Teorema di Pitagora - Ubimath...Problemi sul teorema di Pitagora applicato al triangolo isoscele....

Teorema di Pitagora. Triangolo isoscele. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 1

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Problemi sul teorema di Pitagora applicato al triangolo isoscele. Completi di soluzione guidata.

Triangle Problems involving Pythagoras Theorem. (Geometry)

1. Un triangolo isoscele ha il lato obliquo che misura 5 cm e la base misura 8 cm. Calcola il

perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

2. Un triangolo isoscele ha il lato obliquo che misura 13 cm e il perimetro di 36 cm. Calcola la

misura dell’altezza relativa alla base e l’area del triangolo.

soluzione

3. Un triangolo isoscele ha la base di 12 cm e i lati obliqui di 10 cm. Calcola il perimetro e

l’area del triangolo.

soluzione

4. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo isoscele la cui base misura 12 cm e l’altezza 8

cm.

soluzione

5. Calcola l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro di 32 cm e il lato obliquo di 12,5

cm.

soluzione

6. Calcolate l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro lungo 112 cm ed è uguale agli 8/3

della base.

soluzione

7. Calcolate l’area e il perimetro di un triangolo isoscele che ha la base lunga 80 cm e l’altezza

pari ai 15/16 della base.

soluzione

8. Un triangolo isoscele ha la base di 6 cm e l’altezza è i 2/3 della base. Calcola il perimetro e

l’area del triangolo.

soluzione

9. Calcola il perimetro e l’area di un triangolo isoscele che ha la base e l’altezza lunghe

rispettivamente 12 dm e 3,2 dm.

soluzione

10. Un triangolo isoscele la somma della base e di un lato obliquo è 8 m mentre la loro

differenza misura 2 m. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

11. In un triangolo isoscele il rapporto tra la base e la sua altezza è 3/2 e la somma di queste due

misure è 30 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

12. Un triangolo isoscele ha la base di 30 cm e il lato obliquo è i 13/10 della base. Calcola il

perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

13. Un triangolo isoscele ha la base di 28 cm e l’altezza è i 12/7 della base. Calcola il perimetro

e l’area del triangolo.

soluzione

mailto:[email protected]

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/



14. Calcolate l’area e il perimetro di un triangolo isoscele che ha la base, pari ai 5/6 dell’altezza

ad essa relativa, lunga 40 cm.

soluzione

15. Calcolate l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro di 196 cm e la base di 48 cm.

soluzione

16. In un triangolo isoscele la base misura 27 cm e l’altezza è i 2/3 della base. Calcola la misura

dell’area del triangolo.

soluzione

17. Il perimetro di un triangolo isoscele misura 32 cm. Calcolate l'area del triangolo sapendo che

la base misura 1,2 dm.

soluzione





Soluzioni

Un triangolo isoscele ha il lato obliquo che misura 5 cm e la base

misura 8 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 b = 8 cm l = BC = AC = 5 cm Richieste Perimetro

Area

L’altezza relativa alla base divide un triangolo isoscele in due triangoli rettangoli congruenti

(𝐶𝐻 ⊥ 𝐴𝐵 e 𝐴𝐻 ≅ 𝐻𝐵). I triangoli rettangoli AHC e CHB hanno l’altezza in comune, l’altro

cateto congruente e l’angolo compreso retto.

ℎ = √𝑙2 − (𝑏

2)

2

ℎ = √52 − (8

2)

2

= √25 − 16 = √9 = 3 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

8 ∙ 3

2= 4 ∙ 3 = 12 𝑐𝑚2





Un triangolo isoscele ha il lato obliquo che misura 13 cm e il

perimetro di 36 cm. Calcola la misura dell’altezza relativa

alla base e l’area del triangolo.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 2p = 36 cm l = BC = AC = 13 cm Richieste Altezza relativa alla base Area

𝑏 = 2𝑝 − 2 ∙ 𝑙 = 36 − 2 ∙ 13 = 36 − 26 = 10 𝑐𝑚

ℎ = √𝑙2 − (𝑏

2)

2

ℎ = √132 − (10

2)

2

= √169 − 25 = √144 = 12 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

10 ∙ 12

2= 10 ∙ 6 = 60 𝑐𝑚2





Un triangolo isoscele ha la base di 12 cm e i lati obliqui di 10 cm.

Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 b = AB = 12 cm l = BC = AC = 10 cm Richieste Perimetro

Area

ℎ = √𝑙2 − (𝑏

2)

2

ℎ = √102 − (12

2)

2

= √100 − 36 = √64 = 8 𝑐𝑚

2𝑝 = 𝑏 + 2 ∙ 𝑙 = 12 ∓ 2 ∙ 10 = 12 + 20 = 32 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

12 ∙ 8

2= 12 ∙ 4 = 48 𝑐𝑚2





Calcola l’area e il perimetro di un triangolo isoscele la cui base misura

12 cm e l’altezza 8 cm.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 è 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 b = AB = 12 cm h = CH = 8 cm Richieste Perimetro

Area

𝑙 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 = √(𝑏

2)

2

+ ℎ2

𝑙 = √(12

2)

2

+ 82 = √36 + 64 = √100 = 10 𝑐𝑚

2𝑝 = 𝑏 + 2 ∙ 𝑙 = 12 + 2 ∙ 10 = 12 + 20 = 32 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

12 ∙ 8

2= 12 ∙ 4 = 48 𝑐𝑚2





Calcola l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro di 32 cm e il

lato obliquo di 12,5 cm.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 è 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 2p = 32 cm l = BC = AC = 12,5 cm Richiesta Area

𝑏 = 2𝑝 − 2 ∙ 𝑙 = 32 − 2 ∙ 12,5 = 32 − 25 = 7 𝑐𝑚

ℎ = √𝑙2 − (𝑏

2)

2

ℎ = √12,52 − (7

2)

2

= √156,25 − 12,25 = √144 = 12 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

7 ∙ 12

2= 7 ∙ 6 = 42 𝑐𝑚2





Calcolate l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro lungo 112

cm ed è uguale agli 8/3 della base.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 è 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 2p = 112 cm

2p =8

3b

Richiesta Area

𝑏 = 2𝑝 ∶8

3= 112 ∙

3

8= 14 ∙ 3 = 42 𝑐𝑚

𝑙 =2𝑝 − 𝑏

2=

112 − 42

2=

70

2= 35 𝑐𝑚

ℎ = √𝑙2 − (𝑏

2)

2

ℎ = √352 − (42

2)

2

= √1225 − 441 = √784 = 28 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

42 ∙ 28

2= 42 ∙ 14 = 588 𝑐𝑚2





Calcolate l’area e il perimetro di un triangolo isoscele che ha la base

lunga 80 cm e l’altezza pari ai 15/16 della base.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 è 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 b = 80 cm

h =15

16b

Richiesta 1. 2p; 2. Area

ℎ =15

16∙ 𝑏 =

15

16∙ 80 = 15 ∙ 5 = 75 𝑐𝑚

𝑙 = √(𝑏

2)

2

+ ℎ2 = √(80

2)

2

+ 752 = √1600 + 5625 = √7225 = 85 𝑐𝑚

2𝑝 = 2 ∙ 𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 85 + 80 = 250 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

80 ∙ 75

2= 40 ∙ 75 = 3000 𝑐𝑚2





Un triangolo isoscele ha la base di 6 cm e l’altezza è i 2/3 della base.


Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 è 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 b = 6 cm

h =2

3b

Richiesta 1. 2p; 2. Area

ℎ =2

3𝑏 =

2

3∙ 6 = 2 ∙ 2 = 4 𝑐𝑚

𝑙 = √(𝑏

2)

2

+ ℎ2 = √(6

2)

2

+ 4 = √9 + 16 = √25 = 5 𝑐𝑚

2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 5 + 4 = 10 + 4 = 14 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

6 ∙ 4

2= 3 ∙ 4 = 12 𝑐𝑚2





Calcola il perimetro e l’area di un triangolo isoscele che ha la base

e l’altezza lunghe rispettivamente 12 dm e 3,2 dm.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 è 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 b = 12 dm h = 3,2 dm Richiesta 1. 2p; 2. Area

𝑙 = √(𝑏

2)

2

+ ℎ2 = √(12

2)

2

+ 3,2 = √36 + 10,24 = √46,24 = 6,8 𝑑𝑚

2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 6,8 + 12 = 13,6 + 12 = 25,6 𝑑𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

12 ∙ 3,2

2= 6 ∙ 3,2 = 19,2 𝑑𝑚2





Un triangolo isoscele la somma della base e di un lato obliquo è 8 m

mentre la loro differenza misura 2 m. Calcola il perimetro e l’area del

triangolo.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 b + l = 13 cm b − l = 3 cm Richieste 1. 2p; 2. Area

𝑏 =(𝑏 + 𝑙) + (𝑏 − 𝑙)

2=

13 + 3

2=

16

2= 8 𝑐𝑚

𝑏 =(𝑏 + 𝑙) − (𝑏 − 𝑙)

2=

13 − 3

2=

10

2= 5 𝑐𝑚

ℎ = √𝑙2 − (𝑏

2)

2

√52 − (8

2)

2

= √25 − 16 = √9 = 3 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

8 ∙ 3

2= 4 ∙ 3 = 12 𝑐𝑚2





In un triangolo isoscele il rapporto tra la base e la sua altezza è 3/2 e

la somma di queste due misure è 30 cm. Calcola il perimetro e l’area

del triangolo.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 𝑏 + ℎ = 30 𝑐𝑚

b =3

2h

Richieste 1. 2p; 2. Area

3

2+

2

2=

5

2

ℎ = 30:5

2= 30 ∙

2

5= 6 ∙ 2 = 12 𝑐𝑚

𝑏 = (𝑏 + ℎ) − ℎ = 30 − 12 = 18 𝑐𝑚

𝑙 = √(𝑏

2)

2

+ ℎ2 = √(18

2)

2

+ 12 = √81 + 144 = √225 = 15 𝑐𝑚

2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 15 + 18 = 30 + 18 = 48 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

18 ∙ 12

2= 18 ∙ 6 = 108 𝑐𝑚2





Un triangolo isoscele ha la base di 30 cm e il lato obliquo è i 13/10

della base. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 𝑏 = 30 𝑐𝑚

l =13

10b


𝑙 =13

10∙ 30 = 13 ∙ 3 = 39 𝑐𝑚

ℎ = √𝑙2 − (𝑏

2)

2

= √392 − (30

2)

2

= √1521 − 225 = √1296 = 36 𝑐𝑚

2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 39 + 30 = 78 + 30 = 108 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

30 ∙ 36

2= 15 ∙ 36 = 540 𝑐𝑚2





Un triangolo isoscele ha la base di 28 cm e l’altezza è i 12/7 della base.


Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 𝑏 = 28 𝑐𝑚

h =12

7b


ℎ =12

7∙ 𝑏 =

12

7∙ 28 = 12 ∙ 4 = 48 𝑐𝑚

𝑙 = √ℎ2 + (𝑏

2)

2

= √482 + (28

2)

2

= √2304 + 196 = √2500 = 50 𝑐𝑚

2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 50 + 28 = 100 + 28 = 128 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

28 ∙ 48

2= 14 ∙ 48 = 672 𝑐𝑚2





Calcolate l’area e il perimetro di un triangolo isoscele che ha la base,

pari ai 5/6 dell’altezza a essa relativa, lunga 40 cm.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 𝑏 = 40 cm

h =5

6b


ℎ =6

5𝑏 =

6

5∙ 40 = 6 ∙ 8 = 48 𝑐𝑚

𝑙 = √(𝑏

2)

2

+ ℎ2 = √(40

2)

2

+ 482 = √400 + 2304 = √2704 = 52 𝑐𝑚

2𝑝 = 2𝑙 + 𝑏 = 2 ∙ 52 + 40 = 144 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

40 ∙ 48

2= 20 ∙ 48 = 960 𝑐𝑚2





Calcolate l’area di un triangolo isoscele che ha il perimetro di 196 cm e la base di 48 cm.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 𝑏 = 48 cm 2p = 196 cm Richiesta Area

𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 =2𝑝 − 𝑏

2=

196 − 48

2=

148

2= 74 𝑐𝑚

ℎ = √𝑙2 − (𝑏

2)

2

= √742 − (48

2)

2

= √5476 − 576 = √4900 = 70 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

48 ∙ 70

2= 24 ∙ 70 = 1680 𝑐𝑚2





In un triangolo isoscele la base misura 27 cm e l’altezza è i 2/3 della

base. Calcola la misura dell’area del triangolo.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 𝑏 = 27 cm

h =2

3b


ℎ =2

3𝑏 =

2

3∙ 27 = 2 ∙ 9 = 18 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏ℎ

2=

27 ∙ 18

2= 27 ∙ 9 = 243 𝑐𝑚2

𝑙 = √ℎ2 + (𝑏

2)

2

= √182 + (27

2)

2

= √324 + 182,25 = √506,25 = 22,5 𝑐𝑚

2𝑝 = 𝑏 + 2𝑙 = 27 + 2 ∙ 22,5 = 27 + 45 = 72 𝑐𝑚





Il perimetro di un triangolo isoscele misura 32 cm. Calcolate l'area del

triangolo sapendo che la base misura 1,2 dm.

Dati e relazioni 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 2𝑝 = 32 𝑐𝑚 b = AB = 1,2 dm Richieste 1. 2p; 2. Area

1,2 𝑑𝑚 = 12 𝑐𝑚

𝑙 =2𝑝 − 𝑏

2=

32 − 12

2=

20

2= 10 𝑐𝑚

ℎ = √𝑙2 − (𝑏

2)

2

= √102 − (12

2)

2

= √100 − 36 = √64 = 8 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

12 ∙ 8

2= 6 ∙ 8 = 48 𝑐𝑚2

A B

C

H

K





Keywords

Geometria, Geometria piana, teorema di Pitagora, Pitagora, Equivalenza, Misura delle aree, Area, Superficie,

Triangolo, Triangolo isoscele, Triangolo rettangolo, Triangoli, Problemi di geometria con soluzioni

Geometry, Pythagoras, Pythagoras’s theorem, Area, Area Measurement, Triangle, Triangles, triangle

equilateral, triangle isosceles, triangle scalene, Geometry Problems with Solutions

Geometría, Área, Superficie, Perímetro y áreas de figures planes, triángulos, triángulo, equilátero, isósceles,

escaleno, Área figures planes

Géométrie, Pythagore, Théorème de Pythagore, Aire, Triangle, Isocèle, équilatéral, scalène, Superficie, Aires

et périmètres

Geometrie, Umfang, Fläche, Triangel, Dreieck, spitzwinkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck,

stumpfwinkliges Dreieck, Satz des Pythagoras, Pythagoras, Dreiecksgeometrie, Satz, Mathematik

Teorema de Pitàgores Stelling van Pythagoras Pisagor teoremi Πυθαγόρειο θεώρημα Den pythagoræiske læresætning Teorema de Pitágoras Pythagoras’ læresetning Pythagoras sats Pythagoraan lause Теорема Піфагора Pythagorova věta Twierdzenie Pitagorasa Teorema lui Pitagora

اغورسفيث مبرهنة 勾股定理

ピタゴラスの定理



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