Le equazioni di Maxwell Realizzato da Luigi Lombardo.

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Le equazioni di Le equazioni di Maxwell Maxwell Realizzato da Luigi Realizzato da Luigi Lombardo Lombardo

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Le equazioni di MaxwellLe equazioni di Maxwell

Realizzato da Luigi LombardoRealizzato da Luigi Lombardo

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MaxwellMaxwell

Nato a Edimburgo Nato a Edimburgo nel 1831, morì a nel 1831, morì a Cambridge nel Cambridge nel 1879.1879.

Maxwell pubblica le Maxwell pubblica le sue equazioni nel sue equazioni nel 1865.1865.

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Prima di MaxwellPrima di Maxwell

Teorema di Gauss per il Teorema di Gauss per il campo elettrico: campo elettrico:

Teorema di Gauss per il Teorema di Gauss per il campo magnetico:campo magnetico:

Legge di Faraday-Legge di Faraday-Neumann-Lenz:Neumann-Lenz:

Teorema di Ampère:Teorema di Ampère:

Q

E

0 B

t

BEC

iBC

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Cosa trova MaxwellCosa trova Maxwell

Prima delle equazioni di Maxwell, le leggi Prima delle equazioni di Maxwell, le leggi che descrivevano l’elettromagnetismo che descrivevano l’elettromagnetismo erano quelle appena elencate.erano quelle appena elencate.

La prima descrive il campo elettrostatico, La prima descrive il campo elettrostatico, la seconda e la quarta descrivono il campo la seconda e la quarta descrivono il campo magnetostatico.magnetostatico.

Solo la terza indica come un campo Solo la terza indica come un campo magnetico variabile generi un campo magnetico variabile generi un campo elettrico, cioè l’elettromagnetismo.elettrico, cioè l’elettromagnetismo.

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Manca qualcosaManca qualcosa

Maxwell nota la non simmetria di Maxwell nota la non simmetria di queste equazioni (in fisica la queste equazioni (in fisica la simmetria è importante!)simmetria è importante!)

Perché un campo magnetico Perché un campo magnetico variabile dovrebbe generare un variabile dovrebbe generare un campo elettrico, e non viceversa?campo elettrico, e non viceversa?

Nota quindi che Nota quindi che manca qualcosa.manca qualcosa.

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L’esperimento mentaleL’esperimento mentale(gedankenexperiment)(gedankenexperiment)

Maxwell immagina quindi di eseguire Maxwell immagina quindi di eseguire il seguente esperimento mentale (un il seguente esperimento mentale (un esperimento che non si svolge in esperimento che non si svolge in laboratorio, ma solo nella mente).laboratorio, ma solo nella mente).

Prende un circuito contenente un Prende un circuito contenente un condensatore che viene caricato a condensatore che viene caricato a corrente costante (vedi schema corrente costante (vedi schema seguente).seguente).

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Lo schema dell’esperimentoLo schema dell’esperimento

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La natura non fa salti.La natura non fa salti.

Maxwell nota che la circuitazione del Maxwell nota che la circuitazione del campo magnetico lungo Scampo magnetico lungo S11 prima e dopo il prima e dopo il condensatore è costante, mentre è nulla condensatore è costante, mentre è nulla lungo Slungo S22. .

Ricordando il fondamentale principio della Ricordando il fondamentale principio della fisica, “la natura non fa salti” (Natura non fisica, “la natura non fa salti” (Natura non facit saltus), ipotizza l’esistenza, all’interno facit saltus), ipotizza l’esistenza, all’interno del condensatore, di una nuova corrente, del condensatore, di una nuova corrente, di valore pari a quella di carica del di valore pari a quella di carica del condensatore.condensatore.

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Alla ricerca del termine mancante.Alla ricerca del termine mancante.

L’unica cosa presente nel condensatore è L’unica cosa presente nel condensatore è il campo elettrico.il campo elettrico.

Pertanto trova la relazione tra questo e la Pertanto trova la relazione tra questo e la corrente di carica.corrente di carica.

La variazione di carica La variazione di carica Q sul Q sul condensatore vale icondensatore vale it.t.

Il campo E vale Il campo E vale σσ//, dove , dove σσ è la densità di è la densità di carica che vale Q/A, dove A è l’area carica che vale Q/A, dove A è l’area dell’armatura del condensatore.dell’armatura del condensatore.

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La variazione del flusso.La variazione del flusso.

Quindi la variazione del flusso Quindi la variazione del flusso ΦΦ(E) del (E) del campo elettrico nel condensatore è pari a:campo elettrico nel condensatore è pari a:

(ci si poteva arrivare direttamente con (ci si poteva arrivare direttamente con Gauss)Gauss)

QA

A

QAEAE

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Il calcolo della corrente di Il calcolo della corrente di spostamento.spostamento.

E, ricordando che E, ricordando che Q = iQ = it, segue:t, segue:

Ed esplicitando la Ed esplicitando la corrente i, segue:corrente i, segue:

Maxwell la chiama Maxwell la chiama corrente di corrente di spostamento, che spostamento, che indicheremo col indicheremo col simbolo isimbolo iss. Quindi:. Quindi:

tiQ

E

t

Ei

t

Eis

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Il teorema di Ampère-MaxwellIl teorema di Ampère-Maxwell

Pertanto Maxwell modifica il teorema Pertanto Maxwell modifica il teorema di Ampère nel seguente modo:di Ampère nel seguente modo:

C(B) = C(B) = (i + i(i + iss)) Sostituendo iSostituendo iss otteniamo: otteniamo: C(B) = C(B) = (i + (i + ΦΦ(E)/(E)/t)t) Così modificato prenderà il nome di Così modificato prenderà il nome di

teorema di Ampère-Maxwell.teorema di Ampère-Maxwell.

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Le equazioni di MaxwellLe equazioni di Maxwell

Le quattro Le quattro equazioni iniziali equazioni iniziali diventano diventano pertanto:pertanto:

Così riscritte Così riscritte prenderanno prenderanno (giustamente) il (giustamente) il nome di equazioni nome di equazioni di Maxwell.di Maxwell.

t

EiBC

t

BEC

B

QE

0

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La simmetriaLa simmetria

Si può notare come ora queste Si può notare come ora queste equazioni sono più simmetriche di equazioni sono più simmetriche di prima.prima.

Infatti, non solo un campo magnetico Infatti, non solo un campo magnetico variabile genera un campo elettrico, variabile genera un campo elettrico, ma anche il viceversa, un campo ma anche il viceversa, un campo elettrico variabile genera un campo elettrico variabile genera un campo magnetico.magnetico.

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L’importanza di MaxwellL’importanza di Maxwell

Con l’aggiunta del suo termine mancante, Con l’aggiunta del suo termine mancante, Maxwell modifica profondamente le Maxwell modifica profondamente le equazioni dei campi elettrici e magnetici, equazioni dei campi elettrici e magnetici, mostrando l’interdipendenza tra i due.mostrando l’interdipendenza tra i due.

Per questo da Maxwell in poi si potrà Per questo da Maxwell in poi si potrà parlare di campi elettromagnetici.parlare di campi elettromagnetici.

Questo è il motivo per cui le precedenti Questo è il motivo per cui le precedenti equazioni, scoperte dai predecessori di equazioni, scoperte dai predecessori di Maxwell, dove Maxwell aggiunge solo un Maxwell, dove Maxwell aggiunge solo un piccolo termine, giustamente prendono il piccolo termine, giustamente prendono il nome di equazioni di Maxwell.nome di equazioni di Maxwell.

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Cosa succede nel vuoto?Cosa succede nel vuoto?

La simmetria di cui si è parlato è La simmetria di cui si è parlato è ancora più evidente riscrivendole nel ancora più evidente riscrivendole nel caso ci si trovi nel vuoto.caso ci si trovi nel vuoto.

In tal caso non ci sono sorgenti, cioè In tal caso non ci sono sorgenti, cioè Q = 0 ed i = 0, e le costanti sono Q = 0 ed i = 0, e le costanti sono quelle nel vuoto.quelle nel vuoto.

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Le equazioni nel vuoto.Le equazioni nel vuoto.

Pertanto le Pertanto le equazioni si equazioni si riscrivono nel riscrivono nel seguente modo:seguente modo:

t

EBC

t

BEC

B

E

00

0

0

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L’ipotesi delle OEML’ipotesi delle OEM

Lo stesso Maxwell scopre, solo dal Lo stesso Maxwell scopre, solo dal punto di vista matematico, che punto di vista matematico, che queste equazioni hanno, come una queste equazioni hanno, come una delle possibili soluzioni, delle onde delle possibili soluzioni, delle onde elettromagnetiche (OEM), cioè elettromagnetiche (OEM), cioè variazioni sinusoidali dei campi variazioni sinusoidali dei campi elettrici e magnetici, in particolare elettrici e magnetici, in particolare con fronti d’onda piani.con fronti d’onda piani.

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La velocità della luceLa velocità della luce

Inoltre scopre che queste ipotetiche Inoltre scopre che queste ipotetiche onde, allora ignote, avrebbero onde, allora ignote, avrebbero viaggiato ad una velocità pari a viaggiato ad una velocità pari a 1/1/0000, un valore (stranamente) , un valore (stranamente) uguale alla velocità della luce nel uguale alla velocità della luce nel vuoto, cosa che gli fa ipotizzare la vuoto, cosa che gli fa ipotizzare la natura elettromagnetica della luce.natura elettromagnetica della luce.

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La scoperta delle OEMLa scoperta delle OEM

Nel 1885 Hertz scoprì Nel 1885 Hertz scoprì sperimentalmente le sperimentalmente le OEM, aprendo la OEM, aprendo la strada all’invenzione strada all’invenzione della radio, della radio, confermando così le confermando così le geniali intuizioni di geniali intuizioni di Maxwell, inclusa la Maxwell, inclusa la natura natura elettromagnetica della elettromagnetica della luce.luce.

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Conclusioni.Conclusioni.

La maggior parte dei turisti che visitano La maggior parte dei turisti che visitano l’abbazia di Westminster, vanno a trovare l’abbazia di Westminster, vanno a trovare la tomba di Newton.la tomba di Newton.

Pochi vanno a visitare il cenotafio di Pochi vanno a visitare il cenotafio di Maxwell, che si trova nella stessa abbazia, Maxwell, che si trova nella stessa abbazia, sebbene la genialità di Maxwell non sia sebbene la genialità di Maxwell non sia inferiore a quella di Newton.inferiore a quella di Newton.

Se visitate l’abbazia di Westminster, Se visitate l’abbazia di Westminster, andate a trovare il cenotafio di Maxwell!andate a trovare il cenotafio di Maxwell!