4. Estremi vincolati

Davide Cataniadavide.catania@unibs.it

Esercitazioni di Analisi Matematica 2A.A. 2016/17

Parametrizzazioni

Curve di livello

Moltiplicatori di Lagrange

Esercizio 1Studia massimi e minimi di f (x,y) = x2y sul triangolo A di vertici(0,0), (1,0) e (0,1).

f (x,y) = x2y

Esercizio 2Trova il massimo e il minimo assoluti di f (x,y) = xy su

T = { (x,y) ∈R2 : x2 +y2 É 1} .

f (x,y) = xy

Esercizio 3Calcola massimo e minimo assoluti di f (x,y) = 3−x2 −y2 su

A = { (x,y) ∈R2 : y Ê 0,x2 +y2 É 4} .

f (x,y) = 3−x2 −y2

Esercizio 4Trova i massimi e minimi di f (x,y) = |1−x−y| sul triangolo divertici (0,0), (1,0) e (0,2).

f (x,y) = 1−x−y (0,0), (1,0), (0,1)

f (x,y) = x+y−1 (1,0), (0,1), (0,2)

Esercizio 5Determina il massimo e il minimo di f (x,y) = 7xy suD = {x2 +49y2 = 1}.

f (x,y) = 7xy , G(t) = 114 sin2t

Parametrizzazioni

Curve di livello

Moltiplicatori di Lagrange

Il metodo delle curve di livello si applica alle funzioni f (x,y) dicui sappiamo disegnare le curve di livello, cioè l’insieme deipunti dove f (x,y) è costante: f (x,y) = k. Ad esempio

(a) f (x,y) = g(ax+by+ c),

(b) f (x,y) = g(ax2 +by2),

(c) f (x,y) = g(y−ax2),

(d) f (x,y) = g(ax2 −by2),

che sono costanti su

(a) rette, (b) ellissi,(c) parabole, (d) iperboli.

In genere, si tratta di rette su domini delimitati da coniche erette, o coniche su domini limitati da rette (o limitati da coniche,ma bisogna prestare attenzione).

Esercizio 6Calcola massimo e minimo assoluti di f (x,y) = 5+x e dig(x,y) = x+y su A = { (x,y) ∈R2 : y Ê 0, x2 +y2 É 4} .

Esercizio 7Calcola il massimo e il minimo assoluti di f (x,y) = ex2+y2

sulquadrato Q = [0,1]× [0,1] .

Esercizio 8Calcola il massimo e il minimo assoluti di f (x,y) = (y−x2)3 sultriangolo T di vertici (0,0), (1,0), (0,1) .

Esercizio 9Determina il massimo e il minimo di f (x,y) = y2 −x sul cerchiodi centro (0,0) e raggio 2.

Esercizio 10Trova massimo e minimo di f (x,y) = x+y suD = { (x−2)2 É y É 2−x } e i punti in cui sono assunti.

Esercizio 11 (Tema esame 13/01/2013)Trova massimo e minimo di g(x,y) =

√(x−2)2 + (y−2)2 sul

bordo del triangolo di vertici (−3,0), (3,0) e (0,3).

Esercizio 12Trova massimo e minimo di f (x,y) = |1−x−y| sul triangolo divertici (0,0), (1,0) e (0,2).

Parametrizzazioni

Curve di livello

Moltiplicatori di Lagrange

Esercizio 13Trova massimo e minimo di f (x,y) = x−y suC = { (x,y) ∈R2 : 5x2 −6xy+5y2 = 8}.

Esercizio 14Sia f : R2 →R una funzione di classe C1 tale che ∇f (x,y) /= 0 èparallelo a 2i+3j per ogni (x,y) ∈R2. Sia f ristretta al vincolo2x2 +3y2 = 1. Dire se le seguenti affermazioni sono vere ofalse.

(a) f può ammettere più di un punto di massimo.

(b) f ammette un punto di massimo ed un punto di minimo inquadranti diversi.

(c) f ammette un punto di massimo ed un punto di minimonello stesso quadrante.