Geometria con GeoGebra

 

 

 

GeoGebra è un software didattico "open source" di geometria dinamica dedicatoall'insegnamento e all'apprendimento della matematica a tutti i livelli di istruzione: dalla scuolaprimaria all'università. In questa sezione proporremo alcuni semplici esempi creati alla LIMdurante le lezioni di geometria che potranno essere visualizzate sul sito (per un primoapproccio), anche se si suggerisce di scaricare gratuitamente il software (è possibile copiare, distribuire e trasmettere GeoGebra liberamente per scopi non commerciali)al link http://www.geogebra.org (collegamento esterno) ove si trovano anche guide, materiali e forum ad esso dedicati.

Per visualizzare gli esempi, selezionare i link riportati qui in alto a destra (la lista saràaggiornata man mano che verranno creati nuovi esempi). Buon divertimento!

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Geometria con GeoGebra

 

 

 

 

 

Riportiamo un esempio di unità di apprendimento che si esegue in seconda media: i puntinotevoli di un triangolo. Se la classe dispone di LIM si può affrontare con questo interessantesoftware di geometria dinamica. L'indiscutibile vantaggio di questi programmi è che quando sidisegnano figure geometriche è possibile poi modificarle a piacere trascinando con il mouse (ocon la penna della LIM) gli oggetti "liberi" verificando "sperimentalmente" l'esistenza delleproprietà. Questa verifica precede la rigorosa dimostrazione matematica. Nota: gli oggetti "liberi" sono quelli che posso liberamente trascinare (ed es. i tre vertici deitriangoli) mentre quelli "dipendenti" non si possono muovere liberamente ma sono vincolati dalleproprietà che li hanno generati (ad esempio un punto medio, un asse, una bisettrice, i puntinotevoli... si muovono solo se muovo gli oggetti a cui sono vincolati).

 

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Geometria con GeoGebra

I punti notevoli di un triangolo: l'ortocentro

L'ortocentro è il punto intersezione delle tre altezze di un triangolo. Esso è interno se il triangoloè acutangolo, giace sul vertice dell'angolo retto se il triangolo è rettangolo ed è infine esterno seil triangolo è ottusangolo. Prova a trascinare i tre vertici A,B e C per verificarlo...

 

 

I punti notevoli di un triangolo: il baricentro

Il baricentro è il punto intersezione delle tre mediane del triangolo. Esso, da un punto di vistafisico, è il punto di equilibrio del triangolo ed è pertanto sempre interno ad esso. Il baricentro hala proprietà di dividere ciascuna mediana in due segmenti tali che quello contenente il vertice èsempre il doppio dell'altro: nella figura vedi che GB=2GM (per brevità si riportano le misureriferite ad una stessa mediana, ma ricorda che sarà anche AG=2GM' e CG=2GM").

 

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I punti notevoli di un triangolo: l'incentro

L'incentro è il punto intersezione delle tre bisettrici degli angoli interni del triangolo. Esso cadesempre interno ed è il centro della circonferenza... "inscritta" al triangolo. L'incentro ha dunquela proprietà di trovarsi sempre equidistante dai tre lati del triangolo (DE=DF=DG=raggio cfrinscritta).

 

I punti notevoli di un triangolo: il circocentro

Il circocentro è il punto intersezione dei tre assi di ciascun lato di un triangolo. Prova amodificare la figura dinamicamente trascinando i tre vertici A,B,D. Vedi in particolare cosasuccede al baricentro se il triangolo è rettangolo ovvero ottusangolo. Perché si chiamacircocentro? Rifletti sulla circonferenza... "circoscritta" al triangolo. Dove ha il suo centro?

 

Concludiamo l'unità con un'esercitazione finale: disegniamo con Geogebra un nuovo triangolo edeterminiamone rispettivamente il baricentro G, l'ortocentro O e il circocentro C. Cosaosserviamo? Sono sempre allineati (tranne quando il triangolo diventa equilatero, dove tutti ipunti notevoli compreso l'incentro, sono coincidenti in un unico punto detto CENTRO) e la rettache li contiene viene detta "Retta di Eulero".

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Scarica file originali sul tuo computer e aprili con GeoGebra :

ortocentro ,  baricentro , incentro , circocentro , retta di Eulero

 

 

 

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Riportiamo un esempio di equicomposizione a seguito di movimento rigido (isometria) dirotazione: l'area del trapezio. In questo caso abbiamo usato un artificio possibile con GeoGebraovvero uno "slider" (riportato a sinistra in basso di colore verde) che consiste in un segmentocon sopra un punto mobile che permette una rotazione proporzionale del triangolo da 0° a180°.

In particolare verifichiamo (vedere animazione gif) che il trapezio è equivalente al triangolo (difine animazione) che ha per altezza la medesima del trapezio e per base la somma delle basidel trapezio... 

 

 

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Scarica il file originale sul tuo computer e aprilo con GeoGebra : 

Area del trapezio

 

 

 

 

 

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Altro esempio di equicomposizione: l'area del parallelogramma. Questa volta usiamo comeisometria la traslazione (del triangolo rettangolo AH'D con vettore di traslazione applicato in A econ modulo di lunghezza AB) verifichiamo che il parallelogramma ABCD è equivalente alrettangolo HH'CD. Passando alle misure, ne consegue che l'area del parallelogramma è ugualea quella del rettangolo ossia A=b·h.  

Suggerimento:  Nel file originale, muovi il punto blu e autocomponi il vettore da E a F.

 

 

Scarica il file originale sul tuo computer e aprilo con GeoGebra : 

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Area del parallelogramma

 

 

 

 

 

 

Altro esempio: l'area del rombo A=D·d/2 (dove D:diagonale maggiore e d:diagonale minore).Verifichiamo sempre con lo slider (vedere animazione gif) che il rombo ACBD è equivalente allametà del rettangolo JKLO, attraverso una rotazione dei quattro triangoli rettangoli congruenti(che compongono il rombo) attorno al punto medio delle rispettive ipotenuse. Passando allemisure, la sua area sarà dunque la metà del prodotto delle diagonali (congruenti alla base edaltezza del rettangolo).  

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Scarica il file originale sul tuo computer e aprilo con GeoGebra : 

Area del rombo

 

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Un tema fondamentale:  il teorema di Pitagora

Enunciamo il teorema di Pitagora: “il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla sommadei quadrati costruiti sui cateti”. Scarica questo file (dal link sottoriportato) e prova a muovere ipunti A,B e C per verificare l'equivalenza.

 

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L'enunciazione con in quadrati è tuttavia un caso particolare, in quanto la relazione di Pitagoravale anche se sui cateti e sull'ipotenusa costruiamo altri poligoni regolari (triangoli equilateri,pentagoni regolari, esagoni regolari, ecc… dove, come sai, per “regolare” si intendono poligoniche siano simultaneamente “equilateri” ed “equiangoli”). Verifichiamolo sperimentalmente conGeoGebra (vedere animazione) dove possiamo associare il numero di lati di poligoni regolari aduno slider, e verificare, nel foglio di calcolo a destra associato alle aree dei poligoni, che larelazione di equivalenza rimane invariata (ossia che l'area del poligono di n lati costruitosull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei poligoni di n lati costruiti sui cateti).

 

 

Aumentando il numero di lati (lo slider è stato configurato da n=3 a n=50, ma è possibilecambiare queste impostazioni una volta scaricato il file riportato sotto), possiamo porci laseguente domanda: se aumento i lati all'infinito, a che figura geometrica si tende.... al cerchio?Vale anche per lui la relazione di equivalenza? Ebbene, si.

 

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Scarica il file originale sul tuo computer e aprilo con GeoGebra :  Teorema di Pitagora , Sua generalizzazione

        Applicazioni della similitudine dei triangoli: il 1° teorema di Euclide Un'importante applicazione della similitudine dei triangoli è il primo teorema di Euclide: dato untriangolo rettangolo ABC, tracciata l'altezza relativa all'ipotenusa BH, questa divide il triangolo indue triangoli rettangoli che sono a loro volta rispettivamente simili al triangolo di partenza ABC.Dunque: - BCH è simile ad ABC da cui si evince che AC:BC=BC:CH ovvero applicando la proprietàfondamentale delle proporzioni si ha: BC²=AC·CH - BAH è simile ad ABC da cui si evince che AC:AB=AB:AH ovvero applicando la proprietàfondamentale delle proporzioni si ha: AB²=AC·AH In definitiva: in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa ela proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa oppure: in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangoloche ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa. Questa seconda enunciazione "geometrica" ci permette di costruire la nostra figura conGeoGebra. Osserviamo che dal 1° teorema di Euclide deriva un altro teorema che dovremmogià conoscere benissimo... il teorema di Pitagora! Suggerimento:  muovi il punto B (per rimanere con il disegno dentro il riquadro).  

Scarica il file originale sul tuo computer e aprilo con GeoGebra :  primo teorema di Euclide

        Applicazioni della similitudine dei triangoli: il 2° teorema di Euclide Proseguiamo con il secondo teorema di Euclide: dato un triangolo rettangolo ABC, tracciatal'altezza relativa all'ipotenusa CH, questa divide il triangolo in due triangoli rettangoli che sonotra loro simili, cioè il triangolo ACH è simile al triangolo BCH, da cui si evince che: 1) AH:CH=CH:BH ovvero, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni: 2) CH²=AH·BH Enunciamo il 2° teorema di Euclide derivandolo rispettivamente dalle due deduzioniprecedenti: 1) in ogni triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra leproiezioni dei due cateti sull'ipotenusa. 2) In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa èequivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa. Questa seconda enunciazione, che fa riferimento all'equiestensione (quadrato CDEHequivalente al rettangolo BHFG) ci permette di costruire la nostra figura con GeoGebra. Suggerimento:  muovi il punto C e sperimenta la conservazione delle aree.  

Scarica il file originale sul tuo computer e aprilo con GeoGebra :    secondo teorema di Euclide  

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