Método Castigliano(Final )
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8/19/2019 Método Castigliano(Final )
1/36
Método castigliano
Ejercicio 1
∑ fy=0
−wl−Qf + RAY + RBY =0
RAY =wl−Qf
∑ MA=0
−Wl
(l
2
)−Qf ( l )+ MA=0
−wl2
2−Qfl+ MA=0
MA=wl
2+Qfl
Corte 1
∑ Mxx=0
−2 x ( x2 )−Qf ( x )+ Mxx=0
−2 x ( x2 )−Qf ( x )+ Mxx=0
Mxx=2 x
2
2 +Qfx
w= 1
2 EI ∫0
l
( x2+Qfx ) 2❑
dx
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
2/36
Método castigliano
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
l
2 ( x2+Qfx ) dx
∫¿ 1
EI ∫0
l
( x2
) ( x )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
( x3 ) dx=[ x4
4 ] l0= 1 EI (3 )
4
4=
20.25
EI
EJERCICIO 2
∑fy=0
−wl−Qf + RAY + RBY =0
RAY =wl
2+
Qf
2
∑ MA=0
−Wl
(
l
2
)−Qf
(
l
2
)+ RBY (l)=0
−w l2
2−
Qfl
2+ RBY (l )=0
RBY =wl
2+Qf
2
Corte 1
∑ Mxx=0
wx ( x2 )−(wl
2+Qf
2 ) ( x )+ Mxx=0
w x2
2−
wlx
2−
Qfx
2+ Mxx=0
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
3/36
Método castigliano
Mxx=−w x2
2+
wlx
2+
Qfx
2
w= 1
2 EI ∫0
l
(−w x2
2
+wlx
2
+Qfx
2
)2
❑dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
l
2(−w x2
2+
wlx
2+
Qfx
2 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
(−wx2
2+wlx
2 )( x2 )dx
∫¿ 1
EI ∫0
l
(−w x3
2 +wl x
2
2 )dx=
−w x4
8 +wl x
3
6
∫¿ 1 EI (−w x
4
8+
wl x3
6 )l /20 =−w x( l2 )
4
8+
wl ( l2 )3
6❑⇒
∫¿ 1 EI (−w l
4
128+
w l4
48 )= 5w l4
384 EI
EJERCICIO 3
∑ fy=0
− P−Qf + RAY + RBY =0
RAY = P
2+Qf
2
∑ MA=0
− P( l2 )−Qf ( l2 )+ RBY (l)=0
− Pl2
−Qfl
2+ RBY (l)=0
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
4/36
Método castigliano
RBY = P
2+
Qf
2
Corte 1
∑ Mxx=0
−( P2 +Qf
2 )( x )+ Mxx=0
Mxx= Px
2+
Qfx
2
w= 12 EI ∫
0
l/2
( Px2 +Qfx2 ) 2
❑dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
l
2( Px2 +Qfx
2 ) dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
( Px2 )( x
2 )dx=( P x2
4 )dx=[ P x3
12 ]l /20
∫¿ 1 EI
P( l2 )3
12=
P l3
96 EI
corte 2
∑ Mxx=0
−( P2 +Qf
2 )(l
2+ x)+Qf ( x )+ P( x )+ Mxx=0
− Pl4
− Px
2−
Qfl
4−
Qfx
2+ Px+ Mxx=0
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
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Método castigliano
Mxx= Pl
4+
Qfl
4−
Qfx
2−
Px
2
w= 1
2 EI ∫0
l/2
( Pl4 +Qfl
4−
Qfx
2−
Px
2 ) 2❑dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
l /2
2( Pl4 +Qfl4 −Qfx2 − Px2 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l /2
( Pl4 − Px
2 )( x
2+
l
4 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l /2
( Plx8 + P l2
16−
Plx
8+
P x2
4 )dx=( P l2
16−
Plx
4+
P x2
4 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
2
( P l2 x
16−
Pl x2
8+
P x3
12 )= P l
2( l2 )16
− Pl ( l2 )
2
8+
P ( l2 )3
12
∫¿ 1 EI Pl3
32− Pl
3
32+ P l
3
96= P l
3
96 EI
P l3
96+
P l3
96=
P l3
48 EI
EJERCICIO 4
Corte 1
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
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Método castigliano
∑ Mxx=0
−4 ( x )−Qf ( x )+ Mxx=0
Mxx=4 x+Qfx
w= 1
2 EI ∫0
l
(4 x+Qfx ) 2❑
dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
l
2 (4 x+Qfx )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
(4 x ) ( x ) dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
(4 x2 ) dx=[ 4 x3
3 ] l0= 1 EI w (6 )
3
3=288
EI
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
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Método castigliano
EJERCICIO 5
Corte 1
∑ Mxx=0
−15 ( x )−Qf ( x )+ Mxx=0
Mxx=15 x+Qfx
w= 1
2 EI ∫0
l
(15 x+Qfx ) 2❑
dx
∫¿
∂ w
∂Qf =
1
2 EI ∫0
l
2 (15 x+Qfx ) dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
(15 x ) ( x ) dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
(15 x2 ) dx=[ 15 x3
3 ] l0= 1 EI 15 (1 )
3
3= 5
EI
Corte 2
∑ Mxx=0
−15 (1+ x )−Qf ( x+1 )−20 ( x)+ Mxx=0
Mxx=35 x+15+Qf +Qfx
w= 12 EI
∫0
2
(35 x+15+Qf +Qfx ) 2❑
dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
2
2 (35 x+15+Qf +Qfx )dx
∫¿ 1 EI ∫0
2
(35 x+15) ( x ) dx
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
8/36
Método castigliano
∫¿ 1 EI ∫0
2
(35 x2+15 x )dx=[ 35 x3
3+ 15
x2
2 ]20= 1 EI 35 (2)
3
3+15 (2 )
2
2=123.3
EI
EJERCICIO 6
Corte 1
∑ Mxx=0
−Qf ( x )+ Mxx=0
Mxx=Qfx
w= 1
2 EI ∫0
3
(Qfx ) 2❑
dx
∫¿ ∂w∂Qf
= 12 EI
∫0
3
2 (Qfx)dx
∫¿ 1 EI ∫0
3
( x ) dx
∫¿ 1 EI ∫0
3
( x ) dx=[ x2
3 ]30= 1 EI (3 )
3
3=
3
EI
Corte 2
∑ Mxx=0
−Qf ( x+3 )−8( x )+ Mxx=0
Mxx=8 x+3Qf +Qfx
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
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Método castigliano
w= 1
2 EI ∫0
6
(8 x+3Qf +Qfx ) 2❑
dx
∫¿ ∂ w
∂Qf = 1
2 EI ∫0
6
2 (8 x+3Qf +Qfx ) dx
∫¿ 1 EI ∫0
6
(8 x ) (3+ x )dx
∫¿ 1 EI ∫0
2
(8 x2+24 x )dx=[ 8 x3
3+24 x
2
2 ]20= 1 EI 8 (6 )
3
3+24 (6 )
2
2=
1008
EI
EJERCICIO 7
Calcular la rotación y defexión en el extremo libre de la viga
Corte 1
∑ Mxx=0
−12 ( x )−Qf ( x )+ Mxx=0
Mxx=−12 x+Qfx
w= 1
2 EI ∫0
2
(−12 x+Qfx ) 2❑
dx
∫¿ ∂ w
∂Qf = 1
2 EI ∫0
2
2 (−12 x+Qfx ) dx
∫¿ 1 EI ∫0
2
(−12 x ) ( x )dx
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
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Método castigliano
∫¿ 1 EI ∫0
2
(12 x2 )dx=[ 12 x3
3 ]20= 1 EI 12(1 )
3
3= 5 EI
Corte 2
∑ Mxx=0
12(2+ x )−Qf ( x+2)−3 x( x
2)+ Mxx=0
Mxx=3 x
2
2−12 x−24+2Qf +Qfx
w=
1
2 EI ∫0
4
(3 x
2
2 −12
x−24
+2
Qf +Qfx)2
❑dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
4
2(3 x2
2−12 x−24+2Qf +Qfx)dx
∫¿ 1 EI ∫0
4
(3 x2
2−12 x−24)(2+ x ) dx
∫¿ 1
EI ∫0
4
(−3 x
2
3
+3
x
2
+24
x−12
x
2
−48
−24
x
)dx=[
35 x4
8 −
9 x3
3 −
48 x2
2 −48
x
]4
0=
1
EI
35(4 )4
8 −
9 (4 )3
3
EJERCICIO 8
Corte 1
∑ Mxx=0
−2 x ( x2 )−Qf ( x )+ Mxx=0
Mxx=2 x
2
2+Qfx
w= 12 EI
∫0
2
( X 2+Qfx ) 2❑dx
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
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Método castigliano
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
2
2 ( X 2+Qfx ) dx
∫¿ 1
EI ∫0
2
( x2
) ( x )dx
∫¿ 1 EI ∫0
2
( x3 )dx=[ x4
4 ]20= 1 EI (2 )
4
4= 5 EI
Corte 2
∑ Mxx=0
4 (1+ x )−Qf ( x+2 )−2 x ( x2 )+12( x)+ Mxx=0
−2Qf −Qf −4−4 x+12 x− x2
Mxx= x2−8 x+4+2Qf +Qfx
w= 1
2 EI ∫0
4
( x2−8 x+4+2Qf +Qfx ) 2❑
dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
4
2 ( x2−8 x+4+2Qf +Qfx) dx
∫¿ 1 EI ∫0
4
( x2−8 x+4 ) (2+ x ) dx
∫¿ 1 EI ∫0
4
(− x3+2 x2−16 x−8 x2+8+4 x ) dx=[ x4
4−
6 x3
3−
12 x2
2+8 x ]40= 1 EI
(4 )4
8−
6 (4 )3
3−
12 (4 )2
2−8 (
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
12/36
Método castigliano
Ejercicio 9
∑ fy=0
− P−Qf + RAY + RBY =0
RAY =3 P
4+3Qf
4
∑ MA=0
− P( l4 )−Qf ( l
4 )+ RBY (4 l
4 )=0
− Pl4
−Qfl
4+ 4
RBYl
4=0
RBY = P
4+
Qf
4
Corte 1
∑ Mxx=0
−(3 P4 +3Qf
4 ) ( x )+ Mxx=0
Mxx=3 Px4
+3Qfx4
w= 1
2 EI ∫0
l/4
(3 Px4 + 3Qfx
4 ) 2❑dx
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
13/36
Método castigliano
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
l /4
2(3 Px4 + 3Qfx
4 )dx
∫¿ 1
EI ∫0
l /4
(3
Px4 )(
3
x4 )dx=(
9
P x
2
16 )dx=[
9
P x
3
48 ]l /4
0
∫¿ 1 EI
9 P( l4 )3
48=
9 P l3
3072
Corte 2
∑ Mxx=0
−( 3 P4 +3Qf
4 )( l
4+ x)+ P ( x )+Qf ( x )+ Mxx=0
−3 Pl16
−3 Px
4−
3Qfl
16−
3Qfx
4+ Px+Qfx+ Mxx=0
Mxx=3 Pl
16+3Qfl
16−
Qfx
4−
Px
4
w= 1
2 EI ∫
0
3 l/4
(3 Pl16 + 3Qfl
16−
Qfx
4−
Px
4 ) 2❑dx
∫¿ ∂w∂Qf
= 12 EI
∫0
3 l/4
2(3 Pl
16+ 3Qfl
16−Qfx
4− Px
4 )dx
∫¿ 1 EI ∫
0
3 l /4
(3 Pl16 − Px
4 )(− x4+ 3 l
16 )dx
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
14/36
Método castigliano
∫¿ 1 EI ∫
0
3 l /4
(−3 Plx64 + 9 P l2
256−3 Plx
64+
P x2
16 )dx=(9 Pl2
256−3 Plx
32+
P x2
16 )dx
∫¿ 1 EI ∫
0
3 l /4
(9 P l2
x
256−3 Pl x
2
64+
P x3
48 )=9 P l
2
(3l
4 )256
−3 Pl(
3 l
4 )2
64+
P(3 l
4 )3
48
∫¿ 1 EI
27 Pl3
1024−
27 Pl3
1024+27 P l
3
3072=
9 P l3
1024
9 P l3
3072+9 P l
3
1024=
3 Pl3
256
Ejercicio 10
∑ fy=0
− P−Qf + RAY + RBY =0
RAY =2 P
3+2Qf
3
∑ MA=0
− P( l3 )−Qf ( l3 )+ RBY (l )=0
− Pl3
−Qfl
3+ RBYl=0
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
15/36
Método castigliano
RBY = P
3+
Qf
3
Corte 1
∑ Mxx=0
−(2 P3 +2Qf
3 ) ( x )+ Mxx=0
Mxx=2 Px
3+2Qfx
3
w= 12 EI ∫
0
l/3
(2 Px3
+2Qfx3 )
2
❑dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
l /3
2( 2 Px3 + 2Qfx
3 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l /3
(2 Px3 )( 2 x
3 )dx=(4 P x2
9 )dx=[ 4 P x3
27 ] l /30
∫¿ 1 EI
4 P ( l3 )3
27=
4 P l3
729 EI
Corte 2
∑ Mxx=0
−( 2 P3 +2Qf
3 )(l
3+ x )+ P ( x )+Qf ( x )+ Mxx=0
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
16/36
Método castigliano
−2 Pl9
−2 Px
3−2Qfl
9−
2Qfx
3+ Px+Qfx+ Mxx=0
Mxx=2 Pl
9
+2Qfl
9
−Qfx
3
− Px
3
w= 1
2 EI ∫
0
3 l/4
(2 Pl9 +2Qfl9 −Qfx3 − Px3 ) 2❑dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫
0
3 l/4
2(2 Pl9 +2Qfl
9−
Qfx
3−
Px
3 )dx
∫¿ 1 EI ∫
0
3 l /4
(2 Pl9 − Px
3 )(− x3
+ 2l9 )dx
∫¿ 1 EI ∫
0
3 l /4
(−2 Plx27 + 4 P l2
81−2
Plx
27+
P x2
9 )dx=( 4 Pl2
81−4
Plx
27−
P x2
16 )dx
∫¿ 1
EI ∫0
3 l /4
(4 P l
2 x
81 −4 Pl x
2
54 − P x
3
27 )=9 P l
2(2l3 )81 −
3 Pl( 2 l3 )2
54 +
P(2l3 )3
27
∫¿ 1 EI
8 Pl3
243−
16 Pl3
486+8 P l
3
729=
8 Pl3
729 EI
4 P l3
729+8 P l
3
729=
4 P l3
243 EI
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
17/36
Método castigliano
Ejercicio 11
∑ Fy=0
RAY + RBY − P− P− P−Qf =0
RAY + RBY −3 P=0
RAY +3 P
2+2Qf
4−3 P−Qf =0
RAY =3 P
P +
Qf
2
∑ MA=0
− Pl4
−2 Pl
4−3 Pl
4−2Qfl
4+ RBY ( l )=0
RBY =3 Pl
2l +
2Qfl
4=
3 P
2+2Qf
4
CORTE 1
∑ Mxx=O
(3 P2 +Qf
2 )( X )+ Mxx=0
Mxx=3 Px2
+QFx2
w= 1
2 EI ∫0
l/4
( 3 Px2 +Qfx2 ) 2❑dx
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
18/36
Método castigliano
¿ ∂ w
∂Qf =¿
1
2 EI ∫0
l/4
2(3 Px2 +Qfx
2 )dx∫¿
∫¿ 1 EI ∫0
l /4
(3 Px2 )( x
2)dx
∫¿ 1 EI ∫0
l /4
(3 P x2
4 )dx=[ 3 P X 3
12 ]1 /40l
4¿3
¿3 P ¿
∫¿ 1 EI
¿
CORTE 2
∑ Mxx=0
−(3 P2+Qf
2 )( l4 + X )+ Px+Qf ( x)+ Mxx=0
−3 Pl8
−3 Px
2−
Qfl
8−
Qfx
2+ Px+Qfx+ Mxx=0
Mxx=3 Pl
8+
Px
2+
Qfl
8−
Qfx
2
w= 1
2 EI ∫
0
2 l/4
(3 Pl8 + Px
2+
Qfl
8−
Qfx
2 ) 2❑dx
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
19/36
Método castigliano
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫
0
2 l/4
2( 3 Pl8 + Px
2+
Qfl
8−
Qfx
2 ) dx
∫¿ 1
EI ∫0
2 l /4
(3 Pl
8 + Px
2 )( l
8− x
2 )dx
∫¿ 1 EI ∫
0
2 l /4
(3 Pl2
64−3
Plx
16+
Pxl
16−
P x2
4 )dx
∫¿ 1 EI ∫
0
2 l /4
(3 Pl2
64−
Plx
8−
P x2
4 )dx=3 P l2
x
64−
Pl x2
16−
P x3
12
∫¿ 1 EI
3 Pl2
(2l
4 )64
− Pl (
2 l
4
)2
16−
P (2 l
4
)3
12= 1
EI
6 Pl3
256−
Pl3
64−
Pl3
96=
P l3
384 EI
3 P l3
768+
P l3
384 EI =
5 P l3
768 EI
EJERCCO !12"
Corte 1
#!$"% &'
a" Calculo del trabajo interno (
w= 1
2 EI ∫0
l
❑ ( PX ) dx= P2 X 3∫0
l
¿ P
2l3
6 EI
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
20/36
Método castigliano
)"
∫❑=d
P2l3
6 EI
dP =
2 P2l3
6 EI =
P l3
3 EI
Corte 2
M ( Z )= PX +QF ( X −l
2)
*" C*+C,+O -E+ TR*)*JO .TER.O
w= 12 EI
∫0
l/2( PX )2dx+ 1
2 EI ∫l /2
l
❑[ PX +Qf ( X −l2)] 2❑ dx
)"
∫¿ ∂ w∂Qf
= [ CERO ]+ 1 EI ∫l /2
l
[ PX +Qf ( X − l2 )] 2❑
∫¿ ∂ w∂Qf = 1
EI ∫l /2
l
[ PX ]( X − l2 )dx
∫¿ 1 EI ∫l /2
l
[ P X 2− Pxl2 ]dx
∫¿ 1 EI ∫l /2
l
[ PX 3
3−
P x2
l
4 ] ll /2
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
21/36
Método castigliano
l¿¿¿3¿
l¿¿¿2l P ¿¿
∫¿ 1 EI
¿
l
2
¿
¿¿3¿l
2
¿¿¿2l P ¿¿
∫¿ 1 EI
¿
P l3
12−[− P l
3
48 ]=5 P l3
48
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
22/36
Método castigliano
EJERCCO 1/
*" Calcular la defexión mxima en el extremo libre)" +a defexion en el centro del claro
∑ fy=0
−wl− p+ RAY =0
RAY =Wl+ P
∑ MA=0
−Wl ( l2 )− P (l )+ MA=0
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
23/36
Método castigliano
−W l2
2− Pl+ MA=0
MA=W l
2
2
+ Pl
CORTE 1
∑ Mxx=0
−Qf ( x )−wx( x2 )+ Mxx=0
−Qf ( x )−w x
2
2+mxx=0
Mxx=w x
2
2
+Qf ( x)
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
24/36
Método castigliano
¿w x
2
2¿2( x)dx
¿
w= 1
2
EI
∫l2
l
¿
(¿w x
3
2)dx
(¿ w x
2
2)( x ) dx= 1
EI ∫
l
2
l
¿
w= 1
EI ∫
l
2
l
¿
(¿ w x
4
8) l0= 1
EI (
w (l)4
8)
w= 1
EI ∫
l
2
l
¿
w= w l
4
8 EI
CORTE 2
∑ Mxx=0
−Qf ( l2 )−wx( x− x2 )+ Mxx=0
−Qf ( l2 )−w x2+w x
2
2+ Mxx=0
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
25/36
Método castigliano
Mxx=Qf ( x− l2 )+wl x
2
2
x− l
2¿2dx
(¿ wl x
2
2)+Qf ¿
w= 1
2 EI ∫l /2
l
¿
(¿cero)+[ wl x2
2 (Qf ( x− l2 ))]( x− l2 )dxw=
1
EI ∫l/2
l
¿
x−l
2
(w x
2
2)¿dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
EI ∫l /2
l
¿
w x3
2−
wl x2
4
w x4
8 −
wl x2
12
¿ ll /2
¿dx= 1
EI ∫l/2
l
¿
∫¿
∂ w
∂Qf =
1
EI ∫l /2
l
¿
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
26/36
Método castigliano
w(l)4
8−wl (l)2
12
wl4
8−w l
4
12
¿= w l4
24 EI
¿= 1 EI
¿
∫¿ 1 EI
¿
w(l
2)4
8−
wl (l
2)2
12
w l
4
128−w l
4
90
¿= w l
4
384 EI
¿= 1
EI ¿
∫¿ 1 EI
¿
¿ 17 w l
4
384 EI
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
27/36
Método castigliano
Ejercicio 1
w−l w ¨ − x w ¨ =wx
l
M =
(
wx
l )( x )=w x
2
2l
∑ Mxx=0
(−w x2
2l )( x3 )−Qf ( x )+ Mxx=0
Mxx=
(w x
3
6 l
)+Qfx
a"
w= 1
2 EI ∫0
l
(w x3
6 l +Qfx) 2❑dx
b"
∫¿ ∂ w∂Qf
= 12 EI
∫0
l
2(w x3
6 l +Qfx )( x ) dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
( w x4
6 l )dx=[ w x5
30 l ] l0=w l5
30 l=
w l4
30 EI
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
28/36
Método castigliano
Ejercicio 13
∑ Fy=0
RAY + RBY − P− P− P=0
RAY + RBY −3 P=0
RAY +3 P
2−3 P=0
RAY =3 P
P +
Qf
2
∑ MA=0
− Pl4
− Pl
2−3 Pl
4+ RBY ( l )=0
RBY =3 Pl
2l =
3 P
2+
Qf
2
CORTE 1
∑ Mxx=O
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
29/36
Método castigliano
3 P
2( X )+
Qf
2( X )+ Mxx=0
Mxx=3 Px
2+
QFx
2
w= 12 EI
∫0
l/2
(3 Px2 +Qfx
2 ) 2❑dx
¿ ∂ w
∂Qf =¿
1
2 EI ∫0
l/2
2(3 Px2 +Qfx
2 )dx∫¿
∫¿ 1 EI ∫0
l /2
(3 Px2 )( X )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l /2
(3 P x2
2 )dx=[ 3 P X 3
6 ]1/20l
4¿3
¿3 P ¿
∫¿ 1 EI ¿
CORTE 2
∑ Mxx=0
−(3 P
2 +
Qf
2
)( l
4 + X )+ Px+ Mxx=0
−3 Pl8
−3 Px
2−
Qfl
8−
Qfx
2+ Px+ Mxx=0
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
30/36
Método castigliano
Mxx=3 Pl
8+
Px
2+
Qfl
8+
Qfx
2
w= 1
2 EI ∫0
l/2
(3 Pl8 + Px
2+
Qfl
8+
Qfx
2 ) 2❑dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
l
2( 3 Pl8 + Px2 +Qfl8 +Qfx2 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
(3 Pl8 + Px
2 )(l
8+
x
2 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
(3 P l2
64+3 Plx
16+
Pxl
16+
P x2
4 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
(3 P l2
64+
Plx
4+
P x2
4 )dx=3 P l2 x
64+
Pl x2
8+
P x3
12
∫¿ 1 EI
3 Pl2(l)
64+ Pl(l )2
8+ P(l)3
12=
1
EI
3 P l3
256+ Pl x
3
128+ P x
3
768= P l
3
48 EI
3 P l3
48 EI +
P l3
48 EI =
19 P l3
384 EI
EJERCCO 14
a" Calcular la defexión en el centro del claro de la viga
∑ Fy=0
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
31/36
Método castigliano
RAY + RBY −Wl
4−
Wl
4−Qf =0
RAY +Wl
4+
Qf
2−
Wl
4−
Wl
4−Qf =0
RAY =Wl
4+
Qf
2
∑ MA=0
−Wl4 ( l3 )−Qf ( l2 )−Wl4 ( 2l3 )+ RBY ( l )=0
−W l212
−Qfl2−2W l
2
12+ RBYl=0
RBY =3Wl
12+
Qf
2=
Wl
4+
Qf
2
CORTE 1
w−l
2
w ¨ − x w ¨ =wx
l M =
(wx
l /2 )=2wx
l
∑ Mxx=0
−( Wl4 +Qf
2 )( X )+W x
2
l ( x3 )+ Mxx=0
−Wlx4
−Qfx
2+
W x3
3 l + Mxx=0
Mxx=Wlx
4+
Qfx
2−
W x3
3 l
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
32/36
Método castigliano
w= 1
2 EI ∫0
l/2
( wlx64 +Qfx2 −w x3
3 l ) 2❑dx
∫¿ ∂ w
∂Qf = 1
2 EI ∫0
l /2
2
(wlx
4 +Qfx
2 −w x
3
3 l )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l /2
(wlx4 −w x3
3l )( x2 )dx=(wl x2
8−
w x4
6 l )dx
l
2¿3
¿l
2¿5
¿w ¿wl ¿
∫¿ 1 EI [ wl x
3
24−
w x5
30 l ]= 1 EI ¿
∫¿ 1 EI (w l
4
192−
w l4
960 l )= 1240 EI (2 )= w l4
120 EI
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
33/36
Método castigliano
Ejercicio 15
Calcular el de6la7amiento en el centro del claro uando el m8todo decatigliano
∑ Ma=0
−( Wl3 )( X )−Qf (l
2 )+ RBY (l)=0
−w l2
6−
Qfl
2+ RBY (l)=0
RBY =w l
2
6 +Qfl
2 =wl
6 +Qf
2
CORTE 1
∑ Mxx=0
−
(Wl
6
+Qf
2
)( X )+ Mxx=0
−( Wl6 +Qf
2 )( X )+ Mxx=0
Mxx=wlx
6+
Qfx
2
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
34/36
Método castigliano
w= 12 EI
∫0
l/3
( Wl6 +Qfx
2 ) 2❑dx
∫¿ ∂ w∂Qf
= 1
2 EI ∫0
l
2( Wl6 +Qfx
2 )dx
( Wl6 )( x
2 )dx=¿( wl x2
12 )dx∫ ¿ 1
EI ∫0
l /3
¿
wl
27 ¿3
wl¿= w l
4
972 EI
¿ 1
EI [ wl x3
36 ]l /30 =¿ 1 EI ¿∫¿
Corte 2
∑ Mxx=0
−( Wl6 +Qf
2 )(l
3+ x )+wx( x2 )+ Mxx=0
−w l2
18
−wlx
6
−Qfl
6
−Qfx
2
+w x
2
2
+ Mxx=0
Mxx=w l
2
18+
wlx
6+
Qfl
6+
Qfx
2−
w x2
2
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
35/36
Método castigliano
w= 1
2 EI ∫0
l/6
(w l2
18+
wlx
6+
Qfl
6+
Qfx
2−
w x2
2 ) 2❑dx
∫¿ ∂w∂Qf = 12 EI ∫
0
l
6
2(w l
2
18+wlx
6+Qfl
6+Qfx
2−w x
2
2 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l
6
( w l2
18+
wlx
6−
w x2
2 )( l6+ x2 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l /6
( w l3
108+
w l2 x
36−
w l2 x
36+
wl x2
12−
wl x2
12−
w x3
4 )dx
∫¿ 1 EI ∫0
l /6
( w l3
108+
w l2 x
18−
w x3
4 )dx
l
6
¿¿¿¿22¿w l
¿
∫¿ 1 EI [ wl
3 x
108+
w l2 x
2
36−
w x4
16 ] l /60 = 1 EI w l
3
( l6 )
108+¿
∫¿ 1 EI (w l
4
648+
w l4
1296−
w l4
20736 )
∫¿ 1 EI
47w l4
20736 EI +
w l4
972 EI =( 205w l
4
62208 EI ) (2)= 205w l4
31104 EI
-
8/19/2019 Método Castigliano(Final )
36/36
Método castigliano
