Appunti sulla modellazione in scala - unirc.it · Il Teorema di Buckingham (o teorema π). Il...

Appunti sulla modellazione in scala nella ingegneria strutturale

Facoltà di Ingegneria

ENZO D’AMORE – Dipartimento di Meccanica e Materiali

Corso di costruzioni in zona sismica

Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica

modelli in scala nella ingegneria strutturale

….”Un modello strutturale è una qualsiasi rappresentazione fisica di una struttura o di una parte di essa realizzato in scala ridotta” ... (American Concrete Institute, ACI)

…“Un modello strutturale è un qualsiasi elemento o complesso di elementi realizzato in scala ridotta (rispetto alle dimensioni della struttura reale) sul quale vengono effettuate delle prove in modo da ottenere dei risultati interpretati attraverso opportune leggi di similitudine”... (Janney 1970)


modelli in scala di strutture miste

Enzo D’Amore

Prove Sperimentali su tavola vibrante di modelli in scala di Telai in c.a.


modelli nell’ingegneria strutturale - classificazione

Modelli elastici

Modelli indiretti

Modelli diretti

Modelli di resistenza o Modelli realistici

Modelli dinamici

Esistono diversi modi per classificare i modelli strutturali. Uno di questi è basato sulle finalità e le funzioni di tali modelli.


la teoria generale dei modelli si basa su tre gruppi di leggi:

• similitudine • analogia • analisi dimensionale La teoria della similitudine consente di studiare un certo fenomeno riproducendolo con modelli (sia fisici che matematici) simili. La teoria dell’analogia si basa sul principio che il modello non è più la copia in scala del fatto fisico considerato, bensì un fenomeno fisico diverso che viene, però, rappresentato da equazioni formalmente uguali La teoria dimensionale consente di raggruppare le variabili di un certo problema fisico, sistemandole in forma più utile per l’interpretazione del fenomeno. In definitiva la teoria dimensionale riduce il numero delle variabili raggruppandole in una serie di numeri adimensionali.



ANALISI DIMENSIONALE

Occorre ricordare il significato di grandezza fisica - La grandezza di un’entità si

può esprimere come prodotto tra la sua misura, che è un numero puro, e la sua

unità di misura. Al variare dell’unità di misura varia la misura della grandezza.

Ora, essendo l’entità fisica, e quindi la sua grandezza, un invariante, all’aumentare

dell’unità di misura diminuisce la sua misura. In linea di principio si potrebbe

definire un’unità di misura, ma questo modo di procedere non sarebbe certamente

comodo. Per cui si genera un insieme di entità fisiche fondamentali e si ricavano le

altre in funzione di queste. In termini matematici si può scrivere che una

qualunque entità A si ricava in funzione di altre tramite una relazione generica del

tipo:

A = ϕ (A1, A2,……..An) (1)


La scelta delle unità fondamentali è arbitraria e in base alla loro scelta

cambiano le entità derivate. Considerando l’equazione (1) si vede che è

importante che l’equazione sia omogenea, in modo che una variazione di unità

di misura comporti solo la moltiplicazione di tutti i termini per una costante

numerica. Si può, quindi, affermare che:

UN’EQUAZIONE È DIMENSIONALMENTE OMOGENEA

SE LA SUA STRUTTURA NON DIPENDE DAL SISTEMA DI MISURA ADOTTATO.

Definite, quindi, le unità fondamentali, quelle derivate si ricavano con l’ausilio

di relazioni di definizione. Queste relazioni non devono richiedere dei

coefficienti arbitrari, detti coefficienti parassiti, per rispettare l’omogeneità

delle relazioni.



Teorema di Buckingham

Se un’equazione è dimensionalmente omogenea, può venir ridotta nella forma di una relazione fra una serie completa di parametri adimensionali. Il numero di questi parametri è pari alla differenza tra il numero delle entità fisiche che caratterizzano il fenomeno e il numero delle grandezze fondamentali.


Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica

I modelli nell’ingegneria strutturale - Criteri di similitudine

“Una qualunque equazione dimensionalmente omogenea F che presenta k variabili fisiche indipendenti Xi può essere ricondotta ad una equazione equivalente G la quale presenta m variabili adimensionali πi dove il numero m è dato dalla differenza tra numero di variabili fisiche indipendenti

k e il numero di dimensioni indipendenti r” (m=k-r); i termini π1, π2 ,.., πm sono prodotti

adimensionali delle variabili fisiche indipendenti “k”. (“r” è il numero delle dimensioni fondamentali ad es. (F,L,T) coinvolte nel problema fisico)

0),...,,( 21 nXXXF 0),...,,( 21 mG

Il Teorema di Buckingham (o teorema π). Il teorema di Buckingham afferma che


TEORIA DELLA SIMILITUDINE

• I risultati di una serie di prove sperimentali su un modello fisico (o

matematico) sono riportabili sul prototipo se sono rispettate un certo numero di relazioni che costituiscono la legge della similitudine. Esistono diversi tipi di similitudine:

• Similitudine geometrica. Due corpi sono geometricamente simili se esiste una corrispondenza

fra punti omologhi del prototipo e del modello (in termini più semplici, se esiste un rapporto di scala costante tra i due). Tuttavia, se esiste una diversa scala di riduzione tra le componenti cartesiane. Si crea così quello che comunemente viene definito un modello distorto.

• Similitudine cinematica. • Similitudine dei materiali • Similitudine dinamica


Similitudine cinematica e materiale • Similitudine cinematica

Due sistemi si definiscono cinematicamente simili quando particelle omologhe occupano posizioni omologhe in tempi omologhi. Definita: Sl la scala delle lunghezze e St quella dei tempi, la scala delle velocità Sv è uguale a:

Sv = Sl / St mentre la scala delle accelerazioni Sa è uguale a:

Sa = Sl/ St2

Similitudine materiale Avremo similitudine materiale quando le masse di elementi omologhi stanno in

rapporto costante Sm.


Similitudine dinamica

• Similitudine dinamica • Due sistemi sono dinamicamente simili se parti omologhe sono soggette a sistemi

di forze omologhe. Rispettata la similitudine cinematica e materiale si può affermare che in un sistema cartesiano le scale delle forze SFx, SFy , SFz, valgono:

• SFx = Sm Sx/ St2

• SFy = Sm Sy/ St2

• SFz = Sm Sz/ St2

• Se poi il modello è anche geometricamente simile si avrà:

• SF = Sm kSl/ St2



“Una qualunque equazione dimensionalmente omogenea F che presenta n variabili fisiche indipendenti può essere ricondotta ad una equazione equivalente G la quale presenta m variabili adimensionali dove il numero m è dato dalla differenza tra numero di variabili fisiche indipendenti n e il numero di dimensioni indipendenti r”. (m=n-r);

iX

i

0),...,,( 21 nXXXF 0),...,,( 21 mG

Il Teorema di Buckingham (o teorema π). Il teorema di Buckingham afferma che

Tale teorema consente di descrivere un qualsiasi problema di tipo strutturale mediante la seguente relazione di termini adimensionali i

),...,,( 321 m ),...,,(

),...,,(

32

32

1

1

mMMM

mPPP

M

P

Che in base ai criteri di similitudine dovranno essere uguali sia nel modello che nel prototipo per rispettare le relazioni funzionali intercorrenti tra loro



Modelli a similitudine completa

11

1

M

P1),...,,(

),...,,(

32

32

mMMM

mPPP

mMmP

MP

MP

...

33

Modelli a similitudine incompleta

1),...,,(

),...,,(

32

32

mMMM

mPPP

• Mancata considerazione di una variabile fisica pertinente;

• Mancata considerazione di una richiesta di similitudine reputata di carattere secondario; • Necessaria deviazione da una modellazione reale.




Buckingham Pi theorem in practice Dimensional analysis provides substantial benefit in the

investigation of physical behavior of any system because it

permits the experimenter to combine the variables into

convenient groups (Pi terms).

The procedure to find the dimensionless groups through

this theorem is as follows:

• List all the k variables involved in the problem

• Decompose the variables in terms of the basic dimensions(F, L, T)

• Determine the number of π terms

• Determine the repeating and non repeating variables

• Form a π term for each non-repeating variable forming



Esempio Per chiarire il teorema supponiamo di affrontare il problema della determinazione dei gruppi adimensionali che reggono il problema del calcolo degli spostamenti di una trave a mensola con modulo di Young

‘E’, densità ‘ρ’, lunghezza ‘l’, altezza ‘h’, larghezza ‘w’ caricata da

una forza trasverale concentrata ‘P’ alla estremità libera.

Lo spostamento ‘u’ è una funzione di P, E, l, w ed h.

L’equazione generale da suddividere in gruppi adimensionali è:

F(u,P,E,l,w,h)=0 n =6 è il numero variabili fisiche indipendenti l’equazione f( può essere ricondotta ad una equazione equivalente G la quale presenta m variabili adimensionali Pim dove il numero m è dato dalla differenza tra numero di variabili fisiche indipendenti n=6 e il numero di dimensioni indipendenti r”. (m=n-r); In questo caso r=2 (F,L) ed m=6-2=4



L’equazione generale da da suddividere in gruppi

adimensionali è:

F(u, E, l, w, h,P)=0

n =n. variabili fisiche indipendenti =6

l’equazione f(X1,…Xn)=0, può essere ricondotta ad una equazione equivalente G(π1, π2, ..,π m)=0 che presenta m variabili adimensionali πm dove m è il numero dato dalla differenza tra numero di variabili fisiche indipendenti n=6 e il numero di dimensioni indipendenti r”. (m=n-r); In questo caso Le grandezze fondamentali sono la forza F e la lunghezza L : r=2 (F,L). Quindi il numero di gruppi ( variabili) adimensionali πi è pari a 4

m=6-2=4 Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica


Le variabili ripetute vengono selezionate in modo da rappresentare la geometria e le proprietà meccaniche del modello. Tali variabili, inoltre, non devono poter formare tra loro un gruppo adimensionale. Variabili ripetute: ‘E’, ‘l’ Variabili non ripetute: u, w, h, P

I gruppi adimensionali (m-r) π1, π2, π3, π4 Si ottengono a partire da ciascuna variabile non ripetuta (u, w, h, P) che formi una relazione con le variabili ripetute(E, l):

π1 = u(Ea lb); π 2 = w(Ea lb) π 3 = h(Ea lb) π 4 = P(Ea lb)

Rappresentando le variabili in termini delle loro dimensioni fondamentali (L ed F), si ottiene: π1= π2 =π3=[L][FL-2]a [L]b

π4=[F][FL-2]a [L]b Enzo D’Amore

Modelli in scala nella ingegneria sismica


Pertanto, affinché il generico πi sia adimensionale, la somma degli esponenti cui si devono elevare le grandezze fondamentali, deve essere nulla.

[F]0[L]0=[L] [FL-2]a [L]b

Per [L] 1 - 2a + b = 0

Per [F] 0 + a + 0 = 0 Per cui si ottiene:

a=0 b=-1

quindi: π1 = u(Ea lb) = u(E0 l-1) = u l-1

Analogamente:

π 2 = w l-1 π 3 = h l-1



Procedendo in modo analogo per la relazione: π 4 = P(Ea lb)

la somma degli esponenti cui si devono elevare le grandezze fondamentali, deve essere nulla:

[L] 0 [F]0 = [F] [FL-2]a [L]b

Per [L] 0 - 2a + b = 0

Per [F] 1 + a + 0 = 0 si ottiene:

a= -1 b= -2

quindi: π4 = P(Ea lb) = P(E-1 l-2) = P/E l2



),...,,( 321 m ),...,,(

),...,,(

32

32

1

1

mMMM

mPPP

M

P

Criteri di similitudine

I termini adimensionalizzati appena ricavati dovranno essere uguali sia nel modello che nel prototipo per rispettare le relazioni funzionali intercorrenti tra loro:

Il primo termine adimensionale π1m = π1P

Implica:

um l-1m = up l-1p

um = up lm /lp; um = up /S

con: S = lp /lm fattore di scala per le dimensione L.

Gli spostamenti del modello saranno S volte

minori degli spostamenti del prototipo



Analogamente per le w ed h si ricava wm l-1m = wp l-1p

hm l-1m = hp l-1p

Per il secondo termine dimensionale :

π4 = P(Ea lb) = P(E-1 l-2) = P/E l2

(P/E l2)modello= (P/E l2)prototipo

(Pm/Em lm2) = (Pp/Ep lp

2)

E quindi

Pm = (PpEm lm2/Ep lp

2)= Pp/SE S2

Dove SE= Ep /Em



Continuando con lo stesso esempio esempio

Ma con volendo ccercare il fattore di scala per le tensioni σ indotte

nella trave

L’equazione generale da suddividere in gruppi adimensionali è:

F(σ, P, E, l , w, h) = 0



Le variabili ripetute vengono selezionate in modo da rappresentare la geometria e le proprietà meccaniche del modello. Tali variabili, inoltre, non devono poter formare tra loro un gruppo adimensionale. Variabili ripetute: ‘E’, ‘l’ Variabili non ripetute: σ, w, h, P

I gruppi adimensionali (m-r) π1, π2, π3, π4 Si ottengono a partire da ciascuna variabile non ripetuta (u, w, h, P) che formi una relazione con le variabili ripetute(E, l):

π1 = σ (Ea lb); π 2 = w(Ea lb) π 3 = h(Ea lb) π 4 = P(Ea lb)

Rappresentando le variabili in termini delle loro dimensioni fondamentali (L ed F), si ottiene:

π1= [FL-2][FL-2]a [L]b



Pertanto, affinché il generico π1 sia adimensionale, la somma degli esponenti cui si devono elevare le grandezze fondamentali, deve essere nulla.

[F]0[L]0=[FL-2] [FL-2]a [L]b

Per [L] -2 - 2a + b = 0

Per [F] 1 +a + 0 = 0 Per cui si ottiene:

a=-1 b=0

quindi: π1 = σ(Ea lb) = σ(E-1 l0) = σ E-1

Analogamente al caso precedente:

π 2 = w l-1 π 3 = h l-1

π2 =π3 = [L] [FL-2]a [L]b

π4 = [F] [FL-2]a [L]b



Criteri di similitudine I termini adimensionalizzati appena ricavati dovranno essere uguali sia nel modello che nel prototipo per rispettare le relazioni funzionali intercorrenti tra loro:

Il primo termine adimensionale π1m = π1P

Implica:

σmE-1 m = σp Ep

-1

σm= σp EmEp-1

σm= σp /SE

um = up lm /lp; um = up /SE

con: SE = Ep /Em



f= (g/δ)1/2 (Hz) Con δ= spostamento statico δ=K-1W

δ = δ( E, ρ, l, w, h) Stabilendo le relazioni di proporzionalità tra le frequenze del prototipo e quelle del modello si ricava immediatamente che le freq. del modello sono pari alla radice quadrata delle freq. del prototipo.

fm=S1/2fp

Poichè f è misurata in Hz questa relazione fornisce anche il fattore di scala per Il tempo T

T m=S1/2 T p

Continuando con lo stesso esempio esempio, ma volendo cercare il fattore di scala per le frequenze di vibrazione, ‘ f ’ (Hz) della trave



Nel caso di modelli dinamici a similitudine completa i fattori di scala da considerare nella modellazione sono riportati in tabella:

Variabile fisica Dimensione Fattori di scala

Forza, Q [F] SE Sl2

Massa, M [F] [L] -1[T]2 SE Sl2

Pressione, q [F][L]-2 SE

Accelerazione, a [L][T]-2 1

Accelerazione di gravità, g [L][T]-2 1

Velocità, v [L][T]-1 Sl1/2

Tempo, t [T] Sl1/2

Lunghezza, l [L] Sl

Spostamento, δ [L] Sl

Frequenza, ω [T]-1 Sl-1/2

Modulo di elasticità, E [F][L]-2 SE

Tensione, σ [F][L]-2 SE

Deformazione, ε - 1

Coefficiente di Poisson, γ - 1

Densità di massa, ρ [F][L]-4 [T]2 SE /SL



Università degli Studi Mediterranea di Reggio Calabria Facoltà di Ingegneria Corso di laurea specialistica in Ingegneria Civile - Progettazione strutturale

Applicando il teorema di Buckingham a problemi di tipo dinamico si ha:

02

LF

TMG

Variabili fisiche indipendenti (n = 4) Forze, Lunghezze, Masse e Tempi

Dimensioni fisiche indipendenti (r = 3) [F], [L] e [T]

Termini adimensionali (m = n – r =1) LF

TM

2

0,,, TLMFH

MP

MM

MM

PP

PP

LF

TM

LF

TM

22

M

PI

I

IS

2

T

LMF

S

SSS

Espressione analitica della similitudine dinamica

Fattore di scala dell’I-esima variabile fisica dove:

I modelli nell’ingegneria strutturale - I modelli dinamici



Esercitazione: Realizzazione di un modello dinamico indiretto di una struttura intelaiata

Si vuole realizzare un modello dinamico indiretto di un edificio avente una struttura intelaiata che sia in grado di riprodurre, in una scala prefissata, la risposta dinamica in campo elastico del prototipo; il tutto finalizzato ad un’analisi dinamica sperimentale.

Prototipo Modello




Realizzazione di un modello dinamico indiretto di una struttura intelaiata

Il passaggio tra il prototipo ed il modello avverrà attraverso:

Riduzione del numero di gradi di libertà (condensazione statica)

Applicazione delle relazioni di similitudine (fattori di scala)




-Condensazione statica

u1

u2

u3

u4

u5

u6

ttttt KKKKK

1




Determinazione dei parametri dinamici

K11

K21

K31

K41

K51

K61

M1

M2

M3

M4

M5

M6

La condensazione statica di piano può essere effettuata mediante l’ausilio di metodi FEM imponendo di volta in volta uno spostamento unitario all’i-esimo impalcato valutando così la rigidezze ai vari piani.

La matrice di massa sarà una matrice diagonale il cui generico termine non è altro che la massa dell’i-esimo impalcato.

ppp KbMaC

Una volta note le matrici di massa e di rigidezza del prototipo riferite ad un limitato numero di gradi di libertà sarà possibile ottenere la matrice di smorzamento mediante l’ipotesi di smorzamento classico (alla Rayleigh)


Leggi di similitudine

ppppppp fuKuCuM

mmmmmmm fuKuCuM Equazione del moto del modello

aMF SSS Teorema Pi Variabili fisiche indipendenti

[M], [L], [a]

Al fine di ottenere le leggi di similitudine da utilizzare nella modellazione si scelgono come variabili fisiche indipendenti [M],[L]ed [a] con i rispettivi fattori di scala Sm, Sl and Sa. I fattori di scala rimanenti possono essere ottenuti a partire dall’equazione del moto di un sistema dinamico scritta una volta per il modello e una volta per il prototipo.

2/12/1

aLv SSS

Equazione del moto del prototipo



mMamLpmaLpmap fSSuSKuSSCuSM 2/12/1

Sostituendo le equazioni ottenute mediante l’applicazione del teorema di Buckingham all’interno dell’equazione del moto del prototipo si ottiene:

Dal confronto di tale equazione con l’equazione del moto del modello è possibile ottenere rispettivamente le matrici di massa, smorzamento e rigidezza ed il vettore delle forze del modello:

pMm MSM 1 pMaLm CSSSC 12/12/1

pMaLm KSSSK 11 pMam fSSf 11

pu pu pu pf



Fattori di scala da utilizzare I fattori di scala delle variabili fisiche indipendenti risulteranno:


12 TLa SSS LT SS

20LS

arbitrarioSM

Fattore di scala delle lunghezze

Fattore di scala delle accelerazioni

Fattore di scala delle masse Similitudine incompleta

2

LM SS Similitudine completa



.

Progetto del modello in scala

MASSA

Lamine in

alluminio

Tavola vibrante

Tavola vibrante

Lamine in

alluminio

Accelerometro

m=50 grMassa

Collegamento

di base

Rosetta in acciaio

Vite autofilettante

Massa in legno

s=variabile

Piatto in alluminio

sezione rettangolare



Progetto del modello in scala - Dimensionamento

Masse degli impalcacati

kgMM ellotot 15mod,

M

MM

S i

piprototipotot

M

,,

M

pi

miS

MM

,

,

mN

mi

m

m

m

M

M

M

M

M

,

,

,2

,1

0000

0000

00.00

0000

0000



Progetto del modello in scala - Dimensionamento

Sezioni delle colonne

11

3

2

6

3

6

6

3

6

6

3

2

6

3

1

5

3

5

5

3

5

5

3

2

5

3

1

4

3

4

4

3

4

4

3

2

4

3

1

3

3

3

3

3

3

3

3

2

3

3

1

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

1

1

48480000

48484848000

048484848

00

0048484848

0

00048484848

0000484848

MaL

p

mSSS

K

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

h

EI

K

Ni IIIII ,..,...,, 321



Analisi Dinamica Sperimentale

La conoscenza del comportamento dinamico di una struttura può avvenire secondo due possibili approcci: • L’approccio analitico: partendo dalla conoscenza della geometria della struttura, delle condizioni al contorno e delle caratteristiche dei materiali, la distribuzione di massa, rigidezza e smorzamento della struttura è espressa tramite matrici di massa, rigidezza e smorzamento; da qui è possibile, risolvendo un problema agli autovalori, pervenire alla determinazione dei parametri modali del sistema (frequenze naturali, fattori di smorzamento e forme modali); • L’approccio sperimentale: partendo dalla misura dell’input dinamico sulla struttura e della risposta strutturale, si calcolano le funzioni di risposta in frequenza e si stimano, a partire da esse, i parametri dinamici della struttura.



Analisi Dinamica Sperimentale

Le prove sperimentali di analisi dinamica si pongono come obiettivo fondamentale la possibilità di giungere alla valutazione della risposta della struttura alle sollecitazioni di lavoro e la possibilità di verificare un modello numerico di previsione del comportamento dinamico. ANALISI MODALE processo sperimentale che consente di ricavare i parametri modali propri della struttura (pulsazioni, coefficienti di smorzamento e deformate).

Input STRUTTURA Output Elaborazione numerica dei

segnali

PARAMETRI DINAMICI

Frequenze v

Rapporti di

smorzamento j

Forme modali Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica

Enzo D’Amore Modelli in scala nella ingegneria sismica SISTEMA DI ECCITAZIONE

Strumentazione di laboratorio

SISTEMA DI ACQUISIZIONE



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2

-1

0

1

2

3BURST RANDOM

Tempo [s]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70BURST RANDOM

Frequenza [Hz]

Mo

du

lo

-60 -40 -20 0 20 40 60-60

-40

-20

0

20

40

60BURST RANDOM

Parte Reale

Pa

rte

Im

ma

gin

ari

a

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4BURST RANDOM

Frequenza [Hz]

Fa

se

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1BURST CHIRP

Tempo [s]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1006

8

10

12

14

16

18

20

22BURST CHIRP

Frequenza [Hz]

Mo

du

lo

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-30

-20

-10

0

10

20

30BURST CHIRP

Parte Reale

Pa

rte

Im

ma

gin

ari

a

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4BURST CHIRP

Frequenza [Hz]

Fa

se

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2IMPATTO

Tempo [s]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2IMPATTO

Frequenza [Hz]

Mo

du

lo

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2IMPATTO

Parte Reale

Pa

rte

Im

ma

gin

ari

a

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2

-1

0

1

2

3

4IMPATTO

Frequenza [Hz]

Fa

se

Tipologie di segnali di eccitazione


Periodic Chirp

Periodic Random

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1

-0.05

0

0.05

0.1PURE RANDOM

Tempo [s]

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1PURE RANDOM

Frequenza [Hz]

Modulo

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1PURE RANDOM

Parte Reale

Part

e I

mm

agin

aria

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4PURE RANDOM

Frequenza [Hz]

Fase

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1Segnale periodico nel tempo di campionamento

t [s]

x(t

)

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100Spettro reale

f [Hz]

|X(t

)|

0 0.5 1 1.5-1

-0.5

0

0.5

1Segnale non periodico nel tempo di campionamento

t [s]

x(t

)

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100Dispersione spettrale

f [Hz]

|X(t

)|

Sinusoidale



Elaborazione numerica dei segnali


I segnali provenienti dai trasduttori sono CONTINUI NEL TEMPO e possono assumere tutti i valori fra un limite inferiore (VMIN) e uno superiore (VMAX)

Si hanno quindi ∞ valori del segnale fra 0 e T, ciascuno teoricamente caratterizzato da ∞ cifre.

Segnale Analogico: dato noto e/o disponibile all’utente con continuità nel tempo: può assumere un numero infinito di valori in qualunque dt (piccolo a piacere). Segnale Digitale: dato noto e/o disponibile all’utente in forma discreta nel dominio del tempo (può essere rappresentato con una sequenza di numeri).




Si effettua quindi una doppia discretizzazione:

Campionamento consiste nel definire gli istanti di tempo in corrispondenza dei quali i dati devono essere osservati Conversione A/D converte il valore dei dati in una forma numerica.




Solitamente il campionamento avviene ad intervalli di tempo regolari. L’intervallo di tempo tra due campionamenti successivi è detto intervallo di campionamento; il suo inverso è detto frequenza di campionamento.

ss tf /1

1 iis tttIntervallo di campionamento:

Frequenza di campionamento:

TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO (SHANNON-NYQUIST):

la minima frequenza di campionamento necessaria per evitare ambiguità nella ricostruzione del segnale è pari ad almeno il doppio della frequenza della componente armonica a frequenza più alta.

max2 ffs

ALIASING: Il segnale campionato non è più riconoscibile e sembra avere una frequenza più bassa del segnale analogico originario




Spesso la rappresentazione del segnale nel dominio del tempo non è abbastanza esplicativa.

Nel dominio della frequenza si possono studiare caratteristiche del segnale, altrimenti non visibili nel domino del tempo.

x(t) X(f)

F. T.




Un segnale periodico, ovvero un segnale che si ripete uguale a se stesso dopo un certo periodo di tempo T, può essere espresso come la somma di funzioni armoniche, ovvero è sviluppabile in Serie di Fourier (Bendat and Piersol 1980):

Una funzione non periodica può essere ancora interpretata come periodica, purché si consideri il periodo tendente all’infinito. Il contenuto di informazioni passa inalterato attraverso questa trasformazione che pertanto è assolutamente reversibile.





Time [sec]

14131211109876543210

Response A

ccele

ratio

n [g]

0,012

0,01

0,008

0,006

0,004

0,002

0

-0,002

-0,004

-0,006

-0,008

-0,01

-0,012

Frequency [Hz]

1.000

Fourier

Am

plit

ude

0,035

0,03

0,025

0,02

0,015

0,01

0,005

0

DOMINIO DELLA

FREQUENZA

DOMINIO DEL

TEMPO

x(t)

X(f)

F. T.




Il filtraggio è un processo che permette di limitare gli errori nei segnali. I diversi tipi di filtri esistenti vengono classificati in base alla forma della loro risposta armonica: •Passa basso •Passa alto •Passa banda •Taglia banda (notch)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Filtro Passa Basso

Frequenza [Hz]

Ga

in

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Filtro Passa Alto

Frequenza [Hz]

Ga

in

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Filtro Passa Banda

Frequenza [Hz]

Ga

in

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Filtro Taglia Banda

Frequenza [Hz]

Ga

in


Confronto

RISPOSTA NUMERICA VS RISPOSTA DEL MODELLO

RISPOSTA NUMERICA DEL MODELLO IN SCALA REALE VS RISPOSTA DEL PROTOTIPO

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