Il teorema di Pitagora nel suo sviluppo storico Veronica Gavagna Università di Salerno.
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1 Il Teorema di Pitagora I Enunciato del teorema: In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. II Enunciato del teorema: In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.
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Il Teorema di Pitagora
I Enunciato del teorema:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente
alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.
II Enunciato del teorema:
In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è
equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.
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APPLICAZIONE:
Quindi per l’enunciato del Teorema di Pitagora:
da cui si ottengono le formule inverse:
Estraendo la radice quadrata si ottiene:
√
√
√
Esempio:
Dato un triangolo rettangolo con l’ipotenusa di 25 cm e un cateto di 20 cm,
calcolare l’altro cateto.
i=25cm c=?
C=20cm
√
√ √ √
3
Def:
Si dice TERNA PITAGORICA un insieme di tre numeri tali che la somma dei
quadrati dei due numeri minori è uguale al quadrato del numero maggiore:
Esempio:
formano una terna pitagorica, infatti:
5, 12, 13
OSSERVAZIONE:
le terne pitagoriche possono essere utilizzate sfruttando la proprietà invariantiva,
ovvero moltiplicando i tre numeri per uno stesso fattore:
(moltiplico tutti i numeri per 2):
6, 8, 10
36 64 = 100
(moltiplico per 3)
9, 12, 15
81 + 144 = 225
Proprietà:
in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa si calcola nel seguente
modo:
oppure
Uguagliando le due formule:
Semplifichiamo i denominatori:
4
Per la formula inversa:
oppure
Applicazioni del Teorema di Pitagora
La diagonale del rettangolo individua due TRIANGOLI RETTANGOLI:
DIAGONALE = ipotenusa del triangolo rettangolo
BASE e ALTEZZA = cateti del triangolo rettangolo
Quindi: √
Formule inverse: √
√
La diagonale divide il quadrato in due TRIANGOLI
RETTANGOLI ISOSCELI:
Diagonale = ipotenusa
Lato = cateto
√ √ √ √ √
FORMULA INVERSA
√
√
5
La radice al denominatore non si lascia, si deve RAZIONALIZZARE:
moltiplicare numeratore e denominatore per √
√ √
√
√
√
√
Il lato si trova facendo:
√
Esempio:
l=?
√
√ √
Esempio:
l = 15 cm d = ?
√ √
Il triangolo rettangolo isoscele è esattamente la metà di un
quadrato:
IPOTENUSA = diagonale del quadrato
CATETI = lato del quadrato
Quindi, se √ allora
√
Se
√ allora
√
6
Dividendo a metà un triangolo EQUILATERO, si trovano due
triangoli RETTANGOLI con un angolo di e uno di :
IPOTENUSA = lato del triangolo Equilatero
CATETO MAGGIORE = altezza del triangolo Equilatero
CATETO MINORE = metà del lato
Per trovare l’ALTEZZA del triangolo Equilatero:
√
Dove: e
Allora:
√ (
)
√
√
√(
)
√
√
√
In un triangolo equilatero l’altezza si calcola:
√
7
Esempio:
triangolo equilatero di lato = 20 cm, calcolare l’altezza.
√ √
FORMULA INVERSA:
√
√
Si deve razionalizzare il denominatore, moltiplicando per √
√ :
√ √
√
√
√
√
In un triangolo equilatero il lato si calcola:
√
Esempio:
triangolo equilatero, con h=27 cm. Calcolare il perimetro e l’area.
h=27 cm P=? A=?
√ √
√ √
√
√
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L’altezza del triangolo isoscele è anche MEDIANA:
divide a metà la base.
Il triangolo HBC è rettangolo, con:
ipotenusa = lato del triangolo isoscele
cateto =
cateto = altezza del triangolo isoscele
Quindi: √
e
√(
)
Formule inverse:
√
√ (
)
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Riepilogo sul Teorema di Pitagora applicato ai triangoli
È LA META’ DI UN QUADRATO
√
√
√
È LA META’ DI UN TRIANGOLO EQUILATERO
√
√
√
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Le diagonali dividono il rombo in 4 triangoli rettangoli
congruenti:
ipotenusa = lato del rombo
cateto =
(diagonale maggiore diviso 2)
cateto =
(diagonale minore diviso 2)
√(
)
(
)
√ (
)
Ci sono tre casi possibili:
a) L’altezza CH individua un triangolo
rettangolo CHB:
ipotenusa = lato obliquo
cateto = h (altezza)
cateto = (B - b) (proiezione del lato sulla base maggiore)
√
√
√
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b) La diagonale maggiore individua un triangolo
rettangolo ABD:
Ipotenusa = D (diagonale maggiore)
Cateto = h
Cateto =B (base maggiore)
√
√
√
c) la diagonale minore individua il triangolo ACD:
Ipotenusa = d (diagonale minore)
Cateto = h
Cateto = b
Le altezze individuano due triangoli rettangoli
congruenti:
Ipotenusa = lato obliquo del trapezio
Cateto = h
Cateto =
(proiezione del lato obliquo
sulla base maggiore)
Per calcolare il LATO OBLIQUO del TRAPEZIO:
√ (
)
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La diagonale e l’altezza individuano il triangolo rettangolo ACH, costituito da:
Cateto = h
Cateto = (
)
Ipotenusa = d
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