METODI 2 a.a. 2007-8

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Funzioni che mettono in relazione una variabile indipendente ( es. x), una sua funzione ( es. y = f(x) ) e la derivata di quest’ultima ( es. y’ = f’ (x) ).

)),((' xxfFy

Ordine: massimo grado di derivazione che compare nell’equazione differenziale.

ESEMPIO

SOLUZIONI

Generale

ogni equazione differenziale ha infatti infinite soluzioni che differiscono per una costante.

Si ottiene applicando la condizione iniziale alla soluzione generale trovata

Particolare

APPLICAZIONI ECONOMICHE

Considereremo sistemi DINAMICI DINAMICI in cui avremo:

t : var. indipendente ( tempo )

x( t ): var. dipendente (var. economica che si evolve nel tempo)

Variabile di stato

Useremo questa notazione:

Bu(t)Ax(t)(t)x

I SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI NELLE APPLICAZIONI ECONOMICHE

Bu(t)Ax(t)(t)x Saggio di variazione della variabile x al variare del tempo

“ cause del variare di x ”

TERMINE DI CONTROLLO

•Se •sistema NON OMOGENEO

• soluzioni diverse da quella banale

•si può “guidare” la variabile x con opportuni interventi

•Altrimenti •sistema OMOGENEO

•ammette almeno la soluzione banale

•la variabile x è incontrollabile

0B

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI

Ax(t)(t)x

λtξex(t)

λt

4

3

2

1

4

3

2

1

e

ξ

...

ξ

ξ

ξ

(t)x

...

(t)x

(t)x

(t)x

In forma esplicita…

(1)

La cui soluzione è del tipo

(2)

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI

Se la (2) è soluzione del sistema

Il sistema omogeneo avrà soluzioni diverse da quella banale se:

0)det( IA infinite soluzioni diverse da quella banale

EQUAZIONE CARATTERISTIC

A DELLA MATRICE

Cercare le soluzioni non nulle del sistema equivale a cercare gli autovalori di A e gli autovettori corrispondenti

0)( teIA

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI OMOGENEI

Quindi le soluzioni del sistema saranno

tnλ(n)

t3λ(3)

t2λ(2)

t1λ(1)

(n)

(3)

(2)

(1)

eξ

...

eξ

eξ

eξ

(t)x

...

(t)x

(t)x

(t)x

dove 1, 2, 3, …, n sono gli autovalori e (1), (2),

(3)…(n) sono gli autovettori corispondenti.

ESEMPIO

Dato il sistema

2

1

2

1

14

11

x

x

x

x

Calcoliamo autovalori e corrispondenti autovettori di A ponendo

04)1(14

11)det( 2

IA

da cui otteniamo due autovalori con molteplicità algebrica pari a 1

11 32

Troviamo gli autovettori associati a 1 =-1 sostituendo tale valore in

ESEMPIO

0I)ξλ(A 1 ottenendo

0

0

24

12

2

1

l’autovettore fondamentale è

21

Analogamente l’autovettore fondamentale di 2 sarà

2

1

ESEMPIO

Ponendo 1 e 2 pari a 1 le soluzioni particolari del sistema saranno dunque

t

tt

2

1

2e

ee

2

1

(t)x

(t)x

t

tt

e

ee

tx

tx3

33

2

1

22

1

)(

)(

Per 1

Per 2

SOLUZIONI

Se un sistema di equazioni differenziali omogeneo ammette soluzioni non nulle infinite soluzioni perché trovatane una se ne possono ricavare infinite attribuendo a valori arbitrari.

Se due o più soluzioni linearmente indipendenti una qualunque loro combinazione lineare è a sua volta soluzione del sistema.

Se è data una condizione iniziale la soluzione è unica

CONDIZIONI INIZIALI

Se una condizione iniziale x(t0) = x0 la soluzione del sistema ed è unica

Si possono determinare c1 e c2 Graficamente si identifica una sola tra il fascio di

possibili curve identificate dall’integrale generale.

x(t)

t

x0

t0

ESEMPIO

L’integrale generale nell’esempio precedente era

3t

3t

2t

t

12e

ec

2e

ecx(t)

Se la condizione iniziale in t0=o

6

5x(0)

Applicando tale condizione all’integrale generale

Da cui

6

5

2

1c

2

1c

2e

ec

2e

ecx(0) 210

0

20

0

1

11 c 42 c

ESEMPIO

Sostituendo i valori trovati nell’integrale generale troviamo la soluzione particolare

3tt

3tt

3t

3t

t

t

8e2e

4ee

2e

e4

2e

e1x(t)

soluzione che:

•È unica

•Muta se cambia la condizione iniziale.

MATRICE FONDAMENTALE DELLE SOLUZIONI

)()()( )2()1( txtxtX

Si ottiene affiancando i vettori delle soluzioni particolari

È quadrata perché il numero delle soluzioni è sempre uguale al numero delle equazioni del sistema.

in un sistema con due sole equazioni differenziali sarà:

MATRICE DI TRANSIZIONE

Ponendo il vettore delle costanti pari a c possiamo riscrivere l’integrale generale nel modo seguente

X(t)cx(t)Applicando le condizioni iniziali si ricava c

)cX(t)x(t 00

Sostituendo la (2) nella (1)

(1)

(2)

)()( 00 txtXc -1

))x(t(tX(t)X x(t) 00-1

MATRICE DI TRANSIZION

E

)t (t, 0

MATRICE DI TRANSIZIONE

Così chiamata perché il suo effetto è quello di portare il vettore iniziale x(t0) al vettore al tempo t x (t).

t

x(t)

tt0

x(t0)

ESEMPIO

La matrice fondamentale delle

soluzioni è

tt

tt

ee

eetX

3

3

22)(

Data la condizione iniziale

22

11)( 0tX

4121

4121

2),(

3

3

0 tt

tt

ee

eett

La matrice di transizione allora sarà

PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLA MATRICE DI TRANSIZIONE

Itt ),( 00

),(),(),( 0110 tttttt

t

x(t)

tt0

x(t0)

t1

1).

2).

PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLA MATRICE DI TRANSIZIONE

),(),( 01

0 tttt 3).

t

x(t)

tt0

x(t0)

),(),( 00 ttAtt 4).

Anche la matrice di transizione è una soluzione del sistema

ESEMPIO 2

213

312

321

xxx

xxx

xxx

Dato il sistema

011

101

110TAAcon

calcoliamo gli autovalori imponendo

0)det( IA

L’equazione caratteristica diventa

0233

Le cui soluzioni sono (autovalori di A)

121 23

m.a. = 2 m.a. = 1

121

ESEMPIO 2

Cerchiamo gli autovettori per 1 = 2= -1 risolvendo il sistema 0)())1(( IAIA

In forma matriciale

0

0

0

111

111

111

3

2

1

0321

Da cui

33

22

321

n-r = 2 soluzioni, dove

n ordine di (A- I)r rango di (A- I)

ESEMPIO 2

0

1

3

2

• Se

0

1

1

0

1

)1(0)1(

00

1

11)1()1( t

t

tt e

e

eex Prima

possibile soluzione

per 1 = 2=

-1 • Se

1

0

3

2

analogamente avremo

t

t

tt

e

e

eex 0

1

0

12)2()2(

Seconda possibile soluzione

per 1 = 2=

-1

ESEMPIO 2

Cerchiamo ora gli autovettori per 3= 2 risolvendo il sistema 0)2( IA

ossia

0

0

0

211

121

112

3

2

1

021

02

321

321

Da cui

33

32

31

quindi, se 3 =1

t

t

t

tt

e

e

e

eex2

2

2

2)3()3(

1

1

13

possibile soluzione per 3= 2

ESEMPIO 2

Le tre soluzioni trovate sono linearmente indipendenti possiamo scrivere l’integrale generale come segue

)()()()( )3(3

)2(2

)1(1 txctxctxctx

La matrice fondamentale delle soluzioni sarà

tt

tt

ttt

ee

ee

eee

tX2

2

2

0

0)(

ESEMPIO 4

2

1

2

1 *35

23

x

x

x

x

09102

Dato il sistema

L’equazione caratteristica sarà

Le cui soluzioni sono (autovalori di A)

1

i1 i2

ESEMPIO 4

Come si può notare sono numeri complessi e coniugati.

Cerchiamo gli autovettori per 1 = i risolvendo il sistema

0)( 1 IA

ESEMPIO 4

= soluzioni Inoltre, il rango è maggiore di 0 perché non è

una matrice nulla.

rn 1

0

0

35

23

2

1

i

i

Si noti che per costruzione il rango di (A- I)=0 è quindi minore di 2 perciò questo sistema ha:

Si evince perciò che la soluzione del sistema equivale a quella di una delle sue equazioni.

ESEMPIO 4

Scegliamo la seconda:

035 21 i 21 5

3 i

Perciò un autovettore associato a

i1 sarà:

2

2

21

1

5353

ii

ESEMPIO 4

Ponendo ad esempio si ottiene una delle possibili soluzioni del sistema dato:

11

itei

X

1

531

Qualsiasi valore assuma nel campo dei numeri reali, l’autovettore relativo a sarà sempre di tipo complesso e potrà essere scritto nella forma che separa la parte reale daquella immaginaria.

21

ESEMPIO 4

itei

tX

0

5

1

531

itei

0

51

1

53

1

53a

Ponendo:

0

51b

ESEMPIO 4

Si ha: itebiatx 1

Ora possiamo calcolare l’ autovettore corrispondente a

i2e si ottiene:

222

2

1

53

bia

i

e perciò l’autovettore corrispondente analogamente a quanto fatto per l’altro valore sarà:

ESEMPIO 4

itit ebiatxetx

22

0

51

1

53

Questi due autovettori non sono reali, né linearmente indipendenti, caratteristiche essenziali per poter costruire l’integrale generale del sistema di equazioni dato. E’ necessario introdurre un metodo che permetta di passare da una espressione non reale ad una reale.

ESEMPIO 4

Supponiamo di aver trovato due autovalori della matrice A del tipo:

i 1i2

In corrispondenza dei due autovalori si trovano gli autovettori 11 bia 22 bia

Con a e b vettori reali

ESEMPIO 4

Posto poi , le corrispondenti soluzioni del sistema di equazioni differenziali saranno:

11

tit ebiaetx 111

tit ebiaetx 222

ESEMPIO 4

Consideriamo per ora solo la prima delle due espressioni, la si può scrivere:

itteebiatx 1

Ricordando la formula di De Moivre

zizeiz sincos

ESEMPIO 4

Possiamo scrivere:

titebiatx t sincos1

ietbtaetbta

titbieaett

tt

cossinsincos

sincos

In questo modo si è ottenuta l’espressione di x(t) in una forma in cui il primo termine è reale ed il secondo è formato da un coefficiente reale per un numero immaginario.

ESEMPIO 4

Se poniamo:

t

t

etbtaty

etbtaty

cossin

sincos2

1

Si può dimostrare che y(1) ed y(2) sono soluzioni reali e linearmente indipendenti del sistema

Axx

ESEMPIO 4

Riprendendo l’esempio visto:

ii

ii

2

1

Da cui si ricava: 01

Inoltre avevamo ricavato:

1

53a

0

51b

ESEMPIO 4

Possiamo scrivere subito le due soluzioni reali e linearmente indipendenti

tetty 01 sin0

51cos

1

53

t

tt

cos

sin5/1cos5/3

ESEMPIO 4

tetty 02 cos0

51sin

1

53

t

tt

sin

cos5/1sin5/3

ESEMPIO 4

Adesso posso calcolare l’integrale generale, posta la condizione iniziale: t=0

1

10tx

Si può calcolare l’integrale generale come combinazione lineare delle due soluzioni particolari :

t

ttc

t

ttctx

sin

cos5/1sin5/3

cos

sin5/1cos5/321

ESEMPIO 4

Per trovare il valore di c si risolve il sistema:

0

51

1

53

1

10 21 cctx

2

1

1

15153

2

1

1

21

c

c

c

cc

ESEMPIO 4

tt

tttx

sin2cos

sincos