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Teorema di Pitagora. Esercizi di riepilogo. Completi di soluzione guidata. - 1

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Problemi di geometra piana sul teorema di Pitagora. Completi di soluzione guidata. Problems involving Pythagoras Theorem (Geometry)

1. In un rettangolo la somma e la differenza tra la sua diagonale e la sua altezza è di 36 cm e 25

cm. Calcola il perimetro di un rettangolo equivalente e che ha la base di 33 cm.

soluzione

2. In un trapezio scaleno ABCD la base maggiore AB e divisa dalle proiezioni dei lati obliqui

DH e CK in tre parti. Il segmento AH è di 6,4 cm, il segmento centrale HK è la metà di AH e il

segmento BK è i 7/16 di HK. Sapendo che il trapezio è alto 4,8 cm calcola la misura del

perimetro e dell’area.

soluzione

3. Un’aiuola ha la parte centrale di forma rettangolare, con le dimensioni di 30 cm e 12 cm, ed è

contornata da quattro triangoli isosceli tutti di altezza uguale a 8 cm. Calcola l’area e il perimetro

dell’aiuola.

soluzione

4. Del campanile in figura si conosce la misura della base pari

a 4 m e della diagonale del rettangolo di base che misura 40,1

m. Calcola l’altezza totale del campanile sapendo che il lato

obliquo del triangolo isoscele che forma il tetto misura 2,5 m.

soluzione

5. La figura rappresenta la pianta di un’aiuola. Si conoscono

la diagonale minore del rombo e la dimensione maggiore del

rettangolo in figura, che misurano rispettivamente 3 m e 3,4

m. Calcola l’area e il perimetro dell’aiuola.

soluzione

6.

Con una teleferica si deve trasportare del legname da un punto A ad un punto B. Il punto A si

trova a 849 m s.l.m., il punto B si trova a 800 m s.l.m. e la distanza tra i due punti sulla mappa è

di 168 m. Di quanta fune si deve disporre se servono ulteriori 3 m per ognuno degli ancoraggi.

soluzione

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7. Sui lati di un rettangolo ed esternamente a esso, sono costruiti quattro triangoli isosceli, a due

a due uguali, aventi per basi i lati del rettangolo e aventi tutti la stessa altezza di 24 cm. Sapendo

che il perimetro del rettangolo è di 112 cm e che una dimensione è 5/9 dell’altra, determina il

perimetro e l’area della figura ottenuta.

soluzione

8. Un triangolo rettangolo ha la diagonale di 65 dm e la base di 52 cm. Calcola il perimetro di un

quadrato che ha l’area che è un terzo di quella del rettangolo.

soluzione

9. Un trapezio rettangolo è equivalente a un rombo il cui perimetro misura 44 cm e la cui

diagonale minore misura 13,2 cm. Il lato obliquo del trapezio misura 6,1 cm e la sua altezza

misura 6 cm. Calcola la misura delle basi del trapezio.

soluzione






Soluzioni

In un rettangolo la somma e la differenza tra la sua diagonale e la sua

altezza è di 36 cm e 25 cm. Calcola il perimetro di un rettangolo

equivalente e che ha la base di 33 cm.

Dati e relazioni 𝑑 + ℎ = 36 𝑐𝑚

𝑑 − ℎ = 25 𝑐𝑚

𝐴1 = 𝐴2

𝑏2 = 33 𝑐𝑚

Richieste

Perimetro rettangolo

b=33 cm

Primo rettangolo

ℎ =𝑠𝑜𝑚𝑚𝑎 − 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎

2=

36 − 25

2=

11

2= 5,5 𝑐𝑚

𝑑 = 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑎 − ℎ = 36 − 5,5 = 30,5 𝑐𝑚

𝑏 = √𝑑2 − ℎ2 = √30,52 − 5,52 = √930,25 − 30,25 = √900 = 30 𝑐𝑚

𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ = 30 ∙ 5,5 = 165 𝑐𝑚2

Secondo rettangolo equivalente al primo

𝐴 = 165 𝑐𝑚2

ℎ =𝐴

𝑏=

165

33=

55

11= 5 𝑐𝑚

2𝑝 = 2(𝑏 + ℎ) = 2(33 + 5) = 190 𝑐𝑚






In un trapezio scaleno ABCD la base maggiore AB e divisa dalle

proiezioni dei lati obliqui DH e CK in tre parti. Il segmento AH è di 6,4

cm, il segmento centrale HK è la metà di AH e il segmento BK è i 7/16 di

HK. Sapendo che il trapezio è alto 4,8 cm calcola la misura del perimetro e

dell’area.

Dati e relazioni

𝐴𝐻 = 6,4 𝑐𝑚

𝐻𝐾 =𝐴𝐻

2

𝐵𝐾 =7

16𝐻𝐾

ℎ = 𝐷𝐻 = 𝐶𝐾 = 48 𝑐𝑚

Richieste

Perimetro e area

𝐴𝐻 = 6,4 𝑐𝑚

𝐻𝐾 = 𝑏2 =𝐴𝐻

2=

6,4

2= 3,2 𝑐𝑚

𝐵𝐾 =7

16𝐻𝐾

7

2∙ 0,4 = 7 ∙ 0,2 = 1,4 𝑐𝑚

𝐴𝐷 = 𝑙1 = √𝐴𝐻2 + 𝐷𝐻2 = √6,42 + 4,82 = √64 = 8 𝑐𝑚

𝐵𝐶 = 𝑙2 = √𝐵𝐾2 + 𝐷𝐻2 = √1,42 + 4,82 = √25 = 5 𝑐𝑚

𝑏1 = 𝐻𝐾 + 𝐴𝐻 + 𝐵𝐾 = 6,4 + 3,2 + 1,4 = 11 𝑐𝑚

2𝑝 = (𝑙1 + 𝑙2) + 𝑏1 + 𝑏2 = 8 + 5 + 11 + ,2 = 136 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏1 + 𝑏2

2∙ ℎ =

11 + 3,2

2∙ 4,8 = 14,2 ∙ 2,4 = 34,08 𝑐𝑚2






Un’aiuola ha la parte centrale di forma rettangolare, con le dimensioni di

30 cm e 12 cm, ed è contornata da quattro triangoli isosceli tutti di altezza

uguale a 8 cm. Calcola l’area e il perimetro dell’aiuola.

Dati e relazioni

𝑏 = 30 𝑐𝑚

ℎ = 12 𝑐𝑚

𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑖 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑖

ℎ = 8 𝑐𝑚

Richieste

Perimetro e area

Ci sono due tipi di triangoli rettangoli con base pari alla metà delle

dimensioni del rettangolo.

𝑏𝑡𝑟1 =𝑏

2=

30

2= 15 𝑐𝑚

𝑏𝑡𝑟2 =ℎ

2=

12

2= 6 𝑐𝑚

𝑙1 = √𝑏𝑡𝑟12 + ℎ2 = √152 + 82 = √225 + 64 = √289 = 17 𝑐𝑚

𝑙2 = √𝑏𝑡𝑟22 + ℎ2 = √62 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10 𝑐𝑚

2𝑝 = 4 ∙ 𝑙1 + 4 ∙ 𝑙2 = 4 ∙ 17 + 4 ∙ 10 = 68 + 40 = 108 𝑐𝑚

Ogni coppia di triangoli congruenti forma un rettangolo.

𝐴 = 30 ∙ 12 + 30 ∙ 8 + 12 ∙ 8 = 696 cm2






Del campanile in figura si conosce la misura della base pari a 4 m e della

diagonale del rettangolo di base che misura 40,1 m. Calcola l’altezza totale

del campanile sapendo che il lato obliquo del triangolo isoscele che forma

il tetto misura 2,5 m.

ℎ(𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜) = √40,12 − 42 = √1592,01 = 39,9 𝑚

ℎ(𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜) = √2,52 − 22 = √6,25 − 4 = √2,25 = 1,5 𝑚

ℎ = ℎ(𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜) + ℎ(𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜) = 39,9 + 1,5 = 41,4 𝑚






La figura rappresenta la pianta di un’aiuola. Si conoscono la

diagonale minore del rombo che misura 6 m e la dimensione

maggiore del rettangolo in figura, che misura1,6 m. Calcola

l’area e il perimetro dell’aiuola.

𝑙 = √𝑏2 + (𝑑2

2)

2

= √1,62 + (6

2)

2

= √2,56 + 9 = √11,56 = 3,4 𝑚

2𝑝 = 3 ∙ 𝑙 + 𝑏 + ℎ = 3 ∙ 3,4 + 1,6 +6

2= 14,8 𝑚

𝐴(𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜) =𝑑1 ∙ 𝑑2

2=

2 ∙ 1,6 ∙ 6

2= 1,6 ∙ 6 = 9,6 𝑐𝑚2

𝐴(𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜) =𝑏 ∙ ℎ

2=

1,6 ∙ 3

2= 0,8 ∙ 3 = 2,4 𝑚2

𝐴𝑡 = 9,6 + 3,4 = 𝐴(𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜) + 𝐴(𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜) = 12 𝑚2






Con una teleferica si deve trasportare del legname da un punto

A ad un punto B. Il punto A si trova a 849 m s.l.m., il punto B

si trova a 800 m s.l.m. e la distanza tra i due punti sulla mappa è

di 168 m. Di quanta fune si deve disporre se servono ulteriori 3

m per ognuno degli ancoraggi.

A

B

168 m

ℎ𝐴 − ℎ𝐵 = 849 − 800 = 49 𝑚

𝑙(𝑓𝑢𝑛𝑒) = √1682 + 492 = √28224 + 2401 = √30625 = 175 𝑚

𝑙𝑡 = 𝑙(𝑓𝑢𝑛𝑒) + 3 ∙ 2 = 175 + 6 = 181 𝑚






Sui lati di un rettangolo ed esternamente a esso, sono costruiti quattro

triangoli isosceli, a due a due uguali, aventi per basi i lati del rettangolo e

aventi tutti la stessa altezza di 24 cm. Sapendo che il perimetro del

rettangolo è di 112 cm e che una dimensione è 5/9 dell’altra, determina il

perimetro e l’area della figura ottenuta.

Dati e relazioni

2𝑝 = 112 𝑐𝑚

𝑏 =2

5ℎ

𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑖 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑖

ℎ = 24 𝑐𝑚

Richieste

Perimetro e area

Ci sono due tipi di triangoli rettangoli con base pari alla metà delle

dimensioni del rettangolo.

𝑝 =2𝑝

2=

112

2= 56 𝑐𝑚

𝑏 = 5 ∙𝑝

9 + 5= 5 ∙

56

14= 5 ∙ 4 = 20 𝑐𝑚

ℎ = 𝑝 − 𝑏 = 56 − 20 = 36 𝑐𝑚

I triangoli sono a base 20 cm e a base 36 cm.

b|-x-|-x-|

h|-x-|-x-|-x-|-x-|-x-|

𝑙1 = √242 + (20

2)

2

= √576 + 100 = √676 = 26 𝑐𝑚

𝑙1 = √242 + (36

2)

2

= √576 + 324 = √900 = 30 𝑐𝑚

2𝑝 = 4 ∙ 𝑙1 + 4 ∙ 𝑙2 = 4 ∙ 26 + 4 ∙ 30 = 104 + 120 = 224 𝑐𝑚

Ogni coppia di triangoli congruenti forma un rettangolo.

𝐴1 = 𝑏 ∙ ℎ = 20 ∙ 24 = 480 cm2

𝐴2 = 𝑏 ∙ ℎ = 36 ∙ 24 = 864 cm2

𝐴𝑡 = 𝐴1 + 𝐴2 = 480 + 864 = 1344 cm2






Un triangolo rettangolo ha la diagonale di 65 dm e la base di 52 cm. Calcola il perimetro di un

quadrato che ha l’area che è un terzo di quella del rettangolo.

Rettangolo

ℎ = √𝑑2 − 𝑏2 = √652 − 522 = √4225 − 2704 = √1521 = 39 𝑐𝑚

𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ = 52 ∙ 39 = 2028 𝑐𝑚2

Quadrato

𝐴(𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜) =1

3𝐴(𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜) =

2028

3= 676 𝑐𝑚2

𝑙 = √𝐴 = √676 = 26 𝑐𝑚

2𝑝 = 4 ∙ 𝑙 = 4 ∙ 26 = 104 𝑐𝑚






Un trapezio rettangolo è equivalente a un rombo il cui perimetro misura 44 cm e la cui diagonale

minore misura 13,2 cm. Il lato obliquo del trapezio misura 6,1 cm e la sua altezza misura 6 cm.

Calcola la misura delle basi del trapezio.

ROMBO

𝑙 =2𝑝

4=

44

4 = 11 𝑐𝑚

𝑑2

2 =

13,2

2 = 6,6 𝑐𝑚

𝑑1

2= √𝑙2 − 𝑑2

2 = √112 − 6,62 = √121 − 43,56 = √77,44 = 8,8 𝑐𝑚

𝑑1 = 2 ∙ 8,8 = 17,6 𝑐𝑚

𝐴 =𝑑1 ∙ 𝑑2

2=

13,2 ∙ 17,6

2= 116,16 𝑐𝑚2

TRAPEZIO RETTANGOLO

ℎ = 6 𝑐𝑚

𝑙 = 6,1 𝑐𝑚

𝑏1 − 𝑏2 = √𝑙2 − ℎ2 = √6,12 − 62 = √37,31 − 36 = √1,21 = 1,1 𝑐𝑚

Essendo

𝐴 =𝑏1 + 𝑏2

2∙ ℎ

𝑏1 + 𝑏2 =2 ∙ 𝐴

ℎ=

2 ∙ 116,16

6 =

116,16

3= 38,72 𝑐𝑚

𝑏2 =38,72 − 1,1

2 = 18,81 𝑐𝑚

𝑏1 = 𝑏2 + 1,1 = 18,81 + 1,1 = 19,91 𝑐𝑚






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