Teorema Castigliano Vigas

8/17/2019 Teorema Castigliano Vigas

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9 . 9 T e o r e m a d e C a s t o l i an o p a r a v c a s y m a r c o s

9 . 9 Teorema de Cas tig lia n o p a ra v ig as y ma rcos

L a e n e r g ía d e d e f o rm a c ió n p o r f le x ió n i n te r n a p a r a u n a v i ga o u n m a r c o

res u l ta d e l a ecuac ión 9 -11 (U , = J M 2 d x / 2 E l ) . A l s u s t i tu i r e s t a e c u a c i ó n

en l a ecuac ión 9 -20 (A , = dU,/dP¡) y o m i ti r e l s u b í n d i c e / . s e t i e n e

d [ ‘ M 2 d x

A = J p j a I e T

E n l u g a r d e e l e v a r a l c u a d r a d o l a e x p re s ió n d e l m o m e n t o i n t e r n o M . in

t e g r a r y lu e g o o b t e n e r l a d e r iv a d a p a r c ia l , g e n e r a l m e n t e r e s u l t a m á s f á ci l

d i f e r e n c i a r a n t e s d e l a in t e g r a c ió n . D a d o q u e E e I s o n c o n s t a n t e s , se

t i ene

(9 -28 )

d o n d e

A = d e s p l a z a m i e n t o e x t e m o d e l p u n t o c a u s a d o p o r la s c a r g a s r e a le s

q u e a c t ú a n s o b r e la v ig a o m a r c o .

P = f u e rz a e x t e r n a a p l i c a d a a la v i ga o m a r c o e n l a d ir e c c ió n d e A.

A i ■ m o m e n t o i n t e r n o e n l a v ig a o m a r co , e x p r e s a d o c o m o u n a f u n c ió n

de x y c a u s a d o t a n t o p o r l a f u e r z a P c o m o p o r l a s c a rg a s r e a l e s

s ob re l a v iga .

E = m ó d u l o d e e l a s t ic i d a d d e l m a t e r ia l d e l a v ig a.

/ = m o m e n t o d e i n e r c ia d e l á r e a d e l a s e c c i ó n t ra n s v e r s a l c a l c u la d o

r e s p e c t o a l e j e n e u t r o .

S i d e b e d e t e r m i n a r s e la p e n d i e n t e 0 c n u n p u n t o . e s n e c e s a ri o e n c o n

t r a r l a d e r i v a d a p a r c ia l d e l m o m e n t o in t e r n o M c on r e s p e c t o a u n m o

m e n t o d e p a r e xte r no M ' q u e a c t ú a e n e l p u n t o , es d e c i r.

í ‘\ A dM\ d x

6 =l U ) E l

( 9 - 2 9 )

L a s e c u a c i o n e s a n t e r i o r e s so n s i m i la r e s a l as u s a d a s p a r a e l m é t o d o d e l

t r a b a j o v i r t u a l, e cu a c i o n e s 9 - 2 2 y 9 - 2 3, e x c e p t o q u e HM/dP y d M / B M '

re m p la za n a m y m », re s p e c ti v a m e n t e . C o m o e n e l c a s o d e l a s a rm a d u r a s ,

g e n e r a l m e n t e s e r e q u i e r e u n p o c o m á s d e c á l c u lo p a r a d e t e r m i n a r la s

d e r i v a d a s p a r c ia l e s y a p l i c a r e l te o r e m a d e C a s t ig l ia n o e n v e z d e e m

p le a r e l m é to d o d e l t r a b a jo v ir tu a l. T a m b ié n , re c u e rd e q u e e s t e te o re m a

s ó lo s e ap l i ca a m a te r i a l e s qu e t engan un a r e s pu es ta e l á s t i ca l inea l . S i s e

d e s e a u n a d e t e r m i n a c i ó n m á s c o m p l e ta d e la e n e r g í a d e d e f o r m a c i ó n e n

la e s t ru c t u r a , d e b e i n c lu i rs e l a e n e r g í a d e d e f o r m a c i ó n d e b i d a a l a s f u e r

z a s c o r t a n t e s , a x i al e s y d e t o r s i ó n . L as d e d u c c i o n e s p a r a l a fu e r z a c o r

t a n t e y l a to r s i ó n s i g u e n e l m i s m o d e s a r r o l l o q u e l a s e c u a c i o n e s 9 - 25 y

9 -2 6 . L a s e n e r g í a s d e d e f o r m a c i ó n y s u s d e r i v a d a s s o n . r e sp e c t i v a m e n t e .

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C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a

• - r

V 2 d x

2 A G dP

d x 9U ,

dP

d x

S i n e m b a r g o , e s t o s e f e c t o s n o s e i n c l u y e r o n e n e l a n á l is is d e l os p r o b l e m a s p a r a e s t e t e x t o , d e b i d o a q u e l as d e f le x i o n e s e n v i g a s y m a r c o s s e

p ro d u c e n p r in c ip a lm e n te d e b id o a la e n e rg ía d e d e fo rm a c ió n p o r f le

x i ón . L o s m a r c o s m á s g r a n d e s , o a q u e l l o s q u e t i e n e n u n a g e o m e t r ía i n u

s u a l . p u e d e n a n a l iz a r s e p o r c o m p u t a d o r a , d o n d e e s t o s e f e c to s p u e d e n

inco rp o ra r s e f ác i lm en te a l aná l is is .

P r o c e d i m ie n to d e a n á lis is

E l s ig u i e n te p r o c e d im i e n t o p r o p o r c io n a u n m é t o d o q u e p u e d e e m p l e a rs e p a r a d e t e r m i

n a r la d e f l ex i ó n y / o l a p e n d i e n t e e n u n p u n t o d e u n a v i ga o u n m a r c o u s a n d o e l t e o re m a

de C as t ig l i ano .

F u e r z a e x t e r n a P o m om e n t o d e p a r M

• C o l o q u e u n a f u e rz a P s o b r e la v i ga o e l m a r c o e n e l p u n t o y e n la d i re c c ió n d e l d e s p l a

z a m i e n to d e s e a d o .

• Si d e b e d e t e r m i n a r s e la p e n d ie n t e , c o l o q u e u n m o m e n t o d e p a r M ' en e l p u n t o .

• Se s u p on e q u e t a n to P c o m o M ' t ie n e n u n a m agn i tud var iab le p a r a o b t e n e r l os c a m

b io s d M / d P o d M / d M ' .

Momen t o s i n t e r n o s M

• E s t a b le z c a l as c o o r d e n a d a s x a p r o p i a d a s q u e s o n v á l id a s d e n t r o d e l a s r e g i o n e s d e l a

v ig a o e l m a r c o d o n d e n o h a y d i s c o n t in u i d a d e n l a f u e r z a , l a c a rg a d i s t r ib u i d a o e l m o

m e n t o .

• C a lc u le e l m o m e n t o in t e r n o M en func ión de P y M ' y c a d a c o o r d e n a d a x . A d e m á s ,

ca lcu le la de r ivad a p a rc ia l d M / d P o d M / d M ' p a r a c a d a c o o r d e n a d a x .

• D e s pu é s d e d e t e r m i n a r M y d M / d P o d M / d M ' , a s i g n e a P o M ' s u v a l o r n u m é r i c o si

h a n s u s t it u i d o a u n a f u e r z a o m o m e n t o r e a le s . D e l o c o n t r a r i o . e s ta b l e z c a P o M ' g u a

l es a ce ro .

T e o r e m a d e C a s ti g li a n o

• A p l iq u e l a e c u a c ió n 9 -2 8 o 9 -2 9 p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p l a z a m i e n to A o l a p e n d i e n te 6

d e s e a d o s. E s i m p o r t a n t e c o n s e r v a r l o s si g n o s a lg e b r a i c o s d e l o s v a l o r e s c o r r e s p o n

d i e n te s d e M y d M /d P o d M / d M ' .

• Si la s um a r e s u l t an te de tod as l a s in t eg ra le s de f in ida s e s po s i t iva , A o A t ienen l a m isma

d ir ec ció n q u e P o M ' .

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9 . 9 TEOREM Ad e C a s t g u a n o p a r a v i g a s y m a r c o s 3

D e t e r m i n e e l d e s p la z a m i e n t o d e l p u n t o B d e l a v ig a q u e s e m u e s t ra

en l a f igu ra 9 21a. C o n s i d e re q u e E = 2 0 0 G P a e / = 5 0 0 ( 1 0 6 ) m m 4 .

1 2 k N , t a

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

I1A _IWIII -------- 1

(a )

1 2 k N / m

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I

I— - — 10m

(b)

S O LU CIÓ N

Fu e rz a e x te r n a . S e co loca un a fue rza ve r t ica l s ob re l a v iga en B c o m o s e m u e s t r a e n l a fi g u r a 9 -2 7 6 .

M o m e n t o s i n t e r n o s M . Se re q u i e r e u n a s o l a c o o r d e n a d a x para

o b t e n e r l a s o l u c i ó n , p u e s t o q u e n o h a y d i s c o n t i n u i d a d e s d e c a r g a

e n t r e A y B . S i s e u s a e l m é tod o d e l as secc iones , f igu ra 9 -27c . s e t i ene

P x = 0

dM

d P - x

~ M -

M = ~ 6 x ! - P x

A l e s t a b l e c e r P = 0 , s u va lo r r ea l , r e s u l t a

M = - 6 x :

Teorema de Cas t ig l iano . S i s e ap l i ca l a ec uac ión 9 -28 . s e t i ene

d J ±

d P - x

A - r l J d M \ d x - 15(10*) kN -m*

" i U P J E l i E l E l

(c)

f i g u r a 9 - 2 7

o bien

15(103)kN•m3A/í 200( 106) kN /m ?(500( 106) m m ^ lO '12 m '/m m 1;

= 0 .150 m = 150 mm Resp .

D e b e o b s e r v a r s e l a s e m e j a n z a e n t r e e s t a s o l u c i ó n y l a o b t e n i d a m e

d i a n t e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v i r tu a l , e je m p l o 9 -7 .

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3 8 4 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a

3 ItN

— Ti

ta)

(b)

D e t er m i n e l a p e n d i e n t e e n e l p u n t o f í d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a e n la

f ig u r a 9 - 2 8 a . C o n s i d e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 6 0 (1 0 6) m m 4.

S O L U C I Ó N

M o m e n t o d e p a r e x t e r n o M '. D a d o q u e d e b e d e t e r m i n a r s e l a

p e n d ie n te e n e l p u n to f í . s e c o lo c a u n p a r e x t e r n o M ' a > b re l a v ig a e n

es e pu n to , figu ra 9 -286 .

M o m e n t o s in t e rn o s M . P a r a d e t e r m i n a r l os m o m e n t o s in t e r n o e n

l a v ig a d e b e n u s a r s e d o s c o o r d e n a d a s. x\ y a p u e s t o q u e ha y u na d is c o n t i n u i d a d . M ' ,e n f l . C o m o s e m u e s t ra e n la f ig u r a 9 . 2 86 . a: , va d e A

a f í y x2v a d e f í a C . U t il i z a n d o e l m é t o d o d e la s s e c c i o n e s , f ig u r a9 - 2 8 c. l o s m o m e n t o s i n t e r n o s y l a s d e r iv a d a s p a r c i a le s s e c a l c u l a n d e

la s igu ien te manera :

P a r a * , :

L + S W = 0; M i

M \

d M x

d M '

+ 3a: i =

= - 3 a:,

= 0

3 k N 3 kN

f = 3 i r Lr .— Iv, l

M. ( ----

5 m

P a r a a2 :

t + = 0;

M,

le— |Va

- M ’ + 3 ( 5 + a:2 ) = 0

M 2 = M ' - 3 ( 5 + a , )

d M 2

d M ' = I

( c )

Figura 9-2 8

Teorema de Cas t ig l iano . S i s e e s t ab lece M' ap l i ca l a ecua c ión 9 -29 . r e s u l t a

O.su v alor rea l , y se

B i KdM' / EI

■f.5 ( “ 3 a i ) (0 ) d x x f - - 3 ( 5 + a:2) ( 1 ) d x 2 1 1 2 . 5 k N - m 2

l E l F.I

o b i e n

- 11 2 .5 k N - m 2

n 200 (106) k N /m 2[60{ 106) m m 4]( 10"12 m 4/m m 4;

= - 0 . 0 0 9 3 8 r a d Resp.

E l s i g n o n e g a t iv o i n di c a q u e 0fí e s o p u e s t o a l a d i re c c ió n d e l m o m e n t o

d e p a r M ' . O b s e r v e l a s i m i li tu d e n t r e e s t a s o l u c ió n y l a d e l e j e m p l o 9- 8.

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9 . 9 TEOREM Ad e C a s t g u a n o p a r a v i g a s y m a r c o s 3

D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e rt ic a l d e l p u n t o C d e l a v i ga q u e

s e m u e s t r a e n l a f ig u r a 9 - 2 9 a. C o n s i d e r e q u e E = 21X3 G P a , 1 =

150(106) mm4.

SOLUC IÓN

Fuerza ex tern a . S e ap l i ca una fue rza ve r ti ca l en e l pu n to C ,

f igu ra 9 -29 b . D e s p u é s , e s t a f u e r z a s e r á i g u a l a u n v a l o r f i jo d e

20 kN.

M o m e n to s i n te r n o s M . E n e s t e c a s o s e re q u i e r e n d o s c o o r d e n a d a s

x p a r a l a in t eg rac ión , f igu ra 9-29¿>, pue s to qu e l a ca rga e s d i s con t inu a

e n C . E m p l e a n d o e l m é t o d o d e l a s s e c c io n e s , f i g u r a 9 - 2 9 c ,s e t ie n e

P a r a j j :

i,+ 2 W = 0 ; - ( 2 4 + 0 .5 P )x , + 8 * , ( y ) + M , = 0

8 k N / m20 kN

( a )

8 k N / m

aran

M \ = (2 4 + 0 .5 P ) * , - Ax\

1 F =“ *»

2 4 + 0 .5 P 8 + 0 5 P

(b )

Parax 2:

= 0 ; - M 2 + ( 8 + 0 . 5 P ) x 2 = 0

M 2 = ( 8 + 0 . 5 P ) x 2

b m 2

d p0 .5 x 2

2 4 + 0 .5P 8 + 0 .5 P

(c)

Teorema de Ca s t ig l iano . Si s e e s t ab lec e P = 20 kN , s u va lo r r e a l , y

s e ap l i ca l a ec uac ión 9 -28 , r e s u l t a

Figura 9-29

- ■ ■ jx m

/ - ( 3 4 » , - 4 x j ) ( 0 . 5 x , ) d x , | í

Jo E l Jo

, , 4 ( I 8 * 2) (0 .5 x 1) d x ,

E l

234.7 kN • m 3 + 192 k N • m 3 426.7 k N - m 3

E l E l E l

o b i en

= _________________ 426 .7 kN • m 3 __________________

kC’ ” 200( 106) kN /m 7[150(106) mm 4j(1 0 - '2 m4/m m 4)

= 0 .0 14 2 m = 1 4.2 m m Resp .

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3 8 6 C a p i t u l o 9 D e f l e x i o n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g í a

2 k / p ie

nTTTTT

1 2 p i e s £ J

( a )

vi

D e t er m i n e l a p e n d i e n te e n e l p u n t o C d e l m a r c o d e d o s e l e m e n t o s

q u e s e m u e s t ra e n l a f i g u r a 9- 30a . E l s o p o r t e e n A es f ijo . Co ns idere que

E = 2 9 (1 0 * ) k s i , / = 6 00 p u l g 4.

S O L U C I Ó N

M o m e n t o d e p a r e x t e r n o M '. S e a p l ic a u n m o m e n t o v a r i a b l e M '

s o b r e e l m a r c o e n e l p u n t o C , p u e s t o q u e d e b e d e t e r m i n a r s e la p e n

d i e n t e e n e s t e p u n t o , f ig u r a 9 -3 0 6 . D e s p u é s, e s t e m o m e n t o s e i g u a l a r á

a c e r o .

M o m e n t o s in t e rn o s M . D e b i d o a l a d i s c o n t in u i d a d d e l a c a r g a i n

t e r n a e n B , s e e li g e n d o s c o o r d e n a d a s .r , y * 2. c o m o s e m u e s t r a e n l a f i

gu ra 9 -306 . U s ando e l m é tod o d e l a s s ecc iones , f igu ra 9 -30c , s e t i ene

P a r a x x\

= O. - M , - 2 * , ( § ) - " ' - o

d M i

d M 7= - 1

P a r a x 2:

t + Z A # = 0 ; - M 2 - 2 4{ ^2 e o s 6 0 ° + 6 ) - M ' = 0

M 2 = - 2 4 { a :2 c o s 6 0 o + 6 ) - A f'

d M 2

d M ' = - 1

/ I

2 4 k

t ;

M; > Vj

N

Te o r em a d e C a s t i g lia n o . A l e s t a b l e c e r M ' = O y a p l i c a r l a e c u a

c ión 9-29 s e ob t i ene

" ‘ ■/ “( S i• « ( - * } ) { - ! ) d x ,

X j e o s 6 0 * + 6 p i e s ( C)

F i g u r a 9 - 3 0

“ i s a - = í E l c - 2 4 ( x 2 co s 6 0° + 6 ) ( - l ) d x 7

E l

5 7 6 k - p i e 2 2 04 0 k - p i e 2 _ 2 6 16 k - p i e 2

E l + E l “ E l

2616 k • pie 2( 144 pu lg2/p ie 2)

° C ~ 29 (10* ) k /pu lg2 (600 pu lg4) 00 21 6 r ad Resp .

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