Metodos de Energia Castigliano O 26
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7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
1/26
442
ELASTICIDAD
1?
M2
2
i
AE
B A
Figura
10.6.
expresin
con
la
que
calculamos
-
7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
2/26
TEORA
DEL
POTENCIAL
INTERNO 443
El
teorema
de
Castigliano
es
aplicable al clculo del
giro
(p
producido
por un
par
M
(10.6.4
En
este
caso,
el
teorema
se
enunciara
as:
el
vector
rotacin
de
un
par
cualquiera,
pro
yectado
sobre
el
eje de este
par, es
igual
a
la
derivada
parcial del
potencial
interno respecto
de l
momento
de
dicho
par.
Hay que
sealar
que
la
validez
de la
aplicacin del teorema
de
Castigliano
est
supedita
da al
cumplimiento
de
todas
las
condiciones
que
se
han
establecido
para
su
demostracin
Es
necesario,
pues, que
los
desplazamientos
y
deformaciones sean
funciones lineales
y
ho
mogneas
de las fuerzas
exteriores
y
que
la deformacin
elstica
del cuerpo
no
influya en
e
sistema
de
fuerzas
exteriores.
No
ser
aplicable,
por
tanto,
a
barras
esbeltas
sometidas
a
compresin
(flexin lateral).
Tampoco
es
aplicable
cuando
los
desplazamientos pueden
estar influidos
por
causa
ajenas
al
sistema
de
fuerzas
exteriores,
como
ocurre
en
el
caso
de
existir
variaciones
trmi
cas,
cuando
se
producen
asientos
anelsticos de
los
apoyos,
etc.
El
teorema
de
Castigliano
permite calcular
los
desplazamientos
proyectados
sobre
las
fuerzas
exteriores
aplicadas
de los
puntos
de
aplicacin
de las
mismas,
as
como
los giros
experimentados
por
las
secciones
a
las que se
apliquen
pares. Pero
tambin
permite
calcular
los
desplazamientos de
puntos
del
prisma
mecnico sobre los cuales no
acte
ninguna
fuer
za exterior.
Para
ello se
emplea el mtodo de
la
carga
ficticia
,
que
consiste en lo siguiente
Se
calcula
el
potencial
interno
cf del prisma mecnico sometido al sistema de
fuerzas
exteriores,
aadiendo
a
ste
una
fuerza auxiliar
ficticia P
aplicada
en
el punto que queremos
calcular
el
desplazamiento
y
de
direccin
aqulla
en
que queremos
medir
la
proyeccin
de
mismo.
Se
calcula la
derivada
parcial
de
.
respecto
de
P
y
en
la
expresin
resultante
se
hace
P
=
0,
es decir
*
-
BL
(10.6.5
Del
teorema de
Castigliano
se
deduce un
inmediato
corolario:
consideremos
un
cuadro
rectangular
(Fig.
10.7)
al
que
se
aplican
dos
fuerzas
P
iguales
con
la
misma
lnea
de
accin
y
sentidos
opuestos.
Si
queremos
calcular
la
variacin
relativa de
la
distancia
entre los puntos
A
y
B
de
aplicacin
de
ambas
fuerzas
podemos
suponer
uno de
ellos fijo,
por
ejemplo
el
B
(Fi
gura
10.76).
Expresado
el potencial interno
del cuadro
en funcin de
P,
la variacin
de
la
distancia
relativa
entre
dichos puntos
ser:
(10.6.6
P
-
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444
ELASTICIDAD
P
P
:
B
:
B
P
h)
)
Figura
10.7.
Por
tanto,
podemos decir que si
entre
las fuerzas
exteriores
aplicadas
al
prisma
mecni
co
hay
dos
con
la
misma lnea
de
accin
y
sentidos opuestos,
el
desplazamiento
relativo
de
sus
puntos
de
aplicacin,
proyectado
sobre
la
lnea
de
accin
comn,
es
igual a
la
derivada
del
potencial
interno
respecto
a
la
fuerza comn.
Anlogamente,
si
entre
la
solicitacin exterior
hay
dos
pares
paralelos
y
de
sentidos
opuestos,
la
rotacin relativa de las
secciones
a las
que
estn
aplicados,
proyectada
sobre
la
direccin
comn
de sus
ejes,
es
igual
a
la
derivada
del
potencial
interno
respecto
al momen
to
M de
dichos
pares.
(10.6.10)
10.7. Teorema de Menabrea
Hemos
visto
cmo
la
aplicacin
del teorema
de
Castigliano
permite
calcular
desplazamien
tos
de
los
puntos
de
un
prisma
mecnico,
as
como
los
giros
de las
secciones
del
mismo.
Este
clculo
no
presenta mayor dificultad
cuando
se trata de
un sistema
isosttico.
Cuando
el
sistema es hiperesttico puede
suceder
que
las incgnitas hiperestticas sean
las
reacciones
de
las
ligaduras
externas
(sistemas
exteriormente
hiperestticos) o bien
que
las
reacciones
estn
estticamente
determinadas pero no sea
posible
calcular
los esfuerzos
interiores
por
aplicacin
de
las
ecuaciones generales
de equilibrio de
la
Esttica
(sistemas
interiormente
hiperestticos).
Un
ejemplo del primer
tipo,
es
decir,
de
sistema
exteriormente
hiperesttico
lo
tene
mos en el
sistema
plano
formado
por
la
viga
indicada
en la
Figura
10.8,
empotrada en un
extremo
y
con dos apoyos
mviles.
El nmero de
incgnitas
de
este
sistema
es
de cinco
(las
dos
componentes de la
reaccin
y el
momento de empotramiento
en
A
y
las
reacciones
verticales
en los apoyos
mviles B
y
C).
por
lo
que,
al
ser tres
el
nmero
de ecuaciones
que
nos
proporciona
el imponer las
ecuaciones del equilibrio
esttico,
el grado de hiperestaticidad es
dos,
es
decir,
existen
dos
incgnitas
hiperestticas.
Podemos
considerar
que estas dos
incgnitas
hiperestticas son.
-
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TEORA
DEL
POTENCIAL
INTERNO 445
*
I
.
I
C
Figura
10.8.
por
ejemplo,
las
reacciones
Xx
y
X2
en los
apoyos
mviles
B
y
C
y
calcular el potencial
interno
que
ser
una funcin
de
estas
dos
incgnitas.
=
//(* X2)
En
estos
apoyos
mviles,
en
los
que
el
desplazamiento
es
perpendicular
a
la direccin
de
la
reaccin,
las
derivadas
parciales
del
potencial
interno
respecto a
estas dos
incgnitas,
en
virtud
del
teorema
de
Castigliano, deben
ser
iguales a cero
d.v
n
=
0;
(10.7.1)
v.r
dX2
Estas
ecuaciones,
cuyo nmero
en el
caso general es igual
al de
incgnitas
hiperestticas
junto a
las
ecuaciones
de
equilibrio
permiten resolver
la
indeterminacin del
problema y
obtener,
por
tanto,
las
reacciones
hiperestticas.
Las
ecuaciones
(
1
0.7.2)
indican
que
para los valores
de
las incgnitas hiperestticas
que se
originan efectivamente
en
el
sistema,
la
funcin
del potencial
interno
toma
un
valor
mximo
o
mnimo
relativo.
Por Mecnica
sabemos
que
se
trata de un
mnimo,
si el equilibrio
es estable.
Podemos
pues
anunciar
el
siguiente
teorema
denominado
de
Menabrea
o
del
trabajo
mnimo: en un
sistema
de
slidos elsticos
los
valores
que
toman las reacciones
hiperestti
cas
correspondientes
a
los enlaces
superabundantes hacen
estacionario
el
potencial
interno
del
sistema.
Consideremos
ahora
un sistema
interiormente hiperesttico,
como puede
ser,
por
ejem
plo,
el
cuadro
de
nudos rgidos
representado
en
la
Figura
10.9.
Para
aplicar
el teorema de
Castigliano
a
tales
sistemas
se
convierten
en
sistemas
isostticos
haciendo los
cortes necesa
rios,
en
los
cuales
se
introducen las
incgnitas hiperestticas
en nmero
igual
al
grado
de
hiperestaticidad.
En
nuestro
cuadro,
hiperesttico de
tercer
grado,
hacemos un
corte
y
tomaremos
como
incgnitas
hiperestticas
el
esfuerzo
normal
N0,
el
esfuerzo
cortante
T0
y
el
momento
flcctor
M0
en
la
seccin
del citado
corte.
(10.7.2)
N0
ni
Figura
10.9.
-
7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
5/26
446
ELASTICIDAD
Ahora
bien,
estas magnitudes
en los
dos extremos
del
corte
son
iguales y
opuestas.
Apli
cando el
resultado
(10.6.9)
deducido
del
teorema de
Castigliano,
al
ser nula
la
rotacin
y
los
desplazamientos
relativos
en
las
direcciones
longitudinal
y
transversal de
la
barra en la
que
hemos
realizado
el
corte,
de
las secciones
extremas
del
citado
corte,
se verificar
-o
dM
d//~
n
d.v
n
SN0-
W0
Este
resultado nos permite
enunciar el
teorema
del
trabajo
mnimo
,
aplicable
con
genera
lidad
a
los sistemas
interiormente
hiperestticos:
los valores de
las
incgnitas hiperestti-
cas que
se
producen
efectivamente en
un
sistema
elstico interiormente
hiperesttico,
son
tales que
hacen
mnimo su potencial
interno.
El teorema
de
Menabrea es
tambin
aplicable
al
caso de sistemas reticulados con
enla
ces superabundantes
internos,
como el
indicado
en
la
Figura 10.10.
(10.7.2)
x
F
Figura
10.10.
En tales
casos se suprime
la
barra superabundante
y
se
sustituye por
el esfuerzo desco
nocido
X.
Se
calcula el potencial interno
del sistema
sin
tener en cuenta la barra
suprimida.
La
ecuacin
adicional
que
nos
resuelve
el
problema
es
la
que
expresa
que
la
variacin
de
distancia
entre
las
secciones extremas de
la
barra
suprimida
debe ser
igual
y
de sentido
contrario a
la
variacin
de
la
longitud
de
la misma.
El
teorema del trabajo
mnimo fue
enunciado
por
el
italiano
Menabrea
con anterioridad
a la
formulacin
por
parte de
Castigliano
del teorema
que
hemos
visto en el
epgrafe
ante
rior.
De ah
que
se conozca
bajo
su
nombre.
Pero fue
Castigliano quien complet la
demos
tracin
del
mismo.
10.8.
Aplicacin
de
principios
variacionales
para
la resolucin
de
problemas
en
Elasticidad
En
el
Epgrafe 10.4
hemos
visto
cmo
a
partir
del
principio
de los trabajos
virtuales
hemos
llegado
a la
formulacin
del
principio
de
la
energa
potencial
total. Vamos a
exponer
ahora
otro
principio,
denominado
principio
de
la
energa complementaria que, junto
a
aquel,
nos
va a
permitir
tener
dos
nuevas
herramientas en fo rma
de
principios
variacionales en
los
que
vamos a
poder
resolver
determinados problemas
de elasticidad.
Este
nuevo
principio
variacional se obtiene
haciendo
variar
virtualmente
las tensiones
en
vez de
hacer
variar
los
desplazamientos,
como
hicimos al
exponer
el principio
de
los
trabajos
virtuales.
Procederemos
de
forma
anloga,
pero
teniendo
en
cuenta que
cuando
-
7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
6/26
TEORA DEL POTENCIAL
INTERNO
447
hacamos
variar
los desplazamientos las
ecuaciones
de
compatibilidad
quedaban
automti
camente
satisfechas
y
nos tenamos
que preocupar
exclusivamente
que
se
cumplieran
las
ecuaciones
de
equilibrio
interno.
Ahora,
al
hacer
variar
las
tensiones,
nuestra preocupacin
de
que
se verifiquen
las ecuaciones
de equilibrio
interno no
es
suficiente,
ya
que
se
tienen
que verificar
tambin
las condiciones
de
compatibilidad.
Consideremos un
slido
elstico en
equilibrio
en el
que
[T]
es la matriz de
tensiones.
Son
conocidos
los
sistemas de
fuerzas
sobre
el
contorno
/ft
(X,
P,
Z)
y
msicas
fv
(X ,
Y
,
Z).
Si
damos una pequea variacin a las componentes de la matriz
de
tensiones,
la
matriz
de
este
estado
\T
+
T\,
verifica
las condiciones
de equilibrio
pero
no
las
de
compatibilidad.
d((Tnx
+
(Tnx)
d(xxy
+
rxy)
d(xx:
xxz)
dx
dy
dz
d(zxy
xxy)
d(any
aj
d(xyz
+
Sxys)
dx dy
dz
d(zx:
xxz)
d(xy=
+
zy:)
d(anz
+
aj
+
X
=
0
+
Y
=
0
(10.8.1)
Z
=
0
dx
dy
dz
Restando miembro
a
miembro
a
estas
ecuaciones las
que
corresponden
al estado
tensio-
nal
antes de
hacer
variar las
tensiones.
Se tiene
dnX
Mjxy
dx
dy
.
dSony
'
=
0
dz
=
0
(10.8.2)
dz
=
0
dx
dy dz
Se
tendrn
que verificar las
condiciones
de contorno
en el
estado tensional
variado
K*
+
O
(Txy
Sxxy)
i
(xx:
+
Sxx:)
y
=
X
X
(xxy
-I-
f)rxr)
a
(any
+
S(Tny)
ft
(xy:
+
xyz)
y
=
Y
+
Y
(xx:
+
r1) .)
a
-I-
(ry_.
+
Ty_.)
ft
(au:
5(T;)
y
=
2
4-
SZ
(10.8.3)
siendo
a,
ft,
y
las
componentes
del
vector
unitario
normales a la
superficie
exterior del
slido
y
fa
(X,
Y,
Z)
las pequeas
variaciones
de las fuerzas superficiales
sobre el
contorno.
Restando las ecuaciones
de contorno
correspondientes
antes
de la
variacin de
las
ten
siones,
se
tiene
a
-
7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
7/26
448
ELASTICIDAD
La
variacin
que
experimenta
la
energa
de
deformacin de l slido
clstico
ser
+
ny
ny
nz
~
/\2
2
JJnLV/
+
W
J
(Y y
+
Y*)
dx
dy
dz
=
dy
dz
(10.8.14)
T=
2
G
en
donde
Q
indica
que
la integral
est
extendida
a la
superficie
de la
seccin
recta
de
la
barra.
//
es nula en
la
superficie lateral de
la
barra,
ya
que no
existen
en
ella
fuerzas
superficia
les.
En
las
dos
secciones
extremas
tenemos
//
=
/T
(x
=
0)
(x
=
L
)
Pero,
segn
vimos en
el
Captulo
7
v
Oxz
;
vv
=
Oxy
para:
x
=
0
:
v
=
0
;
vv
=
0
x
=
L;
v
=
OLz
;
\v
=
OLy
La
expresin de
//
en
la
barra se reduce
a
1(
L
Z~dz
+
ylv)dydZ
(108'15)
cj)
-z
tX y
+
y
T
J
dy
dz
=
-G02L
L
Integrando
por
partes
esta ltima
integral, se
tiene
l
/~
=
2
G02L
d)
dy dz
(10.8.16)
habiendo tenido
en
cuenta
que la
funcin
< I>
podemos
considerarla nula
en el contorno.
La
energa
complementaria
de
la barra
ser,
por
consiguiente
(PL
Y
r/y
/M>y
2
JJn
LW
+
W
.
4G02L
ff
.
/'*
=
.y
-
.
r
=
dy
dz
(Pdydz
(10.8.17)
2G
n
-
7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
10/26
TEORA
DEL POTENCIAL
INTERNO 45
es
decir:
JLKSH0
4
dydz
(10.8.18
10.9.
Mtodo
de
Rayleigh-Ritz
Con
lo visto en
este
captulo
hemos obtenido
un
nuevo mtodo de resolucin del
problem
elstico.
Se trata
de buscar
una
funcin
que
debe
hacer mnimo
a
un
funcional determinad
o,
dicho
de
otro
modo,
la
funcin debe
satisfacer
una
ecuacin
variacional que
hace que
e
funcional
tome
un valor estacionario.
Este
mtodo,
que
nos
proporcionar
idnticas
soluciones
que
el mtodo del plantea
miento
del problema
elstico
que hemos
visto
en
el
Captulo
5,
puede
llevarnos
a ellas
con
un esfuerzo
de
clculo
notablemente
menor.
Entre los
mtodos
variacionales
destaca
el
denominado
mtodo
de
Rayleigh-Ritz.
Con
siste
este mtodo
en
poner
la
funcin de
tensiones
como
una
serie
que
verifique
las
condicio
nes de contorno
pero
en
funcin
de
coeficientes indeterminados
c7
que
se
determinarn
imponiendo la condicin
de ser
minima
la
energa
potencial
total
o
la
energa
complemen
taria,
es
decir,
se tendr
que verificar el sistema de
ecuaciones
que
nos
proporciona
impone
las condiciones
de
mnimo
de
cualquiera
de las dos funciones:
energa
potencial
total o
energa complementaria. Resuelto este
sistema
obtenemos la
funcin de tensiones que no
permite
llegar
a
una solucin
aproximada
del
problema.
Para
ilustrar
lo
que
se
acaba
de
exponer
veamos
cmo se
aplica
el
mtodo
de
Rayleigh
Ritz
para calcular
una
solucin
aproximada del problema elstico
en una
barra
prismtic
de
seccin
recta
cuadrada, de longitud
de lado
2
a,
sometida
a torsin
(Fig.
10.1
1).
v
&
MT
Figura
10.11.
De
la
funcin
de
tensiones
preconizada por
el
mtodo
de
Rayleigh-Ritz
-
7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
11/26
452 ELASTICIDAD
=
t-,
{y
2
a2){z2
a2)
Como
las derivadas de O
son:
=
Ci
(2yz2
2
a2y)
=
2c,
y
(z2
a2)
dy
r(\)
(2zy2
2a2
z)
=
2c,
z
(y2
a2)
c
i
dz
la
expresin
de
la
energa
complementaria
es:
?
r
*
r
il
J
a
{4c?[j'2(z2
a2)2
+
z2(y2
2)2]
4c,
(y2
a2)(z2
/2)
dz
/ *
=
Resolviendo
la
integral,
se
obtiene
G02L
64
(4
c?
a8
-
5
c,
(>)
-*
_
2 45
La condicin
de mnimo
d/P*
G()2L
64
2
45
(8c,
i8
5z6)
=
0
de
i
nos
proporciona la constante
c
i
5
Sa2
con
la
que
obtenemos
como funcin de tensiones
aproximada
(y
2
2)U2
2)
h
=
De
la relacin
existente
con
el
momento torsor
aplicado
se
obtiene
la
inercia
torsional
-
7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
12/26
TEORA
DEL POTENCIAL
INTERNO
45
=
jj
Jl
[
dy
Jo
,1
=
J
32
(y2
a2)(z2
a2)
dz
=
c
,
a6
=
y
dz
=
8c
i
GO
o
20a42
5
9
8a2
-
9
La
mxima
tensin
tangencial
se
presenta,
como
sabemos,
en los
puntos medios
de
lo
lados.
Considerando
la tensin
(1(D
M,
10
,
t-
=
GOaI
=
T8?Cv
~a)z
Particularizando
para
y
=
0;
z
=
a,
se
tiene:
9M
r
10
3
9MT
0,5625
Mr
~
ir*0/4 8
a2
a
3
Como,
segn
la
ecuacin
(7.6.19),
el valor
exacto de
la tensin
tangencial
mxima es
4,80
Mr
0,6
MT
8
a3
el error cometido
al
tomar
la
funcin de tensiones
aproximada
es
6,25
por 100.
EJERCICIOS
1
0.
1
La
deformada
de
la
lnea
media de
la viga
AB simplemente
apoyada
indicada en
la
Figur
FIO.la
viene definida
po r
las ecuaciones
Pb
Pb
EIzy
=
x3
+
(b2
-
l2)
x
para 0
/2(l
+
J)
2
(P
Q)
1
J
i N2
=
es
decir,
obtenemos
los
esfuerzos
normales
Nx
y
N2
que
actan
sobre
las barras AB
y
AC
respectivamente.
El
potencial
interno del
sistema,
en
funcin de
P
y
de
Q
,
tendr por expresin
4
(/yl
+
g)2
p-
4
-
Q)2
2y/3
2Ei
(1
+
y5)2
0 /
21(|
+
73)2
3
-3(f
O)2
a
-iiPyfi
+
Q)2
//
=
189,47
10
a
+
E
Q
+
309,4
10
Q
Aplicando
el teorema
de Castigliano
obtenemos las componentes del vector corrimiento
=
378,94
I0 3 a
+
618,8
10
12
a
-m
~3
a
=
1.755,62
10
aP
-3
-
7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
24/26
TEORA
DEL POTENCIAL
INTERNO
46
2.
Conocida
la
expresin
del potencial
interno de
una barra sometida
a traccin o
com
presin,
el alargamiento
de la misma se
puede
calcular aplicando el
teorema
de
Castigliano
d//~
A
/
=
NI
dN E
Q
N N
Figura
El 0.10c.
Aplicando
esta
expresin
a
cada una
de las barras
del
sistema,
se tiene:
2
Pajl
a
ECLJI
(i
yj)
enn
y5)
4 Pn
Q
(1+/3)
E
73(1
+
73)
2
Pjl
/,
A/.
=
N-
u.
=
N-
2
Pl2
2
Sustituyendo
valores:
8.000
,/3
=-
m
2 -
I05
10h
4
10 4(l
-4
8.000
=
=
ni
2
105
10*
4
10
473(l +73)
=
1,268
10
4
m
=
12,68
10
3
cm
/,
=
=
-0,845
10
4
m
=
-8.45
10 3 cm
/2
=
A/,
=
12,68
10
3
cm
A
l2
=
-8,45
10
3
cm
10.1
1.
Calcular
la expresin del
potencial
interno
de
una
barra
rectilnea
de
longitud
/,
seccin
constan
te 2
y
mdulo de
elasticidad E
,
sometida
a
un
esfuerzo
de
traccin uniforme N aplicado
en su
extremos.
F2
B
C
Ft
D
E2
Figura
El
0.1
1.
Aplicar dicha
expresin
para
calcular,
mediante
la aplicacin del
teorema
de
Menabrea,
lo
esfuerzos a
que
estn sometidas las
seis
barras
del
sistema
plano de
la
Figura
El
0.11.
Las
sei
-
7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
25/26
466
ELASTICIDAD
barras son
del
mismo
material,
tienen
igual
seccin
y
estn
articuladas entre
s.
La
solicitacin
exterior
est
formada por
cuatro
fuerzas
F,
y
F2
iguales
dos a
dos,
aplicadas en los
vrtices
exteriores
con
las
direcciones
y
sentidos indicados.
La
expresin
pedida
de l potencial
interno de
una
barra sometida a
traccin
se
obtiene
fcilmente
particularizando
la
expresin
correspondiente en
funcin
de
las componentes
de
la
matriz de
tensiones,
teniendo en
cuenta
que
anx
=
~
l
Q-i l
1
N2
-dv
=
TE*a,=
N2I
2ECI
El sistema dado
es hiperesttico
de primer grado. Por
razn de simetra
se
deduce
que
los
esfuerzos
normales N
de las
cuatro
barras del contorno son
iguales.
De la Figura
El
0.1
la,
planteando el
equilibrio
en los
nudos A
y
f,
se obtienen los
esfuerzos
normales
JV,
y
N2
en
las
barras diagonales en
funcin
de N.
F,
N2
-
2
N eos
45
=
0
F2
-
Nt
+
2
N
eos
45
=
0
F2
IN
i
X
Ft
AY
V2
/VAC
Fx
N
N
'V,
rDN
Figura
El
0.1 la.
De
este
sistema
de
ecuaciones
se
obtienen
W,
=
F,
Nj
2
El
potencial
interno
del sistema
ser:
(4N2I
+
N{l, Nil,)
[4AF
(F,
-
(F,
+
N2)2Jl\
Aplicando
el
teorema
de
Menabrea,
la
ecuacin
=
0
=> 4N
+
s/l(Fi
-
s/l(F2
+
Njl)
=
0
nos
permite
calcular
la incgnita hiperestlica
de l
sistema considerado
F,
F,(l
yjl)
2
+
y/
=
F,(
1
+
y/2)
F2
2
+
yjl
=
;
;V ,
2(1
Jl)
;
N2
-
7/23/2019 Metodos de Energia Castigliano O 26
26/26
11
Teoras
acerca
comienzo
de
deformaciones
no
elsticas
11.1. Deformacin
plstica
de los
materiales. Criterios
de
plastificacin
Cuando
se
aplica un
sistema de
cargas
a
una
pieza de
determinado
material
elstico
se cre
un
estado
de deformacin
que da origen
a
un
estado
tensional,
relacionados ambos estado
por las
leyes
de
comportamiento
que se han visto
en
el
Captulo
4.
Si
incrementamos
lo
valores de
las cargas que
constituyen
la
solicitacin,
experimentalmente se
comprueba qu
el
material
llega
un
momento
en
que
abandona
el
comportamiento
elstico.
Por otra
parte,
toda deformacin
producida
en
el
material
por el sistema
de carga
produce
un
estado
de
mayor
potencial
interno
y,
por
consiguiente,
menos
estable,
ya
que
l
configuracin
que
adopta la
estructura
interna de cada
material
corresponde
a
la
agrupa
cin
de mnima
energa
de sus
tomos.
Puede
suceder
que
al
desaparecer
la carga
com
causa
de
la
alteracin
de
la
pieza
desaparezca
tambin
el
efecto,
es
decir,
la
deformacin,
y
a
volver
a su
energa
mnima los
tomos
vuelvan
a
ocupar sus
posiciones
iniciales.
Una
defor
macin de
este
tipo es
la
que
hemos
llamado
deformacin
elstica,
que
existir
mientra
subsista
la
carga
y desaparecer
cuando
cese
sta.
Durante
el
proceso
de
carga,
fuerzas aplicadas
y
deformaciones
se
rigen
por las
leyes
d
Hooke.
Pero
es
evidente
que
al
aumentar
la
carga
tambin aumentarn
los
valores
caracte
rsticos del
estado tensional
y,
en
consecuencia,
la
variacin de las distancias entre los
to
mos,
hasta
llegar
a
romperse
lo s
enlaces
atmicos de
la
estructura
interna
del
material.
Llegado a este punto
puede
suceder
que
se
mantenga
la
cohesin con
la
formacin
d
nuevos
enlaces
que
sustituyan
a
los
primitivos o
que
no
se mantenga
y
entonces
la
rotura d
los
enlaces
es
definitiva.
En el
primer
caso tenemos
la
deformacin
plstica que
se caracteri
zar,
al
haberse
roto
enlaces
interatmicos,
por
deformaciones de
tipo
permanente
y
en e
segundo
se
producir la
rotura.
La iniciacin
de deformaciones
plsticas
ya
se
comprende
que
va
a
producir
variacione
cualitativas
de
las
propiedades
del
material
y no
digamos
la
rotura
de
la pieza,
que pued
