Il Teorema di Pitagora: diversi punti di vista · Il teorema di Pitagora è considerato il teorema...

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22 marzo 2016 Il Teorema di Pitagora: diversi punti di vista

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22 marzo 2016

Il Teorema di Pitagora:

diversi punti di vista

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Il teorema di Pitagora è considerato il teorema più affascinante di tutta l’opera di Euclide, al punto che

uomini di tutte le classi sociali e di tutte le nazionalità, dal filosofo ormai anziano, seduto nella sua

poltrona in salotto, al giovane soldato in trincea, in prossimità della terra di nessuno, durante la prima

guerra mondiale, nel lontano 1917, hanno trascorso ore ed ore alla ricerca di una nuova dimostrazione.

Elisha Scott Loomis, Il teorema di Pitagora.

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Elisha Scott Loomis (1852 – 1940) non è un nome molto famoso tra i

matematici

Non ci sono equazioni o teoremi che portino il suo nome ed ormai i pochi libri

che scrisse sono oggi completamente dimenticati.

Tutti tranne uno: il suo libro intitolato Il teorema di Pitagora, di 285

pagine, nel quale egli raccolse e classificò ben 371 diverse dimostrazioni

dell’enunciato di tale teorema.

Tra queste, una senz’altro molto particolare è quella basata sul concetto di

tassellazione piana, ovvero un ricoprimento dell’intero piano con un motivo

geometrico ripetuto, che non lasci zone vuote e non preveda alcuna

sovrapposizione.

Si tratta di una “dimostrazione senza parole”, che viene presentata senza

ulteriori spiegazioni e che gli studenti possono analizzare, comprendere e

commentare per scritto.

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Proverbio cinese

Se ascolto dimentico,se vedo ricordo,se faccio capisco,se gioco imparo.

il fare crea una conoscenza stabile su cui si può fare affidamento

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ESPERIENZA

- i triangoli rettangoli da comporre

- la cordicella con i nodi

- i disegni sul quaderno

che diventa il proprio

manuale

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Formalizzazione

Ogni processo

va formalizzato: registriamo

le azioni eseguite con i vari oggetti

geometrici

Incolliamo le figure realizzate,

disegniamo, evidenziamo,

scriviamo le osservazioni fatte

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Pitagora e le piastrelle, narra la leggenda…

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Tavoletta di argilla babilonese 1900-1600 a.C.

Pimpliton 322, ritrovata nell’antico sito Larsa, in Iraq

15 righe di numeri scritte in forma sessagesimale

Pare corrispondenti a 15 terne pitagoriche, diverse le interpretazioni

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Terne pitagoricheUna terna pitagorica è una terna di numeri naturali a,b, c tali che a2 + b2 = c2. Il nome viene dal teorema diPitagora, da cui discende che ad ogni triangolorettangolo con lati interi corrisponde una ternapitagorica, e viceversa.

Se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (da, db, dc),dove d è un numero naturale qualsiasi; il numero d èquindi un divisore comune dei tre numeri da, db, dc.

Una terna pitagorica si dice primitiva se a, b e c nonhanno divisori comuni.

I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitivesono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondenteterna primitiva.

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Le terne pitagoriche

Le terne pitagoriche sono note fin dai tempi di Euclide ( decimo libro

degli Elementi) e sono rintracciabili anche nell’Aritmetica di Diofanto,

250 d. C. a cui viene attribuito il metodo per trovare le terne pitagoriche.

Forse i babilonesi del tempo di Hammurabi erano

ben consapevoli del significato di tali numeri, incluso il fatto che essi

costituiscono le lunghezze intere dei lati di un triangolo rettangolo.

Potrebbe essere interessante fare scrivere una tabella con le terne pitagoriche

- per prendere dimestichezza con il calcolo letterale

- per osservare le terne primitive

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n>m m n2 - m2 2mn n2 + m2 Verifica Primitiva2 1 3 4 59+16=25 si 1

3 1 8 6 10

3 2 5 12 13 si 2

4 1 15 8 17 si 3

4 2 12 16 20

4 3 7 24 25 si 4

5 1 24 10 26

5 2 21 20 29 si 5

5 3 16 30 34

5 4 9 40 41 si 6

6 1 35 12 37 si 7

6 2 32 24 40

6 3 27 36 45

6 4 20 48 52

6 5 11 60 61 si 8

7 1 48 14 50

7 2 45 28 53 si 9

7 3 40 42 58

7 4 33 56 65 si 10

7 5 24 70 74

7 6 13 84 85 si 11

8 1 63 16 65 si 12

8 2 60 32 68

8 3 55 48 73 si 13

8 4 48 64 80

8 5 39 80 89 si 14

8 6 28 96 100

8 7 15 112 113

9 1 80 18 82

9 2 77 36 85 si 15

9 3 72 54 90

9 4 65 72 97 si 16

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Proposta didattica

L’unica terna pitagorica è quella formata da

numeri naturali consecutivi è (3, 4, 5)

Si può dimostrare

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Dato il lato del quadrato, il calcolo della diagonale

offre una stima della radice di 2 corretta fino alla V cifra

decimale 1,41421

Esempio di applicazione del teorema di Pitagora e di calcolo

con i numeri irrazionali

YBC 7289 tavoletta di argilla babilonese 1800-1600 a.C.

Collezione dell'Università diYale

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Tavoletta trovata a Susa, antico impero babilonese, 1800-1600 a.C. tra gli

esempi più antichi dell’impiego della relazione di Pitagora

Trovate il raggio del cerchio in cui è inscritto un triangolo isoscele

conoscendo i lati (50, 50, 60) CH= 40

La relazione risolutiva corrisponde ad una equazione di I grado con incognita r

AH2 = AB2 - BH2 (40-r)2 = r2 – 302

r

H

r

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Tavoletta babilonese del 1750 a. C.

Una tavoletta tra le cinquecento trovate nel 1962 presenta

un problema in cui vengono date area e diagonale di un

rettangolo al fine di trovare le misure dei lati. La soluzione

proposta, molto articolata, è sottoforma di istruzioni:

-1 Moltiplica l’area per due

-2 Eleva al quadrato la diagonale

-3 Sottrai (1) da (2)

-4 Trova la radice quadrata

-5 Dimezza il risultato

-6 Trova un quarto di ( 3 )

-7 Somma l’area a ( 6)

-8 Trova la radice quadrata di (7)

-9 Lunghezza = (5) + (8)

-10 Larghezza = (8) – (5)

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IIlustrazione inserita nel II libro del Chou Pei, testo cinese arcaico di

astronomia, libro dello Gnomone e delle orbite circolari

Datazione incerta VI-III a. C. ( 246 problemi in 9 capitoli)

Prima dimostrazione diagrammatica

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La relazione di Pitagora era conosciuta

molto prima di Pitagora 600 a.C.

Il teorema di Pitagora è stato

dimostrato successivamente

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Un angolo retto con la corda:

applichiamo

l’inverso del teorema di Pitagora

Gli Egiziani, per costruire la base quadrata delle piramidi, cioè per fare in modo che gli angoli fossero proprio retti, si valevano del metodo della corda. Si era nel 3000 a.C. Il metodo è questo: si prende una corda lunga, per esempio, 12 unità di lun

Gli Egiziani notarono che i numeri 3, 4, 5, lunghezze dei lati del triangolo, erano tali che:

3² + 4² = 5².

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Gli Egiziani

Dal testo di E. Castelnuovo “Matematica 1. Numeri e figure” Ed. La Nuova Italia:

Gli Egiziani, per costruire la base quadrata delle piramidi, cioè per fare in modo

che gli angoli fossero proprio retti, si valevano del metodo della corda. Si era nel 3000 a.C.

Il metodo è questo: si prende una corda lunga, per esempio, 12 unità di lunghezza

(noi prenderemmo 12 metri), e si divide con dei nodi in tante parti uguali:

una parte si fa di 3 nodi, una di 4 e una di 5. Si tende la parte di 4 nodi

fra due paletti ficcati per terra, e si tirano le altre due parti, lunghe 3 e 5,

in modo che i loro estremi s'incontrino. Si ottiene così un triangolo;

e questo triangolo ha un angolo retto.

Gli Egiziani notarono che i numeri 3, 4, 5, lunghezze dei lati del triangolo, erano tali che:

3² + 4² = 5².

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Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali

c 2 = (a-b)2 + 4 ab c 2 = a 2 + b 2

2

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Il teorema di Pitagora nella

matematica cinese

Numerose applicazioni, una trattazione estesa e ingegnosa ,

contrariamente alla matematica dell’antica Grecia .

La dimostrazione cinese è questione di senso comune,

lo scopo dello studio è quello pratico

In Cina prende il via una tradizione di ragionamento geometrico

Principio del ragionamento: scomposizione e rimontaggio

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Applicazione: il bambù spezzato II sec. a.C./I sec. d. C. Arte del calcolo in 9 capitoli

Problema famoso nella storia della matematica, continua comparire nelle

opere dei matematici indiani del IX e XII secolo e poi in Europa.

Un bambù alto 10 piedi ( b+c) si è spezzato e la sua estremità tocca terra

ad una distanza di 3 piedi (a) dalla base, a che altezza si è spezzato (b)?

Conosco b+c = 10 e a =3

La trattazione fornisce la formula della soluzione

utilizzando la relazione di Pitagora

cb

acbb

2

2

1

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Bambù spezzato

bc

abcb

bc

abc

bcbc

bc

abcabcbcabc

2

2

22222

2

))((

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Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali

(a+b) 2 = a2 + b2+ 2 ab (a+b) 2 = c 2 + 4 ab

2

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Thabit Ibn Qurra 826-901Baghdad,

astronomo e matematico arabo

Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali

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Sir George B. Airy 1801-1892, matematico e astronomo reale inglese

"Come potete vedere, sono

a² + b² − ab

Quando ci sono due triangoli sopra di me

È rappresentato il quadrato dell'ipotenusa

Ma se invece sto io sopra di loro

Si leggono i quadrati dei due lati"Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali

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Garfield, 1831-1881,

20° presidente degli Stati Uniti

Area trapezio = Area 3 triangoli

(a+b)x(a+b) = 2ab+c2

2 2 2

b

a

b

a

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Liu Hui, III sec. d. CLiu uno commentatore del libro dello gnomone

Liu utilizza principio della scomposizione e rimontaggio

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Quale limite ha questa dimostrazione?

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Abu l-Wafā matematico e

astronomo persiano 940-998

Henry Perigall

1801-1898

agente di cambio

astronomo dilettante

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Domino spezzatomatematico, orientalista svedese Jöran Friberg

nato nel1932

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Tempelhoff, 1769 (o Leonardo)

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La dimostrazione di Euclide (300 a. C),fine del Libro I degli Elementi

Per capire la dimostrazione di

Euclide è necessaria una

notevole conoscenza delle

proprietà geometriche relative

ai triangoli congruenti

La figura che si ottiene per la

dimostrazione è detta mulino a vento

o coda del pavone o sedia della

sposa

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Estensione del teoremaLe aree di poligoni regolari costruiti sui lati del triangolo rettangolo

stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi lati omologhi

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Generalizzazione ai poligoni simili costruiti sui lati del triangolo

rettangolo:

la dimostrazione più semplice ed elegante, “la bustina”

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Generalizzazione: In ogni triangolo rettangolo, l'area di un

qualunque poligono, anche curvilineo, costruito sull'ipotenusa è

uguale alla somma delle aree dei poligoni simili a quello

costruito sull'ipotenusa, costruiti sui cateti.

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Teorema di Pappo V sec. d. C.

Caso generale esteso a tutti i triangoli:

Il teorema di Pitagora è un caso particolare del teorema di Pappo

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Frattale simmetrico di Pitagora

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Frattale di Pitagora

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Bibliografia essenziale

C’era una volta un numero, la vera storia della Matematica

George Gheverghese Josep Ed. Net

Storia della matematica Carl B Boyer

Dentro la matematica, il pensiero geometrico

Bernardi, Cateni Fortini, Maracchia, Olivieri, Rohr

Ed. Le Monnier

La costruzione del piano, Cap. 1

W. Maraschini, M. Palma Ed. Paravia

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Pagine web interessanti:

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Pitagora

http://for.indire.it/global_lms/uploads/pon_matematica1213/19552.pdf

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Gen_02/Cap5.html

http://utenti.quipo.it/base5/pitagora/biopitagora1.htm

http://matematicamedie.blogspot.it/2009/10/il-teorema-di-pitagora-nel-chiu-chang-e.html

http://www.orianapagliarone.it/storia%20della%20matematica/animapita18.htm

http://crema.di.unimi.it/~citrini/Tesi/Parlato/Pagina%20Pitagora.htm

www.unipv.it/iscr/corsi_speciali/.../Il%20teorema%20di%20Pitagora.doc

http://www.gestinv.it/