non egrave piugrave la legge di

trasformazione galileiana bensigrave la trasformazione di Lorentz dove c egrave la velocitagrave della luce

(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc

minus⎧ =⎪⎪ minus⎪⎪ =⎪⎪⎨ =⎪ sdot⎪ minus⎪ =⎪⎪ minus⎪⎩

Questa legge di trasformazione fu ottenuta nel 1895 da Hendrik A Lorentz come risultato del

suo lavoro sullrsquoelettromagnetismo e sulla teoria degli elettroni Einstein dimostrograve che tale legge era

Pagina 16


una proprietagrave fondamentale dello spazio tempo Un effetto previsto dalle trasformazioni di Lorentz

egrave la contrazione di Fitzgerald-Lorentz che consiste in unrsquoapparente diminuzione della lunghezza di

una bacchetta in movimento rispetto a una bacchetta identica in quiete Questo effetto fu proposto

per la prima volta nel 1892 da George F Fitzgerald allo scopo di spiegare lrsquoinsuccesso

dellrsquoesperimento di Michelson e Morley eseguito nel 1887 per rivelare la dipendenza della velocitagrave

della luce dal moto della Terra attraverso il cosiddetto etere cioegrave il mezzo nel quale si pensava che

la luce dovesse propagarsi Einstein puntualizzograve che il principio di relativitagrave rendeva superfluo il

concetto di etere dal momento che il risultato di Michelson e Morley poteva venire spiegato usando

un qualsiasi sistema di riferimento inerziale Un altro effetto della relativitagrave speciale egrave lrsquoapparente

dilatazione degli intervalli temporali misurati da un orologio in movimento rispetto a quelli misurati

da un orologio in quiete Questa dilatazione temporale egrave stata confermata con un elevato grado di

precisione da numerosi esperimenti eseguiti in laboratorio compreso uno del 1966 in cui dei muoni

instabili (mesoni mu) che si muovevano a una velocitagrave di 0997 c avevano una vita media

esattamente 12 volte piugrave lunga di quella dei muoni a riposo Quando si modifica la meccanica di

Newton che egrave invariante per una trasformazione di Galileo per renderla invariante per una

trasformazione di Lorentz si ottiene come conseguenza che la quantitagrave di moto di una particella la

cui massa di riposo egrave m non egrave piugrave mv ma la massa della particella aumenta con il progressivo

aumentare della sua velocitagrave Questo aumento relativistico dellrsquoinerzia impedisce alle particelle di

venire accelerate fino e oltre alla velocitagrave della luce Tale effetto egrave stato osservato innumerevoli

volte negli acceleratori di particelle ad alta energia Einstein ha inoltre mostrato che ciograve che in un

sistema di riferimento inerziale appare come energia si puograve manifestare come massa in un altro

sistema di riferimento quindi entrambe sono manifestazioni della stessa entitagrave e sono collegate fra

loro dalla famosa equazione E = mcsup2 Le piugrave importanti conseguenze e conferme della relativitagrave

speciale emergono in varie maniere quando essa viene associata alla meccanica quantistica si

hanno in tal modo molte previsioni in accordo con gli esperimenti come a esempio lo spin delle

particelle elementari la struttura fine dellrsquoatomo lrsquoantimateria ecc I fondamenti matematici della

relativitagrave speciale vennero posti nel 1908 dal matematico tedesco Hermann Minkowski che

introdusse il concetto di uno spazio-tempo quadridimensionale nel quale il tempo cioegrave la quarta

dimensione dello spazio-tempo di Minkowski egrave trattato alla stessa stregua delle tre dimensioni

dello spazio

Pagina 17


I postulati della relativitagrave speciale

Puograve sorprenderci il fatto che la teoria della relativitagrave di Einstein sia basata su due semplici

postulati e che lrsquoalgebra sia lrsquounica conoscenza matematica richiesta per ottenere i risultati piugrave

importanti

I postulati della relativitagrave ristretta formulati da Einstein possono essere espressi nel seguente

modo

bull Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali

bull La velocitagrave della luce nel vuoto c = 300 108 ms egrave la stessa in tutti i sistemi di riferimento

inerziali ed egrave indipendente dal moto della sorgente e da quello dellrsquoosservatore

Il primo postulato egrave sicuramente ragionevole Ricordiamo che un sistema di riferimento

inerziale egrave un sistema nel quale valgono le leggi del moto di Newton In particolare un corpo sul

quale non agiscono forze ha unrsquoaccelerazione nulla in tutti i sistemi inerziali Il primo postulato di

Einstein non fa altro che estendere questa nozione di sistema inerziale per coprire tutte le leggi della

fisica comprese quelle della termodinamica dellrsquoelettricitagrave del magnetismo e delle onde

elettromagnetiche Per esempio un esperimento di meccanica eseguito sulla superficie della Terra

(che approssimativamente possiamo considerare un sistema inerziale) fornisce gli stessi risultati che

fornirebbe se fosse fatto a bordo di un aereo che viaggia a velocitagrave costante Inoltre il

comportamento del calore dei magneti e dei circuiti elettrici egrave il medesimo sullrsquoaereo e a terra

Tutti i sistemi di riferimento inerziali si muovono lrsquouno rispetto allrsquoaltro con velocitagrave costante

(che vuol dire accelerazione nulla) Quindi la teoria della relativitagrave ristretta egrave ldquoristrettardquo nel senso

che limita le considerazioni a sistemi non accelerati Il caso piugrave generale nel quale viene preso in

considerazione il moto accelerato egrave lrsquoargomento della teoria della relativitagrave generale Nel caso della

Terra le accelerazioni associate al suo moto orbitale e di rotazione sono abbastanza piccole da poter

essere trascurate nella maggior parte degli esperimenti Perciograve salvo avviso contrario

considereremo la Terra e i corpi in movimento con velocitagrave costante rispetto a essa come sistemi di

riferimento inerziali

Il secondo postulato della relativitagrave egrave meno intuitivo del primo In particolare esso stabilisce che

la luce viaggia nel vuoto sempre alla stessa velocitagrave c indipendentemente dal fatto che la sorgente

oppure lrsquoosservatore siano in movimento Per comprendere le implicazioni di questa affermazione

consideriamo per un momento le onde nellrsquoacqua Immaginiamo un osservatore fermo rispetto

allrsquoacqua e due sorgenti A e B in movimento che generano onde Sia le onde prodotte da A sia

quelle prodotte da B una volta generate viaggiano alla velocitagrave caratteristica va delle onde

Pagina 18


nellrsquoacqua Perciograve lrsquoosservatore vede una velocitagrave delle onde che egrave indipendente dalla velocitagrave della

sorgente proprio come postulato per la luce Per contro supponiamo che lrsquoosservatore sia in moto

con una velocitagrave v rispetto allrsquoacqua Se lrsquoosservatore si muove verso destra e le onde dellrsquoacqua si

muovono verso sinistra con velocitagrave va le onde passano davanti allrsquoosservatore con velocitagrave v + va

Analogamente se anche le onde dellrsquoacqua si muovono verso destra lrsquoosservatore troveragrave che

viaggiano a una velocitagrave v - va Chiaramente il fatto che lrsquoosservatore sia in moto rispetto al mezzo

nel quale viaggiano le onde (in questo caso lrsquoacqua) ci fa capire che la velocitagrave osservata delle onde

nellrsquoacqua dipende dalla velocitagrave dellrsquoosservatore

Prima della teoria della relativitagrave di Einstein era generalmente accettato che una simile

situazione valesse anche per le onde luminose In particolare si pensava che la luce si propagasse

attraverso un ipotetico mezzo chiamato etere luminifero o piugrave brevemente ldquoetererdquo che permeava

tutto lo spazio Dato che la Terra ruota intorno al suo asse a circa 1500 kmh e orbita intorno al Sole

con una velocitagrave di circa 100000 kmh ne consegue che deve muoversi rispetto allrsquoetere Se ciograve egrave

vero deve essere possibile rivelare questo moto misurando la velocitagrave della luce che si propaga in

direzioni diverse come nel caso delle onde nellrsquoacqua I fisici americani AA Michelson (1852-

1931) ed E W Morley (1838-1923) condussero dal 1883 al 1887 a questo scopo esperimenti

estremamente precisi Non riuscirono a rivelare alcuna differenza nella velocitagrave della luce Piugrave

recenti e accurati esperimenti hanno portato alla medesima conclusione permettendoci di affermare

che il secondo postulato della relativitagrave egrave una descrizione accurata del comportamento della luce

Per vedere quanto possa essere poco intuitivo il secondo postulato esaminiamo la seguente

situazione Un raggio di luce si propaga verso destra con velocitagrave c rispetto ad un osservatore fermo

Un secondo osservatore si muove anchrsquoesso verso destra con velocitagrave 09 c Sebbene sembri

naturale pensare che il secondo osservatore veda il raggio di luce passare a una velocitagrave di solo 01

c non egrave cosigrave Egli come tutti gli osservatori in sistemi di riferimento inerziali vede il raggio

viaggiare con la velocitagrave della luce c Perchegrave le osservazioni fatte siano valide cioegrave perchegrave entrambi

gli osservatori misurino la stessa velocitagrave della luce il comportamento dello spazio e quello del

tempo quando le velocitagrave si avvicinano a c devono essere diversi dallrsquoesperienza quotidiana

Questo egrave quanto avviene effettivamente come vedremo in dettaglio Nelle situazioni quotidiane la

fisica descritta dalle leggi di Newton egrave perfettamente adeguata In effetti le leggi di Newton sono

valide per velocitagrave molto piccole mentre la teoria della relativitagrave di Einstein fornisce risultati

corretti per tutte le velocitagrave da zero alla velocitagrave della luce

Poicheacute tutti gli osservatori inerziali misurano la stessa velocitagrave della luce essi hanno tutti

ugualmente ragione quando affermano di essere in quiete Per esempio il primo osservatore del

caso precedente puograve dire di essere in quiete e che lrsquoaltro osservatore si sta muovendo con velocitagrave di

Pagina 19


09 c verso destra Anche questrsquoosservatore egrave ugualmente nel giusto quando afferma di essere in

quiete e che il primo osservatore egrave in moto verso sinistra con velocitagrave di 09 c Dal punto di vista

della relativitagrave entrambi hanno ragione Non esiste una quiete assoluta o un moto assoluto ma

soltanto un moto rispetto a qualcosrsquoaltro Infine osserviamo che non avrebbe senso per il secondo

osservatore avere una velocitagrave maggiore di quella della luce Se fosse cosigrave non sarebbe possibile

per la luce sorpassare lrsquoosservatore tanto meno sorpassarlo con la velocitagrave c Perciograve concludiamo

che la massima velocitagrave nellrsquoUniverso egrave la velocitagrave della luce

La relativitagrave del tempo e la dilatazione del tempo

Generalmente pensiamo che il tempo fluisca in avanti a velocitagrave costante come ci suggerisce la

nostra esperienza di tutti i giorni Tuttavia non egrave cosigrave quando abbiamo a che fare con velocitagrave che si

avvicinano alla velocitagrave della luce Se per esempio osservassimo una navicella spaziale che si

muove rispetto a noi con una velocitagrave di 05 c vedremmo che gli orologi nella navicella sono

rallentati rispetto al nostro anche se sono identici in tutti gli altri aspetti

Per calcolare la differenza tra un orologio in movimento e uno in quiete consideriamo

ldquolrsquoorologio a lucerdquo In questo orologio un ciclo inizia quando viene emesso un lampo di luce dalla

sorgente S la luce percorre la distanza d fino allo specchio dove viene riflessa torna indietro per

una distanza d fino al rivelatore D e fa partire il lampo successivo Potremmo pensare che ogni

viaggio di andata e ritorno di un raggio di luce sia un ldquoticrdquo dellrsquoorologio

Iniziamo con il calcolare lrsquointervallo di tempo fra i tic di questo orologio quando egrave in quiete

cioegrave quando la sua velocitagrave rispetto allrsquoosservatore egrave nulla Poicheacute la luce percorre una distanza 2d

con una velocitagrave costante c il tempo fra due tic egrave

02dtc

∆ =

Lrsquoindice 0 indica che lrsquoorologio egrave in quiete (v = 0 ms) nel momento in cui effettuiamo la misura

Al contrario consideriamo lo stesso orologio a luce che si muove con una velocitagrave v La luce

ora deve seguire un percorso a zigzag per completare un tic Poicheacute questo percorso egrave piugrave lungo di

2d e la velocitagrave egrave sempre la stessa per quanto affermato dal secondo postulato della relativitagrave il

tempo fra due tic deve essere maggiore di ∆t0 Poicheacute il tempo fra due tic egrave maggiore lrsquoorologio

rallenta Chiamiamo questo fenomeno dilatazione del tempo percheacute lrsquointervallo fra due tic egrave

Pagina 20


aumentato cioegrave dilatato Per calcolare il tempo dilatato ∆t osserviamo che nel tempo ∆t2

lrsquoorologio si egrave mosso orizzontalmente di un tratto v∆t2 che egrave a metagrave fra la posizione iniziale e

quella finale (cioegrave alla fine del tic) La distanza percorsa dalla luce in tale tempo egrave c∆t2

Applicando il teorema di Pitagora a questo triangolo troviamo la relazione seguente

2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ricaviamo il tempo ∆t

2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus

Ricordando che 02dtc

∆ = possiamo legare tra loro i due intervalli di tempo come segue

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

Osserviamo che per v = 0 ms ∆t = ∆t0 come deve essere Per velocitagrave v che sono maggiori di

zero ma minori di c il denominatore nellrsquoultima equazione egrave minore di 1 Di conseguenza ∆t egrave

maggiore di ∆t0 Infine a mano a mano che la velocitagrave v si avvicina alla velocitagrave della luce

osserviamo che il denominatore dellrsquoequazione tende a zero e lrsquointervallo di tempo ∆t tende

allrsquoinfinito Questo comportamento egrave illustrato in figura sottostante dove egrave mostrato il rapporto

∆t∆t0 in funzione del rapporto della velocitagrave vc Il fatto che ∆t tenda allrsquoinfinito significa che

occorre un tempo infinito per avere un tic in altre parole a mano a mano che v si avvicina a c

lrsquoorologio rallenta fino a fermarsi Chiaramente quindi la velocitagrave della luce fornisce un limite

superiore naturale alla possibile velocitagrave di un corpo La relazione egrave valida per qualsiasi tipo di

orologio e non solo per quelli a luce Se non fosse cosigrave se cioegrave orologi differenti funzionassero a

velocitagrave differenti quando sono in moto a velocitagrave costante sarebbe violato il primo postulato della

relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0

Introduciamo alcuni termini comunemente utilizzati in relativitagrave Innanzitutto un evento egrave un

avvenimento fisico che accade in uno specificato posto in uno specificato istante In tre dimensioni

per esempio specifichiamo un evento fornendo i valori delle coordinate x y e z e del tempo t Se

due eventi accadono nello stesso posto ma in momenti diversi lrsquointervallo di tempo fra di essi

viene detto tempo proprio

Il tempo proprio egrave lrsquointervallo di tempo che separa due eventi che avvengono nello stesso posto

Il tempo proprio fra i tic di un orologio a luce per esempio egrave il tempo fra una emissione di luce

(evento 1) e la sua rivelazione (evento 2) quando lrsquoorologio egrave in quiete rispetto allrsquoosservatore

Perciograve ∆t0 nellrsquoequazione precedente egrave il tempo proprio e ∆t egrave il corrispondente tempo quando

lrsquoorologio si muove rispetto allrsquoosservatore con velocitagrave v

Nelle situazioni della vita quotidiana le velocitagrave non raggiungono mai valori nemmeno prossimi

a metagrave della velocitagrave della luce la massima velocitagrave che un essere umano puograve ragionevolmente

raggiungere al giorno drsquooggi egrave la velocitagrave dello Space Shuttle in orbita Questa velocitagrave egrave ldquosolordquo

7700 ms circa ovvero 28000 kmh Sebbene questa sia una velocitagrave considerevole egrave ancora

soltanto 139000 della velocitagrave della luce

Per trovare la dilatazione del tempo in un caso come questo non possiamo sostituire

semplicemente v = 7700 ms nellrsquo equazione poicheacute una normale calcolatrice probabilmente non ha

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abbastanza cifre decimali per fornire la risposta corretta Infatti se proviamo a fare questo calcolo

otteniamo un risultato sbagliato ∆t uguale a ∆t0 Troveremo la risposta giusta utilizzando lo

sviluppo in serie e riscrivendo lrsquoequazione nel seguente modo

2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus

Sostituendo la velocitagrave dello Space Shuttle e la velocitagrave della luce troviamo

( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s

minus⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥∆ asymp ∆ + = ∆ + sdot⎜ ⎟sdot⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

33 10

Perciograve un orologio a bordo dello Space Shuttle va piugrave lentamente di un fattore 100000000033 Con

questo ritmo occorrono almeno 100 anni percheacute lrsquoorologio sullo Shuttle perda 1 s rispetto a un

orologio sulla Terra Chiaramente una differenza di tempo cosigrave piccola non puograve essere misurata con

un orologio normale perciograve negli ultimi anni sono stati costruiti orologi atomici con una

precisione sufficiente per poter effettuare un test diretto sulla relativitagrave

I fisici JC Hafele e RE Keating hanno effettuato nel 1971 questo test mettendo un orologio

atomico a bordo di un jet e un altro identico in quiete in laboratorio Dopo aver fatto volare

lrsquoorologio in moto per molte ore i ricercatori trovarono che era andato piugrave lentamente di quello

lasciato nel laboratorio La differenza misurata nei tempi era in accordo con la previsione della

relativitagrave Oggi se viene trasportato un orologio atomico da un posto a un altro bisogna tener conto

degli effetti relativistici della dilatazione del tempo altrimenti lrsquoorologio forniragrave un tempo inferiore

a quello corretto

Un altro aspetto della dilatazione del tempo egrave il fatto che osservatori diversi sono in disaccordo

sulla simultaneitagrave Per esempio supponiamo che lrsquoosservatore 1 noti che due eventi in posizioni

diverse avvengono nello stesso istante Per lrsquoosservatore 2 che si muove rispetto allrsquoosservatore 1

con velocitagrave v questi stessi due eventi non sono simultanei Perciograve per osservatori diversi la

relativitagrave non solo cambia il modo di fluire del tempo ma cambia anche lrsquointervallo di tempo che

separa due eventi

Pagina 23


Viaggi spaziali e invecchiamento biologico

Finora abbiamo discusso della dilatazione del tempo applicandola solamente agli orologi ma

questi non sono gli unici oggetti che mostrano una dilatazione del tempo Infatti la dilatazione

relativistica del tempo vale in modo uguale per tutti i processi fisici incluse le reazioni chimiche e

le funzioni biologiche

Un astronauta che viaggia nello spazio invecchia piugrave lentamente di uno sulla Terra e

precisamente dello stesso fattore che vale per un orologio che trovandosi sulla nave spaziale va piugrave

lentamente di uno in quiete Per lrsquoastronauta tuttavia il tempo sembra scorrere come al solito

Il decadimento del muone

Un esempio particolarmente interessante di dilatazione del tempo riguarda particelle

subatomiche chiamate muoni che vengono create dalla radiazione cosmica nellrsquoalta atmosfera

terrestre Un muone egrave una particella instabile infatti un muone a riposo in media esiste soltanto per

circa 22 10-6 s prima di decadere Supponiamo per esempio che un muone venga creato a

unrsquoaltitudine di 5 km rispetto alla superficie della Terra se viaggia verso il suolo con una velocitagrave

di 0995 c puograve coprire soltanto una distanza di 657 m prima di decadere Potremmo quindi

concludere che i muoni prodotti a grandi altitudini non possono raggiungere la superficie terrestre

Invece un gran numero di muoni raggiunge effettivamente il suolo La ragione egrave che essi

invecchiano molto lentamente a causa del loro moto

Pagina 24


Esempio

Una nave spaziale che trasporta un orologio a luce si muove con una velocitagrave di 0500 c rispetto

a un osservatore che si trova sulla Terra Secondo questo osservatore quanto tempo occorre

allrsquoorologio sulla nave spaziale per avanzare di 1 secondo

Soluzione

Sostituendo ∆t = 100 s e v = 0500 c nellrsquoequazione otteniamo

( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus

Anche a questa alta velocitagrave lrsquoeffetto relativistico egrave abbastanza piccolo solo il 15 circa

Esempio

Lrsquoastronauta Luigi viaggia verso Vega la quinta stella piugrave luminosa nel cielo notturno

lasciando la sua sorella gemella Stefania di 35 anni sulla Terra Luigi viaggia con una velocitagrave di

0990 c e Vega egrave a 264 anni-luce dalla Terra Trova

a) quanto dura il viaggio dal punto di vista di Stefania

b) lrsquoetagrave che avragrave Luigi quando arriveragrave su Vega

Soluzione

I due eventi salienti di questo problema sono la partenza dalla Terra e lrsquoarrivo su Vega Per

Stefania questi due eventi avvengono chiaramente in due luoghi diversi Ne consegue che

lrsquointervallo di tempo per lei egrave ∆t e non il tempo proprio ∆t0 Per Luigi invece i due eventi

avvengono nello stesso posto cioegrave fuori dalla porta dellrsquoastronave (in effetti dal punto di vista di

Luigi lrsquoastronave egrave in quiete e le stelle sono in moto) Pertanto lrsquointervallo di tempo misurato da

Luigi egrave il tempo proprio ∆t0 Infine ∆t e ∆t0 sono legati dallrsquoequazione vista precedentemente

(Ricordiamo che un anno-luce egrave la distanza percorsa dalla luce che viaggia alla velocitagrave c in un

anno cioegrave 1 anno-luce = c 1 anno)

Lrsquoastronave copre la distanza d in un tempo ∆t con una velocitagrave v = 0990 c Utilizzando v = d∆t0

per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus

Sostituiamo v = 0990 c e ∆t = 267 anni per trovare ∆t0

( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c

∆ = ∆ minus = minus = a

Quando Luigi raggiunge Vega ha solo 388 anni mentre Stefania che egrave rimasta sulla Terra ha 617

anni Dal punto di vista di Luigi il viaggio egrave durato 377 anni a una velocitagrave di 0990 c Di

conseguenza egli direbbe che la distanza percorsa nel viaggio verso Vega era soltanto (377 anni)

(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio

Un astronauta che viaggia con velocitagrave v rispetto alla Terra misura i battiti del suo cuore e

trova che hanno un intervallo di 0850 s ll controllo missione sulla Terra che sta monitorando le

attivitagrave del suo cuore osserva un battito ogni 14 s Calcola la velocitagrave dellrsquoastronauta rispetto alla

Terra

Pagina 26


Soluzione

Identifichiamo il tempo proprio ∆t0 e il tempo dilatato ∆t0

∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆

Sostituiamo i valori numerici

0795v c=

Esempio

Consideriamo i muoni che viaggiano verso la Terra con una velocitagrave di 0995 c dal punto in cui

sono stati creati a unrsquoaltitudine di 500 km

a) Trova la loro vita media assumendo che un muone a riposo abbia una vita media di 22 10-6

s

b) Calcola la distanza media che questi muoni possono percorrere prima di decadere

Soluzione

I due eventi da considerare in questo caso sono la creazione del muone e il decadimento del

muone Dal punto di vista di un osservatore sulla Terra questi due eventi avvengono in posizioni

diverse Ne consegue che il tempo corrispondente egrave ∆t Dal punto di vista del muone la Terra si

muove verso di esso che egrave fermo a una velocitagrave di 0995 c Quindi per il muone i due eventi

avvengono nello stesso posto e il tempo fra essi egrave ∆t0 = 220 10-6 s Possiamo trovare il tempo ∆t

Sostituiamo v = 0995c e ∆t0 = 220 10-6 s

Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus

Moltiplichiamo v = 0995 c per il tempo ∆t = 220 10-6 s per trovare la distanza media percorsa

( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m

La dilatazione relativistica del tempo consente ai muoni di percorrere uno spazio circa 10 volte

maggiore (6570 m invece di 657 m) di quello che ci aspettiamo da una fisica non relativistica Il

risultato egrave che i muoni vengono rilevati sulla superficie terrestre

Pagina 28


La relativitagrave delle lunghezze e la contrazione delle lunghezze

Cosigrave come viene alterato il tempo per un osservatore in moto con una velocitagrave vicina a quella

della luce altrettanto succede per le lunghezze Per esempio un metro che si muove con una

velocitagrave di 05 c apparirebbe in modo evidente piugrave corto di un metro in quiete A mano a mano che

la velocitagrave del metro si avvicina a c la sua lunghezza diminuisce fino a zero

Per vedere percheacute le lunghezze si contraggono e per calcolare lrsquoentitagrave della contrazione

ricordiamo lrsquoesempio dei gemelli Luigi e Stefania e il viaggio verso Vega Dal punto di vista di

Stefania sulla Terra il viaggio di Luigi egrave durato 267 anni e ha percorso una distanza di (0990 c)

(267 anni) = 264 anni-luce Dal punto di vista di Luigi invece il viaggio dura solo 377 anni

Poicheacute entrambi i gemelli concordano sulla loro velocitagrave relativa Luigi nel suo viaggio percorre

una distanza di solo (0990 c) (377 anni) = 373 anni-luce Perciograve dal punto di vista dellrsquoastronauta

la Terra e Vega si muovono a una velocitagrave di 0990 c e la distanza fra essi non egrave 264 anni-luce ma

373 anni-luce Questo egrave un esempio di contrazione delle lunghezze

In generale vogliamo determinare la lunghezza contratta L di un corpo che si muove con una

velocitagrave v Quando un corpo egrave a riposo (v = 0 ms) diciamo che la sua lunghezza egrave la lunghezza

propria L0

La lunghezza propria egrave la distanza fra due punti misurata da un osservatore che egrave in quiete rispetto

a loro

Nellrsquoesempio precedente Stefania egrave in quiete rispetto alla Terra e a Vega Di conseguenza la

distanza fra i due gemelli che lei stessa misura egrave la lunghezza propria cioegrave L0 = 264 anni-luce La

lunghezza contratta L = 373 anni-luce egrave quella misurata da Luigi Come per i tempi misurati per il

viaggio spaziale dal punto di vista di Stefania i due eventi (lrsquoevento 1 = partenza dalla Terra

lrsquoevento 2 = arrivo a Vega) avvengono in posti diversi Di conseguenza lei misura il tempo dilatato

∆t = 267 anni anche se misura la lunghezza propria L0 Al contrario Luigi misura il tempo

proprio ∆t0 = 377 anni e la lunghezza contratta L

Dobbiamo stare molto attenti nel determinare dalle definizioni date quale osservatore misura il

tempo proprio e quale osservatore misura la lunghezza propria e non si deve mai presumere che

per esempio poicheacute un osservatore misura il tempo proprio allora lo stesso osservatore misura

anche la lunghezza propria

Utilizzeremo ora queste osservazioni per ottenere unrsquo espressione generale che leghi L a L0 Per

cominciare notiamo che entrambi gli osservatori misurano la stessa velocitagrave relativa v Per Stefania

Pagina 29


la velocitagrave egrave v = L0∆t e per Luigi la velocitagrave egrave v = L∆t0 Uguagliando queste due velocitagrave

otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆

Ricavando L in funzione di L0 troviamo L = L0 (∆t0∆t) Infine se utilizziamo lrsquoequazione

vista precedentemente per esprimere ∆t in funzione di ∆t0 otteniamo la seguente relazione

2

0 21 vL Lc

= minus

Osserviamo che se nellrsquoequazione poniamo v = 0 ms troviamo L = L0 Se v si avvicina alla

velocitagrave della luce la lunghezza contratta tende a zero In generale la lunghezza di un corpo in

moto egrave sempre minore della sua lunghezza propria In figura egrave mostrata la lunghezza L di un metro

in funzione della velocitagrave v e vediamo di nuovo che la velocitagrave della luce egrave la massima velocitagrave

possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30


Riprendiamo per un attimo lrsquoesempio del muone visto precedentemente Illustriamo lrsquoeffetto

della contrazione delle lunghezze nel caso del muone che viaggia verso la superficie della Terra

Dal punto di vista di un osservatore sulla Terra il muone percorre una distanza di 5 km alla velocitagrave

di 0995 c e per coprire questa distanza deve vivere circa 10 volte piugrave a lungo di quando egrave a riposo

Dal punto di vista del muone la Terra si muove verso lrsquoalto con una velocitagrave di 0995 c e la

distanza che essa deve percorrere per raggiungere il muone egrave soltanto

( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m

c= minus = La Terra puograve facilmente coprire questa distanza durante la

vita media del muone che egrave di 22 micros

Possiamo concludere dicendo che la contrazione delle lunghezze che abbiamo calcolato con

lrsquoequazione precedente si riferisce soltanto a lunghezze nella direzione del moto relativo Le

lunghezze perpendicolari alla direzione del moto relativo non ne risentono

Il fatto che lunghezze in direzioni diverse si contraggano in modo differente ha effetti

interessanti sul modo con il quale un corpo che si muove rapidamente appare ai nostri occhi

Ulteriori effetti sono legati al tempo finito che impiega la luce ad arrivare agli occhi di un

osservatore provenendo dalle diverse parti del corpo

Pagina 31


Esempio

Trova la velocitagrave per la quale la lunghezza di un metro diventa 0500 m

Soluzione

L = 0500 m Il metro in quiete ha la sua lunghezza propria L0 = 100 m

Possiamo trovare la velocitagrave richiesta ricavando v dallrsquoequazione precedente e sostituendo i valori

dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =

Una persona che viaggia assieme al metro in movimento lo vede di una lunghezza pari alla sua

lunghezza propria di 100 m

Pagina 32


La composizione relativistica delle velocitagrave

Supponiamo di guidare unrsquoastronave nello spazio profondo viaggiando verso un asteroide con

una velocitagrave di 25 ms Per mandare un segnale a un collega sullrsquoasteroide attiviamo un fascio di

luce sulla punta dellrsquoastronave e lo puntiamo nella direzione del moto Poicheacute la luce nel vuoto

viaggia con la stessa velocitagrave relativa c rispetto a tutti gli osservatori inerziali la velocitagrave del fascio

luminoso rispetto allrsquoasteroide egrave semplicemente c e non c + 25 ms Chiaramente allora la semplice

addizione delle velocitagrave che sembra funzionare benissimo per le velocitagrave ordinarie della vita

quotidiana non egrave piugrave corretta

Il modo corretto di comporre le velocitagrave valido per tutti i valori delle velocitagrave da zero a c fu

ottenuto da Einstein Immaginiamo che lrsquoastronave si muova con velocitagrave v1 rispetto allrsquo asteroide

Se qualcosa si muove lungo la stessa direzione con una velocitagrave v2 rispetto allrsquo astronave la sua

velocitagrave v rispetto allrsquoasteroide egrave data dalla seguente espressione

1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

Nel caso precedente la velocitagrave dellrsquoastronave rispetto allrsquoasteroide egrave v1 e la velocitagrave del fascio

di luce rispetto allrsquoastronave egrave v1 = c Per trovare la velocitagrave del fascio di luce rispetto allrsquoasteroide

utilizziamo lrsquoequazione precedente

1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1

vcv v v c cv cv v v c v

c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=

Perciograve come ci aspettiamo sia lrsquoosservatore nellrsquoastronave sia quello sullrsquoasteroide misurano la

stessa velocitagrave per il fascio di luce indipendentemente dalla loro velocitagrave relativa v1

Lrsquoequazione fornisce il risultato corretto per un fascio di luce ma come funziona se viene

applicata a velocitagrave molto minori di quella della luce Supponiamo che una persona sullrsquoastronave

lanci una palla con una velocitagrave di 15 ms nella direzione dellrsquoasteroide Secondo la composizione

delle velocitagrave classica (non relativistica) la velocitagrave della palla rispetto allrsquoasteroide egrave 15 ms + 25

ms = 40 ms Lrsquoapplicazione dellrsquoequazione relativistica ci fornisce il seguente risultato

v = 3999999999999997ms

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Perciograve con entrambi i calcoli la velocitagrave della palla rispetto allrsquoasteroide egrave sempre 40 ms

Concludiamo quindi che il risultato classico v = v1 + v2 anche se non rigoroso per piccole velocitagrave

egrave appropriato

Per prendere maggiore confidenza con la composizione relativistica delle velocitagrave consideriamo

unrsquoastronave inizialmente in quiete che aumenta la sua velocitagrave di 01 c quando accende i suoi

razzi Allrsquoinizio la velocitagrave dellrsquoastronave cresce linearmente con il numero di accensioni dei razzi

come egrave indicato dalla linea blu in figura A mano a mano che la velocitagrave dellrsquoastronave si avvicina a

quella della luce le ulteriori accensioni dei razzi hanno sempre minore effetto come vediamo dalla

curva rossa In un tempo infinito con un infinito numero di accensioni dei razzi la velocitagrave

dellrsquoastronave si avvicina a c senza peraltro raggiungerla mai

0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Numero di accensioni razzi

vc

Nei seguenti esempi applicheremo la composizione relativistica delle velocitagrave a una serie di sistemi

fisici

Pagina 34


Esempio

Unrsquoastronave si avvicina a un asteroide con una velocitagrave di 0750 c Supponi che lrsquoastronauta

lanci verso lrsquoasteroide una sonda con una velocitagrave di 0800 c rispetto allrsquoastronave stessa qual egrave la

velocitagrave della sonda rispetto allrsquoasteroide

Soluzione

Sostituendo v1 = 0750 c e v2 = 0800 c nellrsquoequazione precedente otteniamo

( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1

v v c cv cv v c cc c

+ += = =

+ +

Come ci potevamo aspettare la velocitagrave rispetto allrsquoasteroide egrave minore di c

Esempio

Alla base stellare Faraway Point osservi due astronavi che si avvicinano provenendo dalla stessa

direzione Lrsquoastronave LaForge viaggia a una velocitagrave di 0606 c e la Picard a una velocitagrave di 0552

c Trova la velocitagrave della La Forge rispetto alla Picard

Soluzione

La chiave per risolvere un problema come questo egrave scegliere le velocitagrave v1 e v2 in modo

coerente Per esempio scegliamo v1 come velocitagrave della Picard rispetto alla base stellare v2 come

velocitagrave della LaForge rispetto alla Picard e v come velocitagrave della LaForge rispetto alla base

stellare Ricavando la velocitagrave incognita v2 dallrsquoequazione vista otteniamo il risultato voluto

Ricaviamo la velocitagrave v2

1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35


Sostituiamo v1 = 0552 c e v = 0606 c per trovare la velocitagrave v2 della LaForge rispetto alla Picard

( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus

Come verifica del nostro risultato osserviamo che la composizione relativistica della velocitagrave v1 =

0552 c con la velocitagrave v2 = 00811 c fornisce la velocitagrave v = 0606 c come previsto

Pagina 36


Quantitagrave di moto e massa relativistiche

Il primo postulato della relativitagrave afferma che le leggi della fisica sono le stesse per tutti gli

osservatori in tutti i sistemi di riferimento inerziali Fra le leggi piugrave importanti ricordiamo la

conservazione della quantitagrave di moto e la conservazione dellrsquoenergia in un sistema isolato

Se consideriamo lo strano modo in cui si sommano relativisticamente le velocitagrave non egrave

sorprendente che lrsquoespressione classica della quantitagrave di moto p = mv non valga per tutte le

velocitagrave Egrave noto che se una massa grande che viaggia a una velocitagrave v urta elasticamente una massa

piccola ferma la massa piccola acquista una velocitagrave 2v Chiaramente questo non puograve avvenire se

la velocitagrave della massa grande egrave maggiore di 05 c poicheacute la massa piccola non puograve avere una

velocitagrave finale maggiore della velocitagrave della luce Perciograve la relazione non relativistica p = mv deve

essere modificata per velocitagrave confrontabili con c

Con unrsquoanalisi dettagliata possiamo dimostrare che lrsquoespressione relativistica corretta della

quantitagrave di moto egrave

2

21

mvpvc

=

minus

A mano a mano che v si avvicina alla velocitagrave della luce la quantitagrave di moto relativistica (linea

rossa) diventa significativamente piugrave grande di quella classica (linea blu) divergendo allrsquoinfinito

quando v rarr c Per piccole velocitagrave i risultati classico e relativistico corrispondono

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0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p

Un modo conveniente di pensare alla quantitagrave di moto data dallrsquo equazione precedente egrave

considerare una massa che aumenta con la velocitagrave Supponiamo per esempio che un corpo abbia

una massa m0 quando egrave in quiete diciamo quindi che la sua massa a riposo egrave m0 Se la velocitagrave del

corpo egrave v la sua quantitagrave di moto egrave

0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟

minus minus⎜ ⎟⎝ ⎠

Se 2

0 21 vm mc

= minus rappresenta la massa relativistica possiamo scrivere la quantitagrave di moto nel

modo seguente

p mv=

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Perciograve lrsquoespressione classica della quantitagrave di moto puograve essere utilizzata per tutte le velocitagrave se

semplicemente interpretiamo la massa come qualcosa che aumenta con la velocitagrave secondo

lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus

Osserviamo che per v che tende a c m tende allrsquoinfinito Quindi una forza costante che agisce

su un corpo genera unrsquoaccelerazione a = Fm sempre piugrave piccola a mano a mano che ci

avviciniamo alla velocitagrave della luce Ciograve ci fornisce un ulteriore modo di vedere il fatto che la

velocitagrave della luce non puograve essere superata

Pagina 39


Esempio

Una massa di 24 kg si muove con una velocitagrave di 081 c Trova la quantitagrave di moto classica e

relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv

( )( )( )8 82 4 081 300 10 58 10 p mv kg m s kg m s= = sdot = sdot sdot

Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1

kg m smvp kg m sv cc c

sdot= = = sdot sdot

minus minus

Come ci aspettavamo la quantitagrave di moto relativistica egrave piugrave grande di quella classica

Esempio

Un satellite inizialmente in quiete nello spazio profondo esplode in due pezzi Uno ha una

massa di 150 kg e si muove dal punto in cui egrave avvenuta lrsquoesplosione con una velocitagrave di 076 c

Lrsquoaltro pezzo si muove in direzione opposta con una velocitagrave di 088 c Trova la massa del secondo

pezzo del satellite

Soluzione

Lrsquoidea di base in questo sistema egrave che poicheacute sul satellite non agiscono forze esterne la

quantitagrave di moto totale deve conservarsi La quantitagrave di moto iniziale egrave zero quindi anche la

quantitagrave di moto finale deve essere zero Ciograve significa che i due pezzi si muovono in direzioni

opposte come afferma il testo del problema e hanno quantitagrave di moto di uguale modulo Perciograve

iniziamo con il calcolare il modulo della quantitagrave di moto del primo pezzo del satellite poi

uguagliamo i due moduli delle quantitagrave di moto e ricaviamo la massa cercata

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Calcoliamo il modulo della quantitagrave di moto del pezzo di satellite che ha massa m1 = 150 kg e

velocitagrave v1 = 076 c

( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1

kg m sm vp kg m sv cc c

sdot= = = sdot sdot

minus minus

Uguagliamo la quantitagrave di moto del secondo pezzo del satellite a quella del primo pezzo

2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus

Ricaviamo la massa m2 del secondo pezzo del satellite dalla relazione precedente e sostituiamo i

valori numerici v2 = 088 c e p1 = 53 1010 kg ms

( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10

cp v kg m sm kv c cm s

⎡ ⎤⎛ ⎞ sdot sdot⎢ ⎥= minus = minus =⎜ ⎟sdot⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

95 g

Il calcolo classico per cui p = mv fornisce il risultato errato di 130 kg per la massa del secondo

pezzo del satellite

Pagina 41


Energia relativistica ed E = mc2

Si egrave visto che la massa di un corpo cresce con lrsquoaumentare della sua velocitagrave Pertanto se viene

effettuato del lavoro su un corpo una parte del lavoro aumenta la velocitagrave e unrsquoaltra aumenta la sua

massa Ne consegue che la massa egrave unrsquoaltra forma di energia Questo risultato come la dilatazione

del tempo era completamente imprevedibile prima dellrsquointroduzione della teoria della relativitagrave

Consideriamo per esempio un corpo che ha massa ma quando egrave in quiete Einstein dimostrograve

che quando il corpo egrave in movimento con velocitagrave v la sua energia totale E egrave data dalla seguente

espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus

Questo egrave il piugrave famoso risultato della teoria della relativitagrave di Einstein cioegrave E = mc2 dove m egrave

la massa relativistica

Osserviamo che lrsquoenergia totale E non svanisce quando la velocitagrave tende a zero come avviene

per lrsquoenergia cinetica classica Lrsquoenergia di un corpo in quiete cioegrave la sua energia a riposo E0 egrave

invece

2

0E m c=

Essendo la velocitagrave della luce cosigrave grande il prodotto della massa di un corpo per il quadrato

della velocitagrave della luce egrave una quantitagrave enorme di energia Questa espressione illustra il principio

base del funzionamento delle centrali nucleari nelle quali piccole diminuzioni di massa dovute a

varie reazioni nucleari vengono trasformate in energia Il tipo di reazione utilizzata in questi

impianti si chiama fissione nucleare un nucleo pesante si divide in due nuclei piugrave leggeri piugrave

alcuni neutroni Per esempio il nucleo di un atomo di uranio-235 puograve decadere in due nuclei piugrave

piccoli e un certo numero di neutroni Poicheacute la massa del nucleo di uranio egrave maggiore della somma

delle masse dei prodotti del decadimento la reazione rilascia unrsquo enorme quantitagrave di energia Infatti

mezzo chilogrammo di uranio puograve produrre circa 3106 kWh di energia elettrica mentre dalla

combustione della stessa quantitagrave di carbone possiamo produrre solo l kWh

Anche il Sole egrave alimentato dalla trasformazione della massa in energia ma in questo caso

lrsquoenergia viene prodotta dalla fusione nucleare reazione nella quale due nuclei molto leggeri si

combinano per formarne uno piugrave pesante

Pagina 42


Materia e antimateria

Di particolare interesse nellrsquoequivalenza massa-energia egrave lrsquoesistenza dellrsquoantimateria Per ogni

particella elementare conosciuta esiste una particella corrispondente di antimateria che ha

esattamente la stessa massa ma carica opposta Per esempio un elettrone ha massa me = 911 10-31

kg e carica e = -16 10-19 C un antielettrone ha massa di 911 10-31 kg e carica uguale a + 16 10-

19 C Poicheacute un antielettrone ha una carica positiva viene generalmente chiamato positrone

Lrsquoantimateria viene frequentemente creata negli acceleratori dove le particelle si urtano a

velocitagrave prossime a quella della luce In effetti egrave possibile creare in laboratorio antiatomi costituiti

interamente di antimateria Egrave unrsquoipotesi affascinante pensare che lrsquoUniverso possa realmente

contenere antigalassie di antimateria Se egrave effettivamente cosigrave bisognerebbe stare attenti a visitare

tali galassie percheacute le particelle di materia e antimateria quando si incontrano si annichilano Il

risultato della collisione egrave che le particelle cessano di esistere il che soddisfa la conservazione della

carica poicheacute la carica totale del sistema egrave zero sia prima sia dopo lrsquoannichilazione Per la

conservazione dellrsquoenergia la massa delle due particelle egrave trasformata in due raggi gamma simili ai

raggi X ma piugrave energetici Ognuno dei raggi gamma deve avere unrsquoenergia pari almeno a E = mec2

Perciograve nellrsquoannichilazione materia-antimateria le particelle svaniscono in un lampo di radiazione

Lrsquoannichilazione elettrone-positrone egrave alla base della tecnica diagnostica chiamata ldquotomografia

elettrone-positronerdquo o ldquotomografia a emissione di positronirdquo (PET dallrsquoinglese position emission

tomography) che egrave spesso utilizzata per esaminare processi biologici allrsquointerno del cervello del

cuore o di altri organi In una tipica PET per esaminare il cervello per esempio si inietta nel

paziente del glucosio (che egrave la sorgente primaria di energia per lrsquoattivitagrave del cervello) che contiene

traccianti radioattivi Questi traccianti emettono positroni che a loro volta incontrano nel cervello

elettroni e si annichilano I raggi gamma originati dal processo vengono monitorati dallrsquoanalizzatore

PET che li trasforma in immagini a falsi colori che mostrano i livelli del metabolismo del glucosio

allrsquointerno del cervello

La trasformazione fra massa ed energia puograve avvenire anche in altri modi Possiamo trasformare

un raggio gamma che non ha massa in una coppia particella-antiparticella trasformiamo un raggio

gamma con unrsquoenergia di almeno (2me)c2 in una coppia elettrone-positrone cioegrave convertiamo

lrsquoenergia del raggio gamma nellrsquoenergia a riposo delle due particelle

Pagina 43


Energia cinetica relativistica

Se compiamo un lavoro su un corpo isolato accelerando lo dalla quiete a una velocitagrave finita v

la sua energia totale aumenta Chiamiamo lrsquoaumento di energia del corpo energia cinetica Perciograve

lrsquoenergia totale E di un corpo egrave la somma della sua energia a riposo m0c2 piugrave lrsquoenergia cinetica K

In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus

Ricavando lrsquoenergia cinetica troviamo

2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c

Come verifica osserviamo che lrsquoenergia cinetica egrave nulla se la velocitagrave egrave zero Nella figura egrave

mostrato un confronto fra lrsquoenergia cinetica relativistica e quella classica

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44


Sebbene lrsquoespressione nellrsquoequazione precedente non assomigli a quella classica 212

mv il

valore che assume approssima lrsquoaltro per basse velocitagrave Come verifica sviluppiamo lrsquoequazione per

piccole velocitagrave utilizzando lo sviluppo in serie Il risultato egrave il seguente

22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1

m c v vK m c m c m c m c m cc cv v

c c

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= minus = minus = + + + minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦

2

Il secondo termine nelle parentesi quadre egrave per velocitagrave usuali molto piugrave piccolo del primo Per

esempio se la velocitagrave v egrave uguale a 000001 c (circa 10000 kmh valore giagrave notevole rispetto alle

velocitagrave usuali) il secondo termine egrave soltanto un decimilionesimo per cento del primo termine I

termini successivi sono ancora piugrave piccoli Quindi per tutti gli scopi pratici lrsquoenergia cinetica per

basse velocitagrave egrave

2

2 2 20 0 0 02

1 112 2

vK m c m c m c m v m cc

⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20

Eliminando lrsquoenergia a riposo m0c2 troviamo

20

12

K m v=

Osserviamo che lrsquoindice 0 in questa espressione sottolinea il fatto che la massa da utilizzare egrave la

massa a riposo

Ancora una volta vediamo che la velocitagrave della luce egrave la massima velocitagrave possibile per un corpo

di massa a riposo finita Come appare evidente lrsquoenergia cinetica di un corpo tende allrsquoinfinito se la

sua velocitagrave si avvicina a c Perciograve per accelerare un corpo alla velocitagrave della luce occorrerebbe una

quantitagrave di energia infinita Qualsiasi quantitagrave di lavoro finita faragrave aumentare la velocitagrave portandola

a un valore comunque minore di c

Pagina 45


Esempio

Trova lrsquoenergia a riposo di una mela di 012 kg

Soluzione

Sostituendo m0 = 012 kg e c = 300 108 ms nellrsquoequazione dellrsquoenergia a riposo troviamo

( )( )22 80 0 012 300 10 11 1016E m c kg m s J= = sdot = sdot

Per valutare il risultato confrontiamo lo con lrsquoenergia totale utilizzata negli Stati Uniti in un

anno che egrave circa 1020 J Questo significa che se lrsquoenergia a riposo di una mela potesse essere

trasformata interamente in una forma di energia utilizzabile potrebbe coprire il fabbisogno

energetico degli interi Stati Uniti per circa unrsquoora Se inoltre potessimo utilizzare lrsquoenergia a riposo

di una mela per tenere accesa una lampada da 100 W questa rimarrebbe accesa per circa 10 milioni

di anni

Esempio

Il Sole irraggia energia a un ritmo di 392 1026 W Calcola la corrispondente diminuzione della

massa del Sole per ogni secondo di irraggiamento

Soluzione

Se lrsquoenergia irraggiata dal Sole in 100 s egrave ∆E la corrispondente variazione di massa egrave data da

Per trovare ∆E ricordiamo) che la potenza egrave lrsquoenergia nellrsquounitagrave di tempo

perciograve lrsquoenergia irraggiata dal Sole in 100 s egrave

2m E c∆ = ∆

P E= ∆ ∆t E P t∆ = sdot∆ con ∆t = 100 s

Calcoliamo lrsquoenergia irraggiata dal Sole in 100 s

( )( )26 26392 10 100 392 10E P t J s s J∆ = sdot∆ = sdot = sdot

Dividiamo ∆E per il quadrato della velocitagrave della luce c2 per trovare la diminuzione della massa

( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s

sdot∆∆ = = = sdot

sdotg

Pagina 46


Il Sole perde ogni secondo una notevole quantitagrave di massa uguale a circa 2000 Space Shuttle

ma avendo una massa di 199 1030 kg la quantitagrave che perde in 1500 anni egrave soltanto 10-10 della sua

massa totale Anche dopo 15 miliardi di anni di irraggiamento a questo ritmo il Sole avragrave perso

solo lo 001 della sua massa Chiaramente il Sole non evaporeragrave nello spazio in breve tempo

Esempio

Un osservatore guarda unrsquoastronave che passa ad alta velocitagrave e nota che un orologio a bordo egrave

rallentato di un fattore l50 Se la massa a riposo dellrsquoorologio egrave 0320 kg qual egrave la sua energia

cinetica

Soluzione

Iniziamo utilizzando lrsquoequazione relativa ai tempi e il fattore di dilatazione del tempo ∆t∆t0 =

l50 per trovare la velocitagrave v Poi utilizziamo questa velocitagrave per trovare lrsquoenergia cinetica

Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆

Sostituiamo ∆t0∆t = 1l50 poicheacute il tempo dilatato ∆t egrave maggiore del tempo proprio ∆t0 di un

fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45

Sostituiamo v = 0745 c e m0 = 0320 kg nellrsquoequazione dellrsquoenergia

( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1

kg m sm cK m c kg m sv cc c

sdot= minus = minus sdot = sdot

minus minus

6 J

In confronto lrsquoenergia cinetica classica a questa velocitagrave sarebbe 799 1015 J

Pagina 47


LrsquoUniverso relativistico

Egrave molto riduttivo dire che la relativitagrave ha rivoluzionato la nostra comprensione dellrsquoUniverso Se

ripensiamo ai risultati presentati nei paragrafi precedenti (dilatazione del tempo contrazione delle

lunghezze aumento della massa equivalenza massa-energia) egrave chiaro che la relativitagrave ci rivela un

Universo molto piugrave ricco e piugrave vario nei suoi comportamenti di quanto non si fosse mai immaginato

prima Infatti si sente spesso dire che lrsquoUniverso non solo egrave piugrave strano di quanto si immagini ma egrave

anche piugrave strano di quanto si possa immaginare

Egrave quasi come se avessimo passato la nostra vita in una piccola isola allrsquoequatore non

conosceremmo la neve ne i deserti o le montagne La nostra conoscenza della Terra sarebbe

comunque valida per la nostra piccola isola ma avremmo una immagine incompleta del mondo La

nostra posizione rispetto alla relativitagrave egrave simile Prima avevamo una conoscenza dellrsquoUniverso

fisico che dava buoni risultati le leggi di Newton e gli altri principi fondamentali della fisica ci

permettevano di comprendere qualsiasi cosa accadeva Quello che Einstein rivelograve con la sua teoria

fu che noi stavamo guardando solo una piccola parte del tutto e che il comportamento osservato per

le piccole velocitagrave non poteva essere esteso a quelle alte

Potrebbe sembrare che la relativitagrave non influenzi molto la nostra vita quotidiana poicheacute non ci

muoviamo a velocitagrave prossime a quella della luce Per molti aspetti questa osservazione egrave corretta

la relativitagrave non viene utilizzata per progettare automobili migliori o aeroplani ne viene impiegata

per calcolare le orbite necessarie per spedire gli astronauti sulla Luna o su Marte Drsquoaltra parte in

alcuni ospedali importanti nei sotterranei ci sono degli acceleratori di particelle per produrre

elementi radioattivi utilizzati per svariati tipi di trattamenti Gli acceleratori portano le particelle a

velocitagrave molto vicine a quella della luce e quindi gli effetti relativistici non possono essere ignorati

Perciograve un acceleratore lavora correttamente solo quando egrave costruito tenendo conto degli effetti

relativistici

Ormai viviamo in un mondo nel quale la relativitagrave egrave veramente una parte della nostra vita

quotidiana

Pagina 48


Lrsquoesperimento di Michelson-Morley

Precedentemente abbiamo presentato lrsquoipotesi di Einstein adesso ben verificata che nel vuoto

la luce si propaga con la stessa velocitagrave c qualunque sia la velocitagrave relativa della sorgente rispetto

allrsquoosservatore Abbiamo osservato come questa ipotesi fosse in disaccordo con il modo di

considerare la propagazione ondulatoria da parte dei fisici del diciannovesimo secolo Fu difficile

per questi fisici abituati ai problemi della meccanica classica di quel tempo concepire che un lsquoonda

si potesse propagare senza un mezzo Se si fosse potuto stabilire il mezzo di propagazione la

velocitagrave della luce sarebbe stata considerata come velocitagrave rispetto a questo mezzo cosigrave come la

velocitagrave del suono egrave sempre riferita ad un mezzo come ad esempio lrsquoaria

Sebbene non fosse ovvio in quale mezzo si propagasse la luce i fisici ne postularono uno

chiamato ldquoetere luminiferordquo e fecero lrsquoipotesi che le proprietagrave dellrsquoetere fossero tali da non poterlo

rivelare con mezzi ordinari come ad esempio pesandolo

Nel 1881 (24 anni prima dellrsquoipotesi di Einstein) AA Michelson si assunse il compito di

mettere in evidenza lrsquoetere ammesso che esistesse assoggettandolo ad una verifica fisica diretta In

particolare Michelson in seguito affiancato da E W Morley cercograve di misurare la velocitagrave u con la

quale la terra si muove nellrsquoetere Se la Terra si muoveva effettivamente attraverso lrsquoetere la

velocitagrave di un raggio di luce misurata sulla Terra sarebbe dipesa dalla sua direzione in modo molto

simile al modo in cui la

velocitagrave di un nuotatore

dipende dal fatto che egli

nuoti secondo la corrente

contro la corrente o

trasversalmente a essa

Michelson progettograve

allora un apparecchio

chiamato interferometro

che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un

interferometro consiste in

due sezioni diritte poste

ad angolo retto tra loro

Ogni braccio porta a una

estremitagrave uno specchio

Pagina 49


Nel punto di intersezione dove i bracci si congiungono uno specchio semiargentato divide un

fascio di luce in due Ciascuna metagrave del fascio diviso percorre un braccio di lunghezza d ed egrave

riflessa allrsquoindietro dallo specchio posto nella parte terminale Quando i due raggi si ricombinano

essi interferiscono in modo da produrre un caratteristico diagramma di frange che dipende

dallrsquoentitagrave della differenza del tempo impiegato da ciascun raggio a compiere il percorso di andata e

ritorno Se si ruota lo strumento di 90deg i bracci parallelo e perpendicolare si scambiano di posto e le

frange di interferenza si dovrebbero spostare

Lrsquointerferometro che si muove insieme alla terra con velocitagrave u rispetto allrsquoetere egrave equivalente

ad un interferometro fermo rispetto al quale lrsquoetere si muove con velocitagrave -u Consideriamo un

lsquoonda luminosa che si muove lungo il percorso R1CR1 ed un lsquoaltra che si muove lungo il percorso

R1R2R1 Lrsquoanalogo classico della prima onda egrave il vogatore che copre una distanza d prima nel

verso della corrente e dopo in verso opposto lrsquoanalogo della seconda onda egrave il vogatore che

percorre avanti e indietro una distanza d muovendosi perpendicolarmente alla corrente

Nellrsquoipotesi che esista lrsquoetere la velocitagrave della luce nel tratto R1C egrave c + u e nel tratto di ritorno

CR1 egrave c - u Il tempo necessario per il percorso completo egrave

1 22 2

2

2 2 1

1

d d c dt dvc u c u c u cc

= + = =+ minus minus minus

La velocitagrave della luce nellrsquoipotesi che esista lrsquoetere lungo il tratto R1R2 egrave 2c uminus 2 La stessa

velocitagrave si ha pure nel tratto R2R1 per cui il tempo richiesto per compiere tutto il cammino egrave

2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus

La differenza di tempo impiegato nei due percorsi egrave

112 2 2

1 2 2 2

2 1 1d v vt t tc c c

minus minus⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥∆ = minus = minus minus minus⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Se possiamo sviluppare le quantitagrave contenute allrsquointerno delle parentesi quadrate in

serie binomiale arrestandoci ai primi due termini Si ottiene cosigrave

u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2

d v v d v dtc c c c c c⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪∆ = + + minus + + = =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

2

3

u

Se lrsquointero interferometro egrave fatto ruotare di 90deg il cammino R1CR1 diventa perpendicolare ad u

e R1R2R1 parallelo Anche il ritardo fra due onde che arrivano allrsquoocchio egrave invertito questo provoca

uno sfasamento fra le onde che si combinano e sposta le posizioni dei massimi di interferenza

Lrsquoesperimento consiste nellrsquoosservare spostamenti delle frange di interferenza quando si ruota il

dispositivo

La variazione della differenza di tempo egrave 2∆t che corrisponde ad uno spostamento di frange

che si prevede debba spostarsi per una rotazione di 90deg egrave

222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v

Il valore aspettato per lo spostamento delle frange era di quattro decimi di lunghezza drsquoonda

invece non si osservograve neppure uno spostamento dieci volte minore Lrsquoesperimento venne ripetuto

numerose volte da altri ricercatori e lrsquoassenza di spostamento fu sempre confermata

Lrsquoanalogia tra unrsquoonda luminosa nellrsquoetere e un battello che si muove nellrsquoacqua che nel 1881

sembrava tanto ovvia egrave sbagliata come pure egrave sbagliato il risultato che si ottiene per le onde

luminose basandosi su questa analogia Quando si ripete lrsquoanalisi dellrsquoesperimento tenendo conto

dellrsquoipotesi di Einstein il risultato negativo ottenuto nellrsquoesperimento si puograve facilmente prevedere

dato che la velocitagrave della luce egrave c per tutti i percorsi Il moto della terra attorno al Sole e la rotazione

di 90deg dellrsquointerferometro non influenzano in base allrsquoipotesi di Einstein la velocitagrave della luce

nellrsquointerferometro

Dovrebbe essere chiaro che sebbene lrsquoipotesi di Einstein sia in accordo completo con

lrsquoesperianza di Michelson-Morley questo esperimento da solo non puograve provare lrsquoipotesi di

Einstein Diceva Einstein che un numero comunque grande di esperimenti non avrebbe potuto

dimostrare lrsquoesattezza dellrsquoipotesi e che sarebbe stato sufficiente il disaccordo con un solo

esperimento per dimostrare che lrsquoipotesi era sbagliata La nostra attuale fiducia nellrsquoipotesi di

Einstein egrave basata sul fatto che essa egrave consistente con un gran numero di esperimenti che sono stati

progettati per verificarne la validitagrave Nessun esperimento finora ha dimostrato che lrsquoipotesi di

Einstein sia sbagliata

Pagina 51


Il principio di equivalenza e la curvatura dello spazio-tempo

Lo spazio-tempo di Minkowski della relativitagrave speciale egrave incompatibile con lrsquoesistenza della

gravitagrave Un sistema di riferimento che egrave supposto inerziale per una particella situata lontano dalla

Terra in una regione dove il campo gravitazionale egrave trascurabile non saragrave piugrave inerziale quando la

particella si troveragrave vicino alla Terra Si puograve ottenere tuttavia una compatibilitagrave approssimata tra i

due sistemi a causa di una notevole proprietagrave della gravitazione che prende il nome di principio di

equivalenza debole (PED) tutti i corpi di dimensioni sufficientemente piccole che si trovano in un

dato campo gravitazionale esterno cadono con la stessa accelerazione indipendentemente dalla

loro massa dalla loro composizione e dalla loro struttura La validitagrave di questo principio egrave stata

verificata sperimentalmente da Galileo Newton e Friedrich Bessel e nei primi anni del sec XX

dal barone Roland von Eoumltvoumls (da cui tali esperimenti hanno preso il nome) Per un osservatore

allrsquointerno di un ascensore che cade liberamente in un campo gravitazionale tutti i corpi allrsquointerno

dellrsquoascensore dovrebbero muoversi uniformemente in linea retta come se la gravitagrave non esistesse

dal momento che essi stanno cadendo alla stessa maniera dellrsquoosservatore Viceversa in un

ascensore accelerato nello spazio libero tutti i corpi allrsquointerno di esso devono cadere con la stessa

accelerazione (a causa della loro inerzia) come se vi fosse un campo gravitazionale La grande

intuizione di Einstein fu quella di postulare che questo annullarsi della gravitagrave nella caduta libera

si deve applicare non solo al moto meccanico ma a tutte le leggi della fisica come a esempio

lrsquoelettromagnetismo In ogni sistema di riferimento in caduta libera perciograve le leggi della fisica

devono assumere (almeno localmente) la loro espressione prevista dalla relativitagrave speciale Questo

postulato prende il nome di principio di equivalenza di Einstein (PEE) Una conseguenza di esso egrave

lo spostamento verso il rosso per effetto della gravitazione cioegrave uno spostamento della frequenza di

un raggio luminoso che si propaga verso lrsquoalto di un tratto h in un campo gravitazionale Questo

effetto puograve essere descritto in maniera equivalente come uno spostamento relativo delle frequenze

di due orologi identici che si trovano a due altezze diverse Una seconda conseguenza del PEE egrave

data dalla curvatura dello spazio-tempo Consideriamo a esempio il caso di due sistemi di

riferimento in caduta libera che si trovano su lati opposti della Terra Secondo il PEE lo spazio-

tempo di Minkowski egrave valido localmente in ciascun sistema di riferimento tuttavia poicheacute i due

sistemi di riferimento si muovono di moto accelerato lrsquouno verso lrsquoaltro i due spazi-tempi di

Minkowski non possono venire prolungati fino a incontrarsi nel tentativo di farli combaciare In

presenza della gravitagrave lo spazio tempo egrave piatto solo localmente ma nella sua globalitagrave deve essere

curvo Ogni teoria della gravitagrave che soddisfi il principio di equivalenza di Einstein viene detta

metrica (secondo il punto di vista di una gravitagrave geometrica in uno spazio-tempo curvo) Poicheacute

il principio di equivalenza egrave unrsquoipotesi fondamentale per questo modo di vedere le cose esso egrave stato

Pagina 52


verificato molto accuratamente Alcune versioni dellrsquoesperimento di Eoumltvoumls eseguite a Princeton

nel 1964 e a Mosca nel 1971 hanno verificato il PEE con la precisione di 1012 Misure di

spostamento verso il rosso per effetto della gravitagrave con lrsquouso di raggi gamma che si propagavano

verso lrsquoalto in una torre del campus dellrsquoUniversitagrave di Harvard (1965) o con lrsquouso di luce emessa

dalla superficie del Sole (1965) e infine con lrsquouso di orologi atomici posti su aeroplani e razzi in

movimento (1976) hanno verificato questo effetto con una precisione maggiore dellrsquo1

Relativitagrave generale

Il principio di equivalenza e la sua conferma sperimentale mostrano che lo spazio-tempo viene

incurvato dalla presenza della materia ma non indicano quale sia lrsquoentitagrave della curvatura dello

spazio-tempo prodotta effettivamente dalla materia La determinazione di questa curvatura richiede

unrsquoopportuna teoria metrica della gravitagrave come a esempio la relativitagrave generale la quale fornisce un

insieme di equazioni che permettono di effettuare il calcolo della curvatura dello spazio-tempo a

partire dalla conoscenza di unrsquoassegnata distribuzione della materia Queste equazioni vengono

chiamate equazioni del campo Lo scopo di Einstein era quello di trovare le equazioni del campo

piugrave semplici che potessero venire formulate in termini della curvatura dello spazio-tempo e che

avessero come sorgente la distribuzione della materia Il risultato di questo lavoro egrave rappresentato

da un gruppo di dieci equazioni Drsquoaltra parte questa non rappresenta lrsquounica possibile teoria

metrica Nel 1960 CH Brans e Robert Dicke formularono una teoria metrica che oltre alle

equazioni del campo per la curvatura forniva delle equazioni per un campo gravitazionale

addizionale il cui ruolo era quello di mediare e accrescere i modi con cui la materia dagrave origine al

fenomeno della curvatura Tra il 1960 e il 1976 tale teoria si presentograve come una valida alternativa

alla relativitagrave generale Inoltre a partire dal 1976 sono state proposte molte altre teorie metriche

Un problema importante egrave perciograve quello di sapere se la relativitagrave generale rappresenta

effettivamente la corretta teoria della gravitagrave La sola maniera di rispondere a questa questione egrave

quella di ricercare la conferma sperimentale Negli anni scorsi gli scienziati parlavano usualmente

delle tre classiche verifiche sperimentali proposte da Einstein lo spostamento verso il rosso per

effetto della gravitazione la deflessione della luce e lo spostamento del perielio di Mercurio Lo

spostamento verso il rosso rappresenta tuttavia una verifica del principio di equivalenza e non della

relativitagrave generale in se stessa Inoltre due nuovi importanti verifiche sperimentali sono state

scoperte dal tempo di Einstein il ritardo temporale da parte di II Shapiro (1964) e lrsquoeffetto

Nordtvedt da parte di K Nordtvedt jr (1968) La verifica della deflessione dei raggi luminosi

provenienti dalle stelle da parte del Sole ottenuta durante lrsquoeclisse solare del 1919 rappresentograve uno

Pagina 53


dei momenti trionfali per la relativitagrave generale e procurograve a Einstein una fama universale Secondo la

teoria un raggio di luce che si propaga attraverso lo spazio-tempo curvo in prossimitagrave del Sole deve

venire deflesso dalla sua direzione iniziale di 175 arcs ogni volta che rasenta la superficie solare

Sfortunatamente le misure della deflessione di radiazione ottica proveniente dalle stelle sono molto

difficili (in parte per la necessitagrave di unrsquoeclisse di Sole per oscurare la luce proveniente dal Sole) e

serie ripetute di misure eseguite tra il 1919 e il 1973 hanno fornito risultati poco rassicuranti

Questo metodo egrave stato sostituito da misure della deviazione di onde radio provenienti da quasar

lontani eseguite con metodi di interferometria radiotelescopica che possono essere fatte in pieno

giorno Tra il 1969 e il 1975 dodici misure eseguite nella maniera sopra descritta hanno mostrato un

sostanziale accordo con varianti che rientrano entro lrsquo1 con la deviazione prevista dalla relativitagrave

generale Lrsquoeffetto di ritardo temporale consiste in un piccolo ritardo temporale nel percorso del

ritorno di un segnale luminoso attraverso lo spazio-tempo curvo in vicinanza del Sole Esso viene

inviato a un pianeta o a un veicolo spaziale che si trova dalla parte opposta del Sole e da questo

restituito alla Terra Per un raggio luminoso che rasenta la superficie solare il ritardo temporale egrave di

200 milionesimi di secondo A partire dal 1964 un programma sistematico di cammini radar

eseguito con i pianeti Mercurio e Venere con i veicoli spaziali Mariner 6 7 e 9 e con i Viking che

hanno orbitato intorno a Marte dove sono atterrati egrave stato capace di confermare questa previsione

con una precisione maggiore dello 05 Un altro dei primi successi della relativitagrave generale egrave

rappresentato dalla spiegazione che essa ha saputo dare del problema dellrsquoorbita di Mercurio Dopo

che si sono presi in considerazione gli effetti delle perturbazioni di tutti gli altri pianeti sullrsquoorbita di

Mercurio rimane ancora inspiegabile uno spostamento della direzione del suo perielio (cioegrave il punto

di maggior vicinanza al Sole) di 43 arcs per secolo tale spostamento ha costituito un rompicapo

per gli astronomi della fine del sec XIX La relativitagrave generale ha spiegato lo spostamento del

perielio di Mercurio come un effetto naturale del moto di Mercurio nello spazio-tempo curvo

attorno al Sole Recenti misure radar del moto di Mercurio hanno confermato questo accordo con

una precisione di circa lo 05 Lrsquoeffetto Nordtvedt egrave un effetto che non si presenta soltanto nella

relativitagrave generale ma viene previsto da molte teorie metriche alternative della gravitagrave compresa la

teoria di Brans e Dicke Esso rappresenta una possibile violazione dellrsquouguaglianza dei valori

dellrsquoaccelerazione di corpi massivi come a esempio i pianeti e le stelle che sono tenuti insieme

dalla gravitazione Lrsquoesistenza di un effetto simile non violerebbe il principio di equivalenza debole

che egrave stato usato come un fondamento dello spazio-tempo curvo dal momento che tale principio egrave

valido solo per oggetti di dimensioni limitate le cui forze interne di legame dovute alla

gravitazione sono trascurabili Una delle proprietagrave piugrave notevoli della relativitagrave generale egrave che essa

soddisfa il principio di equivalenza di Einstein per ogni tipo di forza Se dovesse verificarsi lrsquoeffetto

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Nordtvedt la Terra e la Luna dovrebbero venire attratte dal Sole con accelerazioni leggermente

differenti Ne deriverebbe una piccola perturbazione nellrsquoorbita lunare che potrebbe essere rivelata

da misure di distanze lunari con il laser una tecnica per la misura della distanza dalla Luna che fa

uso di impulsi laser riflessi da un sistema di specchi deposti sulla Luna dagli astronauti della

missione Apollo Nei dati sperimentali presi fra il 1969 e il 1976 non egrave stata riscontrata la presenza

di una perturbazione simile entro un limite di precisione di 30 cm in completo accordo con un

risultato nullo previsto dalla relativitagrave generale e in disaccordo con la previsione della teoria di

Brans e Dicke Durante lrsquoultimo decennio egrave stato eseguito inoltre un certo numero di verifiche

secondarie di effetti gravitazionali piugrave sottili La relativitagrave generale li ha superati tutti con successo

mentre molte delle teorie antagoniste hanno dato previsioni sbagliate Ersquo importante continuare la

verifica sperimentale della relativitagrave generale allo scopo di rafforzare la fiducia nel suo uso come

un mezzo efficace per analizzare molti dei fenomeni scoperti recentemente nellrsquoastronomia e

nellrsquoastrofisica

Cosmologia

Le prime applicazioni astronomiche della relativitagrave generale si sono avute nellrsquoarea della

cosmologia La teoria prevede che lrsquouniverso potrebbe trovarsi attualmente in uno stato di

espansione derivante dallrsquoesplosione di uno stato iniziale condensato processo questo che egrave

conosciuto come il big bang Nonostante molte difficoltagrave (inclusa la popolaritagrave della teoria dello

stato stazionario durante gli anni Cinquanta) il big-bang egrave attualmente accettato come il modello

standard dellrsquouniverso Questa conclusione viene rafforzata da tre importanti prove sperimentali

messe insieme principalmente dopo gli anni Sessanta 1) misure piugrave raffinate della velocitagrave di

espansione dellrsquouniverso (determinata per la prima volta da Edwin Hubble nel 1929) le quali

mostrano che il big bang egrave avvenuto tra 10000 e 20000 milioni di anni fa 2) la scoperta nel 1965

del fondo di radiazione a microonde di 3 K (3 degC al di sopra dello zero assoluto) vale a dire un

mare uniforme di radiazione elettromagnetica prodotto dalla primitiva fase calda dellrsquouniverso

(700000 anni dopo il big-bang) 3) lrsquoavere evidenziato che la presenza di elio osservata nel cosmo

(dal 20 al 30 in peso) egrave necessariamente compatibile con una condizione di big-bang Un aspetto

del modello che egrave tuttora incerto egrave se lrsquouniverso continueragrave a espandersi indefinitamente o se

rallenteragrave lrsquoespansione ed eventualmente si ricomprimeragrave in una big crunch Una risposta puograve

giungere dalle osservazioni astronomiche Unrsquoaltra applicazione importante di relativitagrave generale

riguarda le stelle di neutroni corpi i quali sono stati talmente compressi dalle forze gravitazionali

che la loro densitagrave egrave confrontabile con quella esistente allrsquointerno del nucleo atomico e la loro

Pagina 55


composizione egrave principalmente fatta di neutroni (una stella di neutroni la cui massa egrave uguale a

quella del Sole ha un raggio di appena 10 Km) Si pensa che le stelle di neutroni si formino in

conseguenza di fenomeni violenti come a esempio la generazione di supernove e altre implosioni

gravitazionali di stelle Le pulsar scoperte per la prima volta nel 1967 sono generalmente

considerate come stelle di neutroni in rapida rotazione si tratta di oggetti che emettono impulsi di

radioonde a intervalli regolari compresi tra 130000s e 3s fino a tutto il 1979 ne sono state

scoperte 200 Secondo un modello la stella di neutroni si comporta come un faro che emette un

ristretto fascio di radiazione dalla sua superficie tale fascio mentre esegue una pulsazione viene

rivelato da un telescopio in osservazione una volta per ogni periodo di rotazione Una delle

previsioni piugrave singolari della relativitagrave generale riguarda il buco nero Lrsquoimplosione di stelle con

massa estremamente grande puograve andare oltre la configurazione delle stelle di neutroni Man mano

che la materia continua a concentrarsi la superficie che la racchiude supposta sferica arriva a

coincidere con una superficie sferica immaginaria che prende il nome di evento-orizzonte il cui

raggio egrave dato da 2 MGcsup2 dove M egrave la massa che si egrave concentrata e G egrave la costante di gravitazione

di Newton per una massa pari a quella del Sole questo raggio egrave di circa 3 Km Una volta che si egrave

allrsquointerno dellrsquoevento-orizzonte niente puograve uscirne fuori neppure la luce La geometria dello

spazio-tempo esterno al buco nero egrave descritta dalla soluzione dellrsquoequazione di campo di

Schwarzschild se non crsquoegrave rotazione e dalla soluzione di Kerr se il buco nero egrave in rotazione (tali

soluzioni furono scoperte rispettivamente nel 1916 da Karl Schwarzschild e nel 1963 da R Kerr)

Attualmente esistono prove sperimentali abbastanza ben fondate che nella costellazione del Cigno egrave

presente una stella doppia formata dalla stella denominata HDE 226868 e da un buco nero Secondo

il modello teorico piugrave seguito attualmente il gas proveniente dallrsquoatmosfera della stella HDE

226868 viene attirato dal campo gravitazionale del buco nero si riscalda mentre viene convogliato

verso il buco ed emette una copiosa quantitagrave di radiazione X prima di immergersi allrsquointerno

dellrsquoevento orizzonte I raggi X provenienti da questa sorgente chiamata Cygnus X 1 furono

rivelati nel 1971 da un telescopio posto su un satellite detto Uhuru Alcuni fisici teorici hanno

proposto che dei buchi neri supermassivi possano essere presenti al centro di alcuni ammassi di

stelle e di alcune galassie inclusa forse la nostra galassia Una previsione della relativitagrave generale

non egrave stata ancora verificata la radiazione gravitazionale cioegrave unrsquoonda di forza gravitazionale che

si propaga con la velocitagrave della luce trasporta energia e induce un moto relativo tra coppie di

particelle che si trovano sulla sua traiettoria oppure produce deformazioni allrsquointerno dei corpi Gli

astrofisici credono che la radiazione gravitazionale possa venire emessa da sorgenti dinamiche

come a esempio le supernove i sistemi di stelle doppie e i buchi neri durante la loro formazione o

le loro collisioni Per quanto alcuni esperimenti eseguiti verso il 1970 nei quali venivano usati dei

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cilindri di alluminio di 15 t che erano predisposti a rivelare delle deformazioni abbiano dato

risultati interpretabili in termini di esistenza di onde gravitazionali esperimenti successivi eseguiti

da altri gruppi di ricercatori non hanno confermato tale indicazione Attualmente si sta sviluppando

una collaborazione in tutto il mondo per costruire antenne di radiazione gravitazionale non soltanto

allo scopo di rivelare questo fenomeno ma anche in ultima analisi per fare uso di esso come un

nuovo mezzo di indagine per studiare lrsquouniverso In tempi recenti si egrave avuta una prova indiretta

dellrsquoesistenza di radiazione gravitazionale in un sistema conosciuto come una pulsar binaria cioegrave

una pulsar che esegue unrsquoorbita attorno a unrsquoaltra stella Misure accurate del moto delle pulsar

eseguite con radiotelescopi hanno mostrato che la pulsar diminuisce la sua energia lungo lrsquoorbita e

lrsquoorbita stessa si restringe con una velocitagrave uguale a quella che ci si aspetta dalla diminuzione di

energia mediante lrsquoemissione di onde gravitazionali da parte del sistema binario

Pagina 57


METODOLOGIE DIDATTICHE

Le strategie didattiche che si intendono adottare sono prevalentemente la lezione frontale

limitata ad una breve parte dellrsquoora di lezione per sfruttare al meglio i tempi di attenzione la lezione

interattiva che stimoli gli allievi a porre e a porsi domande a collegare situazioni e a ricercare

soluzioni

Per la presentazione dei nuovi contenuti e per lo svolgimento di esercizi significativi si faragrave uso

di lezioni frontali per la risoluzione di ulteriori esercizi in collaborazione insegnate-allievi si faragrave

uso invece di lezioni dialogiche con lo scopo di coinvolgere gli studenti nella realizzazione delle

lezioni sollecitandoli con opportune domande I momenti di lezione frontale e dialogica non

saranno rigidamente distinti ma si potranno alternare nellrsquoambito della stessa ora di lezione Alla

presentazione di ogni nuovo concetto o metodo di risoluzione di problemi seguiragrave lo svolgimento

di esempi numerici Talvolta saragrave piugrave opportuno partire da esempi significativi per giungere alla

formulazione di proprietagrave generali Inoltre la correzione in classe degli esercizi faragrave da spunto per

nuove riflessioni e argomentazioni

MATERIALI E STRUMENTI UTILIZZATI

bull Lavagna gessi colorati

bull Libro di testo Questo strumento dovragrave presentare un linguaggio adeguato allrsquoetagrave

evidenziare i nodi concettuali evitando nel contempo pericolose banalizzazioni sostenere

uno studio individuale e le attivitagrave in classe Il testo andragrave usato in modo critico adattandolo

ed eventualmente semplificandolo cercando un punto di contatto tra gli obiettivi della

programmazione in classe e le abilitagrave possedute dagli alunni La difficoltagrave di un testo puograve

essere legata ai contenuti alle operazioni cognitive agli aspetti linguistici o agli aspetti

grafici Per questo motivo spesso emerge la necessitagrave di completare ridurre schematizzare

ed evidenziare quanto contenuto nel testo

bull Personal computer Saragrave possibile utilizzare semplici simulazioni atte a spiegare i concetti

fondamentali della relativitagrave

bull Videoregistratore con televisione Lrsquoimportanza dellrsquoargomento offre il vantaggio di poter

reperire facilmente videocassette esplicative su alcuni esperimenti particolarmente

significativi riguardanti sia la relativitagrave speciale che generale

Pagina 58


CONTROLLO DELLrsquoAPPRENDIMENTO

Lrsquoinsegnante potragrave valutare lrsquoandamento dellrsquoattivitagrave didattica e controllare la comprensione

dellrsquoargomento da parte degli alunni attraverso verifiche formative costituite da esercizi mirati di

difficoltagrave crescente da svolgere a casa Tali esercizi saranno successivamente discussi in classe

puntando principalmente su quelli in cui gli studenti hanno riscontrato maggiori difficoltagrave

VALUTAZIONE

La valutazione dellrsquoapprendimento si attua attraverso prove orali

RECUPERO E APPROFONDIMENTO

Si prevedono attivitagrave di recupero per integrare e completare lrsquoattivitagrave didattica Lrsquoinsegnamento

egrave in ogni caso orientato alla continua ripresa degli argomenti su cui gli studenti incontrano maggiori

difficoltagrave Gli argomenti da recuperare sono individuati attraverso le prove orali Le forme di

recupero previste sono

bull Recupero svolto in classe attraverso la ripresa di concetti non ben assimilati e lo

svolgimento di esercizi chiarificatori

bull Attivitagrave pomeridiane con gli studenti interessati (ldquosportellordquo e rdquoascolto didatticordquo)

bull Assegnazione allo studente di esercizi mirati alla difficoltagrave da recuperare e guidati nella

risoluzione

TEMPI DELLrsquoINTERVENTO DIDATTICO

Viene proposta una descrizione del susseguirsi delle attivitagrave didattiche con i tempi necessari a

ciascuna attivitagrave Questa proposta va comunque considerata in maniera elastica in quanto lrsquoattivitagrave

dipende molto dalle esigenze degli studenti

Accertamento dei prerequisiti 1 h

Vita e opere di Albert Einstein 1 h

La relativitagrave speciale 4 h

La relativitagrave generale 2 h

Esempi ed esercizi 2 h

Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA

A Fontana ndash Appunti del corso di Esperimentazioni di Fisica II

L Nobili ndash Astrofisica relativistica - Cleup

A Einstein - Come io vedo il mondo La teoria della relativitagrave - Newton editore

C Mencuccini V Silvestrini ndash Fisica I Meccanica Termodinamica ndash Liguori editore

JS Walzer ndash Fisica vol II ndash Zanichelli editore

A Einstein ndash Il significato della relativitagrave ndash Newton editore

A Caforio A Ferilli ndash Physica 2 ndash Le Monnier

E Cassirer ndash Teoria della relativitagrave di einstein ndash Newton editore

Pagina 60


INDICE DEI CONTENUTI

Pagina 4 Destinatari

Pagina 4 Prerequisiti

Pagina 4 Accertamento dei prerequisiti

Pagina 5 Obiettivi

Pagina 5 Obiettivi generali

Pagina 5 Obiettivi trasversali

Pagina 6 Obiettivi specifici

Pagina 6 Conoscenze (obiettivi cognitivi)

Pagina 6 Competenze (obiettivi operativi)

Pagina 6 Capacitagrave (obiettivi metacognitivi)

Pagina 7 Sviluppo dei contenuti

Pagina 8 La vita e le opere di Albert Einstein

Pagina 8 Primi anni di vita

Pagina 9 La sua opera scientifica

Pagina 12 Gli ultimi anni di vita

Pagina 14 La teoria della Relativitagrave

Pagina 14 Scopo della relativitagrave

Pagina 16 Relativitagrave speciale

Pagina 18 I postulati della relativitagrave speciale

Pagina 20 La relativitagrave del tempo e la dilatazione del tempo

Pagina 24 Viaggi spaziali e invecchiamento biologico

Pagina 24 Il decadimento del muone

Pagina 25 Esempio

Pagina 25 Esempio

Pagina 26 Esempio

Pagina 27 Esempio

Pagina 29 La relativitagrave delle lunghezze e la contrazione delle lunghezze

Pagina 32 Esempio

Pagina 33 La composizione relativistica delle velocitagrave

Pagina 35 Esempio

Pagina 35 Esempio

Pagina 2



Pagina 40 Esempio

Pagina 40 Esempio




Pagina 46 Esempio

Pagina 46 Esempio

Pagina 47 Esempio













Pagina 3


DESTINATARI


Scientifico PNI

PREREQUISITI
























Pagina 4


OBIETTIVI

Obiettivi generali


















organizzativa









Pagina 5


Obiettivi specifici

























Pagina 6






















thinking



Pagina 7










Primi anni di vita
























Pagina 8


































Pagina 9





























una sua cugina







Pagina 10



































Pagina 11




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60



Pagina 40 Esempio

Pagina 40 Esempio




Pagina 46 Esempio

Pagina 46 Esempio

Pagina 47 Esempio













Pagina 3


DESTINATARI


Scientifico PNI

PREREQUISITI
























Pagina 4


OBIETTIVI

Obiettivi generali


















organizzativa









Pagina 5


Obiettivi specifici

























Pagina 6






















thinking



Pagina 7










Primi anni di vita
























Pagina 8


































Pagina 9





























una sua cugina







Pagina 10



































Pagina 11




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

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a K

Pagina 44



mv il



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0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

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c c


2






2

2 2 20 0 0 02

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⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


DESTINATARI


Scientifico PNI

PREREQUISITI
























Pagina 4


OBIETTIVI

Obiettivi generali


















organizzativa









Pagina 5


Obiettivi specifici

























Pagina 6






















thinking



Pagina 7










Primi anni di vita
























Pagina 8


































Pagina 9





























una sua cugina







Pagina 10



































Pagina 11




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

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1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

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c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

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1 1 31 2 8

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c c


2






2

2 2 20 0 0 02

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⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


OBIETTIVI

Obiettivi generali


















organizzativa









Pagina 5


Obiettivi specifici

























Pagina 6






















thinking



Pagina 7










Primi anni di vita
























Pagina 8


































Pagina 9





























una sua cugina







Pagina 10



































Pagina 11




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


Obiettivi specifici

























Pagina 6






















thinking



Pagina 7










Primi anni di vita
























Pagina 8


































Pagina 9





























una sua cugina







Pagina 10



































Pagina 11




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60






















thinking



Pagina 7










Primi anni di vita
























Pagina 8


































Pagina 9





























una sua cugina







Pagina 10



































Pagina 11




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60










Primi anni di vita
























Pagina 8


































Pagina 9





























una sua cugina







Pagina 10



































Pagina 11




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

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c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


































Pagina 9





























una sua cugina







Pagina 10



































Pagina 11




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

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1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

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c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

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Ene

rgia

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

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1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

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u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60





























una sua cugina







Pagina 10



































Pagina 11




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60



































Pagina 11




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60




































Pagina 12






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60






















Pagina 13


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

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Ene

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


































Pagina 14
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

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0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

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c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

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c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60
































Pagina 15























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

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d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

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ttvc

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minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

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0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















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2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60























(300000 Kms)

2

2

2

2

2

1

1

x vtxvc

y yz z

v xtctvc




Pagina 16































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

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= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

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c c


2






2

2 2 20 0 0 02

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⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60































dello spazio

Pagina 17





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

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Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

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1 1 31 2 8

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c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


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relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































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Cosmologia



















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Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60





importanti


modo



























Pagina 18




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

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egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

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Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






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1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60




































Pagina 19























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










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Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

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egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

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Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































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In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

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a K

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mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60























02dtc

∆ =







Pagina 20






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

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0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

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egrave appropriato








0

02

04

06

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1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60






2 2

2

2 2t tv d c∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 2 2

2

2 2

1

d dtc v vc

c

∆ = =minus

minus



02

21

ttvc

∆∆ =

minus












relativitagrave

Pagina 21


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

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Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

tt0


















Pagina 22





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

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= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

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a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

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⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60





2

00 22

2

11 2

1

t vt tcv

c

⎛ ⎞∆∆ = asymp ∆ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠minus


( )2

100 08

7700 11 12 300 10

m st t tm s


33 10












a quello corretto






separa due eventi

Pagina 23




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

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1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60




















Pagina 24


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


Esempio




Soluzione


( )0

2 2

22

100 100 1151 02505001 1

t s st sv cc c

∆∆ = = = =

minusminus minus


Esempio






Soluzione










per ricavare ∆t

Pagina 25


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


dvt

=∆

264 264 1 2670990 0990

al c adt av c c

sdot∆ = = = =

Ricaviamo ora ∆t0

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2

0 21 vt tc

∆ = ∆ minus


( )22

0 2 2

09901 267 1 377

cvt t ac c





(0990 c) = 373 anni-luce

Esempio




Terra

Pagina 26


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


Soluzione


∆t0 = 0850 s

∆t = 140 s

Ricaviamo v

2021 tv c

t∆

= minus∆


0795v c=

Esempio




s


Soluzione







Pagina 27


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


( )

660

2 2

22

220 10 220 1009951 1

t st sv cc c

minusminus∆ sdot

∆ = = = sdot

minus minus


( )( )60995 220 10 6570md c sminus= sdot = m




Pagina 28

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60

















propria L0


a loro














Pagina 29



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60



otteniamo

0

0

L Lvt t

= =∆ ∆



2

0 21 vL Lc

= minus





possibile

0

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Lung

hezz

a L

(m)

Pagina 30








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

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0

02

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12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60








( ) ( )2

2

0995500 1 499

cL km m










Pagina 31


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


Esempio


Soluzione



dati di L e L0

2

0 21 vL Lc

= minus

2

20

1 Lv cL

= minus

( )( )

22

220

05001 1 0866

100

mLv c c cL m

= minus = minus =



Pagina 32














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60














1 2

1 221

v vv v vc

+=

+




1

1 2 1

1 2 1 12 2

1

1 1 1


c c c

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠= = =+ + +

=








v = 3999999999999997ms

Pagina 33




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60




egrave appropriato








0

02

04

06

08

1

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


vc


fisici

Pagina 34


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


Esempio




Soluzione


( )( )1 2

1 22

2

0750 0800 09690750 08001 1


+ += = =

+ +


Esempio




Soluzione






1 2

1 221

v vv v vc

+=

+

12

121

v vv vvc

minus=

minus

Pagina 35



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60



( )( )1

21

22

0606 0552 008110606 05521 1

v v c cv cvv c cc c

minus minus= = =

minus minus



Pagina 36















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60















2

21

mvpvc

=

minus




Pagina 37


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Qua

ntitagrave

di m

oto

p





0 02 2

2 21 1

m v mp vv vc c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟


Se 2

0 21 vm mc


modo seguente

p mv=

Pagina 38




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60




lrsquoespressione

2

0 21 vm mc

= minus





Pagina 39


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






Pagina 45


Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

Pagina 46






Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


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relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















Pagina 51




































Pagina 52


































Pagina 53




































Pagina 54















Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













Pagina 57






soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60


Esempio


relativistica

Soluzione

Calcoliamo p = mv


Calcoliamo 2

21

mvpvc

=

minus

( )( )( )( )

88

2 2

22

24 081 300 10 99 10

0811 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


Esempio




pezzo del satellite

Soluzione







Pagina 40




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






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Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

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Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


Pagina 47

























relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






Pagina 49

















1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

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2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















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Cosmologia



















Pagina 55




































Pagina 56













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soluzioni

























Pagina 58







VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









Pagina 60




( )( )( )( )

8101 1

1 2 212

2

150 076 300 10 53 10

0761 1


sdot= = = sdot sdot

minus minus


2 22 12

221

m vp pvc

= =

minus



( )( )( )2

2 101 2

2 2 282

08853 10 1 1088 300 10



95 g


pezzo del satellite

Pagina 41









espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














Pagina 42































Pagina 43






In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

Pagina 44



mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






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Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

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Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


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relativistici


quotidiana

Pagina 48




























che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






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1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

Pagina 50


2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















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Cosmologia



















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soluzioni

























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VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

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BIBLIOGRAFIA









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espressione

2

202

21

m cE mcvc

= =

minus





invece

2

0E m c=














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In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

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mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






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Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

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Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


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relativistici


quotidiana

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che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






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1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

2

2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

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2 2 2

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2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















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Cosmologia



















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soluzioni

























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VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

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BIBLIOGRAFIA









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In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

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mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


20

12

K m v=


massa a riposo






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Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

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Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

6 J


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relativistici


quotidiana

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che poteva rivelare

questo effetto

Schematicamente un






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1 22 2

2

2 2 1

1





2 2 2 2

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2 2 1

1

d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

1 2 2 2





u c 1

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2 2 2

2 2 2

2 1 2 11 1 2 2


2

3

u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















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Cosmologia



















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soluzioni

























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VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

Pagina 59


BIBLIOGRAFIA









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In particolare

2

2002

21

m cE m c Kvc

= = +

minus


2

2002

21

m cK mvc

= minus

minus

c



0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1

vc

Ene

rgia

cin

etic

a K

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mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


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12

K m v=


massa a riposo






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Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

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Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

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relativistici


quotidiana

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che poteva rivelare

questo effetto

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1 22 2

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2 2 1

1





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d dtcc u v

c

= =minus minus


112 2 2

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u c 1

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2 2 2

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2

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u





dispositivo



222 2t ct dN

T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















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Cosmologia



















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soluzioni

























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VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

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BIBLIOGRAFIA









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mv il



22 2 22 2 2 20

0 0 0 0 02 22 2

2 2

1 1 31 2 8

1 1


c c


2






2

2 2 20 0 0 02

1 112 2


⎡ ⎤⎛ ⎞= + minus = + minus⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 20


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12

K m v=


massa a riposo






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Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

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Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



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6 J


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quotidiana

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che poteva rivelare

questo effetto

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d dtcc u v

c

= =minus minus


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u c 1

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2 2 2

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dispositivo



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T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠v



















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Cosmologia



















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soluzioni

























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VALUTAZIONE











risoluzione










Prove orali

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BIBLIOGRAFIA









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Esempio


Soluzione








di anni

Esempio



Soluzione




2m E c∆ = ∆





( )26

922 8

392 10 436 10300 10

JEm kc m s


sdotg

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Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

02 2

22

0320 300 10 0320 300 10 144 10

07451 1



minus minus

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T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

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Cosmologia



















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soluzioni

























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Prove orali

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BIBLIOGRAFIA









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Esempio



cinetica

Soluzione



Ricaviamo v

02

21

ttvc

∆∆ =

minus

2021 tv c

t∆

= minus∆


fattore 15

211 07

150v c c⎛ ⎞= minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠45


( )( )( )

( )( )282 22 8 10

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T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

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Cosmologia



















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relativistici


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T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

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Cosmologia



















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T cλ λ∆∆ ⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟

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LA TEORIA DELLA RELATIVITÁ - Mario Sandri · la teoria della relatività • Contribuire a...

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