Il Teorema di Pitagora - Salesiani Bra · Applicazione Teorema di Pitagora ai triangoli particolari...
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1 Il Teorema di Pitagora I Enunciato del teorema: In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. II Enunciato del teorema: In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti. Quindi, se si considera un triangolo rettangolo :
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Il Teorema di Pitagora
I Enunciato del teorema:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente
alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.
II Enunciato del teorema:
In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è
equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.
Quindi, se si considera un triangolo rettangolo :
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da cui si ottengono le formule inverse:
Estraendo quindi la radice quadrata si ottiene:
√
√
√
Def:
Si dice TERNA PITAGORICA un insieme di tre numeri tali che la somma dei
quadrati dei due numeri minori è uguale al quadrato del numero maggiore:
Esempio:
formano una terna pitagorica, infatti:
5, 12, 13
8, 15, 17
OSSERVAZIONE:
le terne pitagoriche possono essere utilizzate sfruttando la proprietà
invariantiva, ovvero moltiplicando i tre numeri per uno stesso fattore:
6, 8, 10
36 + 64 = 100
9, 12 , 15
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Proprietà:
in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa si calcola nel seguente
modo:
oppure
Uguagliando le due formule:
Semplifichiamo i denominatori:
Per la formula inversa:
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Applicazioni del Teorema di Pitagora
1) RETTANGOLO
La diagonale del rettangolo individua due
TRIANGOLI RETTANGOLI:
Diagonale = ipotenusa del triangolo
rettangolo
Base e altezza = cateti del triangolo
rettangolo
√
√
√
2) QUADRATO
La diagonale divide il quadrato in due TRIANGOLI RETTANGOLI ISOSCELI:
Diagonale = ipotenusa
Lato = cateto
√ √ √ √ √
FORMULA INVERSA
√
√
La radice al denominatore non si lascia, si deve RAZIONALIZZARE,
moltiplicando numeratore e denominatore per la stessa quantità, ovvero
√
√ √
√
√
√
√
Il lato si trova facendo:
√
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Esempio:
√
√
√
√ √
3) TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE
Il triangolo rettangolo isoscele è esattamente la metà di un
quadrato:
IPOTENUSA = diagonale del quadrato
CATETI = lato del quadrato
√
√
4) TRIANGOLO EQUILATERO
Dividendo a metà un triangolo EQUILATERO, si trovano due triangoli RETTANGOLI
con un angolo di e uno di :
IPOTENUSA = lato del tr. Equilatero
CATETO MAGGIORE = altezza del tr. Equilatero
CATETO MINORE = metà del lato
√
Allora:
√ (
)
√
√
√(
) √
6
√
√ √
√
√
In un triangolo equilatero l’altezza si calcola:
√
FORMULA INVERSA:
√
Si deve razionalizzare il denominatore, moltiplicando per √
√ :
√ √
√
√
√
√
In un triangolo equilatero il lato si calcola:
√
5) TRIANGOLO ISOSCELE
L’altezza del triangolo isoscele è anche MEDIANA: divide a
metà la base.
Il triangolo HBC è rettangolo, con:
ipotenusa = lato
cateto =
cateto = altezza
√(
)
√
√ (
)
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6) ROMBO
Le diagonali dividono il rombo in 4 triangoli rettangoli
congruenti:
ipotenusa = lato del rombo
cateto =
= diagonale maggiore diviso 2
cateto =
= diagonale minore diviso 2
√(
)
(
)
√ (
)
7) TRAPEZIO RETTANGOLO
L’altezza CH individua un triangolo rettangolo CHB:
ipotenusa = lato obliquo
cateto = altezza (h)
cateto = proiezione del lato sulla base maggiore =
Base maggiore – base minore (B - b)
√
√
√
La diagonale maggiore individua un triangolo
rettangolo ABD:
Ipotenusa = diagonale maggiore
Cateto = h
Cateto = base maggiore
√
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√
√
Analogamente per la diagonale minore.
8) TRAPEZIO ISOSCELE
Le altezze individuano due triangoli rettangoli
congruenti:
Ipotenusa = lato obliquo
Cateto = h
Cateto = proiezione del lato obliquo sulla base
maggiore =
√ (
)
Il triangolo rettangolo ACH è costituito da:
Cateto = h
Cateto =
Ipotenusa = d
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Applicazione Teorema di Pitagora ai triangoli particolari
TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE
È LA META’ DI UN QUADRATO
√
√
√
TRIANGOLO RETTANGOLO
È LA META’ DI UN TRIANGOLO EQUILATERO
√
√
√
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![· Il teorema di PITAGORA 10. Calcola la dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha i cateti di 16 dm e 30 dm. [34 drn] Il. I cateti di un triangolo rettangolo misurano, rispettivamente,](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/5c73766309d3f2452b8c9286/-il-teorema-di-pitagora-10-calcola-la-dellipotenusa-di-un-triangolo-rettangolo.jpg)
