10/01/13 1

2

definizione intuitiva: funzione continua ↔ curva continua

3

Funzioni trigonometriche}

4

o

5

6

7

8

1)

2)

3)

Le

9

successione

La successione converge a “e”

10

y=ex

11

Si dice logaritmo in base a di un numero x l'esponente da dare ad a per ottenere x , cioe': ne segue che

I logaritmi e la funzione logaritmo

x=a y y=loga x

Proprieta'loga x⋅y =loga xloga y loga

xy=loga x−loga y

loga xk =k loga x logb x =

logk x

logk b

1 2

3 4

y= f x=loga x

loga a=1

loga 1=0

aloga x=logaax=x

10/01/13 12

10/01/13 13

14

VFunzioni trigonometriche: senx e cosx

x

y

A

B

D

C

P Il punto P si sposta partendo da A in senso antiorario

Posizione Angolo Seno CosenoA 0 0 1B π/2 1 0C π 0 -1D 3/2π -1 0A 2π 0 1

- le funzioni seno e coseno sono limitate tra -1 e 1- dopo un giro (2π) riassumono lo stesso valore funzioni periodiche→

15

Funzioni trigonometriche: senx e cosx

Le funzioni seno e coseno sono uguali, solo sfasate di π/2

16

Il

10/01/13 17

10/01/13 18

Formule di prostaferesi

In trigonometria, le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.

cos−=coscossin sin

cos=coscos−sin sin

sin =cos 90−=sin cos cossin

sin −=cos 90−−=sin cos−cossin

Caso particolare cos(2β)=cos2

(β)−sin2(β)

=

sin 2=2sin cos

10/01/13 19

Teorema di Carnot

Dato un triangolo qualsiasi ABC, e' possibile determinare un lato AB se si conoscono gli altri due lati AC e BC e L'angolo tra essi compreso usando la relazione:

AB2=AC2 + BC2 -2AC·BC cos(γ)

A B

C

γ

20

Limiti: Caso 1Data una funzione ƒ(x) definita in un intervallo di si dice che il limite di ƒ(x) al tendere di x a c e' il numero reale α e si scrive

limxc

f x=

se per ogni intorno di α esiste un intorno J di c tale che per ogni x

appartenente a J valori assunti dalla funzione ƒ(x) sono tali da verificarela disuguaglianza: α−ε<ƒ(x)<α+ε

ℝ

o x

y

c

J

α

α+ε

α−ε

o x

y

c

αα+εα−ε

J

21

Limite di una funzione continua:

Se abbiamo una funzione continua: cioe' il limite per x che tende al valore c della funzione ƒ(x) e' ilvalore ƒ(c) che la funzione assume in c

limx c

f x = f c

Esempi:

limx0

e x=e0=1

limx1

3x−1=3⋅1−1=2

Se la funzione non e' continua caso per caso si deve calcolare il limitese esiste.

22

Limiti: Caso 2Una funzione ƒ(x) definita in un intervallo di ha per limite infinitopositivo o l'infinito negativo per x che tende c e si scrive

limx c

f x =∞

se scelto M arbitrariamente grande esiste un intorno di c, J tale che per ogni x appartenente a J sia verificato per la funzione: ƒ(x)>M o rispettivamente ƒ(x)<−M

ℝ

o x

y

c

J

M J

limx c

f x =−∞

o x

y

c

-M

/\/\

/\/\

23

Esempi:

limx1

xx−1

=∞

limx/2

tan x=∞

In particolare per la tangente di un angolo dobbiamo specificare se tende a π/2 da sinistra o da destra. Infatti:

limx/2

tan x =∞

limx/2

tan x =−∞

-

+

24

Limiti: Caso 3Una funzione ƒ(x) definita in un campo di esistenza illimitato a destra o sinistra ha per limite un numero reale α per x che tende a ±∞

e si scrive limx∞

f x=

se per ogni intorno di α esiste un numero reale K tale che attribuendo a x valori x>K o x<-K i valori assunti dalla funzione ƒ(x) cadono nell'intorno di α

α−ε<ƒ(x)<α+ε

ℝ

o x

y

K

α

α+ε

α−ε

limx−∞

f x=

o x

y

-K

α

α+ε

α−ε

/\/\ /\/\

e/o

25

Esempi:

limx∞

2x−1x1

=2xx

=2

limx−∞

e x=0

limx∞

e−x= limx∞

1

e x=

1∞

=0

26

Limiti: Caso 4Una funzione ƒ(x) definita in un campo di esistenza illimitato a destra o sinistra si dice che per x che tende a ±∞ ha per limite infinitopositivo o negativo e si scrive

limx∞

f x=±∞

se in corrispondenza di un numero M arbitrariamente grande esiste unnumero reale K tale che attribuendo a x valori x>K o x<-K la funzione assume valori ƒ(x)>M o rispettivamente ƒ(x)<−M

ℝ

o x

y

K

limx−∞

f x=±∞

o x

y

-K

M

-M

M

-M

/\/\ /\/\

/\/\

/\/\

/\/\

/\/\

27

Esempi:

limx∞

x=∞

limx−∞

x=−∞

y

x-∞

-∞

+∞

+∞

y

x

-∞+∞

-∞ +∞

limx∞

−x=−∞

limx−∞

x=∞

28

Esempi di calcolo di limiti:

limx3

x2−9x−3

f x =x2−9x−3

Definita su eccetto x=3. Cosa possiamo dire Per x=3?

ℝ

Se si sostituisce x=3 otteniamo 0/0 forma indeterminata

Per studiare il comportamento delle funzione in 3 osserviamo che:

x2−9x−3

= x−3x3

x−3=x3 si considera questa come nuova funzione

che approssima la nostra funzione in x=3

limx3

x2−9x−3

=limx3

x3=6

1) Funzione che si dimostra essere continua

Quindi la funzione per x=3 e' continua e il suo valore e' 6

29

Esempi di calcolo di limiti:

limx1/2

x21

2x−1=∞

f x =x212x−1

Definita su eccetto x=1/2. Cosa possiamo dire per x=1/2?

ℝ

2) Calcolo degli asintoti

In questo caso il limite destro e sinistro non sono uguali

limx1/2

x212x−1

=−∞-

Se mi avvicino a ½ da sinistra ho valori inferiori a½ quindi χ≤1 che significa “0 negativo”

limx1/2

x 21

2x−1=∞+

Se mi avvicino a ½ da destra ho valori superiori a½ quindi χ≥1 che significa “0 positivo”

Quindi x=1/2 e' un asintoto verticale

o x

y

30

Esercizi

1) Calcolare il limite per x->0, 2, ∞ delle funzioni:

f x =3x2−5x

4−x2 f x =x3−64

32 x−2

2) Calcolare il limite per x->-1, 0, 1, ∞ della funzione

f x =2x3x2−x

x31

3) Calcolare il limite per x->-2, 0, 2, ∞ della funzione

f x = x25−x

31

Studio di funzioni

Usiamo come esempio la funzione:

1) Determinare il campo di esistenza Nel nostro caso: escluso x=-d/c2) Determinare il comportamento all'infinito:

3) Determinare i possibili asintoti verticali (o orizzontali)

4) Intersezioni con gli assi - Si pone x=0 f(x)=b/d e' l'ordinata del punto di intersezione con Asse y, se b=0 l'intersezione e' l'origine. - Si pone f(x)=0 x=-b/a, ascissa del punto di intersezione con l'asse x

f x =axbcxd

ℝ

ℝ

limx∞

f x =ac

limx

−dc

f x=∞

32

5) Determinare di massimi e/o minimi Questo lo faremo studiando la derivata della funzione 6) Disegnare il grafico della funzione

x=-d/c

y=a/cAsintotoorizzontale

Asintotoverticale

y=b/d

x=-b/a