RACCONTARE LA MATEMATICA

IL TEOREMA DI PITAGORA: UN INTRIGO MATEMATICO

TEOREMA

è una proposizione che, a partire da condizioni iniziali

arbitrariamente stabilite (ipotesi), trae delle

conclusioni (tesi), dandone una dimostrazione

ETIMOLOGIAproposizione, regola d’arte o di scienza, trovata e stabilita a

forza di considerazioni e investigazioni

La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto (attribuito alla scuola pitagorica)

PITAGORA (570-500 a.C.)

Matematico e filosofo greco che fondò una scuola a Crotone in Calabria (Magna Grecia)

Scuola Pitagorica

LA SCUOLA PITAGORICA

A questa scuola erano ammesse anche le donne(fatto assai strano per

quell’epoca!)Era una sorta di società segreta dove venivano imposte delle regole di vita

molto rigide (ad es. erano tutti vegetariani) e dove era vietato

divulgare all’esterno le scoperte fatte all’interno della scuola

Uno dei simboli della scuola pitagorica era il pentagono stellato

Che relazione esiste fra numero dei lati (n)e numero delle diagonali (d) di un poligono?

PROVIAMO

QUADRILATERO (n=4, d=2)

PENTAGONO (n=5, d=5)

ESAGONO (n=6, d=9)

Quante diagonali escono da un vertice?

� Nel quadrilatero� UNA� Nel pentagono� DUE� Nell’esagono� TRE� …..

GENERALIZZANDO

� Quadrilatero 1=4-3� Pentagono 2=5-3� Esagono 3=6-3Diagonali uscenti da un

vertice: n-3

COMPLESSIVAMENTE

�Quadrilatero 1x4:2�Pentagono 2x5:2�Esagono 3x6:2

d=n(n-3):2

RIASSUMIAMO CON UNA TABELLA

n n-3 d=n(n-3)/2

3 0 0

4 1 2

5 2 5

6 3 9

7

8

9

IL TEOREMA DI PITAGORA

UNA SCOPERTA CHE CAMBIO’ LA VITA DEI PITAGORICI

Le terne pitagoriche possono essere

primitive o derivate

Primitive Derivate

� Una terna pitagorica si dice primitiva se a, b e c non hanno divisori comuni

� Se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (da, db, dc), dove d è un numero naturale qualsiasi; il numero d è quindi un divisorecomune dei tre numeri da, db, dc.

Stabilisci se le seguenti terne sono pitagoriche e fra queste quali sono primitive

( 3, 4, 5) (5, 6, 7) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) (9, 12, 15) ( 8, 15, 17)

I triangoli descritti da terne pitagoriche derivate sono sempre simili a quelle descritte dalla corrispondente terna primitiva.

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA

IPPASO DA METAPONTO (allievo di Pitagora)

Fece una scoperta applicando il teorema

del maestro ai triangoli rettangoli

isosceli

LA SCOPERTA DEGLI IRRAZIONALI

COSA SUCCESSE?� Poiché Pitagora aveva sempre sostenuto che

tutti i numeri erano interi o rapporto di interi (i razionali) la scoperta degli irrazionali non doveva essere ASSOLUTAMENTE divulgata all’esterno

� Ippaso contravvenne a questa regola e venne trovato morto in riva al mare con la stella pitagorica marchiata a fuoco sul petto (Pitagora sostenne che era stato colpito dalla furia di Giove)

� In realtà è certo che fu Pitagora stesso ad organizzare una congiura per assassinare Ippaso

Il triangolo rettangolo isoscele è la metà di un quadrato (gli angoli acuti misurano 45°)

Dimostrazione del teorema di Pitagora per il triangolo rettangolo isoscele

I due cateti sono uguali

� Se l=10 applicando il teorema di Pitagora avremo

� d² = 10² + 10² da cui� d = √2 . 10² = √2 . √ 10² =

10√2

Per cui in un quadrato la diagonale è

l√2

Un altro triangolo rettangolo particolare con gli angoli acuti di 30° e 60° (metà di un triangolo equilatero)

Il cateto minore è metà dell’ipotenusa

Se BC=10 avremo AC=5Applicando il teorema di Pitagora: AB² = BC² - AC²Cioè AB = √100-25 = √7575 non è un quadrato perfetto per

cui:√75 = √25.3= √25.√3= 5.√3

Per cui in un triangolo equilatero l’altezza è

l/2√3

Occorre confezionare una tenda da sole per il balcone in figura

La tenda deve essere fissata al muro a 3 m di altezza dal pavimento del balcone, che èlargo 1 m. La tenda deve sporgere 0,5 m dalla ringhiera che è alta 1 m

Scrivi i calcoli che fai per trovare la lunghezza

x della tenda e infine riporta il risultato

LA GEOMETRIA FRATTALE

LA GEOMETRIA FRATTALE E IL TEOREMA DI PITAGORA