Il teorema di Pitagora nella storia

002Federica,Jennifer

La prima testimonianza nota relativa al teorema di Pitagora è contenuta in una tavoletta paleobabilonese, in cui è disegnato un quadrato con le due diagonali. Il lato del quadrato porta il numero 30, lungo la diagonale troviamo i numeri (in notazione sessagesimale) 1;24,51,10, cioè 1+24/60+51/602+10/603 ,e 42;25,35, ovvero 42+25/60+35/602 , che riportati in forma decimale danno 1,414213 e 42,42639.

pitagora

Il primo è un’ottima approssimazione della radice di 2; il secondo è la diagonale del quadrato di lato 30, ed è uguale al prodotto di 30 per il primo numero. Il fatto che la diagonale del quadrato si ottenga moltiplicando il suo lato per la radice di 2 denota la conoscenza del teorema di Pitagora, almeno nel caso del triangolo con i cateti uguali.

Tavoletta paleobabilonese

Più dubbie le altre attribuzioni. Quella più volte ripetuta, secondo la quale i geometri egizi, per trovare un angolo retto, si servivano di una corda con segnati tratti di lunghezza 3, 4 e 5, che formano i lati di un triangolo rettangolo, sembra sprovvista di ogni fondamento, e semmai ha a che fare con l’inverso del teorema di Pitagora.

Piramide di Cheope

Anche la figura cinese "hsuan-thu" è stata vista da alcuni come una prova della conoscenza del teorema di Pitagora, ma questa affermazione è controversa. In effetti la figura mostra un triangolo di lati 3, 4 e 5, con il quadrato di lato 7=3+4 che contiene quello di lato 5, a sua volta composto da quattro triangoli e un quadratino di lato 1=4-3.

hsuan-thu

Non c’è invece traccia dei quadrati sui cateti 3 e 4. In generale, se si indicano con a e b i cateti e con c l’ipotenusa, il quadrato di lato a + b si può considerare composto di 8 triangoli e del quadratino di lato b - a, o anche del quadrato sull’ipotenusa c e di quattro triangoli, da cui si ricava la relazione 4ab+ (b - a) 2 = c2 +2ab.

Pitagora e il suo teorema

(b - a)2 = b2 + a2 –2ab, si ottiene b2 + a2 = c2 e quindi il teorema di Pitagora, purché si conosca la formula del quadrato del binomio (b - a)2 =b2 + a2 –2ab. Inutile dire che quest’ultima formula, specie nella sua versione geometrica che qui sembra necessaria, non è per nulla più facile del teorema di Pitagora che si vuole dimostrare.

sviluppando:

pitagora

Moneta con pitagora

Nel primo libro degli Elementi di Euclide troviamo uno tra i primi ideali del teorema di Pitagora:Nei triangoli rettangoli, il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale ai quadrati dei lati che contengono l’angolo retto. Oggi sappiamo che “il lato opposto all’angolo retto” equivale all’ipotenusa,e i “lati che contengono l’angolo retto” sono appunto i cateti.Una formulazione più moderna può essere: Nei triangoli rettangoli, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Indicando i cateti con a e b, e l’ipotenusa con c, il teorema si scrive: a2 + b2 = c2

Nella seconda figura è formato dagli stessi quattro triangoli disposti diversamente, e del quadrato dell’ipotenusa. Siccome l’area del quadrato grande e quella dei quattro triangoli è la stessa nei due casi, anche le aree delle figure che restano sono uguali.

Una dimostrazione del teorema di Pitagora:

Il triangolo rettangolo in questione è uno di quelli colorati in rosso. Il quadrato grande, che ha come lato la somma dei cateti, nella prima figura è composto di quattro triangoli e dei due quadrati costruiti sui cateti.

Occorre ancora dimostrare che le parti bianche delle due figure sono effettivamente dei quadrati, e precisamente i quadrati sui cateti nella prima e quello sull’ipotenusa nella seconda. Nella prima figura questo è evidente per costruzione; nella seconda, il quadrilatero in esame ha tutti i lati uguali all’ipotenusa, e dunque resta solo da far vedere che i suoi angoli sono retti.

Allo stesso modo si dimostra che sono retti gli altri angoli, e quindi la figura è un quadrato, che ha come lato l’ipotenusa.

pitagora

Consideriamo ad esempio quello con il vertice nel punto A, che insieme ai due angoli rossi con lo stesso vertice forma un angolo piatto. Ma anche la somma degli angoli di un triangolo è uguale a un angolo piatto, e quindi l’angolo bianco col vertice in A è uguale al terzo angolo del triangolo, che è retto.

SITOGRAFIA:

Il Giardino Di Archimede

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