Introduzione alle geometrie non euclidee

Prof. Daniele Ippolito

Liceo Scientifico “Amedeo di Savoia” di Pistoia

Gli “Elementi” di Euclide (III sec. a.C.) si aprono con una serie

di “definizioni”, tra cui:

Un punto è ciò che non ha parti.

Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai suoi

punti.

Un piano è una superficie che giace ugualmente rispetto alle

sue rette.

. P

r

Il metodo assiomatico della geometria euclidea

Nel 1800, la matematica ha rivisto le “definizioni” di Euclide,

interpretandole invece come descrizioni di enti geometrici.

Punto, retta e piano sono termini primitivi della geometria

euclidea piana: concetti che non si possono definire e dai quali

derivano le definizioni di altri enti (segmento, semiretta, ecc.).

Alle descrizioni degli enti fondamentali, seguono cinquepostulati, ossia affermazioni non dimostrabili:

1) Per ogni coppia di punti distinti passa una ed una sola retta.

.r .

A

B

2) Ogni retta si può estendere infinitamente.

3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e

qualsiasi raggio.

4) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

5) Se una retta che interseca due rette forma gli angoli interni

da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette,

prolungate infinitamente, si incontrano dalla parte in cui i

due angoli sono minori di due angoli retti.

t

sr

Nel primo libro degli “Elementi”, che contiene 48 proposizioni,

Euclide ricorre al quinto postulato soltanto alla proposizione

29.

Dal quinto postulato dipendono tuttavia teoremi importanti

della geometria piana, come quello sulla somma degli angoli

interni di un triangolo e il teorema di Pitagora.

Il dibattito sul quinto postulato di Euclide

Numerosi sono stati i tentativi di dedurre il quinto postulato di

Euclide dai primi quattro o di sostituirlo con una versione più

semplice. Tra questi:

Posidonio (I sec. a.C.) si illuse di aver trovato un postulato

alternativo, deducendolo dai primi quattro, mentre in realtà

fece ricorso (inconsapevolmente) anche al quinto postulato:

Rette parallele sono equidistanti.

r'

r

Il dibattito sul quinto postulato di Euclide

Numerosi sono stati i tentativi di dedurre il quinto postulato di

Euclide dai primi quattro o di sostituirlo con una versione più

semplice. Tra questi:

Posidonio (I sec. a.C.) si illuse di aver trovato un postulato

alternativo, deducendolo dai primi quattro, mentre in realtà

fece ricorso (inconsapevolmente) anche al quinto postulato:

Rette parallele sono equidistanti.

r'

r

Proclo (V sec. d.C.) elaborò un enunciato equivalente al

postulato di Euclide ma molto più semplice:

Data una retta r ed un punto ad essa esterno, esiste una ed

una sola retta r' parallela ad r.

s

r

Omar Khayyam (1077) mutuò da Aristotele un'altra versione

del postulato:

Se due rette cominciano ad avvicinarsi, esse si intersecano.

.r'

P

r

Girolamo Saccheri (1733) propose un'altra versione

equivalente al quinto postulato:

Dato un quadrilatero ABCD,

se AD = BC e e sono retti,

allora anche e sono retti.

Saccheri suggerì che, negando invece la validità del quinto

postulato, nel suo quadrilatero potevano verificarsi due tesi

alternative:

2) e sono ottusi1 e sono acuti

Johann Heinrich Lambert (1766), perseguendo la stessa

strada di Saccheri, giunse a verificare che, negando la validità

del postulato delle parallele:

In un triangolo la somma degli angoli interni è

variabile ed è minore di due angoli retti.

Saccheri e Lambert vengono considerati due precursori delle

geometrie non euclidee.

La geometria iperbolica

Intorno agli anni '20 del 1800, Gauss, Lobačevskij e Bolyai

giunsero, indipendentemente l'uno dall'altro, alla formulazione

della prima geometria non euclidea.

Tale modello è detto geometria

iperbolica, perché Lobačevskij

fece riferimento alla

trigonometria iperbolica.

Nella geometria iperbolica valgono i primi quattro postulati di

Euclide ma viene riformulato il quinto.

Fondamentale per rappresentare le geometrie non euclidee è

il concetto di geodetica, elaborato da Joseph Liouville nel

1850.

Data una superficie, le geodetiche

su di essa sono le curve che

minimizzano la distanza tra punti.

Sul piano euclideo, le geodetiche

sono le rette.

. A

. B

. C

. D

Su una sfera, le

geodetiche sono

le circonferenze

di diametro

massimo.

Diversi modelli per la geometria iperbolica sono stati proposti

a partire dal 1868.

1) La pseudosfera

(Eugenio Beltrami):

una superficie infinita

che si ottiene

ruotando una curva

detta “trattrice”

attorno al suo

asintoto.

Proprietà della

pseudosfera è di

avere curvatura

negativa costante.

I termini primitivi della geometria euclidea sono così sostituiti:

Piano Pseudosfera

Retta Geodetica sulla pseudosfera

Punto Punto

2) Il disco di Klein:

Piano Cerchio (aperto)

Retta Corda (aperta)

Punto Punto

3) Il disco di Poincaré

Piano Cerchio (aperto)

Retta

Diametro (aperto) o

arco perpendicolare

al bordo

Punto Punto

Un altro modello, che giustifica pienamente la definizione di

geometria “iperbolica” è l'iperboloide a due falde, proposto da

Helmholtz (1870) e da Weierstrass (1880).

Piano Iperboloide

Retta

Intersezione tra

l'iperboloide e un

piano passante per il

suo centro di

simmetria

Punto Punto

Questo modello ha forti analogie con lo spazio-tempo di

Minkowski (1907), adottato per la rappresentazione degli

eventi nella teoria della relatività ristretta di Einstein.

La geometria iperbolica si

impone quindi anche come

uno strumento per la

descrizione della realtà

fisica.

Geometria assoluta

1) Per ogni coppia di punti distinti passa una ed una sola geodetica.

2) Ogni geodetica si può estendere infinitamente.

3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro equalsiasi raggio.

4) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

Geometria euclidea Geometria iperbolica

5) Data una geodetica r ed unpunto P ad essa esterno, esisteuna ed una sola geodetica r'parallela ad r e passante per P.

5) Data una geodetica r ed unpunto P ad essa esterno,esistono infinite geodeticheparallele ad r e passanti per P.

Postulati della geometria euclidea e della geometria iperbolica

.P

r

r'

La geometria ellittica

Nel 1854, Bernhard Riemann formulò il modello della

geometria sferica, già noto ai greci, ma che era stato

abbandonato perché violava diversi postulati di Euclide.

Nella geometria sferica, oltre al quinto postulato, vanno rivisti

anche i primi due.

Piano Superficie sferica

Retta Circonferenza

massima

Punto Punto

Una variante al modello di Riemann è stata avanzata nel 1871

da Felix Klein, che ha identificato le coppie di punti agli

antipodi della sfera come un unico ente geometrico.

Il modello di Klein è equivalente al piano proiettivo, già noto ai

matematici, e pertanto viene rappresenta una geometria

proiettiva.

Il corpo comune alla geometria sferica e a quella proiettiva è

detto geometria ellittica.

Piano Superficie sferica

Retta Circonferenza

massima

PuntoCoppia di punti

antipodali

Geometria sferica Geometria proiettiva

1) Per ogni coppia di

punti distinti passa una

ed una sola geodetica,

ad eccezione dei punti

antipodali.

1) Date due coppie

distinte di punti

antipodali, per esse

passa una ed una sola

geodetica.

Geometria ellittica

2) Ogni geodetica si può estendere

illimitatamente (non infinitamente).

3) Si può descrivere una circonferenza con

qualsiasi centro e qualsiasi raggio.

4) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

5) Data una geodetica r ed un punto P ad essa

esterno, non esistono geodetiche parallele ad r

e passanti per P.

Postulati della geometria sferica e della geometria proiettiva

C.

. D

Curvatura di una superficie

Per comprendere il tipo di geometria descritto da una

superficie, introduciamo il concetto di curvatura, a cominciare

dalla curvatura di una curva.

Definiamo cerchio osculatore di

una curva in un punto il cerchio

che, con un procedimento di

passaggio al limite, approssima la

curva in tale punto.

A.

.B

La curvatura di una curva in un punto, già definita da Newton

e da Huygens, è uguale al reciproco del raggio del cerchio

osculatore nel punto: k = 1/r

Nel piano, le uniche curve a k costante sono:

1) la retta (k = 0);

2) la circonferenza (k = 1/R)

Per definire la curvatura di una superficie S in un punto P, si

adotta il procedimento descritto da Eulero.

1) Si determina il piano tangente alla superficie S in P e il vers. normale n.

2) Si considerano tutti i piani perpendicolari a passanti per P. Le loro

intersezioni con S sono delle curve.

3) Tra le curve, ne esiste una con kmax

e una con kmin

. La curvatura di S in P

ha per valore assoluto: |k| = kmax

· kmin

.

.P

S

kmax

kmin

n

Il segno della curvatura della superficie è:

a) positivo se le curve principali si trovano dalla stessa parte

rispetto al versore normale;

b) negativo se si trovano da parti opposte.

n

n

k > 0 k < 0

Se una delle due curve principali ha k = 0, la curvatura della

superficie è nulla.

Alcune superfici a curvatura costante nulla

Superficie a curvatura costante positiva

k = 1/R2

Alcune superfici a curvatura costante negativa

La curvatura di una superficie in un punto ne determina quindi

la geometria.

k > 0

Geometria

ellittica

k = 0

Geometria

euclidea

k < 0

Geometria

iperbolica

Differenze tra le tre geometrie

Modificando i postulati di una geometria, cambiano anche

alcuni teoremi. Vediamo alcuni esempi.

Somma degli angoli interni di un triangolo

> 180° < 180° = 180°

Angoli superiori del quadrilatero di Saccheri

angoli acuti angoli retti angoli ottusi

Inoltre, nelle geometrie non euclidee:

- non vale il teorema di Pitagora;

- il rapporto tra una circonferenza e il suo raggio non è 2 ;

- un angolo alla semicirconferenza non è 90°.

Tassellazione del piano

Il problema della tassellazione del piano con poligoni regolari

assume differenti soluzioni a seconda della geometria

considerata.

Nella geometria euclidea, poiché la somma degli angoli

concorrenti in un vertice deve essere 360°, sono possibili solo

tre tipi di tassellazione.

Nella geometria sferica è possibile solo la tassellazione con

triangoli equilateri e con quadrati.

Nella geometria iperbolica sono possibili infinite tassellazioni.