La versione trigonometrica del Teorema di Pitagora

Di Cristiano Armellini (cristiano.armellini@alice.it)

Si consideri due angoli βα , tali che 2/πβα =+ , allora βπα −= 2/ . Quindi

)cos()2/()( ββπα =−= sensen ovvero )(cos)( 22 βα =sen . Permutando i due angoli (alfa con

beta) possiamo anche scrivere )(cos)( 22 αβ =sen .

Sappiamo che dati due qualsiasi angoli vale l’identità trigonometrica . Nel nostro caso possiamo

scrivere 1)(cos)( 22 =+ ααsen e 1)(cos)( 22 =+ ββsen . Usando il risultato precedente:

1)(cos)(cos 22 =+ βα e 1)()( 22 =+ βα sensen che è la forma trigonometrica del teorema di

Pitagora. Questa forma equivale infatti davvero al teorema di Pitagora. Moltiplicando infatti

entrambi i membri per 2c si ottiene nelle due formulazioni (quella del coseno e quella del seno) che

222222222222 )(cos)(cos)()( cbacccsencsenc =+=+==+ βββα .

Allo stesso risultato si poteva facilmente arrivare applicando ad un generico triangolo rettangolo il

teorema dei seni: )2/(/)(/)(/ πβα sencsenasenb == . Dalla teorema si deduce che

)(,

)()(

ββα

sena

casensen

b == . Sapendo poi che 222 cba =+ (ovvero il teorema di Pitagora) sostituendo

otteniamo )()(

)(2

22

2

22

ββα

sena

asensen

a =+ , ovvero 1)()( 22 =+ αβ sensen . Dato che devono valere

1)(cos)(,1)(cos)( 2222 =+=+ ββαα sensen deduciamo facilmente che )()(cos 22 βα sen= (per la

verità possiamo anche scrivere )()(cos βα sen= ).

Permutando alfa con beta possiamo anche scrivere )()(cos 22 αβ sen= (è vero anche

)()(cos βα sen= ). Ma questo fatto ci porta a concludere che deve essere anche

1)(cos)(cos 22 =+ βα che quindi insieme è la versione trigonometrica del teorema di Pitagora.:

In ogni triangolo rettangolo βπα −= 2/ , 1)(cos)( 22 =+ ααsen 1)(cos)(, 22 =+ ββsen , (a

meno delle periodicità degli angoli)