IL TEOREMA DI PITAGORALa prima dimostrazione di questo teorema è stata attribuita al matematico greco Pitagora di Samo (570-500 a. C.). Non si sa, però, come Pitagora abbia condotto la sua dimostrazione perchè nulla è rimasto delle sue opere. La prima dimostrazione che conosciamo fu data da Euclide (300 a. C.) nei suoi Elementi . Da quel momento molti matematici e non matematici, sono stati così attratti da questo teorema che hanno sentito il bisogno di elaborare un ingegnoso e alternativo modo per dimostrarlo. Elisha Scott Loomis nel suo libro The Pythagorean Proposition pubblicato nel 1940, riporta ben

370 diverse dimostrazioni di questo teorema. Nessun altro teorema ha ricevuto tanta attenzione e tante dimostrazioni, nonostante ciò ogni anno vengono pubblicate, dalle riviste matematiche, nuove dimostrazioni.

Questa conoscenza ha fatto capire che gli oggetti geometrici non possono essere identificati come degli oggetti concreti e che il punto geometrico non può avere dimensioni. E' un teorema geometrico, eppure ha permesso di scoprire i numeri irrazionali. Da questa conoscenza si è capito che i numeri naturali sono adatti a rappresentare solo grandezze discrete. Per rappresentare grandezze continue occorrono oltre ai numeri razionali anche i numeri "irrazionali". Gli egiziani hanno usato questo teorema per costruire un angolo retto, i greci l'hanno utilizzato per costruire una vasta rete di idee matematiche. Nel corso dei secoli è stato utilizzato per costruire alcune branche della matematica moderna. E' stato il suggeritore di proficue ricerche nel campo della teoria dei numeri.

Perché c'è stato tanto interesse su questo teorema? Ha un enunciato semplice e una facile dimostrazione e può essere pienamente compreso da un ragazzo di tredici anni. Ha numerose applicazioni e spesso è indispensabile per risolvere molti tipi di problemi. Eppure questo teorema così comprensibile ha cambiato radicalmente il corso della matematica. Grazie a questo teorema la matematica, che era nata per soddisfare esigenze concrete legate alla realtà pratica, si è trasformata in una scienza che abitua a ragionare. Nella geometria euclidea, questo teorema, è fondamentale. Ha permesso di scoprire l'esistenza di segmenti incommensurabili.

Verifichiamo il Teorema di Pitagora

Enunciato:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

Enunciato

IL TRIANGOLO RETTANGOLO

IPOTENUSA

CATETO

MAGGIORE

CATETO

MINORE 2

1

iC

C

Quadrato costruito

sul cateto maggiore

Quadrato costruito

sul cateto minore

Quadrato costruito

sull’ipotenusa

G R

V

Costruiamo 3 quadrati :i

c 2

c 1

l = c 1l = c 2l = i

G

R

V

G

V

R

Sistemiamo al loro posto i quadrati

G

R

V

Scomponiamo i quadrati per mezzo del quadratino Q

Q

Prima il ROSSOPoi il VERDEe infine il GIALLO

G

R

V

Riportiamo i quadratini uno per uno su quello GIALLO

Q

G

V

R

prima i ROSSI

Q

G

R

VQ

R

G

Q

VQ

G

RV

Q

poi i VERDI

Q

G

RV

Q

QR

V

G

il quadrato GIALLO è stato riempito totalmente

dal ROSSO e dal VERDE

GIALLO

VERDE

ROSSO

GIALLO = ROSSO + VERDE

Pertanto:

GIALLO

VERDE

ROSSO

Ma

VERDE = c2

2

ROSSO = c21

GIALLO = i2

GIALLO

VERDE

ROSSO

Allora

i = c + c1 2

Da cui:

2 2 2

GIALLO

VERDE

ROSSO

1 2

2 2

c = i - c1 2

2 2

c2= i

2 - c21

Allora

2i = c + c

c2 i

2c

Teorema di Pitagora applicato ad un problema

Problema

In un triangolo rettangolo i cateti misurano rispettivamente cm 4 e cm 3.

Trova il perimetro.

c1

c2

Dati: c1= cm 4c2= cm 3

Richiesta: 2p = c1+c2+i

incognita

i

i = c21 + c2

2

= (4cm)2 +(3cm)2

= 16cm2 +9cm2

= 25cm2 =5 cm

P = c1+c2+i= cm(3+4+5)= cm12

Soluzione

Applicazione

del

teorema

alle figure

piane

Applicazione

del

teorema

alle figure

piane

Altra applicazione del T. di Pitagora

Problema

In un triangolo isoscele la base e l’altezza misurano rispettivamente cm 10 e cm 12.

Trova il perimetro.

l

b

Dati: b= cm 10h= cm 12

Richiesta: 2p = 2l+b

incognita

l

l = (b/2)2 + h2

= (5cm)2 +(12cm)2

= 25cm2 +144cm2

= 169cm2 = 13cm

P = 2l+b= cm(13x2+10)= cm36

Soluzione

hb/2

cateto

cateto

ipotenusa