Sistemi II

ElisabettaColombo

Sistemi II

Elisabetta Colombo

Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012,

http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmaBIO.html

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1 Teorema di CramerRango max e detTeorema di Cramer

2 Rango con minoriTeorema di KronekerEsempi

3 Sistemi con Rouche-Capelli + CramerSistemi con con R.C.+CramerEsempio 1.6Esempio 1.7Esempio 1.8Esempio 1.9Esempio 1.10

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Teorema diCramerRango max e det

Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Rango massimo e determinante

Theorem (di Rango massimo)Una matrice quadrata A, di ordine n (cioe n × n) ha rangomassimo n se se solo se det A 6= 0.

Dim La matrice A ha rango n se e solo se e equivalente auna matrice a gradini B con n gradini, quindi triangolare conelementi tutti non zero sulla diagonale. Percio det B che e ilprodotto di tali elementi e non zero e quindi e non zero det Ache e un suo multiplo per un coefficiente diverso da zero.Viceversa A ha rango k minore di n se e equivalente a unamatrice quadrata B con k gradini, quindi con det B = 0,percio anche det A = 0.

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Teorema diCramerRango max e det

Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Teorema di Cramer

Il Teorema di Cramer permette di stabilire quando unsistema di n equazioni in n incognite (lo stesso numero diequazioni ed incognite) ha una sola soluzione e fornisce unmetodo per determinarla attraverso il calcolo deldeterminante di opportune matrici quadrate.• Si consideri un sistema di n equazioni in n incognite, conA = (aij)

j=1...ni=1...n matrice dei coefficienti (quadrata di ordine n)

e vettore dei termini noti b.

Per ogni indice j con 1 ≤ j ≤ n si definiscono le matrici Bjquadrate di ordine n, ottenute sostituendo la j–esimacolonna di A con la colonna dei termini noti.

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Teorema diCramerRango max e det

Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Teorema di Cramer

Theorem (di Cramer)

Il sistema di n equazioni in n incogniteAx = b ha una sola soluzione ⇐⇒ det A 6= 0. In tal caso, lasoluzione e il vettore x =

(xj

)nj=1 con

xj =det Bj

det A.

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Teorema diCramerRango max e det

Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Teorema di Cramer

EsempioDato il sistema

x + y + z = 22x − z = 1x − y + 3z = 0

,

Poiche

det

1 1 12 0 −11 −1 3

R1 + R3=

det

2 0 42 0 −11 −1 3

=

1 · det(

2 42 −1

)=−10 6= 0,

il Teorema di Cramer garantisce che il sistema ha una solasoluzione.

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Teorema diCramerRango max e det

Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Teorema di Cramer

Per determinarla calcoliamo det B1 con Sarrus

det B1 = det

2 1 11 0 −10 −1 3

=0 + 0− 1 + 0− 2− 3 =−6

calcoliamo det B2 con Laplace rispetto alla terza rigadet B2 =

det

1 2 12 1 −11 0 3

=1 · (−2− 1)− 0 + 3(1− 4) == −12.

Calcoliamo det B3 prima semplificando con C1 + C2det B3 =

det

1 1 22 0 11 −1 0

=det

2 1 22 0 10 −1 0

=1 · (2− 4) = −2.

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Teorema diCramerRango max e det

Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Teorema di Cramer

Allora la soluzione e data da:(− 1

10det B1, − 1

10det B2, − 1

10det B3,

)=(

35,

65,

15

).

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Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Teorema di Cramer

Esempio

Studio il sistema

x − 2y + 4z = 23x + y + 5z = −12x + y + 3z = −2

Calcolo det

1 −2 43 1 52 1 3

=3− 20 + 12− 8− 5 + 18= 0,

quindi, per Cramer, il sistema non e determinato, puoessere impossibile o indeterminato

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Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Teorema di Kroneker

• Data una matrice A si definisce sottomatrice di A unaqualunque matrice ottenuta da A cancellando righe e/ocolonne.• Data una matrice A si definisce minore di ordine k di A ildeterminante di una qualunque sottomatrice quadrata di Adi ordine k .

Theorem (di Kronecker)(a) Il rango di una matrice e uguale a r se e solo se esisteun minore di ordine r di A diverso da zero e tutti i minori diordine r + 1 di A sono nulli.(b) Se la matrice A contiene una sottomatrice quadrata B diordine r con determinante diverso da zero e tutte lesottomatrici quadrate di A ordine r + 1 che contengono B(dette orlate di B) hanno determinante uguale a zero, allorarango(A) = r .

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Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

NOTA Si puo definire rango della matrice A l’ordinemassimo dei minori non nulli che si possono estrarre da A.In tal caso il Teorema di Kroneker si riduce al punto (b),mentre diventa un teorema l’affermazione che il rango di Ae uguale al numero r di righe non nulle di una suaqualunque matrice a gradini equivalente per trasformazionielementari per riga .

EsempiDeterminare il rango delle seguenti matrici mediante iminori.

i) A =

(1 −12 3

)Poiche

det(

1 −12 3

)= 5 6= 0il corrispondente minore e diverso

da zero Quindi per Kroneker rango(A)=2 (massimo).

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Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

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Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

ii) A =

1 2 34 5 67 8 9

Poiche det A = 0, deve essere

rango(A) ≤ 2. perche non ci sono minori di ordine 3 nonnulli. Prendendo (ad esempio) le prime due righe e colonne

si ottiene la sottomatrice B =

(1 24 5

),con

det B = −3 6= 0,quindi rango(A) = 2;

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Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

iii) A =

1 3 −1 42 1 3 31 2 0 3

. Poiche la matrice A e 3× 4,

rangoA ≤ 3.

Per applicare Kronecker consideriamo ad esempio lasottomatrice ottenuta da A cancellano l’ultima riga e le

ultime due colonne :B =

(1 32 1

), essa ha

det B = −5 6= 0. Le sottomatrici quadrate di A di ordine 3che sono orlate di B sono:

B1 =

1 3 −12 1 31 2 0

, B2 =

1 3 42 1 31 2 3

. Poiche

det B1 = det B2 = 0 entrambe le matrici di ordine 3 cheorlano B hanno determinante nullo e quindi rangoA = 2.

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Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Sistemi con Rouche-Capelli + Cramer

Ricordiamo che il teorema di (di Rouche-Capelli) risolve ilproblema della risolubililita del generico sistema lineareAx = b attraverso il calcolo del rango di A e di (A|b), che sipossono calcolare con il metodo di Kroneker (in alternativaal metodo di Gauss)

Theorem (di Rouche–Capelli)Il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b e risolubile⇐⇒ rango (A) = rango (A|b).

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Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Sistemi con Rouche-Capelli + Cramer

Inoltre, se il sistema e risolubile, detta k la caratteristicacomune delle due matrici, per trovare le soluzioni si procedecosı:

1 si fissa una sottomatrice B di A, quadrata di ordine kcon det (B) 6= 0 (se rangoA = k , esiste certamente unminore non nullo di ordine k);

2 si considera un nuovo sistema di k equazioni in kincognite ottenuto considerando solo le k (delle m)equazioni relative alle righe di B e le k incognite(variabili effettive) relative alle colonne di B. Le restantin − k incognite (variabili libere) sono trattate comeparametri;

3 si risolve il sistema cosı ottenuto di k equazioni in kincognite (con determinante della matrice deicoefficienti non nullo) utilizzando, ad esempio, ilTeorema di Cramer.

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Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Esempio 1.6

Dato il sistema

x − 2y + 4z = 23x + y + 5z = −12x + y + 3z = −2

,

(A|b) =

1 −2 43 1 52 1 3

∣∣∣∣∣∣2

−1−2

per applicare R.C. calcolo rango(A) con i minori

det

1 −2 43 1 52 1 3

=3− 20 + 12− 8− 5 + 18 = 0, quindi

rango(A) < 3d’altra parte il minore associato alla matrice Bsottomatrice di A ottenuta cancellando l’ultima riga e l’ultima

colonna e det(

1 −23 1

)= 1 + 6 = 7 6= 0quindi

rango(A) = 2.

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Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Controlliamo rango (A|b) studiando i minori di ordine 3ottenuti da orlati di B. Uno e A che da un minore 0,controlliamo l’altro orlato che da minori di ordine 3.

det

1 −2 23 1 −12 1 −2

C2 + C3=

det

1 0 23 0 −12 −1 −2

=1 ·

det(

1 23 −1

)= −7 6= 0. Quindi

rango(A|b) = 3 >rango(A) e per R.C. il sistema e quindiimpossibile.

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Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Esempio 1.7

Dato il sistema

x + y + z = 1−2x + z = 06x + 2y = 2

,

(A|b)

1 1 1−2 0 16 2 0

∣∣∣∣∣∣102

.

det A =

det

1 1 1−2 0 16 2 0

R1 − R2=

det

3 1 0−2 0 16 2 0

=

−1 · (6− 6) = 0 quindi non si puo applicare Cramer. Si harango(A) < 3.

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Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Il minore det(

3 1−2 0

)= 2 6= 0, quindi rango(A) = 2.

Calcolo il rango(A|b) controllando l’altro minore di ordine 3

che orla(

3 1−2 0

).

det

3 1 1−2 0 06 2 2

= 0 Quindi rango(A|b) = 2=rangoA e

quindi il sistema e indeterminato ed ha ∞1 soluzioni chedipendono da una variabile libera.

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Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Per determinare le soluzioni, si considera il sistema delleprime due equazioni (quelle corrispondenti al minore nonzero) nelle prime due incognite (variabili effettive), ponendoz = s a parametro:{

x + y = 1− s−2x = −s

che ha soluzione ( s2 , 1− 3s

2 ). (Calcolo immediato, ma peresercizio ricontrollare con Cramer). Quindi l’insieme dellesoluzioni e:Sol(A|b) = {( s

2 , 1− 3s2 , s)|s ∈ R}.

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Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Esempio 1.8Discutere la risolubita al variare del parametro reale k , etrovare le eventuali soluzioni del sistema usando il metododi R.C.+Cramer

x + 2y − z = 1−x + y + 2z = 02x − y = 0x − y − z = k

.

A e 4× 3 quindi rango(A) ≤ 3mentre (A|b) e 4× 4 quindirango(A|b) ≤ 3 se e solo se det (A|b) = 0

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Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

det

1 2 −1

−1 1 22 −1 01 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣100k

R4 − kR1=

det

1 2 −1

−1 1 22 −1 0

1− k −1− 2k −1 + k

∣∣∣∣∣∣∣∣1000

=−1 ·

det

−1 1 22 −1 0

1− k −1− 2k −1 + k

C1 + 2C2=

− det

1 1 20 −1 0

1− k − 2− 4k −1− 2k −1 + k

=det(

1 2−1− 5k −1 + k

)=(−1+

k + 2 + 10k)

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Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Quindi det (A|b) = −1− 11k . Quando −1− 11k 6= 0 ilsistema e impossibile per R.C.Se invece k = − 1

11 , so solo che rango(A|b) ≤ 3.Trovo il

rango di A =

1 2 −1

−1 1 22 −1 01 −1 −1

, sicuramente rango(A) ≥ 2

perche il minore det(

1 2−1 1

)= 1 + 2 = 3 6= 0.Considero

i minori degli orlati della precedente sottomatrice 2× 2.

Sono:det

1 2 −1−1 1 2

2 −1 0

e det

1 2 −1−1 1 2

1 −1 −1

devo

vedere se uno di questi e diverso da zero

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Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

det

1 2 −1−1 1 2

2 −1 0

R2 + 2R1=

det

1 2 −11 5 02 −1 0

R2 + 2R1

== −1 · (−1− 10) = 11 6= 0.

quindi rango(A) = 3 = rango(A|b). Poiche le variabili sono3 il sistema risulta determinato, si puo considerare ilsistema equivalente dato dalle prime 3 equazioni, che e unsistema che si puo risolvere con Cramer, la matrice

completa associata e ora

1 2 −1−1 1 2

2 −1 0

∣∣∣∣∣∣100

.

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Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Calcolo det B1 = det

1 2 −10 1 20 −1 0

= 2,

det B2 = det

1 1 −1−1 0 2

2 0 0

= 4,

det B3 = det

1 2 1−1 1 0

2 −1 0

= −1.

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Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Quindi l’unica soluzione per Cramer e(det B1

11 , det B211 , det B3

11

)=( 2

11 , 411 ,− 1

11

).

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Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Esempio 1.9Discutere la risolubita e trovare le eventuali soluzioni delsistema:

x + 2y + z − w = 22x + 3y − z = −22y + 4z − w = 9x + z + w = 6

,

Il sistema e quadrato, calcolo det A, se e diverso da zero sipuo applicare direttamente Cramer ma occorre calcolare poialtre 3 determinanti di matricci quadrate di ordine 4. Lasoluzione e il vettore(2,−1, 3, 1)

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Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Esempio 1.10 Discutere la risolubita al variare delparametro reale k , e trovare le eventuali soluzioni delsistema

x − 3y − w = −15x − 5y + z + kw = 02x + 4y + z = 0

.

Il sistema e 3× 4, quindi puo solo essere indeterminato oimpossibile.

(A|b) =

1 −3 0 −15 −5 1 k2 4 1 0

∣∣∣∣∣∣−1

00

.

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Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Il minore di A, det D = det(−3 0−5 1

)−3 6= 0 quindi

rango(A) ≥ 2.Controllo i 2 minori di ordine 3 dati dagli orlati di D in A

det

1 −3 05 −5 12 4 1

=−5− 6 + 0− 0 + 15− 4 = 0

det

−3 0 −1−5 1 k

4 1 0

=0 + 0 + 5 + 4− 0 + 3k = 3(3 + k).

Quindi per k 6= −3 rango(A) = 3, per k = −3 rango(A) = 2.

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Esempi

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Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Controllo il terzo minore di di ordine 3 di (A|b) ottenutocome orlato di D.

det

−3 0 −1−5 1 0

4 1 0

= −1(−5− 4) = 9 Quindi

rango(A|b) = 3 per ogni k . Percio per k = −3 il sistema eimpossibile, mentre per k 6= −3, il sistema dipende da4-3=1 parametri. Si pone a parametro la variabile che noncompare nel minore di rango massimo di A scelto, quindix = s.

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Esempi

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Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Quindi il sistema da risolvere con Cramer nelle variabiliy , z, w risulta:−3y − w = −1−−5y + z + kw = −5s4y + z = −2s

con matrice completa

−3 0 −1−5 1 k

4 1 0

∣∣∣∣∣∣−1− s−5s−2s

.

Il determinante della matrice dei coefficienti che e 3(3 + k).

Sistemi II

ElisabettaColombo

Teorema diCramerRango max e det

Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

Calcoliamo ora

det(B1) =

−1− s 0 −1−5s 1 k−2s 1 0

=

−1− s 0 −1−3s 0 k−2s 1 0

=

−1 · (−k − ks − 3s) = k + 3s + ksdet(B2) =

det

−3 −1− s −1−5 −5s k

4 −2s 0

=det

−3 −1− s −1−5− 3k −5s − k − sk 0

4 −2s 0

=

−1 · (10s + 6ks + 20s + 4ks + 4k) = −30s − 10ks − 4k ,det (B3) =

det

−3 0 −1− s−5 1 −5s

4 1 −2s

=det

−3 0 −1− s−5 1 −5s

9 0 3s

=

−9s + 9 + 9s = 9,

Sistemi II

ElisabettaColombo

Teorema diCramerRango max e det

Teorema di Cramer

Rango conminoriTeorema diKroneker

Esempi

Sistemi conRouche-Capelli +CramerSistemi con conR.C.+Cramer

Esempio 1.6

Esempio 1.7

Esempio 1.8

Esempio 1.9

Esempio 1.10

Esempi

L’insieme delle soluzioni del sistema e:{(s, det B1

3(3+k) ,det B2

3(3+k) ,det B3

3(3+k)) | s ∈ R}=

{(s, k+3s+ks3(3+k) , −30s−10ks−4k

3(3+k) , 93(3+k)) | s ∈ R}