Triangolo rettangolo

i

C2

ipotenusaCateto minore

Le parole della matematica

C1

C2

Cateto maggiore

Verifichiamo il teorema di Pitagora

Enunciato:In un triangolorettangolo l’area delquadrato costruitosull’ipotenusa è ugualesull’ipotenusa è ugualealla somma delle areedei due quadraticostruiti sui cateti.

Pitagora genialematematico greco vissutonel VI secolo a.C.

• Pitagora fu un filosofo, unoscienziato, matematico greco;nacque a Samo nel 570 a.C.successivamente emigrò a Crotone,dove fondò una scuola filosofico-religiosa che dovette lasciare per laperdita dell’aristocrazia locale.

Biografia

perdita dell’aristocrazia locale.

• Alla fine si ritira a Metaponto, anchese la tradizione gli attribuisce altriviaggi in Egitto, a Creta e aBabilonia. Muore tra il 497 e il 496a.C

Q1= 25 cm²Q3 = 9 cm²

Q2 = 16 cm²

Q

Q1

•Ma il Teorema di Pitagora funziona solo se un triangolorettangolo ha i lati che misurano 3-4-5?

•Vediamo questa seconda dimostrazione

In unquadratocostruiamo

Teorema di Pitagora: un’altra dimostrazione

Q2

costruiamodue quadratiqualsiasiQ3

La somma delle aree dei quadrati Q1 e Q2 è equivalenteall’area del quadrato Q3?

Q2

Si, perché i triangoli rossi e celesti che si trovano intornoai quadrati Q1 e Q2 sono equivalenti ai triangoli che si

trovano intorno al quadrato Q3.

Q1Q3

Possiamo affermare che:

• In un triangolo rettangolo il quadratocostruito sull’ipotenusa è equivalente allasomma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Ovvero:Ovvero:

• In un triangolo rettangolo l’area delquadrato costruito sull’ipotenusa è ugualealla somma delle aree dei quadraticostruiti sui due cateti.

Applicazioni del teorema di Pitagoraalle figure piane

RettangoloQuadratoTriangolo IsosceleTriangolo equilateroTriangolo equilateroRomboTrapezio RettangoloTrapezio isoscele

Applicazioni del teorema di Pitagora: triangoloisoscele

• Si può applicare il teor. di Pitagoraal triangolo isoscele?

• Si può ricavare in questa figura untriangolo rettangolo?

• Basta tracciare l’altezza.

ll

h

b

Il lato obliquo del triangolo isoscelecorrisponde all’ipotenusa del triangolorettangolo. Lo si può trovare con la formula:

2

2

2

bhl

b/2

b

Altre relazioni:

2

2

2

bh l

2 2

2

bl h

Applicazioni del teorema di Pitagora: triangoloequilatero

• Si può applicare il teor. di Pitagora al triangoloequilatero?

• Si può ricavare in questa figura un triangolorettangolo?

• Basta tracciare l’altezza.

ll

h

l

•Il lato del triangolo equilatero corrisponde all’ipotenusa deltriangolo rettangolo.

• Possiamo utilizzare il teor. di Pitagora per trovare l’altezza, che sipuò trovare con la formula:

2

2

2

llh

l/2

l

Applicazioni del teorema di Pitagora: triangoloequilatero

Sviluppiamo la relazione2

2

2

llh

2 2 2 2 22 2 4 3 3

2 4 4 4 2

l l l l lh l l l

Per si assume il valore approssimato di 0,866 per cui si ha:3

2

0,866

hl 0,866h l

2 4 4 4 2

Applicazioni del teorema di Pitagora: quadrato

• Si può applicare il teor. diPitagora al quadrato?

• Si può ricavare in questafigura un triangolo rettangolo?

• Traccia la diagonale ld

La diagonale del quadrato corrisponde all’ipotenusa del triangolorettangolo. La si può trovare con la formula:

22 lld

l

Applicazioni del teorema di Pitagora: quadrato

l

ld

2 2 22 2d l l l l

lPoiché avremo:2 1,414

1,414d l 1, 414

dl

Applicazioni del teorema di Pitagora: rettangolo

• Si può applicare il teor. di Pitagoraal rettangolo?

• Si può ricavare in questa figura untriangolo rettangolo?

b

ad

La diagonale del rettangolo corrisponde all’ipotenusa del triangolorettangolo. La si può trovare con la formula:

22 abd

b

Applicazioni del teorema di Pitagora: rombo

• Si può applicare il teor. di Pitagora alrombo?

• Si può ricavare in questa figura untriangolo rettangolo?

• Se si stracciano le due diagonaliotteniamo 4 triangoli rettangoli

l

d1

d2

Il lato del rombo corrisponde all’ipotenusa del triangolo rettangolo. Lasi può trovare con la formula:

2

2

2

1

22

ddl

d2

Applicazioni del teorema di Pitagora:trapezio rettangolo

• Si può applicare il teor. diPitagora a questo trapezio?

• Si può ricavare in questafigura un triangolo rettangolo?

• Basta tracciare l’altezza.l

l

h

b2

a la

D C

•Il lato obliquo del trapeziocorrisponde all’ipotenusa deltriangolo rettangolo. Lo si puòtrovare con la formula:

22 HBal

Bb1A H

Nota: HB è la differenza tra le basi: 1 2HB b b

Applicazioni del teorema di Pitagora:trapezio isoscele

• Si può applicare il teor. diPitagora al trapezioisoscele?

• Si può ricavare in questafigura un triangolo

2

2

2

bhll

l

h

D C

afigura un triangolorettangolo?

• Basta tracciare l’altezza.

• Il lato obliquo del trapezio isoscelecorrisponde all’ipotenusa deltriangolo rettangolo.

• Lo si può trovare con la formula:

b1

b

22 HBal

A BH

Nota: HB è la differenza tra le basi: 1 2

2

b bHB