Teorema de Casti

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  • 8/20/2019 Teorema de Casti

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    CALCULO DE DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS

    Teorema de Castigliano:

    Consideremos una estructura, que la esquematizamos con una línea cerrada. Es decir,que el área encerrada por la misma se desarrolla una estructura resistente, isostática ohiperestática, o sea que no puede ser hipostática (mecanismo con movimientos).

    Consideremos ahora un sistema decargas actuando sobre la misma, convalores tales que todos los elementosestructurales estén sometidos a esfuer-zos, para los cuales, las tensiones ydeformaciones estén dentro delrégimen elástico. Dichas fuerzas lasindicamos con P1 ..... Pj ..... Pn,

    sistema que está en equilibrio, es decirque, o bien son sistema de fuerzasexternas, o alguna de ellas son fuerzasexternas y otras son reacciones devínculo.

    P1

    P2

    P j

    Pn

    Pn-1

    1

    2

    2'

    n-1

     j

    n

    Δ2

    δ2

     Al actuar las fuerzas creciendo desdecero a su valor final, el cuerpo de deforma y los puntos de aplicación de las mismas sedesplazan. Por ejemplo el punto, 2 pasa a ocupar la posición 2'.Cada fuerza realiza un trabajo elástico de valor:

    ½ . P . δ 

    Siendo δ la proyección del despalzamiento sobre la recta de acción de la fuerza.

    El trabajo total, debido a todas las fuerzas vale:

     j j

    n

     j  P Ae   δ= ∑   =1 21

     

    lo cual expresa la energía total elástica acumulada por el sistema.

    Si la fuerza P j, varía en dP j, el trabajo valdría:

     j

     j

    dPP

     Ae Ae

    ∂∂

    donde jP

     Ae

    ∂∂

     es la variación del trabajo total cuando P j varía en la unidad.

    Consideramos ahora que primero se aplique dP j y luego el sistema P1 a Pn. El trabajototal, en este caso resulta:

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     AedPd dP  j j j j   +δ+δ ..2

    Donde:

    •  El 1° sumando, expresa el trabajo elástico de dP j, al aplicar dicha fuerza creciendodesde cero a su valor final.

    •  El 2° sumando, representa el trabajo físico de dP j debido al desplazamiento queprovoca el sistema P1 a Pn, al crecer desde cero a sus valores finales.

    •  El 3° sumando, el trabajo elástico del sistema P1 a Pn.

    Como los estados finales, del 1° y 2° caso son iguales, debe cumplirse:

     AedPd dPdP

    P

     Ae Ae  j j j j j

     j

    +δ+δ=

    ∂+ ..

    2

    Simplificando los valores Ae de las dos ecuaciones y despreciando el primer sumandodel segundo miembro por ser un diferencial de orden superior, se obtiene:

     j j j

     j

    dPdPP

     Aeδ=

    ∂∂

    .  

     j

     jP

     Ae∂∂=δ  

    o lo que es equivalente :

    que es la expresión del Teorema de Castigliano

    Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P1 a Pn, se acumula comoenergía interna elástica, podemos escribir:

     Ae = AiY por lo tanto:

     j

     jP

     Ai

    ∂∂

    =δ 

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    Ello implica poder enunciar:

    "En todo sistema elástico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio,la variación del trabajo interno para un incremento unitario de la fuerza

    aplicada en un punto cualquiera del mismo, representa el desplazamientodel punto proyectado en la dirección de la fuerza, siempre que el sistemase encuentre en el régimen elástico."

    Debido que para obtener las deformaciones con el trabajo externo Ae, necesitamos lasdeformaciones, debemos desarrollar la expresión del trabajo interno Ai.

    Dado que los esfuerzos internos están representados por tensiones y las deforma-ciones por deformaciones específicas, el trabajo interno estará dado por unidad devolumen:

     Ai* = "trabajo interno de deformación por unidad de volumen", el cual estará expresadode la siguiente manera:

    τγ+σε=2

    1

    2

    1* Ai  

    Por la ley de HookeG

     ,  τ=γ

    σ=ε

     E , reemplazando en la expresión anterior:

    G E  Ai

    22

    21

    21*   τ+σ=  

    Para obtener el trabajo interno de deformación debemos integrar la expresión en elvolumen:

    ∫ ∫∫ ∫ ∫  τ

    == x A x A

    dAdxG

    dAdx E 

    dV  Ai Ai22

    2

    1

    2

    1*

     

    Las tensiones normales son producidas por momentos y esfuerzos axiles (M y N), y lastensiones tangenciales por los esfuerzos de corte (Q):

    A

    Q ,   α=τ+=σ   y

     J 

     M 

     A

     N   donde

     Jb

    SA=α  

    Reemplazando:

    dAdx AQ

    GdAdx y

     J  M 

     E  ydAdx

     J  M 

     A N 

     E dAdx

     A N 

     E  Ai

     x A x A x A x A∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫   α+++= 2

    2

    222

    2

    2

    2

    21

    211

    21  

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    Del primer término tenemos (área), AdA A

    =∫

    del segundo (momento estático en toda el área),0=∫ A

     ydA

    del tercero (momento de inercia), J dA y A

    =∫ 2

    y del cuarto llamamos χ=α

    ∫   dA A A

    2

     (coeficiente de forma de la sección), por lo tanto:

    dxGA

    Qdx

     EJ 

     M dx

     EA

     N  Ai ∫∫∫   χ++=

    222

    2

    1

    2

    1

    2

     Aplicando el Teorema de Castigliano:

    GA

    dx

    P

    QQ

     EJ 

    dx

    P

     M  M 

     EA

    dx

    P

     N  N 

    P

     Ai

     j j j j

     j   ∫∫∫   ∂∂

    χ+∂∂

    +∂∂

    =∂∂

    =δ 

     Aplicación del Teorema al cálculo de deformaciones:

    P A

    BM

    x

    L

    ϕB

     MB

    M A

    ϕB

    δB

    Sea el caso de una vigaempotrada en A y cargada en elextremo libre B con una fuerza yun momento. El diagrama demomentos, varía de MB  = -M aM A = -(M+PL).En la explicación que siguevamos a considerar que lasdeformaciones por flexión sonmucho mayores que las produ-cidas por el esfuerzo de corte, esdecir despreciamos el efecto delcorte, por lo tanto el trabajointerno a considerar, es solo eldebido al momento flector.

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    La expresión general del trabajo interno por flexión vale dx EJ 

     Mx Ai ∫=

    2

    2

    En tal caso, si queremos calcular el desplazamiento vertical del punto B, de acuerdo alTeorema de Castigliano, debemo hacer la deribada respecto de P y considerando queel momento de inercia y el módulo de elasticidad son constantes:

    dxP

     Mx Mx

     EJ P

     Ai L

     B   ∫   ∂∂

    =∂∂

    =δ0

    En el ejemplo planteamos Mx = -(M+Px) y derivando dMx/dP = -x

    ( )( )⎪⎭

    ⎪⎬⎫⎪⎩

    ⎪⎨⎧ ⎥⎦⎤⎢

    ⎣⎡+⎥

    ⎦⎤⎢

    ⎣⎡=+=δ ∫

     L L L

     B xP x M 

     EJ dx xPx M 

     EJ 0

    3

    0

    2

    032

    11 

    ⎭⎬⎫

    ⎩⎨⎧

    +=δ32

    1 32 PL ML

     EJ  B  

    Observando y analizando la ecuación obtenida podemos deducir que la elástica final,es la suma de la debido a M y a la debida a P separadamente , haciendo tender a ceroa P y a M respectivamente.Si el problema planteado, correspondería al caso en el que la carga sea solamente unmomento M en B, no tendríamos una carga puntual en B, para calcular eldesplazamiento vertical de ese punto.

    F A

    B

    Pero si consideramos que además de M actúaen B una fuerza F, infinitamente pequeña,

    podemos escribir: Mx = -(M+Fx), y por lo tantodMx/dF = -x.

    Luego podemos decir que F es tan pequeña que se puede despreciar y eldesplazamiento vertical quedará:

     EJ 

     MLdx x M 

     EJ dx

     Mx Mx

     EJ F 

     Ai L L

     B

    2

    00

    ))((11

    ==∂

    ∂=

    ∂∂

    =δ ∫∫  

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    Con este ejemplo, hemos demostrado que no es necesario que en el punto donde nosinteresa calcular el desplazamiento, se tenga una fuerza real, para poder usar elTeorema de Castigliano.

    Ejemplo 1:

    Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B. Nosplanteamos calcular el desplazamientovertical de C (punto medio de AB). En talcaso:

    M

    C A

    B

    x

    L/2

    M

    F

    FL/2

    dxF 

     Mx Mx

     EJ F 

     Ai L

    C    ∫   ∂∂

    =∂∂

    0

    donde F es una fuerza infinitesimalaplicada en C, en la dirección en que sequiere calcular el desplazamiento. Asítendremos:

    ] ]   ( )[ ]2

     ;2

    20

     L xF  M  M  M  M   L

     L x

     L

     x   −+−=−=  

    ( )2 ;02

    2

    0

     L xdF 

    dM dF 

    dM   L

     L

     x

     L

     x −−=⎥⎦⎤=⎥

    ⎦⎤  

    ( )( ) ( )( )⎪⎭

    ⎪⎬⎫

    ⎪⎩

    ⎪⎨⎧

    −=⎪⎭

    ⎪⎬⎫

    ⎪⎩

    ⎪⎨⎧

    +−−+−= ∫ ∫∫ ∫ L

     L

     L

     L

    l L

     L

    c   dx L M  Mxdx

     EJ dx L x M dx M 

     EJ 2 2

    2

    02

    21

    20

    1δ   

    ⎭⎬⎫

    ⎩⎨⎧ −=

    ⎭⎬⎫

    ⎩⎨⎧ ⎟

     ⎠ ⎞⎜

    ⎝ ⎛ −⎟⎟

     ⎠ ⎞⎜⎜

    ⎝ ⎛  −=

    4831

    22421

    2

    2

    2

    2   L M  ML EJ 

     L L M  L L M  EJ 

    cδ   

     EJ 

     MLc

    8

    2

    =δ  

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     Ejemplo 2:

    Viga en voladizo con carga en el extremo libreB. Calcular el giro de la sección C.

    C

     A

    B

    m

    x

    L/2

    PL

    P

    m

    Como en C no actúa un momento, debemosaplicar en dicho punto un momento minfinitamente pequeño.Para el cálculo tenemos:

    dxm

     Mx Mx

     EJ m

     Ai  L

    C    ∫   ∂∂

    =∂∂

    =0

    1ϕ 

     

    ] ] [ ]Pxm M Px M    L L x L

     x   +−=−=2

    20

     ;  

    1 ;0

    2

    2

    0

    −=⎥⎦

    ⎤=⎥⎦

    ⎤  L

     L

     x

     L

     x

    dm

    dM 

    dm

    dM  

    Nuevamente haciendo tender m a cero:

    ( )( ) ( )( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

    ⎝ ⎛  −=

    ⎪⎭⎪⎬⎫

    ⎪⎩⎪⎨⎧

    −−+−= ∫ ∫ 4211101

    2

    22

    02

     L LP EJ 

    dxPxdxPx EJ 

     L L

     L

    cϕ   

     EJ 

    PLc

    8

    3 2=ϕ 

     

    Si entramos en el análisis detallado de las integrales que hemos realizado, vemos quela derivada del diagrama de momentos es igual al diagrama de momentos de una cargaunitaria aplicada en el punto donde queremos calcular la deformación.Por lo tanto para el cálculo de deformaciones, debemos integrar el producto de dosfunciones:

      La del momento real de las cargas actuantes en la estructura.

      La del momento que provoca una carga unitaria aplicada en el punto del que sequiere conocer la deformación y dirección de la misma.

    Los momentos probocados por las citadas cargas unitarias (fuerza o momento), vamosa denominarlos como Mx1.

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    Ejemplo 3:

    Viga simplemente apoyada, de momento deinercia constante y carga unifirme. Se pide:

     A

    BC

    L

    qL2/8

    M

    m = 1

    1

    F = 1

    L/4

    q

    Mx1 caso a)

    Mx1 caso b)

    a) Giro de la sección en el apoyo A

    b) Desplazamiento vertical del punto mediodel tramoAB.

    a) Giro

    dx M  M  EJ 

    dxm

     Mx Mx

     EJ m

     Ai

     x

     L

     x

     L

     A

    1

    0

    0

    1

    1

    =

    =∂

    ∂=

    ∂∂

    =ϕ 

     

    2

    22 x

    q x

    qL M  x   −=  

     L

     x

    m

     M 

     M   x

     x   −=∂

    = 11  

    423232221

    22

    4332

    0

    2   L

     L

    q Lq Lq LqLdx

     L

     x x

    q x

    qL EJ 

     L

     A   +−−=⎟ ⎠

     ⎞⎜⎝ 

    ⎛  −⎟ ⎠

     ⎞⎜⎝ 

    ⎛  −= ∫ϕ   

     EJ qL

     A24

    3=ϕ 

     

    b) Desplazamiento vertical

    dx M  M 

     EJ 

    dx

     Mx Mx

     EJ F 

     Ai x

     L

     x

     L

    c 1

    00

    11∫∫   =

    ∂=

    ∂=δ 

     

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     2

    22 x

    q x

    qL M  x   −=   ]   x

     M  M    x

     L

     x 5.02

    01  =

    ∂∂

    =  

    ( ) ( ) ( )⎪⎭

    ⎪⎬

    ⎪⎩

    ⎪⎨

    ⎧−=⎟

     ⎠ ⎞⎜

    ⎝ ⎛  −= ∫ 4

    243

    24

    25.022

    2

    432/

    0

    2

     Lq

     LqLdx x xq xqL EJ 

     L

    cδ   

     EJ 

    qLc

    384

    5 3=δ 

     

    Ejemplo 4:

    Viga empotrada en A, con extremo libre en C y carga verticalP en C. Calcular:

     A

    P

    L1, J1 C

    B

    L2, J2

     

    a) Desplazamiento vertical del punto C = δvc b) Desplazamiento horizontal de C = δhc c) Giro del nudo C = ϕc d) Giro del nudo B = ϕB B

     

    L1 = 100 cm J1 = J

    L2 = 200 cm J2 = 2J

    Diagrama de momentos M

    a) Para el cálculo del desplazamiento vertical, dado que

    P está en el punto y con la dirección del desplazamientoque queremos calcular, el diagrama Mx1  será elcorrespondiente para P = 1.

    ( )( ) ( )( )dy LPL EJ 

    dx xPx EJ 

     L L

    vc   ∫∫   −−+−−=21

    0

    11

    201

    11δ   

     A

    P

    CB

    PL1

    x

    y

    2

    2

    1

    3

    1 2

    1

    3 LPL L

    P EJ 

    vc  +=δ 

     

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    d) Giro en B

    ( )( ) ( )( )2

    21

    2

    211 1

    1

     EJ 

     LPL

     EJ 

     L M  M dx M  M 

     EJ 

     B

     A

     x x B   −−=⎥⎦

    ⎤== ∫ϕ   

     A

    1

    CB

    Mx1

     

    212

    1 LPL EJ   B  =ϕ   

    Problemas cuando se tiene en cuenta el esfuerzo de corte Q y el esfuerzo axil N

    Teniendo en cuenta todos los esfuerzos, el trabajo interno de deformación vale:

    dxGA

    QQdx

     EJ 

     M  M dx

     EA

     N  N  Ai   x x

     x x

     x x   ∫∫∫   ++=   χ 2

    1

    2

    1

    2

    donde es el coeficiente de forma de la sección, siempre positivo con valores:

    χ = 1,2 para sección rectangularχ = 1,185 para sección circular llenaχ = 2 a 3 para sección doble T (según las medidas)

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    Ejemplo de aplicación:

    Para la estructura de la figura se pide:

    a) Desplazamiento vertical del punto D = δvD 

    b) Desplazamiento vertical del punto B = δvB c) Desplazamiento horizontal del punto C = δhc d) Giro de la sección B de la barra 4 = ϕB4 e) Giro de la sección B de la barra 3 = ϕB3 

    Material: Acero E = 2.100.000 Kg/cm2  G = E/2(1+μ) ≈ 800.000 Kg/cm2

    L1 = L2 = 70,7 cm L3 = L4 = 100 cm

    Secciones:Barras 1 y 2 A1,2 = 2 cm

    2

    Barra 3 A3 = 3 cm2 Barra 4

     A4 = 54 cm2

    J4 = 1458 cm4

    18 cm

    3 cm

    P1 = 6000 Kg

    P2 = 2000 Kg

     A

    B

    C

    D

    P2

    P1

    21

    4

    3

    45°45°

    M Mx = -3000 x

    Q = 3000 Kg

    M A = -300000 Kg cm

    N = 2000 Kg

    Esfuerzos en las barras:

    S1 = S2 = -0,707 P1 S1 = S2 = -4243 Kg

    S3 = P2 + 0,5 P1 = 5000 Kg

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    a) Desplazamiento vertical del punto D = δvD 

     A

    B

    C

    D

    1

    21

    4

    3

    M1 M1x = -0,5 x

    Q1 = 0,5

    M1A = -50 Esfuerzos en las barras:

    S11 = S21 = -0,707

    S31 = 0,5N1 = 0

    i

    ii

    ii x x x x x xVD  EA

     LS S dx N  N 

     EAdxQQ

    GAdx M  M 

     EJ 

    13

    11

    100

    041

    100

    041

    100

    04

    11

    ∑∫∫∫ =+++=

      χ δ 

     

    ( ) ( )( )  ( )( ) ( )( )

    1005,05000

    250707,04243

    21005,030002,1

    10050)300000(3

    1

    3144   EA EAGA EJ VD   +

    −−++−−=δ  

    833332121188750342936   +++=δVD E   

    cmVD  308,0=δ  

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  • 8/20/2019 Teorema de Casti

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    b) Desplazamiento vertical del punto B = δvB 

     A

    B

    C

    D

    1

    21

    4

    3

    M1 M1x = -x

    Q1 = 1

    M1A = -100 Esfuerzos en las barras:

    S11 = S21 = S31 = 0N1 = 0

    dxQQGA

    dx M  M  EJ 

      x x x xVB 1

    100

    04

    1

    100

    04

    1∫∫

      χ+=δ  

    ( ) ( )( )100130002,1

    100100)300000(

    3

    1

    44   GA EJ 

    VB   +−−=δ  

    17500685871+=δVB E   

    Nota: Observar que entre el valor de la elástica teniendo en cuenta el Q y cuando se lodesprecia, la diferencia es menor del 2,6%

    cmVB  335,0=δ 

    c) Desplazamiento horizontal del punto C = δhcS11 = S21 = 0, S31 = 1, N1x = 1, M1x = 0, Q1x = 0

     A

    B

    C

    D

    1

    21

    43

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    i

    ii

    i

    i x x HC  EA

     LS S dx N  N 

     EA

    1

    3

    1

    1

    100

    04

    1∑∫

    =

    +=δ  

    ( )( ) ( )( )100

    15000100

    12000

    34   EA EA HC    +=δ  

    cm HC   081,0=δ  

    d) Giro de la sección B de la barra 4 = ϕB4

     A

    B

    C

    D

    1

    21

    4

    3

    Mx1 = -1, Qx1 = 0, Nx1 = 0, S11 = S21 = S31 = 0

    ( )( )0049,0

    1300000

    2

    11

    4

    1

    100

    04

    4   =−−

    ==ϕ ∫   EJ dx M  M  EJ    x x B  

    "'4 51 16=ϕ B  

    e) Giro de la sección B de la barra 3 = ϕB3 

     A

    B

    C

    D 21

    4

    3

    δVB

    ϕB3

    ϕB3 = δVB/L3

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    ϕB3 = 0,335 cm / 100 cm = 0,00335

    "'

    3 13 11=ϕ B  

    f) Giro relativo en B:

    4 3B

    Giro relativo

    Giro Relativo = 16' 51" + 11' 31"

    "'  22 28=ϕ   Brelativo  

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