Applicazioni a barre e travi - Politecnico di...
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Comportamento meccanico dei materiali Applicazioni a barre e travi
© 2006 Politecnico di Torino 1
Lavoro, energia
2
Applicazioni a barre e travi
PremessaIl teorema di Castigliano - metodoIl teorema di Castigliano - applicazioneL’equazione dei lavori virtuali - metodoIl lavoro virtuale interno per le travi
Comportamento meccanico dei materiali Applicazioni a barre e travi
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Applicazioni a barre e travi
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L’applicazione del teorema di Castigliano a una struttura semplice (una struttura reticolare composta di aste caricate a trazione o a compressione) ci permetterà di mettere in evidenza il gioco della sovrapposizione degli effetti, la composizione dei termini dell’energia, i modi di calcolo degli spostamenti nei punti desiderati.
Seguirà il calcolo tramite l’applicazione dell’equazione dei lavori virtuali.
Uno sguardo generale (1/3)
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Caratteristica di questa struttura, e di tutte lealtre prese in esame in questa lezione, è la “determinazione statica”, cioè il fatto di poter innanzitutto trovare gli sforzi in ogni elemento della struttura tramite le equazioni di equilibrio.
Questo fatto non è contingente, cioè legato al particolare esempio prescelto, ma è invece essenziale in quanto si deve esprimerel’energia interna del sistema in funzione dei carichi (forze, momenti) applicati alla struttura.
Uno sguardo generale (2/3)
6
Si metterà in evidenza che sia il teorema di Castigliano sia l’equazione dei lavori virtuali permettono il “calcolo selettivo” degli spostamenti, cioè un calcolo che non richiede la conoscenza di nessun spostamento oltre a quello desiderato.
Uno sguardo generale (3/3)
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Applicazioni a barre e travi
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∑∑η=k j
kjkj FF21L
{ } { }TP P
P
1F u
2∑=∫V
dVU
Per semplicità di calcolo, consideriamo una struttura su cui sono applicati solo carichi concentrati; il teorema di Clapeyron:
Il teorema di Castigliano: kj
jkjk
uFFL
=η=∂∂ ∑
Metodo (1/2)
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Applicato in questa forma il teorema di Castigliano richiederebbe il calcolo preliminare degli e quindi si ridurrebbe a una verifica banale di una proprietà della “derivata di forma omogenea”.
Poiché invece: L =
si può derivare lo scalare energia potenziale elastica:
kjη
∫V
dVU
( )kk
k FFLu
∂∂
=∂∂
= ∫V dVU
Metodo (2/2)
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Forza F1 nel nodo 1, in direzione verticale:
Struttura reticolare caricata con F1
123
45
a
a a
F1
12
Questa è una struttura composta di aste incernierate agli estremi, ciascuna atta a sopportare solo carichi assiali, passanti per i centri delle cerniere.È una struttura semplice, che permette di calcolare tramite le equazioni di equilibrio non solo le reazioni vincolari ma anche i carichi sopportati da tutte le aste.
Commenti
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Reazioni vincolari
2F1
2F1
2F1
123
45
a a
F1
F1
2F1
Le reazioni vincolari, calcolate tramite le equazioni di equilibrio, e la forza sull’asta 2-3:
14
Tramite un sezionamento del nodo 1 , le forze dalle aste al nodo:
Forze sul nodo 1
F1
F1
F12123
45F1
2F1
2F1 F1
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Quindi le forze sulle aste 1-4 e 1-2:
Forze sulle aste
123
45F1
2F1
2F1 F1
F12
F1 F1
F12
16
L’equilibrio del nodo 4 :
Forze sul nodo 4
F1
F1F12
123
45F1
2F1
2F1 F1
F12
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Quindi le forze sulle aste 2-4 e 4-5:
Forze sulle aste
123
45F1
2F1
2F1 F1
F1
F1
F1
F1
18
Forze sui nodi 5 e 2
Equilibrio del nodo 5 e verifica del nodo 2:
F12
F12
13
45
F12F1
2F1 F1
2
F1
2F1 F1
F1
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Forze su tutte le aste (forze che i nodi esercitano sulle aste):
Forze su tute le aste dovute a F1
123
45F1
2F1
2F1 F1
F1
F1
F1
F12
2F1
F12
20
Forza F2 nel nodo 2, in direzione verticale:
Struttura reticolare caricata con F2
123
45
a
a a
F2
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Le reazioni vincolari, calcolate tramite le equazioni di equilibrio, e la forza sull’asta 2-3:
Reazioni vincolari
F2
F2
F2
123
45
a a
F2
F2
F2
22
Le aste 1-2, 1-4, 2-4, 4-5 sono scariche:
Forze su nodi e aste (1/3)
123
45
F2
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Forze su nodi e aste (2/3)
Equilibrio del nodo 5 e verifica del nodo 2:
F22
F22 F2 F2
123
45F2
F2
F2
F2
24
Forze su tutte le aste (forze che i nodi esercitano sulle aste):
Forze su nodi e aste (3/3)
123
45
F2
F22
F2
F2
F2
F2
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Sovrapposizione degli effetti
123
45
F1
F1
F1
F1
F12
(F1+F2)2
F22F1+F2
Sovrapponendo il caso F1 con il caso F2 le forze sulle aste sono date dalla somma dei due casi:
26
Travi di lunghezza l e forza assiale P, hanno energia elastica:
pertanto tenuto conto delle forze e delle lunghezze, scriviamo accanto a ciascuna asta la propria energia elastica…
Energia potenziale elastica (1/2)
lEAP
21Al
EA
P21V
EAP
AP
21V
21 2
2
2===σε
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… dove si scrive per brevità:
Energia potenziale elastica (2/2)
EAl
21c =
123
45
F1F2
21Fc
21Fc22( ) 2
21 FFc22 +
21Fc
21Fc
( )221 FF2c +
L’energia totale èla somma delle energie parziali qui indicate per ogni asta.
28
Nella figura seguente si associano ad ogni asta le rispettive derivate rispetto a F2; la loro somma fornisce u2(F1,F2).
Lo spostamento verticale in 2 dovuto alla sola F1, u2(F1), si calcola derivando l’energia elastica rispetto a F2 e poi ponendo F2=0 (anche quando la forza F2 è nulla, per calcolare lo spostamento in 2 è necessario definirla, in modo da far comparire l’energia associata).
Calcolo degli spostamenti (1/4)
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Calcolo degli spostamenti (2/4)
123
45
F1
0
0( )21 FFc24 +
0
0
( )21 FF2c2 +
u2(F1,F2)= ( )++ 21 FFc24 ( )21 FF2c2 +
Per F2=0 ⇒ u2(F1)= =( ) 1Fc424 + ( )222EAlF1 +
21η
30
Nella figura seguente si associano ad ogni asta le rispettive derivate rispetto a F1 ; la loro somma fornisce u1(F1,F2).
Lo spostamento verticale in 1 dovuto alla sola F1,u1(F1), si calcola derivando l’energia elastica rispetto a F1 e ponendo F2=0.
Calcolo degli spostamenti (3/4)
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Calcolo degli spostamenti (4/4)
1
23
45
F1
1Fc2
14 2 c F( )21 FFc24 +
1Fc2
1Fc2
( )21 FF2c4 +
v1(F1)
u1(F1,F2)= ( ) ( )424cFF2Fc6 211 +++
11η
v1(F1)= =( ) 1Fc2814 + ( )724EAlF1 +Per F2=0 ⇒
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=δεσ∫ ∑Vk,i
ikik dV
{ } { }∫ δΦV
T dVu
{ } { } +δ∫A nT dAut
+
lavoro virtuale interno
lavoro virtuale esterno delle tensioni sulla superficie A
{ } { }+δ+ ∑P
TP uF lavoro virtuale esterno delle
forze concentrate in punti P
lavoro virtuale esterno delle forze di volume
Equazione dei lavori virtuali (1/5)
uguale alla somma di
L’equazione dei lavori virtuali si scrive:
34
Metodo (2/5)
Dato un corpo elastico soggetto a carichi {F}A si vuole calcolare lo spostamento uP in una data direzione in un dato punto P …
{F}A
PuPAFA,i
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Metodo (3/5)
… si pone allora una forza δFP in tale punto e nella direzione desiderata; questa forza genera un campo di spostamenti virtuali .
{F}A
δFP
PuPA
{ }APuδ
FA,iδuAP,i
{ }APuδ
36
Per il teorema di Betti-Maxwell, versione “estesa”, il lavoro esterno dei carichi {F}A per gli spostamenti indotti dalla forza virtuale èuguale al lavoro della forza virtuale per lo spostamento uPA prodotto dai carichi {F}A:
Metodo (4/5)
δFP
Consideriamo, per semplicità di formulazione, il caso in cui siano presenti solo forze esterne “concentrate”:
=σ∫ ∑Vk,i
ik dVikδε { }TF { }uδ
δFP uPA∑i
i,AF AP,iuδ{ }TF { }uδ ≡ =
{ }uδ
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Metodo (5/5)
Ne segue la formulazione:
che per comodità di calcolo viene scritta dividendo ambo i membri per δFP,
che, vista la dipendenza lineare di da , equivale numericamente (concettualmente è un controsenso) a mettere in gioco deformazioni virtuali prodotte da un carico FP di valore unitario.
ikδε =σ∫ ∑Vk,i
ik dV δFP uPA
=σ∫ ∑Vk,i
ik dV 1 uPA( )( )P
ikFδ
δε
PFδikδε
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Calcoliamo ora le espressioni del lavoro virtuale interno:
per le diverse caratteristiche di sollecitazione applicabili a barre (aste) e travi:
Forza assiale (o “normale”): Momento flettente:Forza di taglio:
Lavoro virtuale e caratteristiche (1/3)
∫ ∑σV
k,iik dVikδε
NMT
40
Le caratteristiche producono:
N ⇒ tensioni costanti sulla sezione:δN ⇒ deformazioni costanti sulla sezione: δεzz=δb
M ⇒ tensioni linearmente variabili …: σzz= myδM ⇒ deformazioni linearmente variabili:δεzz=δny
T ⇒ tensioni variabili sulla sezione …: τzy=…δT ⇒ tensioni variabili sulla sezione …: γzy=…
Lavoro virtuale e caratteristiche (2/3)
σzz= a
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Le τzy compiono lavoro solo moltiplicate per le rispettive δγzy , mentre le tensioni normali a+mycompiono lavoro per le rispettive deformazioni δb+δny;ma
=
( )∫ +V
dVmya ( )ynb δ+δ
( )∫ +++V
dVmyamya bδ ynδ bδynδ
v. dopo “Forza assiale”v. dopo “Momento flettente”
termini misti
Lavoro virtuale e caratteristiche (3/3)
42
momento statico d’area
∫A dAy
Il lavoro dei termini misti:
è del tipo
Lavoro dei termini misti
( )∫ +V
dVmya bδynδ
V lk y dV k( )dl=∫ ∫ {
Poiché l’origine di y è presa sul baricentro della sezione, il momento statico è nullo.
Quindi il lavoro dei termini misti è nullo.
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Lavoro della forza assiale (1/3)
dA
Dato un elemento di trave di spessore dz:
su cui le tensioni sono uniformemente distribuite.
dA
N
bdz
hN
A
dzσzz
44
Lavoro della forza assiale (2/3)
Sistema di deformazioni virtuali prodotte dalla sollecitazione assiale δN dovuta a una forza “esploratrice” virtuale δFP:
ANN zz =σ→
EAN
ANN zzzz
δ=δε→
δ=δσ→δ
Sistema di tensioni equilibrato dovuto ai carichi reali:
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Lavoro virtuale interno:
∫∫δ
=δ
=ll
dzEA
NNAdzEAN
AN
∫∫ ∑ σ=σV zzV
k,iik dVdVikδε zδε =
Lavoro della forza assiale (3/3)
46
Lavoro del momento flettente (1/3)
y
zMx
dz
x
σzz
Dato un elemento di trave di spessore dz:
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Lavoro del momento flettente (2/3)
Sistema di tensioni equilibrato dovuto ai carichi reali:
yIM
Mx
xzzx =σ→
Sistema di deformazioni virtuali prodotte dal momento δMx dovuto a una forza “esploratrice”virtuale δFP :
yEIM
yIM
Mx
xzz
x
xzzx
δ=δε→
δ=δσ→δ
48
Lavoro del momento flettente (3/3)
Lavoro virtuale interno:
∫∫ ∑ σ=σV zzV
k,iik dVdVikδε zδε =
( ) dzIxEMMdzdAy
IE
MMl
xxl A
22x
xx ∫∫ ∫δ
=δ
=
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Lavoro della forza di taglio (1/4)
Dato un elemento di trave di spessore dzesploriamo il solo caso della sezione rettangolare:
T
dA
bdz
hz
Y
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=τ
2
2
zyh
y41bhT
23
50
Lavoro della forza di taglio (2/4)
La parte di lavoro virtuale dovuta alle τzy si calcola:
dove
∫ ∑σV
k,iik dVikδε = ∫ τ
V zy dVzyδγ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=τ
2
2
zyh
y41bhT
23
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
δ=δγ
2
2
zyh
y41bhT
23
G1
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51
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∫∫
+
−
2h
2h
2
22
Z
dybh
y41dzTTbh23
G1
Lavoro della forza di taglio (3/4)
Si calcola quindi:
con:
h158
32
5hh
h
y38
h
y516y
dyh
y8
h
y161dyh
y41
2h
2h
2
3
4
5
2h
2h
2
2
4
42h
2h
2
2
2
=−+=−+=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∫
∫∫
+
−
+
−
+
−
h158h
32
5hh
h
y28
h
y516y
2
3
4
52h
2h
=−+=−+= ∫+
−
52
Lavoro della forza di taglio (4/4)
Perciò, sostituendo nell’integrale complessivo:
∫ ∑σV
k,iik dVikδε = ∫ τ
V zy dVzyδγ dzA
TT56
G1
l∫δ
=
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53
Quando trascurare il lavoro di taglio (1/4)
Il taglio produce gradiente di momento flettente, perciò non si dà la presenza della τ senza la presenza della σzz dotate di gradiente secondo z.
Le σzz danno luogo alla parte di lavoro virtuale interno corrispondente alla formula:
dove, Mx e δMx sono funzioni di z.
x xl
M Mdz
EIxδ
∫
54
F
z
M
M=F z
Quando trascurare il lavoro di taglio (2/4)
Il contributo del taglio all’energia o al lavoro virtuale complessivo è di norma trascurato.
Ne diamo qui una giustificazione empirica basata sui valori tipici di una mensola a sezione rettangolare. Calcoliamo lo spostamento nel punto di applicazione di F. T=F
δFl
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Quando trascurare il lavoro di taglio (3/4)
Con:
l 32x x
l x x0
M M F F F F ldz z dz
EIx EI EI 3δ δ δ
= ⋅ =∫ ∫
Il lavoro virtuale dovuto alla flessione:
Il lavoro virtuale dovuto al taglio:
lAFF
56
G1dz
ATT
56
G1
zδ
=δ
∫
12hA
12hbI
23
x ==( )ν+=12EG
56
Quando trascurare il lavoro di taglio (4/4)
ovvero:
h88,0l ⋅>
Il contributo del momento diventa superiore a quello del taglio quando:
>δ
3l
EIFF 3
xl
AFF
56
G1 δ ( ) 78,0
56
412
hl 2
≡ν+
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Cioè per una trave talmente tozza da renderne illegittima la descrizione tramite le ordinarie equazioni di flessione. Per l=10h il contributo della flessione è salito di 100 volte il contributo del taglio.