Il teorema di Il teorema di PitagoraPitagoranel suo sviluppo storiconel suo sviluppo storico

Veronica GavagnaVeronica Gavagna

Università di SalernoUniversità di Salerno

In letteratura…In letteratura…

Posso affermare, senza tema di smentita, che la legge di Pitagora esprime una verità eterna. Ancor prima che il sole splendesse nel firmamento, ancor prima che ci fosse aria da respirare, il quadrato dell’ipotenusa era uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati.

Malba Tahan, Una perla pericolosa, in

L’uomo che sapeva contare. Una raccolta di avventure matematiche, Salani, 1996.

In letteratura…In letteratura…

Esaminando i libri di geometria, si chiese se davvero valeva la pena saper leggere; di quei testi conservò una lunga frase che tirava fuori nei momenti di malumore: “In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è il lato opposto all’angolo retto”. Frase che in seguito avrebbe causato stupore tra gli abitanti di El Idilio, che la accoglievano come uno scioglilingua assurdo o un’abiura inoppugnabile.

L.Sepulveda, Il vecchio che leggeva romanzi d’amore, Guanda 1993.

Se il mondo rinuncia all’arte di Se il mondo rinuncia all’arte di ricordarericordare

… Che cosa vale la pena di tenere a mente, di mettere nel proprio teatro della memoria? Quel che ci mettevamo fino a poco tempo fa? Per esempio le tabelline, il teorema di Pitagora, il Cinque Maggio, i Dieci Comandamenti, la data di Waterloo, le declinazioni latine, i numeri telefonici…

Marino Niola (La Repubblica 7 marzo 2011)

Il caso Scafroglia… Il caso Scafroglia…

Lo sapevate?? Il quadrato costruito sull’ipotenusa è il doppio di quello sui cateti… ma la qualità è scadente e dopo un anno lo butti! È così! È capitato a mia sorella! Fidatevi!

Corrado Guzzanti, Il caso Scafroglia 2002

Fra i matematici…Fra i matematici…

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

9292 dimostrazioni del Teorema di Pitagora

Elisha Scott Loomis, The Pythagorean proposition (ristampa,

1968)

397397 dimostrazioni

Molte etichetteMolte etichette

Ponte degli asini (in Francia) Dulcarnon (“proprietario di due corna”)Teorema del mulino a ventoTeorema della giovane sposa Teorema della sedia della sposa

Teorema dell’ipotenusa

IlIl teorema di Pitagora teorema di Pitagoraè di Pitagora ?è di Pitagora ?

Pitagora Pitagora (Samo 575 a.C.– Metaponto 495 a.C)

AcusmaticiAcusmatici: discepoli che ascoltavano le lezioni del maestro, venendo così a conoscenza dei soli precetti pratici della dottrina

MatematiciMatematici: discepoli iniziati alle dottrine segrete

IlIl teorema di Pitagora teorema di Pitagoraè di Pitagora ?è di Pitagora ?

• Non esiste alcuna testimonianza anteriore al I sec. a.C. di un’attività scientifica (e matematica in particolare) di Pitagora

• Unica eccezione parrebbe il distico di Apollodoro

Come quando Pitagora scoprì la famosa Come quando Pitagora scoprì la famosa figurafigura

Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoibuoi

Come quando Pitagora scoprì la Come quando Pitagora scoprì la famosa figurafamosa figura

Per la quale offrì un glorioso sacrificio Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoiai buoi

PlutarcoPlutarco (I-II sec.)

Diogene LaerzioDiogene Laerzio (II-III sec.) identificano Apollodoro con Apollodoro

il Calcolatore (IV sec. a.C.) ma è arbitrario

VitruvioVitruvio (I sec. a.C.) cita il sacrificio a proposito della terna 3,4,5

Proclo Diadoco (V sec.)Proclo Diadoco (V sec.)In primum Euclidis Elementorum libri commentariiIn primum Euclidis Elementorum libri commentarii

Se si crede a coloro che vogliono indagare gli avvenimenti antichi, si potrà anche trovare qualcuno che attribuisce il teorema a Pitagora e che assicura che egli abbia sacrificato un bue dopo la scoperta. Quanto a me, seppure sia meravigliato di coloro che per primi hanno riconosciuto la verità del teorema, ammiro ancora di più l’autore degli Elementi non solamente per la dimostrazione che ha provato definitivamente il teorema, ma anche per la generalizzazione che ne ha dato nel libro VI…

IlIl teorema di Pitagora teorema di Pitagoraè di Pitagora ?è di Pitagora ?

• Proclo è scettico sull’attribuzione a Pitagora del teorema

• Attribuisce esplicitamente la dimostrazione a Euclide

Le fonti sembrano attestare a Le fonti sembrano attestare a Pitagora o ai pitagorici una Pitagora o ai pitagorici una qualche scoperta matematica, qualche scoperta matematica, ma non sono concordi su quale ma non sono concordi su quale potesse essere.potesse essere.

IlIl teorema di Pitagora teorema di Pitagoraè di Pitagora ?è di Pitagora ?

• Il teorema di Pitagora quasi Il teorema di Pitagora quasi certamente NON è di Pitagoracertamente NON è di Pitagora

• L’attribuzione a Pitagora tuttavia si consolida e si conserva anche nelle edizioni rinascimentali degli Elementi

Federico CommandinoFederico CommandinoDe gli Elementi d’Euclide libri quindidici (1575)De gli Elementi d’Euclide libri quindidici (1575)

Questo theorema è attribuito à Pythagora, & dicono che quando egli l’hebbe trovato sacrificò un bue. Ma quello che scrive Euclide nel sesto è molto piu universale, perche dimostra che ne triangoli rettangoli la figura che si fa dal lato sottoposto all’angolo retto è uguale alle figure fatte da i lati, che l’angolo retto contengono, simili & similmente descritte.

Cristoforo Clavio S.J.Cristoforo Clavio S.J.RecensioRecensio degli degli ElementiElementi (1574) (1574)

Possiamo congetturarePossiamo congetturareun’attribuzione?un’attribuzione?

Prima di tutto dobbiamo distinguere fra

teoremateorema e regolaregola

Civiltà babiloneseCiviltà babilonese

1. Tavoletta Yale 7289

2. Tavoletta Plimpton 322

3. Tavoletta di Susa

4. Tavoletta Tell Dhibayi

Tavoletta YBC 7289Tavoletta YBC 72891900 a.C. – 1600 a.C.

Tavoletta YBC 7289Tavoletta YBC 72891900 a.C. – 1600 a.C.

Sul lato del quadrato (in forma decimale)

3030Sulla diagonale

1,4142131,414213 (~ √2)

42,4263942,42639 = 30 * 1,414213

Tavoletta Plimpton 322Tavoletta Plimpton 322Columbia UniversityColumbia University

Tavoletta di SusaTavoletta di Susa

Determinare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo isoscele di lato e base noti

Tavoletta di Tell DhibayiTavoletta di Tell Dhibayi Determinare l’area di un rettangolo

di cui sono noti l’area e la diagonale

Tavoletta BM 85 196Tavoletta BM 85 196~ 1700 a.C.~ 1700 a.C.

Una trave lunga 0;30 GAR è appoggiata a un muro.

La sua altezza da terra è 0;60 GAR più bassa di quanto sarebbe se fosse appoggiata verticalmente al muro.

Quanto dista la base della trave dal muro?

SulbasutraSulbasutra 1500 a.c - 200 a.C. 1500 a.c - 200 a.C.

I Sulbasutra raccolgono varie regole di misurazione

Baudhayana Sulbasutra Baudhayana Sulbasutra (800 a.C.)(800 a.C.)

La fune che è stesa lungo la diagonale di un quadrato produce un’area doppia del quadrato originale

Matematica cineseMatematica cinese

Chou Pei Suan Ching(Il libro dello gnomone e

delle orbite circolari)

Teorema Kou ku (Gou Gu)

Il problema del bambù Il problema del bambù spezzatospezzato

Chiu Chang Shuan Shu(I nove capitoli di arte

matematica) 206 a.C. -220 d.C. – 246 problemi

Un bambù alto 32 cubiti si è spezzato a causa del vento. La sua estremità superiore tocca il terreno ad una distanza di 16 cubiti dalla base del fusto.Dimmi, o matematico, a quale altezza si trova la frattura?

Pier Maria CalandriPier Maria CalandriAritmetica (1491)Aritmetica (1491)

Pier Maria CalandriPier Maria CalandriAritmetica (1491)Aritmetica (1491)

Pier Maria CalandriPier Maria CalandriAritmeticaAritmetica

La dimostrazione del La dimostrazione del teoremateorema

Il caso del triangolo rettangolo isoscele

si “vede” immediatamente

Il Il MenoneMenone di Platone di Platone

• Socrate.Socrate. Coloro che se Coloro che se intendono chiamano intendono chiamano questa linea diagonale questa linea diagonale sicché, se essa ha sicché, se essa ha nome diagonale, allora nome diagonale, allora dalla diagonale, come dalla diagonale, come tu dici, o ragazzo di tu dici, o ragazzo di Menone, si può Menone, si può ottenere l’area ottenere l’area doppia. doppia.

• RagazzoRagazzo – Certamente, – Certamente, o Socrateo Socrate

Una dimostrazione Una dimostrazione visuale visuale generale?generale?

Il quadrato azzurroa destra è veramenteun quadrato?

Mondrian, Composizione con rosso,blu e giallo (1930)

I rischi delle dimostrazioni I rischi delle dimostrazioni visualivisuali

La dimostrazione di Euclide La dimostrazione di Euclide ElementiElementi, I.47, I.47

La dimostrazione del teorema sembra un po’ artificiale: esistono dimostrazioni più semplici ma non usano risultati così elementari.

Perché il “teorema di Pitagora” viene Perché il “teorema di Pitagora” viene collocato alla fine del primo libro collocato alla fine del primo libro degli degli ElementiElementi??

La quadraturaLa quadraturadelle figure rettilineedelle figure rettilinee

Nei primi due libri degli Elementi, Euclide affronta il problema della quadratura delle figure rettilinee. L’ultima proposizione del libro II recita

II.14II.14 Costruire un quadrato uguale Costruire un quadrato uguale a una figura rettilinea dataa una figura rettilinea data

Il teorema di Pitagora (I.47) è uno dei pilastri su cui poggia II.14

Il problema della Il problema della quadraturaquadratura

delle figure rettilineedelle figure rettilineePossibili strategie

Byrne’s edition (1847)Byrne’s edition (1847)

http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html

Byrne’s edition Byrne’s edition

GeneralizzazioniGeneralizzazioniProposizione II.12 degli Proposizione II.12 degli ElementiElementi

In un triangolo ottusangolo, il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo ottuso è maggiore dei due quadrati costruiti sui lati che contengono il quadrato

GeneralizzazioniGeneralizzazioniProposizione II.13 degli Proposizione II.13 degli ElementiElementi

GeneralizzazioniGeneralizzazioniProposizione VI.31 degli Proposizione VI.31 degli ElementiElementi

Le lunuleLe lunuledi Ippocrate di Chio (IV sec. di Ippocrate di Chio (IV sec.

a.C.)a.C.)

La proposizione VI.31 (th. di Pitagora esteso)

vale anche se costruiamo dei semicerchi sui lati

Le lunuleLe lunuledi Ippocrate di Chio (IV sec. di Ippocrate di Chio (IV sec.

a.C.)a.C.) Rosso = giallo +

Giallo

Rosso = triangolo + segmento + Segmento

Triangolo = lunula + Lunula

GeneralizzazioniGeneralizzazioniIl Il Teorema di PappoTeorema di Pappo ( (Collezioni matematicheCollezioni matematiche, ,

IV libro)IV libro)

Riferimenti bibliograficiRiferimenti bibliografici

A. Cerasoli, Mr. Quadrato, Sperling & Kupfer 2006

B.Vitrac, Sur Pythagore et le “théorème de Pythagore”, in Euclide, Les Éléments, PUF, vol.1 1990, pp.310-321

Pitagora e il suo teorema, a cura di E.Giusti, Firenze, Polistampa 2001

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=858%20