Teorema de Talles2mat17-b

8/14/2019 Teorema de Talles2mat17-b

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A U L A

A cincia, to fundamental na era moderna,teve seu incio por volta do ano 600 a.C. na cidade de Mileto, Grcia, especialmen-te com de Tales de Mileto. Tales era filsofo, gemetra, astrnomo, fsico, poltico

e comerciante, e acredita-se que tenha nascido no ano 625 a.C. No se sabe aocerto em que ano morreu.Foi ele quem primeiro chamou a ateno para o aspecto abstrato dos objetos

geomtricos, ao considerar um tringulo ou uma pirmide, por exemplo, nocomo coisas concretas, feitas de madeira ou pedra, mas como objetos do nossopensamento. Uma de suas descobertas no campo filosfico foi a de que noapenas os homens esto sujeitos a leis, mas tambm a Natureza. E apontandopara a sombra dos degraus de um estdio desportivo, teria dito: Os ngulos dosdegraus obedecem a uma lei: so todos iguais. (Depois veremos esse exemplocom maiores detalhes.)

Assim, uma das idias deste grande filsofo e matemtico esta: uma lei que

se aplique a tringulos vale tanto para tringulos de construo (por exemplo, aconstruo de uma casa) como para aqueles desenhados (a planta da casa) emesmo para tringulos...imaginrios, como ele se referia aos tringulosabstratos, os do nosso pensamento, aqueles com que de fato lida a geometria.

O Teorema de Tales

Introduo

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A U L A


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A U L AOutra importantssima caracterstica do pensamento de Tales que estasleis matemticas - ou teoremasteoremasteoremasteoremasteoremas, como so chamadas -devem ser provadas (oudemonstradas) por um racioconio lgico. (E no apenas explicadas com argu-mentos religiosos ou mticos, como se fazia at ento em lugares antes maisdesenvolvidos, como o Egito e a Babilnia.) Desse modo, Tales procuravasempre demonstrar cada uma de suas afirmaes novas baseando-se em outrasafirmaes j demonstradas, outros teoremas, formando assim cadeias de raci-ocnio.

Nesta aula voc ter a oportunidade de redescobrir alguns desses teoremasbastante interessantes e teis na vida prtica que so atribudos a Tales, especi-almente aquele que ficou conhecido com seu nome: o Teorema de Tales.

Voc ficar surpreso ao ver quantas aplicaes diferentes existem destesteoremas: desde o clculo da altura de prdios e outras distncias inacessveis(veja a aula 20) at o modo certo de aumentar a feijoada! Como veremos, tudo issotrata de proporcionalidade de nmeros(ou regra de trsregra de trsregra de trsregra de trsregra de trs). Na realidade, oTeorema de Tales a figura da regra de trs. Mas... cada coisa a seu tempo!

Conta-se que, numa viagem ao Egito, Tales foi desafiado pelos sacerdotesegpcios a explicar como adivinhara a altura de uma das pirmides. Ossacerdotes acreditavam que essa informao era sagrada e havia sido inadver-

tidamente fornecida a ele, que, por esse motivo deveria ser preso. Tales explicouseu raciocnio exemplificando-o com o clculo da altura de um obelisco cujasombra era mais fcil de ser medida. Aqui est o problema para voc tentarresponder: Em certo momento do dia, uma vareta de 1 m, espetada verticalmen-te no cho, faz uma sombra que mede 20 cm. No mesmo instante, um obeliscode pedra, ali perto, faz uma sombra de 4 m. Qual a altura do obelisco?

Ateno: como o Sol est muito longe de ns, podemos considerar seus raioscomo retas paralelas. Tente encontrar o que se pede trabalhando com papelquadriculado e rgua.

ngulos opostos pelo vrtice

Um dos teoremas atribudos a Tales muito simples de ser entendidoconcretamente: quando seguramos uma vareta de madeira em cada mo ecruzamos essas varetas estamos representando retas concorrentes. Indepen-dentemente da abertura que voc d s varetas, elas sempre formam, suaesquerda e direita, dois ngulos (opostos pelo vrtice) iguais.

1

0,2 4

?

Nossa aula


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b + c = 180

c

b

a + b = 180

a

b

Logo: a = c

a c

Lembre: Como se mede um ngulo com transferidor:

Exemplo: O menor dos ngulos que estas retas formam mede 58. O maiormede 180 - 58=122.

Por que ngulos opostos pelo vrtice so sempre iguais?, Tales se pergun-tou. Podemos explicar isso do seguinte modo, baseando-se na figura do transfe-ridor: os ngulos a e b formam juntos um ngulo de 180 (ngulo raso), quechamamos de ngulos suplementares (veja a figura abaixo); da mesma forma,tambm b e c so ngulos suplementares. Ou seja:

a + b = 180 ; ento a = 180 - bConcluso : a = c (C.Q.D.!)

b + c = 180 ; ento c = 180 - b

d

b

ca ca

Duas varetas formam4 ngulos, opostos

dois a dois

Quanto mede cadaum destes dois ngulos

opostos pelo vrtice?a =....c =....

90

18001701

0 160

201503

0 140

40 4513050

120

60110

70

100

80

1008070

110

60

1

20

50

130

45

40

140

30

150

20

160

10

170

0180


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11070

yx

yx

110 70

Sobre duas retas concorrentes no h muito mais o que dizer: dos quatrongulos que se formam, quaisquer dos ngulos vizinhos so suplementares equaisquer dos ngulos opostos pelo vrtice so iguais. Assim, vamos estudaragora o que ocorre quando acrescentamos uma terceira reta a estas duas, paralelaa uma delas.

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Jnior um garoto esperto. Outro dia, no velho Maracan, ele mostravaao tio (com quem conversa muito sobre seus estudos) os ngulos formados nosdegraus do estdio. Ele ilustrou seu raciocnio deitando o pau da bandeira de seuclube atravessado em relao aos degraus. Visto de lado, o pau da bandeiraforma ngulos iguais com todos os degraus. Vemos tambm que isso s aconteceporque os degraus so todos horizontais, e portanto paralelos.

Voltemos, ento, ao que acontece quando acrescentamos uma terceira retas duas retas concorrentes do incio da aula. De modo geral, a terceira retaformar quatro novos ngulos (dois pares), diferentes dos ngulos das retasiniciais... (Mea os ngulos xxxxx e yyyyy da figura abaixo, e compare-os com os ngulosiniciais, que medem 70 e 110.)

Mas h uma posio especial na terceira reta em que xxxxx e yyyyy medem precisa-

mente 70 e 110: quando a terceira reta paralela a uma das retas. (Como osdegraus que Jnior viu no estdio, que so paralelos).

11070

11070 110

110

70

70

70

70

110

110


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A U L A Esta experincia do garoto pode ter sido vivida tambm por Tales de Mileto,que h 2600 anos enunciou:

Quando retas paralelas so cortadas por uma reta transver sal,Quando retas paralelas so cortadas por uma reta transversal ,Quando retas paralelas so cortadas por uma reta transver sal,Quando retas paralelas so cortadas por uma reta transversal ,Quando retas paralelas so cortadas por uma reta transver sal,os ngulos formados numa das retas paralelas soos ngulos formados numa das retas paralelas soos ngulos formados numa das retas paralelas soos ngulos formados numa das retas paralelas soos ngulos formados numa das retas paralelas so

correspondentes e iguais aos ngulos da outra.correspondentes e iguais aos ngulos da outra.correspondentes e iguais aos ngulos da outra.correspondentes e iguais aos ngulos da outra.correspondentes e iguais aos ngulos da outra.

fcil verificar isso concretamente. A seguir, o item sobre a aplicao prticano desenho tcnico mostra como o ngulo de uma das retas paralelas trans-portado pela reta transversal at encaixar-se no ngulo da outra reta. Por issoos ngulos so correspondentes e iguais.

Uma aplicao prtica no desenho tcnico

Na verdade, voc pode verificar experimentalmente (como fez acima, aomedir os ngulos) que a recprocarecprocarecprocarecprocarecprocadesta afirmao tambm verdadeira. Ouseja: quando os ngulos so correspondentes e iguais, ento as retas so parale-las. Desenhe ngulos correspondentes e constate o paralelismo das retas.

Este novo fato tem uma aplicao prtica muito usada no desenho tcnico,como, por exemplo, no desenho da planta de uma casa. Para traar retas paralelasseguramos a rgua e o esquadro e riscamos as retas, como mostra a figura:

Segmentos proporcionais

Vimos o que acontece com os ngulos quando duas retas parelelas socortadas por uma reta transversal: eles so transportados de uma das retasparalelas outra. Vejamos o que ocorre quando no duas mas trs retas soparalelas: como voc j sabe, os ngulos formados em todas as trs so iguais.Mas no apenas isso; agora tambm formam-se segmentos.

Na figura a seguir, eles esto representados por AB e BC. Algo muitointeressante aconteceu. Se AB e BC forem iguais (no exemplo AB = BC = 1 cm)e traarmos qualquer outra reta transversal, ento os dois novos segmentos AB(l-se: A linha, B linha) e BC-sero.... (mea BC; e compare-o com AB, queneste exemplo mede 1,5 cm. Ento conclua a frase anterior.)

60

60

retasparalelas

Neste exemplo, o ngulo quefoi "transportado" mede 60:

o ngulo do esquadro.

60

90

30

60

60

60 30

90


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AB e BC tambm sero iguais isto , BC = 1,5 = AB. Da mesma forma,se trassemos uma quarta reta paralela passando pelo ponto D tal quetambm CD = 1, ento quanto mediria CD? claro que, pelo mesmo motivo,CD = 1,5 = BC= A B .

Podemos enunciar isto da seguinte maneira: quando um feixe (isto , umconjunto de trs ou mais retas) de retas paralelas cortado por duas retastransversais, se os segmentos numa das retas forem iguais, (no exemplo,AB = BC = CD = 1), ento os segmentos na outra reta tambm o sero(AB=BC=CD=1,5).

Mas, e se os segmentos na primeira reta no forem iguais? Como noexemplo acima, onde AB = 1 cm e BD = 2 cm o que podemos dizer sobre AB eBD (alm do fato de que tambm no so iguais)? Veja a figura abaixo: seA B = 3 cm, t em os B D = 6 cm. Olhe para estes quatro nmeros da figura:1; 2; 1,5 e 3. Tomados nesta ordem, formam duas fraes iguais: 1

2

1 5

3=

, .

Dizemos que estes quatro nmeros so nmeros proporcionaisnmeros proporcionaisnmeros proporcionaisnmeros proporcionaisnmeros proporcionais, e escreve-mos : 1:2 :: 1,5:3. (L-se: 1 est para 2, assim como 1,5 est para 3). Assim, ossegmentos que tm estas medidas, na figura representados respectivamente porAB, BC, AB e BC, so segmentos proporcionais. De um modo geral, defini-mos: AB e BC so segmentos proporcionaissegmentos proporcionaissegmentos proporcionaissegmentos proporcionaissegmentos proporcionaisa AB e BC (nesta ordem), seAB

BC

A'B'

B'C'= .

A A'

B B'

C C'

1

1

1,5

?

A A'

B B'

C C'

1

1

1,5

?D D'

1,5

1

A A'

B B'

1 1,5

DD'

2 3


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A U L AO Teorema de Tales

Como se pde ver na ltima figura da pgina anterior, o feixe de retasparalelas transporta uma razo de segmentos: ali, a razo dos segmentosAB e BC (no caso, 1

2) igual razo dos segmentos AB e BC ( 3

6). O Teorema

de Tales fala exatamente isso:

Quando trs retas paralelas socortadas por duas retas transver-sais, os segmentos determinadosnuma das retas transversais soproporcionais aos segmentos deter-minados na outra.

Teorema de Tales:a

b=a'

b'

(se as trs retas forem paralelas.)

Uma aplicao rendosa do Teorema de Tales

Dona Tet quer saber qual entre dois credirios o mais vantajoso. Na LojaX um aparelho de som custa R$ 410,00 vista. J na Loja Y, o mesmo aparelho desom sai por duas parcelas a primeira de R$ 200,00 e a segunda, no prximo ms,de R$ 231,00. Considerando que a inflao prevista de 5% no prximo ms, qualdos dois credirios sai mais em conta para dona Tet?

Dona Tet pode resolver este problema com um grfico, se quiser visualizaros nmeros com que est trabalhando. Veja como:

Os valores em reais no prximo ms sero proporcionais aos valores dehoje devido inflao. Assim se chamamos de xxxxx o valor correspondente hojeaos R$ 231,00 do prximo ms, podemos escrever: 100

x=105

231

a a'

b b'

Valor daquia 1 ms (R$)

Valor hoje (R$)

Quanto valem 240, hoje?

100 x

105

231

Note: inflao = 5%


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A

NM

M

PB

N

CP

P

MN

comumdizer tringuloscongruentes (bemcomo segmentoscongruentes) no

lugar de iguais.Mas algunsprofessores hojeesto abandonandoeste termo.

A

CB

M N

P

{

Temos uma regra de trs. Portanto, para achar xxxxx podemos usar a frmula oproduto dos meios (xxxxx e 105105105105105) igual ao produto dos extremos (100100100100100 e 231231231231231).

Logo, 105 x = 23.100, e ento x = 220. Se dona Tet traar, pelo valor 240 dogrfico, uma reta paralela que liga o 105 (daqui a um ms) ao 100 (hoje),encontrar precisamente 220 no eixo do hoje. Isso significa que, em valores dehoje, os R$ 231,00 que dona Tet pagaria no prximo ms equivalem a R$ 220,00.Assim, o credirio Y est pedindo 200 + 220 = R$ 420,00 pelo aparelho de som,enquanto no credirio X o compramos por R$ 410,00 que , portanto, o maisvantajoso dos dois para o bolso do consumidor. , dona Tet: mais R$ 10,00 parao nosso crdito de gratido ao mestre Tales de Mileto, no mesmo?

Semelhana de Tringulos

Se aplicarmos o Teorema de Tales num tringulo qualquer vamor obterresultados bastante interessantes e reveladores sobre os tringulos. Sendo ABCum tringulo, traamos por M, ponto mdio de AB, uma reta paralela ao lado BCe encontramos N. Ento:

AM

MB =

AN

N C ; logo, AN = NC, e N o ponto mdio do segmento.

1Analogamente, uma reta passando por N paralela a AB nos indica P, ponto

mdio de BC: BP = PC = BC2

. Mas, como BMNP um paralelogramo,

MN = BC2

= BP = PC

Pelo mesmo raciocnio vemos que NP = AM = MB e MP = AN = NC. Issosignifica que se voc desenhar o tringulo, cujos vrtices so os pontos mdiosdo tringulo maior, ver que so formados quatro tringulos... Todos iguais!(Lembre-se que ABC um tringulo qualquer.)

Estes quatro tringulos so iguais, pois tm os trs lados e os ngulosrespectivamente iguais, conforme nos garante o teorema das retas paralelascortadas por uma transversal. (Assinale esses ngulos iguais na figura anterior

e depois nesta abaixo.)


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A U L A Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1No tringulo ABC da figura acima, temos AB = 6 cm, AC = 8 cm e BC = 7 cm.Quanto medem os lados PNM (nas mesmas unidades)?

MN = ........NP = .........PM = ........

Cada lado de PNM a metade de um dos lados de ABC, conforme as figurasacima nos mostraram. Assim, cada novo lado de PNM obtido tomando-sea mesma razo ( 1

2) em relao a um lado do tringulo incial ABC. Observe

que apesar dos dois tringulos ABC e PNM no serem iguais eles tm osmesmos ngulos.

Quanto aos ngulos:

Quando aos lados:

PN

AB=

3

6=

1

2

PM

AC=

4

8=

1

2

N M

BC=

3, 5

7=

1

2

Neste caso, dizemos que ABC e PNM so tringulos semelhantes e a razoda semelhana do segundo tringulo em relao ao primeiro 1

2.

De um modo geral, dizemos que dois tringulos - vamos cham-los deABC e ABC, para dizer que A corresponde a A, B corresponde a B, e C a C -so tringulos semelhantestringulos semelhantestringulos semelhantestringulos semelhantestringulos semelhantes, quando:

l os ngulos de ABC e ABC so correspondentes e iguais:

oul os lados de ABC e ABC so correspondentes e proporcionais:

A'B'

AB

A'C'

AC

B'C'

BC= =

Esta razo constante a razo de semelhanarazo de semelhanarazo de semelhanarazo de semelhanarazo de semelhana de ABC para ABC.D para perceber que dois tringulos semelhantes tm sempre a mesma

forma, sendo um deles uma ampliao ou uma reduo do outro. No exemploacima, PNM metade de ABC. Que tal agora reler a aula e fazer os exerccios?

Exerccios

A = A

B = B

C = C

A

CB

P

MN

86

7

3 4

2,5

P = A

N = B

M = C


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A U L AExerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Estes pares de tringulos so tringulos semelhantes. Encontre a razo desemelhana do segundo tringulo para o primeiro:

a)a)a)a)a) ABC e AXY

AX

AB = ......

AY

AC

= ......

XY

BC= ......

b)b)b)b)b) OHP e ABC

AB

OH

AC

OP= =.....

c)c)c)c)c) RST e STX

SX

RT=.....

TX

ST=.....

So a mesma razo?SugestoSugestoSugestoSugestoSugesto: J que os lados de ABC esto divididos em 3 partes iguais, dividaABC em 9 tringulos iguais.

A

B

X Y

C

1

0,2 4

?

CA

B

H

O P

1,62(aprox.)

R

S T36

36

36

72

72

108

1 S

T X

1 1

0,62(aprox.)

X

RST e STX


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A U L A Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Seja ABCD um trapzio de bases BC e AD e M o ponto mdio de AB

a)a)a)a)a) Qual dos teoremas desta aula nos garante que, se traarmos por M umareta paralela s bases do trapzio encontraremos N, tambm ponto mdio(de CD)?

b)b)b)b)b) Por que MN chamada de base mdia do trapzio? Como calcular MN?c)c)c)c)c) Mea AD, BC e MN na figura, e confirme sua resposta para o item b).

Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Que tipo de quadriltero MNPQ, formado pelos pontos mdios de cadalado de ABCD?

(Sugesto: Trace, nos quadrilteros as diagonais AC e BD; depois use esta aulapara mostrar que os lados de MNPQ so paralelos a essas diagonais. Logo...)

Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5

aaaaa))))) Seja ABC um tringulo qualquer. Trace uma reta paralela a BC passan-do por A. Usando os teoremas desta aula, transporte os ngulos B eC para junto do ngulo A e mostre que A, B e C formam um ngulo raso;isto , A + B+ C = 180.

b)b)b)b)b) Seja ABCD um quadriltero qualquer. Que frmula podemos deduzirpara a soma de seus ngulos?

A + B+

C + D = .....(Sugesto: Como aprendemos a fazer com outros polgonos: divida ABCDem tringulos.)

c)c)c)c)c) Se ABCDE um pentgono qualquer, ento A + B+ C + D + E = .....D exemplo.

d.d.d.d.d. Quanto mede a soma dos ngulos internos de um polgono de n lados?(Sugesto: Observe os itens anteriores: tringulo (n = 3n = 3n = 3n = 3n = 3), quadriltero(n = 4n = 4n = 4n = 4n = 4) e pentgono (n = 5n = 5n = 5n = 5n = 5) depois, responda o que se pede para nnnnngenrico, testando sua frmula nestes trs casos j respondidos.)

A D

B C

M N

C

N

BM

A

Q

D P

C

NB

M

AQ D

P

C

N

B M A

Q

D

P

A

CB


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A U L AExerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6

a)a)a)a)a) Se ABCDE um pentgono regular, isto , de lados iguais e ngulosiguais, ento A + B+ C + D + E = ............... (Rever o Exerccio 5cExerccio 5cExerccio 5cExerccio 5cExerccio 5c.)

b)b)b)b)b) Encontre os ngulos do tringulo ACD.c)c)c)c)c) Voc j viu um tringulo semelhante a esse nesta aula?

Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Este mapa mostra quatro estradas paralelas que so cortadas por trs viastransversais. Algumas das distncias entre os cruzamentos dessas vias eestradas esto indicadas no mapa (em km), mas as outras precisam sercalculadas. Complete o mapa com as distncias que faltam.

Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Dados os nmeros aaaaa,bbbbb, ccccc e ddddd, se

a

b

c

d= , escrevemos tambm a : b :: c : da : b :: c : da : b :: c : da : b :: c : da : b :: c : d (e l-

se: aaaaa est parabbbbb, assim como ccccc est para ddddd). Em cada item abaixo, escreva Vou F conforme ele seja verdadeiro ou falso. Os quatro nmeros dados so, naordem em que aparecem, nmeros proporcionais?

a)a)a)a)a) 1:3 :: 2:4 ( ) (Que relao esta proporo tem com 1:2 :: 3:6?)b)b)b)b)b) 6:2 :: 3:1 ( ) (idem.)c)c)c)c)c) 3:1 :: 2:6 ( )d)d)d)d)d) 10:12 :: 20:26 ( )

e)e)e)e)e) 12

: :: :13

3 2 ( )

Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Uma propriedade dos nmeros proporcionais afirma que se a

b

c

d= ,

ento ab

c

d

a c

b d= =

+

+. Ilustre esta propriedade com uma figura e mea

todos os segmentos que aparecem: a, b, c, d, a + c e b+d.SugestoSugestoSugestoSugestoSugesto: Pegue carona em alguma figura da aula de hoje.

20

x

15

18

12

y

15

z

A

E

DC

B

Teorema de Talles2mat17-b

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