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Flussi di campi vettoriali, il teorema di Stokes e ilteorema della divergenza

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi II

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Flussi, Stokes, Divergenza Analisi II 1 / 96

Richiami di teoria• Sia S una superficie, con rappresentazione parametrica data da T ⇢ R2

e�!r : T ! R3, �!r = �!r (u, v) regolare.

Il versore normale a S e

�!n =1��

@�!r@u

⇥ @�!r@v

��

✓@�!r@u

⇥ @�!r@v

◆

Flusso di un campo vettoriale attraverso SSia A ⇢ R3 aperto, �!r (T ) ⇢ A,

�!F : A ! R3 di classe C1. Il flusso di

�!F

attraverso S e ZZ

S

�!F ·�!n dS

con · il prodotto scalare.


•

-

Quindi

ZZ

S

�!F ·�!n dS =

ZZ

T

�!F (�!r (u, v)) ·

✓@�!r@u

(u, v)⇥ @�!r@v

(u, v)

◆du dv


0

|pnodolto scalare

• Nel caso di S in forma cartesiana

S : z = f (x , y), (x , y) 2 T ⇢ R2

si ha

�!n =1s

1 +

��@f

@x

��2

+

��@f

@y

��2

✓�@f

@x

�!i 1 �

@f

@y

�!i 2 + 1

�!i 3

◆

quindiZZ

S

�!F ·�!n dS

=

ZZ

T

�!F (x , y , f (x , y)) ·

✓�@f

@x

�!i 1 �

@f

@y

�!i 2 + 1

�!i 3

◆dx dy


Es. 1.Calcolare il flusso di

�!F (x , y , z) = xy

�!i 1 + xy

�!i 2 + z

�!i 3

attraverso

S :

(z = 1� x2 � y2,

z � 0


Sein foma aartesrana

Z= fcay ) con fcxiytt -2-42,

( x. g) ET :eT={ ↳ .y\eR4x4y< if1-1-2-42=2-20


§p F ix. y , Fay ) ) . f¥x ,

- ¥ , a) day

= Hp ( xy , xy , txzy 2) • ( zxiry , 1) dx

dy

= ffp 2×2 y dxdy + $+2 xyzdxdy

fxiyktxzyz+ ¥ they ? ) dxdy


§ 2×4 dxdy = 0 ay

jacket left .

T>

tmnegvemde I 1 ×

despise imy

Amalgam ffp 2×42 dlxoky-0COOND

. POLARIRimane solo -

§T( txtiddxdy I..

..

. = its

Es. 2.Calcolare il flusso del rotore di

�!F (x , y , z) = y

�!i 1 + z

�!i 2 + x

�!i 3

attraverso

S :

(z = 1� x2 � y2,

z � 0


]e- he stessedele ' ES

. I

dato Fi. AeR3→R3,

not # e- R

Campo Vdtomlale do A a 1123 defrwtoLfomalmente ) old

not # =detfE¥gEggs3¥33 )


# c * y , zt ( y ,z

,x )

not ⇒ * f stg?EEE¥ ]of

0of

1

=P ( Ep - aszttiz ffxxstzy)tip ( Fit -

§y y ) =- iiuiz - rise

= C- 1, -1

,-1 )


Per calendar rl flwsoo del noise

ahtroverso S, afghrco he formula

fer R coledo del fins so di run compo

vector ale, con camp dato do not #

§ not # ( x. y , fcxy )) • f3fzi¥y , 1) day

= §p ft ,-1

, -1) . ( 2×. 24 , 1) dxdy =

= { Kindel x4y4r}


to

= - 2 S{ × dxdy - zffydxFy°- § edxdya Y

T>

×

= - area A)=

- I

Il teorema di Stokes

Sia S una superficie, con rappr. parametrica

�!r : T ! R3, �!r = �!r (u, v) regolare e semplice.

e sia� = @S (curva semplice, chiusa, reg. tratti)

percorsa lasciando a sinistra il versore normale a S , A ⇢ R3, e

�!F : A ! R3 di classe C1.

Si ha ZZ

Srot(

�!F ) ·�!n dS =

I

�

�!F · d�

Si passa da un integrale di superficie a un integrale curvilineo!


SE una superfinecon bordo

=


fifond

as

Es. 3. (e ancora l’Es. 2.)Il flusso del rotore di

�!F (x , y , z) = y

�!i 1 + z

�!i 2 + x

�!i 3

attraverso

S :

(z = 1� x2 � y2,

z � 0

Stokes: ZZ

S

�!rot(

�!F ) ·�!n dS =

I

�=@S

�!F · d�

qui: � : x2 + y2 = 1


-

in

....

-- --⇒


→

Pyeboudodi

I=§pFsauna

amain 1213

Fcxiy,z)= ( y ,Z ,x) eva

1

parumetzizsoata

P :

come tale.

Mitt ( eoskhsrmitl, ,P) ,

ttto ,at] pocket Pwvemel piano z=o


I = ft FCFYH) . r→hH at

= but formal ,0

,cos HH . fsrnitt ,

cos # itdt

= - So"T

srsietidt = - E

Es. 4.Il flusso del rotore del campo

�!F (x , y , z) = y

�!i 1 + 2z

�!i 2 + 3x

�!i 3

attraverso

S :

(x2 + y2 + z2 = 1

z � 0



Applin Stokes,

n→q iebondo dis

Eplaakwnf .

×4y2=1,

nelFanoto

,

in sense

>

AMTORARLO


Stokes

§rot¥mds=§pFIIFI, ,y ,-2k ( y ,

ZZ ,3x)P : tttk (eoslthsrmktl, 0 )

, tttazef

I=fo⇐F7r→HH . eetttdt = . ... = I- -

H

( smltl ,o,3wsky" tsrmlthasltl ,

o )

Es. 5.

Il flusso del rotore del campo

�!F (x , y , z) = xy

�!i 1 + xy

�!i 2 + 0

�!i 3

attraverso la regione piana S = S1 [ S2, con

S1 =n(x , y) 2 R2 : 0 x 1, 0 y sin

⇣⇡2x⌘o

,

S2 =n(x , y) 2 R2 : 1 x

p2, 0 y

p2� x2

o.

Applichiamo la formula di Stokes studiamo � = @S


con

8><

>:

�1 segmento fra (0, 0) e (p2, 0)

�2 arco circonf. x2 + y2 = 2 da (p2, 0) a (1, 1)

�3 curva y = sin�⇡2 x

�da (1, 1) a (0, 0)


Stokes

§ not

,,F?nds

$pF*

s, sz


fore = f,

F the HEE

. Estrin : Venfrcore eke

SF - o

essegment ( sultassex )

de ( as a ( Eco )


% ! I llano della unaouferenhe

x4y2=2 , congungente ( k,

d

a ( list - Una param .

di Pze '

data de

§•n'"q settle Vawsitiiistrsrmftlizs,

isna teeing ]

fate festal.ee#dt=0 . . . .

. .


= eek

-

3--

§F→ : B Perone R guefrw di

fxtsrm ( Dzx)do a ,sl a ( 0,0 )

d.Yi; ritytshtieeaii>

× Oft< 1


Awamo § be avwa Tz ferursain tens offosto ,

woei da ( 94 a a 1).

Ossewoehe

Sg.

=- See

Caleolo

fgF→ ,

oseewaudo eke nine param .

di

IF e- Pat tilt sinceHis,

teto, D


E :

fg F = ¥2 thIn five

,

§ Ft = 0 + 2%2 -

Zz-

ttzz - ft4 furs u B

= 2kg - ttz - ¥2

Es. 5.Calcolare ZZ

Srot

�!F ·�!n dS

con �!F (x , y , z) = x2

�!i +

�!j + z

�!k ,

S e il triangolo di vertici (0, 0, 0), (1, 1, 0) e (0, 0, 1) ed �!n e la normale

tale che �!n ·�!i > 0.


Voglio appleone P=2S,

Stokes :•coast pocome

intense

§rotE.m→dS → entronarioK M

of,E ←in

• amid


On§

,# =o puke Pena

Cerna chiusa,

e# e- conservator

Fnfalti Ft x. yizt ( E,

e,

Z) ECLCRT

e soddrsfa language .

delle derivate vicious.

Eg .o= FE , F¥o=g¥ ,

If

§z=o= NIoy

Richiami di teoria: il teorema della divergenza

V ⇢ R3 chiuso e limitato

S = @V superficie regolare chiusa�!F : A ⇢ R3 ! R3,

�!F 2 C 1(A) con A insieme aperto, V ⇢ A.

Allora ZZZ

Vdiv(

�!F ) dxdydz =

ZZ

S

�!F ·�!n dS

ove �!n e versore normale esterno a S e

div(�!F ) =

@F1@x

+@F2@y

+@F3@z


passaggido on

-integrate

< mt3 ) -

dimensionedeumnintegnak

drsupufrue ,

2- dimension

Es. 6.Calcolare il flusso di

�!F (x , y , z) = xy

�!i 1 + xy

�!i 2 + z

�!i 3

attraverso la superf. S1 [ S2, dove

S1 :

(z = 1� x2 � y2

z � 0e S2 :

(z = 0

x2 + y2 1


-paraboloid

-

non convene pocket 5=5 ,u{,Caledon .

drreieem. €fSi gwmdi$#n→ds#¥¥¥e

' $s¥g.FI#e?rS )

sz


⇐#*⇐•¥¥Fs'

Sz

Applreo R tame della divergence!

§F?m→dS=${ divfsdxdydzOn V volume racawiuso old S


. Ffxy ,H=

##¥#¥⇐Fs' a a '⇒

Sz

V= { k.y.ae#/0sZEtx2y2 ,

Rates }${

d.FI/SfCTtxt3EytoFgDdxaydzY4x

41


.

[email protected]

.

afterDSPARL ni my

Sz e ✓ e- srmm.

kop . piano

=${ ydxdydz =

7=0

peeled flxiyiztx

tffy X dxdydz =D£ DISPARI in ×

e V e- srmmetrco

wsp.ae pianot fSS✓1d×dydZ X=oC piamoyz )


= volt U ) = S$✓ hdxdydz

V= { key ,HelR3 / XEYZEL, z

Of zzl- x2 - y'

yPaseo ate coons

.

ulimhttiohe

T= { ( s ,oiz ) / fee

,oszei - p ,

0€to ,zI] }${ Ldxdydz = $g fdgdodz =


KEE.

§,

.ua#otl0ohfdsoeo

= %, , ]× an ⇒

Pat " dsdd

= .

. . . . =D2

Es. 7.

Calcolare il flusso di

�!F (x , y , z) = y

�!i + x

�!j + z3

�!k

attraverso la superficie sferica S di centro (0, 0, 0) e raggio 2.

Applichiamo il Teorema della divergenzaZZ

S

�!F ·�!n dS =

ZZZ

Vdiv

�!F dxdydz

doveV = {(x , y , z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 4} .


÷

:'

8

Fhd component' date deft . pdimomiahn ,

di ✓ F e- fz . polinomiak di giraffe -

05of


Onvaleperhk $✓Z2dxdydZfepariimt ¥2$fn€{izzo

}evsrmm .

zsp .

al�2�

piano =2.z.$fZ2Zeo Vnfxzyzzg�2� FE

PAM imx.

e Vsrmm.

osp . qsrmm .irisp. pianotoxins =22o2 . 4=0

z2$✓n{ An ,y>a2⇒}


#*y,H= ( Y ,

×,

Es)

drv FI 0 t 0+32-2

$✓ 32-2 dxdydz

3 22 dxdydz= & $✓ n { xw

, yzo , 2-70 } ÷Vt÷

a portion drsfere solrdd

sd cooud . sferrehe


Jncaend. sferidu sfoaohfagpiz

vt→Jt= {15,941/0}<2,

Otto ,nz] , yet ,d§-

qincaous. strike ioottenk=z4$fFail

"

.ee#dedo=To.2)xtoiDDxt0iDz] dxdydz


= 24 . (§g4dg) . ( folks do ) .

• ( folk come) smiddy)= .

. . . =4-I.31

5

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