Funzioni Elementari 1/2 - mozzanica.net Dispense STB/2014-2015... · • Funzioni trigonometriche y...

Funzioni Elementari 1/2Funzioni Elementari 1/2• Funzioni Lineari :

• Funzione quadrato:

•Modulo

• Funzione omografica (iperbole):

• Funzioni Potenza:

qmxy +=

cbxaxy ++= 2

axy =

dcx

baxy

++=

xy =

1

• Funzioni Potenza:

• Funzione Esponenziale

• Funzione Logaritmica

• Funzioni trigonometriche

axy =xay =

)(log xy a=

===

)tan(

)cos(

)sin(

xy

xy

xy

Funzioni Elementari 2/Funzioni Elementari 2/22

• Conoscenza Proprietà Elementari• Monotonia• Invertibilità• Concavità• Simmetrie• Periodicità

2

• Periodicità• Conoscenza grafici elementari• Conoscenza grafici immediatamente riconducili ai grafici elementari

MonotoniaMonotonia

•Def. Funzione Monotona Crescente

•Def. Funzione Monotona Crescente in senso stretto

•Def. Funzione Monotona Decrescente

)()( con , 212121 xfxfxxAxx ≤→<∈∀

)()( con , 212121 xfxfxxAxx <→<∈∀

YXAf →⊆:

x1 x2

3

•Def. Funzione Monotona Decrescente

•Def. Funzione Monotona Decrescente in senso stretto

)()( con , 212121 xfxfxxAxx ≥→<∈∀

)()( con , 212121 xfxfxxAxx >→<∈∀

x1 x2

Le funzioni Monotone in senso stretto su tutto il campo di esistenza sono biunivoche e dunque invertibili

Funzioni Inverse e Monotonia 1/2Funzioni Inverse e Monotonia 1/2Teorema Se f è una funzione strettamente monotona allora f è iniettiva

Dim Si supponga f monotona crescente in senso stretto.

)()(con , 212121 xfxfxxAxx <→<∈∀RAf →:

Dimostriamo che f è iniettiva:

)()(con , 212121 xfxfxxAxx ≠→≠∈∀

212121 vel xxxxxxse ><→≠

4

)()f( 2121 xfxxxse <→<)()f( 2121 xfxxxse >→> Per la monotonia di f.

In entrambi i casi: )()f( 21 xfx ≠ c.v.d.

Corollario Se f è una funzione strettamente monotona allora f è biunivoca (tra il proprio dominio ed il proprio codominio) , dunque esiste la funzione inversa f-1

Funzioni Inverse e Monotonia 2/Funzioni Inverse e Monotonia 2/22Teorema Se f è una funzione strettamente monotona (sul proprio dominio) allora la funzione inversa f-1 è strettamente monotona dello stesso tipo di f.

DimSi supponga f monotona crescente in senso stretto.

)()(con , 212121 xfxfxxAxx <→<∈∀RAf →:

Il corollario precedente afferma l’esistenza della funzione inversa f-1.Dimostriamo che f-1 è monotona strettamente crescente:

)()(ycon )(, 21

11

2121 yfyfyAfyy −− <→<∈∀

5

)()(ycon )(, 212121 yfyfyAfyy <→<∈∀

Per assurdo: )()( 21

11 yfyf −− < )()( 2

11

1 yfyf −− ≥⇔

221

11

1 )()( xyfyfx =≥=⇔ −− Poichè f è monotona crescente in senso stretto:

)()( 21 xfxf ≥⇒ 2211 )()( yxfxfy =≥=⇔ 21 yy <⇔

c.v.d.

Concavità Concavità -- ConvessitàConvessità

•Def. Funzione Concava (su un intervallo)La funzione f:R→R è detta concava sull’intervallo [x ,x ] se la corda

•Def. Funzione Convessa (su un intervallo)•La funzione f:R→R è detta convessasull’intervallo [x1,x2] se la corda congiungente i punti (x1 , f(x1)), (x2 , f(x2)) sta al di sopra del grafico di f.

6

La funzione f:R→R è detta concava sull’intervallo [x1,x2] se la cordacongiungente i punti (x1 , f(x1)), (x2 , f(x2)) sta al di sotto del grafico di f.

Simmetria PariSimmetria Pari•Def. Funzione PariUna funzione è detta pari se f(x)=f(-x) per ogni x di A•Una funzione pari risulta simmetrica (simmetria assiale) rispetto all’asse delle ordinate (asse y)

YXAf →⊆:

7

32)( 24 −+= xxxf

)(3)(2)()( 24 xfxxxf =−−+−=−

Simmetria DispariSimmetria Dispari

Def. Funzione Dispari•Una funzione è de tta dispari se f(x)=-f(-x) per ogni x di A

•Es.

•Una funzione dispari risulta simmetrica (simmetria centrale) rispetto all’origine degli sistema di assi cartesiani

YXAf →⊆:

xxxf −= 3)( )()()()( 33 xfxxxxxf −=+−=−−−=−

8

Periodicità 1/2Periodicità 1/2•Def. Funzione Periodica

è detta periodica se

T è il più piccolo numero reale positivo che soddisfa alla condizione precedente, ed è chiamato Periodo della funzione f.

Es. Poichéil periodo della funzione seno è pari a 2π

YXAf →⊆: +∈∈∀=+ RTAxxfTxf , )()(

Rxxx ∈∀=+ )sin()2sin( π

9

Periodicità 2/Periodicità 2/22Rx(x) x ∈∀=+ cos)2cos( π il periodo della funzione coseno è pari a 2π

10

il periodo della funzione tangente è pari a π

∈+∈∀=+ ZkkRx(x) x ,

2\ tan)tan( πππ

Funzione MantissaFunzione MantissaDef. Funzione Parte Intera :x �[x] .[x] è il più grande intero minore o uguale ad x

Def. Funzione Mantissa :x �Mant(x):=x-[x] .

11il periodo della funzione mantissa è pari a 1

Def. Funzione Mantissa :x �Mant(x):=x-[x] .

Funzione Lineare 1/3Funzione Lineare 1/3• Funzione Costante: f(x)=k

Il grafico è rappresentato da una retta orizzontale: y=k• Retta Verticale (Non è una funzione!): x=k

Il grafico è rappresentato da una retta verticale

• Diretta proporzionalità (Funzione Lineare): f(x)=mxIl grafico è rappresentato da una retta passante per l’origine: y=mx .m è detto Coefficiente Angolare della retta ed è legato all’angolo α che la retta forma con l’asse delle x (semiasse positivo) dalla relazione m=tan(α).

Ma anche )tan(α=∆∆=

x

ym

12

Ma anche

Rappresentazione geometrica del coefficiente angolare.Proprietà di additività:

Proprietà di omogeneità :

Una funzione in generale è detta lineare se soddisfa contemporaneamente alle due precedenti proprietà cioè se è additiva ed omogenea.

)()()( 2121 xfxfxxf +=+

)()( 11 xkfkxf =

)tan(α=∆

=x

m

Funzione Lineare 2/3Funzione Lineare 2/3

• Funzione Lineare Affine: f(x)=mx+qIl grafico è rappresentato da una retta non verticale non passante per l’origine: y=mx+q .q=f(0) rappresenta l’ordinata dell’intercetta all’origine.

• Es. Si consideri la retta y=-2x+1Se ne tracci un graficoSi trovino le intercette (punti di intersezione) con gli assi coordinati cartesiani

[R. (0,1) (1/2,0) ]

13

[R. (0,1) (1/2,0) ]

Date due rette: y=m1x+q1 e y=m2x+q2

• Rette Parallele (Condizione di parallelismo): m 1=m2• Rette Perpendicolari (Condizione di perpendicolarità ): m1*m2=-1

•Intersezione tra rette:

+=+=

22

11

qxmy

qxmy

Funzione Lineare 3/Funzione Lineare 3/33

• Fascio Proprio di rette di centro (x 1,y1)y-y1=m(x-x 1)

• Retta per due punti (x 1,y1) e (x2,y2)

Vale la formula sopra con

quindi

)(

)(

12

12

xx

yym

−−=

)()(

)(1

121 xx

xx

yyyy −

−−=−

14

)( 12 xx −

Es. Determinare la retta passante per P=(-1,2) e perpendicolare alla retta y=3x-5[R. y=-1/3x+5/3 ]Es. Determinare la retta passante per P=(-1,2) e parallela alla congiungente A=(-1,0) e B=(1,1)[R. y=1/2x + 5/2 ]Es. Siano y1=2x+5 e y2=-x+7. Scrivere l’equazione della retta passante per il punto di intersezione di y1 ed y2 e parallela alla retta di equazione y3=1/2x+2.[R. y=1/2x + 6 ]

Equazioni e Disequazioni di Equazioni e Disequazioni di II°° gradogrado

• Equazioni mx+q=0• Possono essere viste come la ricerca del punto di intersezione tra la retta y=mx+q e l’asse delle x (y=0)• Soluzione: x=-q/m

• Disequazioni mx+q>0 (mx+q<0)• Insieme dei valori x per cui il grafico della retta y=mx+q sta al di sopra (sotto) l’asse delle x .• Ricorda : moltiplicando entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo, la disequazione cambia di verso

15

• Es. Eq. I° grado : 3x+7=2(x-5) [ R. X=-17 ]

26

5

3

3

2

2 +<+++x

xx• Es. Diseq. di I° grado

[ R. S=Ø ]

Funzione Quadrato 1/3Funzione Quadrato 1/3

• Funzione: f(x)=ax 2

• Rappresenta una parabola y= ax2

• E’ una funzione pari (grafico simmetrico rispetto all’asse y)• E’ convessa se a>0, concava se a<0• Per disegnarla occorre trovare il vertice (punto di massimo (a<0), o minimo (a>0))• Passa per l’origine e non ha altre intersezione con gli assi coordinati

• Funzione: f(x)=ax 2+bx+c• Rappresenta una parabola y= ax2+bx+c• E’ convessa se a>0, concava se a<0

16

• E’ convessa se a>0, concava se a<0• Per disegnarla occorre trovare il vertice (punto di massimo (a<0), o minimo (a>0))

• e le intersezioni con gli assi coordinati

• Intersezione asse y

acaa

bV 4b con

4,

22 −=∆

∆−−=

=++=

0

2

x

cbxaxy ( )c,0

Funzione Quadrato 2/3Funzione Quadrato 2/3• Intersezione asse x

=++=

0

2

y

cbxaxy02 =++ cbxax a

bx

22,1

∆±−=

• Δ>0 Due Intersezioni Distinte (Parabola secante l’asse delle x)• Δ=0 Due Intersezioni Coincidenti (Parabola tangente l’asse delle x) • Δ<0 Non ci sono intersezioni tra la Parabola e l’asse delle x

17

Funzione Quadrato 3/Funzione Quadrato 3/33

• Es. Determinare l’equazione della parabola con vertice v=(1,2) passante per il P(0,4)[R. y=2x2-4x+4 ]• Es. Disegnare la parabola: f(x)=x2-5x-14• Es. Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle y e passante per i punti di coordinate (0,0) (1,1) e (-2,4)[R. y=x2 ]

18

Equazioni e Disequazioni di Equazioni e Disequazioni di IIII°° grado 1/4grado 1/4

• Δ>0 Radici Reali Distinte• a>0

• ax2+bx+c>0 (all’esterno delle radici x1 ed x2) x< x1 vel x> x2• ax2+bx+c<0 (all’interno delle radici x1 ed x2) x1 <x< x2

• a<0• ax2+bx+c>0 (all’interno delle radici x1 ed x2) x1 <x< x2• ax2+bx+c<0 (all’esterno delle radici x ed x ) x< x vel x> x

02 =++ cbxaxa

bx

22,1

∆±−= )0( 02 <>++ cbxax

19

• ax2+bx+c<0 (all’esterno delle radici x1 ed x2) x< x1 vel x> x2

Equazioni e Disequazioni di Equazioni e Disequazioni di IIII°° grado 2/4grado 2/4• Δ=0 Radici Reali Coincidenti

• a>0• ax2+bx+c>0 per x≠-b/2a • ax2+bx+c<0 per nessun x (la disequazione non ha soluzioni)

• a<0• ax2+bx+c>0 per nessun x (la disequazione non ha soluzioni)• ax2+bx+c<0 per x≠-b/2a

20

Equazioni e Disequazioni di Equazioni e Disequazioni di IIII°° grado 3/4grado 3/4• Δ<0 Radici Complesse Coniugate

• a>0• ax2+bx+c>0 per ogni x reale• ax2+bx+c<0 per nessun x (le disequazione non ha soluzioni)

• a<0• ax2+bx+c>0 per nessun x (le disequazione non ha soluzioni)• ax2+bx+c<0 per ogni x reale

21

Equazioni e Disequazioni di Equazioni e Disequazioni di IIII°° grado 4/grado 4/44

]12 [R. 022 ≥∨−≤≤+−− xxxxEs.

Es.

Es. Risolvere , in dipendenza del parametro reale k, le seguenti disequazioni:

] 31 R.[ 34)32( 2 >∨<−>− xxxx

22

Es. Risolvere , in dipendenza del parametro reale k, le seguenti disequazioni:

082 I) 2 ≥−+ xkx

∅=<

++−≤≤+−−<<−

==

++−≥+−−≤>

≥=

S -1/8,k

811811,08/1

8,81

811

811,0

4,0

.

perk

kx

k

kkper

x/- kperk

kxvel

k

kxkper

xkper

R

xk 21 xII) 2 +<+

+<<−>

∅=≤

kxkkper

kperR

11,0

S ,0 .

Funzione Modulo (Valore Assoluto)Funzione Modulo (Valore Assoluto)

Def.

<−≥

=0 se

0 se ||

xx

xxx

<−≥

=0)f( se )(

0 se )(|)(|

xxf

f(x)xfxf

Proprietà: yxyx +≤+Disuguaglianza triangolare

yxyx −≤−

23

yxyx −≤−

Funzione Modulo (Valore Assoluto)Funzione Modulo (Valore Assoluto)

yxyx +≤+

yxyx −≤−

xxx ≤≤−yyy ≤≤−

( ) ( ) ⇔+≤+≤+− yxyxyx yxyx +≤+

=−=

by

bax bbaabba +−≤=+−

aabb +−≤Scambiando a e b

Sommando membro a membro:

24

= by aabb +−≤

baba −≤− baab −≤−

baba −≤−

Scambiando a e b

Portando a primo membro:

E quindi

Equazioni e Disequazioni con Modulo 1/3Equazioni e Disequazioni con Modulo 1/3

Es. |f(x)|=kse k <0 non esistono soluzionise k=0 → f(x)=0se k>0 → f(x)=±k

Es. |x+4|=3 Es. |x+4|=3 |x|-1

Es. |f(x)|<k (**)se k <0 non esistono soluzionise k=0 non esistono soluzionise k>0 → -k<f(x)<k

<−>

⇔<<−kxf

kxfkxfk

)(

)()(

Es. |x+4|<3

25

Es. |f(x)|>kse k <0 : ogni x (che definisce f) è soluzionese k=0 : ogni x (che definisce f(x)≠0) è soluzionese k>0 → f(x)>k vel f(x)<-k

Es. |x 2+2x|>2x+1 [R. x<-2+ √3 v x>1 ]

Es. |x+4|>3

Equazioni e Disequazioni con Modulo 2/3Equazioni e Disequazioni con Modulo 2/3

Es. |f(x)|<k (**)se k <0 non esistono soluzionise k=0 non esistono soluzionise k>0 → -k<f(x)<k (**)

)()(

0)( vel

)(

0)(

−>⇔<−<

<≥

kxfkxf

xf

kxf

xf

26

0 vel)(0 <<<≤ f(x)-kkxf

)( kxfk <<−

Equazioni e Disequazioni con Modulo 3/Equazioni e Disequazioni con Modulo 3/33

Es. |f(x)|=g(x)

Es. |f(x)|<g(x)

-g(x)f(x) g(x)f(x)-

0f(x) vel

g(x)f(x)

0f(x)

=⇔=<

=≥

-g(x)f(x) g(x)f(x)-

0f(x) vel

g(x)f(x)

0f(x)

>⇔<<

<≥

27

Es. |f(x)|>g(x)

-g(x)f(x) g(x)f(x)-

0f(x) vel

g(x)f(x)

0f(x)

<⇔><

>≥

Disequazioni Razionali FratteDisequazioni Razionali Fratte

• Sono del tipo

• Risoluzione: si studia N(x)>0, D(x)>0 separatamente, poi si fa un grafico di confronto, mettendo su una retta il segno di N e su una retta parallela il segno di D, poi si determina il segno di N/D tenendo conto della regola dei segni

• Es.

( )0 0)(

)( <>xD

xN

872 −+ xx

28

• Es.

• La stessa risoluzione vale anche per N(x)*D(x)>0 (<0)

0103

872

2

≥+−−+

xx

xx]18 .[ ≥∨−≤ xxR

Sistemi di DisequazioniSistemi di Disequazioni

• Sono del tipo

• Si determina l’insieme delle soluzioni delle prima disequazione S1 , si determina l’insieme delle soluzioni delle seconda disequazione S2 l’insieme delle soluzioni del sistema sarà allora

( )( )

<><>

0 0)(

0 0)(

xG

xF

SSS =

29

• Es.

21 SSS I=

>−+<−

054

0162

2

xx

x ]41 .[ << xR

Funzione OmograficaFunzione Omografica• Inversa Proporzionalità: funzione f(x)=a/x

• Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti (gli assi cartesiani sono gli asintoti dell’iperbole)• Ha simmetria dispari, dunque l’origine è un centro di simmetria

• Funzione Omografica: f(x)=(ax+b)/(cx+d) con ad-bc ≠0

• Iperbole equilatera gli asintoti non coincidono con gli assi cartesiani ma sono ad

dcx

baxxf

++=)(

30

• Iperbole equilatera gli asintoti non coincidono con gli assi cartesiani ma sono ad essi paralleli. Essi hanno equazioni x=-d/c y=a/c• Il centro di simmetria (-d/c , a/c)

•Es. Disegnare il grafico di

−=c

a

c

dC ,

x

xxf

3

7)(

+=

Funzione OmograficaFunzione Omografica

dcx

baxxf

++=)(

−=c

a

c

dC ,

31

Funzione Potenza (esponente intero pari )Funzione Potenza (esponente intero pari )

• Funzione Potenza: f(x) = x n

• n pari• Simmetria pari, f(x)>0 per x≠0, , f(x)=0 per x=0• Non invertibile• Monotona crescente per x positive, decrescente per x negative• confronto y=x2 con y=x4 [si provi per x=1/2, x=2]

32

y=x4

y=x2

Funzione Potenza (esponente intero dispari )Funzione Potenza (esponente intero dispari )

•Funzione Potenza: f(x) = x n

• n dispari • Simmetria dispari, f(x)>0 per x>0, f(x)<0 per x<0, f(x)=0 per x=0• Invertibile• Monotona crescente• confronto y=x3 con y=x5 [si provi per x=1/2, x=2]

33

y=x5

y=x3

Funzione Potenza (esponente frazionario) 1/4Funzione Potenza (esponente frazionario) 1/4•Funzione Potenza: f(x) = x 1/n

• n pari• definita solo per x≥0• Inversa del ramo positivo di y=xn

• confronto y=x1/2 con y=x1/4 [si provi x=1/16 , x=16]

y=x1/2

34

y=x1/2

y=x1/4

PotenzePotenze--Radici: Funzioni Inverse 2/4Radici: Funzioni Inverse 2/4

y=x^(1/2)

35

y=x^(1/2)

y=x^(2)

Funzione Potenza (esponente frazionario) 3/4Funzione Potenza (esponente frazionario) 3/4•Funzione Potenza: f(x) = x 1/n

• n dispari• simmetria dispari • definita solo per ogni x reale• Inversa di y=xn

• confronto y=x1/3 con y=1/5

36

y=x1/3

y=x1/5

PotenzePotenze--Radici: Funzioni Inverse 4/Radici: Funzioni Inverse 4/44

37y=x3

y=x1/3

Proprietà Potenze Proprietà Potenze

0,0 >> yxassumiamo

baa

aaa

baba

xx

yxyx

xxx

=

⋅=⋅=⋅

−

+

)(

)(

)(

0 1

0

1

≠∀=∈∀=

xx

Rxxx

38

( )n

mn m

a-aabba

bab

xx

x xxx

xx

x

=

=⇒=

= −

1

)( 0 1 ≠∀= xx

Equazioni/Disequazioni Irrazionali 1/3Equazioni/Disequazioni Irrazionali 1/3

• n dispari• Risolta da :)()( xgxfn > [ ]nxgxf )()( >

)()( xgxfn = • n dispari• Risolta da : [ ]nxgxf )()( =

39

)()( xgxfn < • n dispari• Risolta da : [ ]nxgxf )()( <

Nota: applicando ad entrambi i membri di una disequazione una funzione monotona crescente, la disequazione con cambia verso e mantiene inalterate le proprie soluzioni. Facendo la stessa cosa con una funzione monotone decrescente la disequazione cambia di verso (e mantiene sempre inalterate le proprie soluzioni).

Equazioni/Disequazioni Irrazionali 2/3Equazioni/Disequazioni Irrazionali 2/3

• n pari• Risolta da :)()( xgxfn >

≥≥

<≥

xg

xfxf

0)(

n.n. 0)(

vel0)(

)()( xgxfn = • n pari• Risolta da :

[ ]

=

≥≥

nxgxf

xg

xf

)()(

0)(

n.n. 0)(

40

[ ]

>

≥ <

nxgxf

xgxg

)()(

0)( vel0)(

)()( xgxfn < • n pari• Risolta da :

[ ]

<

≥≥

nxgxf

xg

xf

)()(

0)(

0)(

Equazioni/Disequazioni Irrazionali 3/Equazioni/Disequazioni Irrazionali 3/33

483 3 −>+ xx ]R .[ =SR

xx −≤+ 51

xxx >−+ 432

]3x1 .[ ≤≤−R

])(4/3,,-4](- .[ +∞∪∞R

41

Funzione Esponenziale 1/4Funzione Esponenziale 1/4• Funzione f(x)=a x

• può essere ben definita solo per a>0• per a=1 si ottiene la funzione costante f(x)=1• per a>1 è monotona crescente

• confronto tra 2x e 4x

• per 0<a<1 è monotona decrescente• confronto tra (1/2)x e (1/4)x

• f(x) >0 per ogni x reale , f(0)=1• f(x) è sempre invertibile ed è sempre convessa

42

+∞=+∞→

x

xalim +

−∞→= 0lim x

xa

+

+∞→= 0lim x

xa +∞=

−∞→

x

xalim

per a>1

•Per 0<a<1

Funzione Esponenziale 2/4Funzione Esponenziale 2/4

43

y=(2)xy=(1/2)x

n

n ne

+=+∞→

11lim

e=2.718281828…

xey =....

Funzione Esponenziale 3/4Funzione Esponenziale 3/4

y=(4)x

44

y=(2)x

• si provi per x=-1/2 , x=1/2 x=2

Funzione Esponenziale 4/Funzione Esponenziale 4/44

y=(1/4)x

45

y=(1/2)x

• si provi per x=-1/2 , x=1/2 x=2

Disequazioni esponenzialiDisequazioni esponenziali

•Poiché exp(x) è una funzione monotona crescente

403232

<<⇔<−⇔<− xxxxee xxx

1132

1

2

113

−≤⇔−≤+⇔

≥

−+

xxxxx

46

•Poiché (1/2)^(x) è una funzione monotona decrescente

Funzione Logaritmica 1/2Funzione Logaritmica 1/2

• Funzione Logaritmica: funzione inversa dell’esponenzia le(La funzione esponenziale è invertibile in quanto sempre monotona.)

• a>0 et a≠1

• Fissiamo a >1• definita per x >0• monotona crescente

ya axxxfy =↔== )(log)(

y=log4(x)

47

• monotona crescente• f(1)=0• f(x) è concava

−∞=+→

)(loglim0

xax

+∞=+∞→

)(loglim xax

• si provi per x=1/2 x=2•log4(1/2)=-1/2 log4(2)=1/2

•log2(1/2)=-1 log2(2)=1

y=log2(x)

Funzione Logaritmica 2/Funzione Logaritmica 2/22

• Funzione Logaritmica: funzione inversa dell’esponenzia le

• a>0 a≠1

• Fissiamo 0<a<1• definita per x >0• monotona decrescente• f(1)=0• f(x) è convessa

ya axxxfy =↔== )(log)(

y=log1/4(x)

y=log (x)

48

• f(x) è convessa

+∞=+→

)(loglim0

xax

−∞=+∞→

)(loglim xax

• si provi per x=1/2 x=2

•log1/4(1/2)=1/2 log1/4(2)=-1/2•log1/2(1/2)=1 log1/2(2)=-1

y=log1/2(x)

Proprietà LogaritmiProprietà Logaritmi

0yx, )(log)(log)(log >+= yxxy aaa

0yx, )(log)(loglog >−=

yx

y

xaaa

( ) Rk 0,x )(loglog ∈∀>= xkx ak

a

( ) 0x )(log

)(loglog >=

a

xx b

a

49

( ) 0x )(log

log >=a

xb

a

( ) 1b 1a0ba, )(log

1log ≠∧≠∧>=

ab

ba

• CONVENZIONI

( ) )ln(log xxe = ( ) )(log10 xLogx = ( ) )ln(log)log( xxx e ==

Equazioni/Disequazioni Esponenziali e LogaritmicheEquazioni/Disequazioni Esponenziali e Logaritmiche

• Applico la funzione inversa45 =x

)5ln(

)4ln()4(log5 ==x

)3log()log( xx −=2

3

03

0

3

=⇒

>−>

−=x

x

x

xx

)3log()log( −< xx • Identità Esponenziali

50

)3log()log( −< xx

)(log)4(log21

2

21 xx <−

2)3(log5 <+ x2

2

≤+xxe

Rxex x ∈∀= )ln(+∈∀= Ryey y )ln(

+∈∀== Rxexxxx e xln(x))ln(

)3log()log( xx −<

R]S [R. 1

15 =

+>+

xx

ee 2] x[R. 0)2( 3 ≥≥−− xe x

Funzioni GoniometricheFunzioni Goniometriche

O

A

B

C D

θ

51

C D

OA

AC=)sin(ϑ

OA

OC=)cos(ϑ

)cos(

)sin()tan(

ϑϑϑ ===

OC

AC

OA

BDTeorema di Pitagora :

1)(cos)(sin 22 =+ ϑϑ

Trigonometria: triangoli rettangoliTrigonometria: triangoli rettangoli

)sin(αca =

A

B

C

a

b

c

α

β

γ

)cos(βca = )tan(αba =

rad

rad

290

290

πβα

πγ

=°=+

=°=

52

)sin(αca =)cos(αcb =

)cos(βca =)sin(βcb =

)tan(αba =)tan(βab =

Trigonometria: triangoli qualsiasiTrigonometria: triangoli qualsiasi

Rcba

2===

A

B

C

a

b

c

α

β

γ

rad 180 πγβα =°=++

Teorema dei seni:

53

R2)sin()sin()sin(

===γβα

)cos(2222 γabbac −+=

Teorema dei seni:

Teorema di Carnot (del coseno):

Funzione Seno 1/2Funzione Seno 1/2

• Funzione y=sin(x)• Periodo 2π• Limitata (assume valori tra -1 e 1 compresi)• Simmetria dispari• Crescente per 0≤x ≤ π/2 e per 3/2π ≤x < 2π• Decrescente per π/2 ≤x ≤ 3/2π• Concava 0 ≤ x≤ π• Convessa π ≤ x< 2π

54

Funzione Seno 2/Funzione Seno 2/22

• Particolari valori

0)0sin( =2

1

6sin =

π

2

2

4sin =

π2

3

3sin =

π

12

sin =

π

• Valori uguali

)sin()sin( xx =−π• Valori opposti

)sin()sin( xx −=+π)sin()2sin( xx −=−π

55

Funzione Coseno 1/2Funzione Coseno 1/2

• Funzione y=cos(x)• Periodo 2π• Limitata (assume valori tra -1 e 1 compresi)• Simmetria pari• Crescente per π ≤x < 2π• Decrescente per 0 ≤x ≤π• Concava per 0 ≤ x≤ π/2 e per 3/2π ≤ x< 2π• Convessa π/2 ≤ x< 3/2π

56

Funzione Coseno 2/Funzione Coseno 2/22


1)0cos( =2

3

6cos =

π

2

2

4cos =

π2

1

3cos =

π

02

cos =

π

• Valori uguali

)cos()2cos( xx =−π• Valori opposti

)cos()cos( xx −=−π)cos()cos( xx −=+π

57

Funzione Tangente 1/2Funzione Tangente 1/2

• Funzione y=tan(x)• Periodo π. Si studia tra 0 e π• Illimitata• Simmetria dispari• Crescente per x ≠π/2 • Concava per π/2 < x ≤ π• Convessa per 0 ≤ x< π/2

58

Funzione Tangente 2/Funzione Tangente 2/22


0)0tan( =3

3

6tan =

π

14

tan =

π3

3tan =

π

• Valori opposti

59

• Valori opposti

)tan()tan( xx −=−π

Relazioni FondamentaliRelazioni Fondamentali

1)(cos)(sin 22 =+ xx

)cos(

)sin()tan(

x

xx =

1

60

)(1

1)(cos

22

xtgx

+=

Equazioni/Disequazioni GoniometricheEquazioni/Disequazioni Goniometriche

01)sin(2 =+x

03)sin(8)(sin4 2 =+− xx

0)cos()(cos2 2 >− xx

61

0)cos()(cos2 2 >− xx

0)cos()sin( >− xx

Funzione ArcoFunzione Arco --senoseno

• Viene operato un taglio in[-π/2 , +π/2] per poter invertire la funzione per cui:

62

la funzione per cui:

[ ]

−→−2

,2

1,1:)arcsin(ππ

x

Funzione Funzione ArcoArco --cosenocoseno

• Viene operato un taglio in[0 , π] per poter invertire la funzione per cui:

63

funzione per cui:

[ ] [ ]π,01,1:)arccos( →−x

Funzione ArcoFunzione Arco --tangentetangente• Viene operato un taglio in[-π/2, π/2] per poter invertire la funzione per cui:

−→2

,2

:)arctan(ππ

Rx

64

Grafici Riconducibili 1/9Grafici Riconducibili 1/9

• Grafico y=|f(x)|

Notiamo:

La parte del grafico corrispondente a valori negativi della funzione (sotto l’asse delle x) viene simmetrizzata rispetto all’asse delle ascisse. La parte del grafico corrispondente a valori positivi della funzione viene lasciata invariata.

<≥

==0

0|)(|

f(x)-f(x) se

(x)f(x) se fxfy

65


• Grafico y=f(|x|)

Notiamo:

Per le x positive o nulle il grafico coincide con quello di f(x) per quelle negative il grafico è il simmetrico di quello per le x positive rispetto all’asse delle y (ordinate).

<−≥

==0

0 |)(|

x) se xf(

xsef(x) xfy

66


• Grafico y=f(x)+bIl grafico presenta una traslazione di b lungo l’asse delle y.

b=-3

67

b=2

Grafici Riconducibili 4/9Grafici Riconducibili 4/9• Grafico y=a f(x)se a>0

se a>1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore a lungo l’asse delle yse 0<a<1 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore a lungo l’asse delle y

68

a=2

a=0.5

Grafici Riconducibili 5/9Grafici Riconducibili 5/9• Grafico y=a f(x)se a<0

•se a=-1 il grafico è ottenuto da quello di f(x) att raverso una simmetria assiale rispetto all’asse delle x (ascisse)• se a<-1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore |a| lungo l’asse delle y, composto con la simmetria (assiale) rispetto all’asse delle ascisse•se -1<a<0 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore |a| lungo l’asse delle y,

composto con la simmetria (Assiale)rispetto all’asse delle ascisse

69

a=2

a=-0.5

a=-1

Grafici Riconducibili 5b/9Grafici Riconducibili 5b/9

a=-0.5

70

a=2

a=-1


• Grafico y= f(x+c)

Il grafico presenta una traslazione di –c lungo l’asse delle x

c=+2

71c=-2

Grafici Riconducibili 7/9Grafici Riconducibili 7/9• Grafico y=f(dx )

se d>0se d>1 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore 1/d lungo l’asse delle x

se 0<d<1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore 1/d lungo l’asse delle x

72

d=2

d=0.5

Grafici Riconducibili 8/9Grafici Riconducibili 8/9• Grafico y=f(dx)se d<0se d=-1 il grafico presenta una simmetria assiale ( asse delle y) rispetto al

grafico originalese d<-1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore 1/|d| lungo l’asse delle x,

composta con la simmetria assiale rispetto all’asse delle yse 0<d<1 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore 1/|d| lungo l’asse

delle x , composta con la simmetria assiale rispetto all’asse delle y

d=-1

73

d=-0.5

d=-1

d=-2


d=-1

74

d=-2d=-0.5

Grafici Riconducibili 9/Grafici Riconducibili 9/99

• Grafico y=f(dx). Caso funzioni goniometriche (o peri odiche).Supponiamo d>0.Il valore d va a modificare il periodo della funzion e f.Precisamente se il periodo della funzione f è T, il grafico della funzione y=f(dx) presenta un periodo T’=T/d.Se d<0 alla variazione di periodo indicata sopra va aggiunta la simmetria rispetto all’asse y.Es. y=sin(x) ha periodo T=2π.

La funzione y=sin(2x) ha periodo T’= πLa funzione y=sin(x/2) ha periodo T’= 4π y=sin(x)

75

La funzione y=sin(x/2) ha periodo T’= 4π y=sin(x)

y=sin(x/2)

y=sin(2x)


y=sin(x)y=sin(x/2)

76y=sin(2x)

Grafici Riconducibili Composti 1/2Grafici Riconducibili Composti 1/2

• Grafico y= f(2x-1)y=f(2(x-1/2))

rimpicciolimento di un fattore ½ lungo l’asse delle x seguito da una traslazione di +1/2 lungo l’asse delle x.

y=f(x)

77

y=f(2x-1)

Grafici Riconducibili Composti 2/Grafici Riconducibili Composti 2/22

• Grafico y= -2 f(2x+2)+1y=-2 f(2(x+1)) +1

rimpicciolimento di un fattore ½ lungo l’asse delle x seguito da una traslazione di -1 lungo l’asse delle xseguito da una simmetria rispetto l’asse delle xseguito da una dilatazione di fattore 2 lungo l’asse delle yseguito da una traslazione di +1 lungo l’asse delle y

y=f(x)

78

y=f(2x+2)

y=-2*f(2x+2)+1

Confronto Grafico 1/2Confronto Grafico 1/2

• Equazione: f(x)=g(x)• Disequazione: f(x)>g(x) [f(x)<g(x)]• Si tenga conto del grafico di y=f(x) e del grafico di g(x) e poi se ne operi un confronto “quantitativo” e, ove non è possibile, “qualitativo”.

>==

⇔> 2

1

)cos(

)sin(

)cos()sin(

yy

xy

xy

xx

Es. sin(x)-cos(x)>0

79

> 21 yy

ππ4

5

4)cos()sin( =∨=⇒= xxxx

<<∈= ππ

4

5

4: xRxS

Confronto Grafico 2/2Confronto Grafico 2/2

Es. ln(x)-x>0

∅=S

>==

⇔>

21

2

1 )ln(

)ln(

yy

xy

xy

xx

80

>−=

=⇔−>

21

2

1 )ln(

)ln(

yy

xy

xy

xx

Es. ln(x)+x>0

ln(x)=-x ammette un’unica soluzione x 0 : 0< x0 <1x0~0.567143290409783…..

{ }0: xxRxS >∈=

Trasformazioni :RiassuntoTrasformazioni :Riassunto

Sulla Funzione Sull’argomento

)(xf− )( xf −

)(xf )( xf

81

axf +)( )( axf +

)(xfa ⋅ )( xaf ⋅

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