ACCENI ALLA TRIGONOMETRIA teoremi sui triangoli rettangoli · funzioni goniometriche di angoli...

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Prof. Calogero Contrino

ACCENI ALLA TRIGONOMETRIA

teoremi sui triangoli rettangoli

Corso multimediale di matematica

06/04/2014

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Prof Calogero Contrino

Accenni alla trigonometria:

Risoluzione di triangoli

Si illustra nel seguito cosa deve intendersi con la locuzione

« risolvere un triangolo »

«Risolvere un triangolo» significa determinare tutti gli elementi che lo caratterizzano (tre

lati e tre angoli) a partire dalla conoscenza di alcuni di essi (dati del problema).

Nota : talvolta i dati sono incompatibili tra di loro ed il problema posto non ammette soluzioni ; talvolta

invece i dati sono insufficienti per determinare una soluzione univoca ed il problema formulato ammette

più soluzioni.

Le definizioni delle funzioni goniometriche viste in precedenza consentono di enunciare due

teoremi riguardanti i triangoli rettangoli che risultano molto utili nella risoluzione di triangoli di

questo tipo.

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Accenni alla trigonometria:

1° teorema sui triangoli rettangoli

Fig.9 P

O

H

Sussiste il seguente teorema :

« primo teorema sui triangoli rettangoli »

In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è data dal prodotto dell’ipotenusa per il

seno dell’angolo opposto o per il coseno dell’angolo adiacente.

Con riferimento alla fig. 9 per il teorema precedente si ha:

OP = sen HP OP = cos HP

OP = cos OH OP = sen OH

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Accenni di trigonometria:

2° teorema sui triangoli rettangoli

Fig.9 P

O

H

Sussiste il seguente teorema :

« secondo teorema sui triangoli rettangoli »

In un triangolo rettangolo la lunghezza di un cateto è data dal prodotto dell’altro cateto per

la tangente dell’angolo opposto o per la cotangente dell’angolo adiacente.

Con riferimento alla fig. 9 per il teorema precedente si ha:

OH = tg HP OH = ctg HP

HP = ctg OH HP = tg OH

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Prof. Calogero Contrino

GONIOMETRIA

funzioni goniometriche di angoli qualsiasi


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yP’ yP

xH

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goniometria:

funzioni goniometriche di angoli qualsiasi : premessa

Fig.9

Per ampliare il dominio delle funzioni goniometriche estendendolo agli angoli P ≤ ≤ G è

opportuno associare agli angoli un sistema di coordinate cartesiane con le seguenti modalità:

• Si fissa un orientamento per gli angoli ( normalmente quello positivo viene scelto in modo

tale che il primo lato si sovrapponga al secondo ruotando in senso antiorario ).

• Si fa coincidere il vertice dell’angolo con l’origine del sistema di riferimento ed il primo lato

dell’angolo con il semiasse positivo delle ascisse. (vedi fig. 9)

In un tale sistema gli angoli acuti ricadono nel primo quadrante. Per le definizioni precedenti

nulla cambia se al posto delle lunghezze assolute (senza segno) si sostituiscono i valori delle

coordinate con segno positivo dei punti P,P’,P’’ …

O

a

P

P’

P”

H H’ H”

Pertanto si ha :

HP

OH = tg

sen HP

OP =

cos OH

OP =

OH

HP = cotg

= yP

2 xP + yP

2 =

yP’

2 xP’ + yP’

2

H’P’

OP’ = … = = …

xP

2 xP + yP

2 =

xP’

2 xP’ + yP’

2

OH’

OP’ = … = = … =

= H’P’

OH’ = … = = … =

xH’

xH’ xH

yP

= O’H’

H’P’ = … = = … =

yP’

yP’’

yP’

yP

xP xP’ xP’’

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yP

xP

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goniometria:

funzioni goniometriche di angoli qualsiasi : premesse

Fig.10

Visto che, dato un angolo , il rapporto che esprime una data funzione goniometrica non

dipende dal particolare triangolo rettangolo costruito a partire da esso, è comodo prendere a

riferimento un triangolo con ipotenusa unitaria per esempio OP = 1 (in figura triangolo giallo con lati

azzurri) in tal caso le funzioni potranno così essere più semplicemente espresse:

O a

P’

P

P”

H’ H H”

HP

OH = tg

sen HP

OP = = yP HP

1 = =

=

HP cos OH

OP = = xP OH

1 = =

HP

yP

OH

HP = ctg =

xP

yP

yH = yP

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goniometria:

valori delle funzioni goniometriche per l’angolo nullo e l’angolo retto

Triangolo degenere con OH=0

Alla luce della nuova definizioni (riferite ad una ipotenusa unitaria), sulla frontiera del primo

quadrante (angolo nullo ed angolo retto) si individuano due triangoli degeneri (in cui un cateto

è nullo e l’altro è congruente all’ipotenusa). Pertanto si ha:

→ 90°

P yP

Triangolo degenere con HP=0

O

→ 0°

P

H≡P

yP

H≡O

P

xP

sen0° HP = = yP 0 =

cos0° OH = = xP 1 = yP

xP

HP OH

= tg0° = = 0

1 = 0

xP

yP

OH OP

= ctg0° = = 1

0 =

sen90° HP = = yP 1 =

cos90° OH = = xP 0 = yP

xP

HP OH

= tg90° = = 1

0 =

xP

yP

OH OP

= ctg90° = = 0

1 = 0

xP

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goniometria:

funzioni goniometriche di angoli con il secondo lato nel 2° quadrante

Vediamo ora come stabilire dei criteri per definire le funzioni goniometriche per angoli che

siano maggiori dell’angolo retto esaminando uno per uno i casi in cui il secondo lato

dell’angolo ricade nei quadranti diversi dal primo .

O

P yP

xP

Nel caso in cui il secondo lato dell’angolo ricada nel 2° quadrante, non essendo

possibile costruire un triangolo rettangolo che abbia uno degli angoli congruente ad , si può

fare riferimento all’angolo ’ supplementare di e costruire a partire da esso il triangolo con

ipotenusa unitaria OHP che viene associato all’angolo per determinarne le sue funzioni

goniometriche.

I cateti dei triangoli saranno caratterizzati da una lunghezza algebrica (con segno) e non da

lunghezze assolute di tipo euclideo. Quindi ci saranno, a seconda dei casi, lunghezze positive

e negative.

’

H

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goniometria:


Dalla figura, stabilendo di assegnare alle funzioni di i valori di delle funzioni di ’ si ha :

O

P yP

xP

Inoltre se si considera l’angolo che rispetta la convenzione per il riferimento degli angoli in

un sistema cartesiano (primo lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse) e congruente a ’

si hanno le seguenti relazioni valide per qualsiasi coppia di angoli supplementari :

’

P’

sen = sen’ = yP > 0 cos = cos’ = xP < 0

tg = tg’ = < 0 yP

xP

ctg = ctg’ = < 0 xP

yP

sen = sen cos = - cos tg = - tg ctg = - ctg

+ = 180°

xP’

≅ ’

yP’

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goniometria:

funzioni goniometriche dell’ angolo piatto

Sulla frontiera del 2° quadrante si individua un nuovo triangolo degenere se ’ = 0 ( = 180°)

con HP =0 ed OH = -1 . Pertanto si ha:

Triangolo degenere con HP= 0

→ 180°

P

H≡P

sen180° HP = = yP 0 = cos180° OH = = xP - 1 =

yP

xP

HP OH

= tg180° = = 0

-1 = 0

xP

yP

OH OP

= ctg180° = = -1

0 =

xP O

yP

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goniometria:


O

P yP

xP

Se il secondo lato dell’angolo ricade nel 3° quadrante, analogamente al caso precedente si fa

riferimento all’angolo ’ antisupplementare di per costruire il triangolo con ipotenusa unitaria

OHP che viene associato all’angolo per determinarne le sue funzioni goniometriche.

’

H

sen = sen’ = yP < 0 cos = cos’ = xP < 0

tg = tg’ = > 0 yP

xP

ctg = ctg’ = > 0 xP

yP


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goniometria:




si hanno le seguenti relazioni valide per qualsiasi coppia di angoli supplementari :

sen = - sen cos = - cos tg = tg ctg = ctg

- = 180°

O

P yP

xP

’

H

P’

xP’

≅ ’

yP’

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goniometria:

funzioni goniometriche dell’ angolo di 270°

Sulla frontiera del 3° quadrante si individua un nuovo triangolo degenere se ’ = 90°( = 270°)

con OH =0 ed HP = -1 . Pertanto si ha:

Triangolo degenere con OH= 0

H≡O

sen270° HP = = yP -1 = cos270° OH = = xP 0 =

yP

xP

HP OH

= tg270° = = -1

0 =

xP

yP

OH HP

= ctg270° = = 0

-1 = 0

xP

→ 270°

P yP

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goniometria:


O

P yP

xP

Se il secondo lato dell’angolo ricade nel 4° quadrante, analogamente al caso precedente si fa

riferimento all’angolo ’ esplementare di per costruire il triangolo con ipotenusa unitaria

OHP che viene associato all’angolo per determinarne le sue funzioni goniometriche.

H

sen = sen’ = yP < 0 cos = cos’ = xP > 0

tg = tg’ = < 0 yP

xP

ctg = ctg’ = < 0 xP

yP


’

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goniometria:




si hanno le seguenti relazioni valide per qualsiasi coppia di angoli esplementari :

sen = - sen cos = cos tg = - tg ctg = - ctg

+ = 360°

P’

≅ ’

H

P

yP’

yP

’

xP

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goniometria:

funzioni goniometriche dell’ angolo giro

Sulla frontiera del 3° quadrante si individua un nuovo triangolo degenere se ’ = 0 ( = 360°)

con HP =0 ed OH = 1 . Tale situazione coincide con quella dell’angolo di 0° . Pertanto si ha:

Triangolo degenere con HP= 0

H≡P

sen360° HP = = yP 0 = cos360° OH = = xP 1 =

yP

xP

HP OH

= tg360° = = 0

-1 = 0

xP

yP

OH OP

= ctg360° = = 1

0 =

yP

→ 360°

P

O xP

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goniometria:

funzioni goniometriche di angoli qualsiasi: considerazioni

Considerazioni conclusive:

P

H

P

yP

yP

’

xP

per quanto esaminato in precedenza i valori delle funzioni goniometriche sen e cos sono

numeri reali che variano nell’ intervallo , assumendo i valori 0,1,0,-1,0 in

corrispondenza della costruzione di triangoli rettangoli degeneri degli angoli di 0° , 90° , 180° ,

270° e 360° .

-1 sen 1

yP=1

yP=-1

xP= 1 xP= -1

I valori delle funzioni tg e ctg sono espressi da

un qualsiasi numero reale, ricordando però che

esse in corrispondenza rispettivamente degli

angoli che misurano 90°, 270° e 0°, 180°, 360°

non possono essere calcolate (divisione per zero).

In corrispondenza di tali angoli ad esse sono

assegnati i valori convenzionali .

Nella tabella della pagina successiva sono

riportati i valori delle funzioni goniometriche di

alcuni angoli fondamentali.

’

’

P

P

P

P P

P

Nota : nella figura in basso a destra i triangoli costruiti su ’ sono di colore diverso rispetto a quello costruito su quando esso

ricade nel primo quadrante per evidenziare che nel primo quadrante il triangolo si costruisce su e non su ’ .

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Goniometria : funzioni goniometriche

tabella di alcuni valori della funzione sen

Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f : ↦ y = sen in

corrispondenza di alcuni angoli significativi nell’intervallo [ 0 ; 2 ].

tabella 1

misura dell’angolo sen misura dell’angolo sen

0 v 2 0 7/6

/6 5/4

/4 4/3

/3 3/2 - 1

/2 1 5/3

2/3 7/4

3/4 11/6

5/6 2 v 0 0

0 …….. ……..

3 2

3 2

3 2 −

2 1

2 2

2 2

2 1

2 − 1

2 2 −

3 2 −

2 2 −

2 − 1

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tabella di alcuni valori della funzione cos

Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f : ↦ y = cos in


tabella 1

misura dell’angolo cos misura dell’angolo cos

0 v 2 1 7/6

/6 5/4

/4 4/3

/3 3/2 0

/2 0 5/3

2/3 7/4

3/4 11/6

5/6 2 v 0 1

− 1 …….. ……..

3 2

3 2 −

2 1

2 2

2 2 2 − 1

2 2 −

2 2 −

2 1

3 2 −

2 − 1

3 2

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tabella di alcuni valori della funzione tg

Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f : ↦ y = tg in


tabella 1

misura dell’angolo tg misura dell’angolo tg

0 v 2 0 7/6

/6 5/4 1

/4 1 4/3

/3 3/2 ±

/2 ± 5/3

2/3 7/4 − 1

3/4 − 1 11/6

5/6 2 v 0 0

0 …….. ……..

2 − 1

3 3

3 3 −

3

3 3 −

3 −

3 3

3

3 −

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tabella di alcuni valori della funzione ctg

Si riassumono nella seguente tabella i valori della funzione f : ↦ y = ctg in


tabella 1

misura dell’angolo ctg misura dell’angolo ctg

0 v 2 7/6

/6 5/4 1

/4 1 4/3

/3 3/2 0

/2 0 5/3

2/3 7/4 − 1

3/4 − 1 11/6

5/6 2 v 0

…….. ……..

3

3 3

3 −

3 3 −

3

3 3

3 3 −

3 −

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