FUNZIONIELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

- DEFINIZIONE E RAPPRESENTAZIONE - FUNZIONE LINEARE (RETTA) - FUNZIONE ESPONENZIALE - FUNZIONE LOGARITMICA - RAPPRESENTAZIONE SEMILOGARITMICA - FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Lucidi del Prof. D. Scannicchio

1

FUNZIONI

esempioy = 5 x4 – 7 x2 + 8 x +12 – 3xfunzione polinomiale di 4° grado

y = f (x) x = variabile indipendentey = variabile dipendente

grado della funzione:

funzioni ad una variabile indipendente

massimo esponente della variabile x

2

FUNZIONI

y = a x + by = A ekx

funzione linearefunzione esponenziale

funzioni a più variabili : y = g(x,z)

y = sen xy = cos x

3

FUNZIONI

rappresentazione grafica: per punti

y=f(x)y

xo x1 x2 x3

y1y2

y3

y0

P1

P3

P0

P2

x = 0 y0 = f (x=0) P0(0,y0)

y1 = f (x1)y2 = f (x2)y3 = f (x3)

x = x1

x = x2

x = x3

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)P3(x3,y3)

......... ..................

4

FUNZIONE LINEARE : LA RETTA

y = a x + b

a

y

xob

b–

x = 0 y = by = 0 x = – b

a

5

y

xo

y = ax

b = 0

y = ax + b

b > 0 b

–b

y = ax + b'

b' < 0

FUNZIONE LINEARE : LA RETTA

6

y

xo

y = a2 x

y =a1 x

y = a3 x

a1 < a2 < a3

!

y = a3y = a2y = a1

x = 1

FUNZIONE LINEARE : LA RETTA

! = arctg aa = coefficiente angolare

FUNZIONI QUADRATICHE

parabola : y = a x2 + b x + cx

y

o

ellisse := 1

a2x2 y2

b2+y

xoa b

circonferenza : x2 + y2 = a2 xoa

iperbole :

y = kx

oppure y

x

y

xo o= 1a2x2 y2

b2–

8

FUNZIONE ESPONENZIALE

y = axy

xo

1

a > 1y = 1x = 1a=1

funzione esponenziale con base aa = numero reale positivo maggiore di 1

9

FUNZIONE ESPONENZIALEfunzione esponenziale con base aa = numero reale positivo compreso tra 0 e 1

y = ax

y

xo

0 < a < 11

10

FUNZIONE ESPONENZIALE

y

1

a > 1

23456

xo 1 2–1

y = 2x

y = 3xy = ax

11

FUNZIONE ESPONENZIALE

y

x

0 < a < 1

1o–1–2 1

2345y = 0.5x y = ax

y = ax = b–x

y = 0.5x = ( )x = 12 = 2–x 1

2x

b = 1 a

12

FUNZIONE ESPONENZIALE

a ! e = 2.718... y = ex

y = A eBx

in generale

y

123456

xo 1 2–1

789 funzione esponenziale

crescente

13

FUNZIONE ESPONENZIALE

y = e–xe = 2.718...

123456

xo 1 2–1

789

funzione esponenziale decrescente

y = A e–Bxin generale

14

FUNZIONE LOGARITMICA

y = ln x

o

1

2

–1

y

1 2 3 4 5 6 7–1

–2

8x

y = ln x ey = x

15

o

1

2

–1

y

1 2 3 4 5 6 7–1

–2

8x

y

123456

xo 1 2–1

789

FUNZIONE LOGARITMICA

y = ln x ey = x

16

RAPPRESENTAZIONE SEMI-LOGARITMICA

y = A eBx rappresentazione grafica

carta semilogaritmica : Y = Log yX = x

Y = Log y = Log (A eBx) = LogA + Log (eBx) =

= LogA + B x Log e =

Y = aX + bb = LogAa = B Log efunzione lineare (retta)

funzione esponenziale retta

17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

Xo

1

2

3

4y

104

103

10

124

86

24

86

24

86

24

86

95

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y = 10 e+0.75 x

Y = Log yX = x

RAPPRESENTAZIONE SEMI-LOGARITMICARAPPRESENTAZIONE SEMI-LOGARITMICA

18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

o

1

2

3

4y

104

103

100

10

1

24

86

24

86

24

86

24

86

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

y = 2 e0.5 x + 10 e0.15 x

y = 10000 e– 0.25 x

Y = Log yX = x

RAPPRESENTAZIONE SEMI-LOGARITMICARAPPRESENTAZIONE SEMI-LOGARITMICA

19

FUNZIONI TRIGONOMETRICHEfunzioni seno e coseno

y

xO!

P

Q

R

sen ! =

cos ! =

PQR

=PQOP

OQR

=OQOP

PQOP

OQOP

+2 2 2

2 =OPOP2 2

2= 2 1 = sen ! + cos !

20

FUNZIONI TRIGONOMETRICHEseno e coseno

! " y = sen "

y

90° 180° 270° 360°

+1

–1#/2 # 3#/2 2# 5#/2 3# radianti

!

y = cos " "90° 180° 270° 360°

#/2 # 3#/2 2# 5#/2 3#

+1

–1radianti

y

21

FUNZIONI TRIGONOMETRICHEseno e coseno

! "

y

180° 360°

+1

–1#/2 # 3#/2 2# 5#/2 3# radianti

y = cos "

y = sen "

270°90°

22

!

0°30°45°

60°90°

sen ! cos ! tg ! = sen !cos !

0

1

121232

13212120

0131

3

"

FUNZIONI TRIGONOMETRICHEseno - coseno - tangente

23

y

!R

T

V

P

Q

T'

O

PQOQ

=tg ! = TV

R

cos ! = sen ! OV

90° < ! < 180°

tg ! = T'V R < 0

– ! < tg " < + !

FUNZIONI TRIGONOMETRICHEtangente

24

applicazionirisoluzione triangolo rettangolo

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

a

b

c

!

"

A

B

C90°

a = c sen ! = c cos "b = c cos ! = c sen "

tg ! =

tg " =

a2 + b2 = c2

abba

25

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

relazioni trigonometriche utiliapplicazioni

! molto piccolo:sen ! " !cos ! " 1

tg ! " ! angoli α in radianti

sen ! + cos ! = 1 2

cos (–!) = cos !1

tg ! = cotg !1

cos ! = sec !

2 sen (–!) = – sen !tg (–!) = – tg !

1sen ! = cosec !

26

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

relazioni trigonometriche utiliapplicazioni

a = tg ! ! = arctg a

funzioni trigonometriche inverse:a = sen ! ! = arcsen aa = cos ! ! = arcos a

angoli α in radianti

27

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

y = A sen !t"

moto armonico, fenomeni ondulatori

applicazioni

T = periodo

! = pulsazione

!(t+T) – !t = 2" !T = 2" ! = 2"T = 2" #

! "t

y

90° 180° 270° 360°

+A

–A#/2 # 3#/2 2# 5#/2

tT

! = frequenza1T =