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FENOMENI PERIODICI E FUNZIONITRIGONOMETRICHE

f: R→ R è detta funzione periodica di periodo T>0 seper ogni x∈R f(x+T) = f(x)

Gli angoli hanno natura periodica: un angolo di 30° o unangolo di 30°+360° = 390° sono lo stesso angolo.

Il grado è un’unità di misura non collegabile all’unità dimisura delle lunghezze.

Il radiante è strettamente legato all’unità di misura dellelunghezze


Si definisce l’angolo di 1 radiante, l’angolo che sottendeun arco di lunghezza 1 in una circonferenza di raggio 1.

La misura in radianti di un angolo coincide con lalunghezza dell’arco sotteso in una circonferenza diraggio unitario.

L’angolo giro, 360°, sottende l’intera circonferenza che èlunga 2π , quindi l’angolo giro misura 2π radianti


L’angolo piatto, 180°, sottende mezza circonferenza che èlunga π , quindi l’angolo piatto misura π radianti

L’angolo retto, 90°, sottende un quarto di circonferenzache è lunga 2π/4 , quindi l’angolo giro misura π/2radianti

In generale, un angolo di x gradi, x°, sottende x/360 dicirconferenza e quindi misura 2πx/360 radianti x°= πx/180 rad


Viceversa, avendo la misura di un angolo in radianti siottiene la corrispondente misura in gradi moltiplicandoper 180/π r rad =(180r/ π)°

Si ha quindi 1 rad =(180/ π)° ≈ 57.29°

Gli angoli hanno un verso: possiamo percorrerli in sensoorario o antiorario, di conseguenza la loro misura ha unsegno positivo o negativo.


Per convenzione, si considera positivo un angolopercorso in senso antiorario, e negativo un angolopercorso in senso orario.

Sia C ⊂ R2 la circonferenza nel piano cartesiano di centrol’origine e di raggio unitario. Per ogni θ∈R l’angolo di θradianti, misurato a partire dalla semiretta positiva delleascisse, identifica in modo unico un punto P(θ) sullacirconferenza C. Definiamo le due seguenti funzioni: cosθ(coseno di θ) l’ascissa del punto P(θ), sinθ (seno di θ)l’ordinata di P(θ).


Abbiamo definito due funzionisin: R→ Rcos: R→ Rperiodiche di periodo 2π∀k∈Z cos(θ+2k π)=cosθ e sin(θ+2k π) = sinθPoiché ascissa e ordinata del punto P(θ) variano tra -1 ed1, lo stesso accade per seno e coseno -1 ≤ cos θ ≤ 1 -1 ≤ sin θ ≤ 1Quindi l’insieme immagine delle funzioni seno e coseno èl’intervallo [-1, 1]


La funzione coseno, ascissa del punto P(θ), risulteràstrettamente decrescente da 0, dove assume valoremassimo 1 (cos0=1), fino a π, dove assume valoreminimo -1 (cosπ=-1); strettamente crescente da π fino a2π, e, data la sua periodicità, ripeterà questo andamento.quindicosθ risulterà strettamente decrescente negli intervalli[2kπ, (2k+1)π] ∀k∈Zcosθ risulterà strettamente crescente negli intervalli[(2k-1)π, 2kπ] ∀k∈Z


La funzione coseno risulterà positiva nell’intervallo(-π/2, π/2) e, più in generale, negli intervalli(2kπ -π/2, 2kπ + π/2) ∀k∈Z

Si ha cosπ/2=0= cos(-π/2) e quindi, più in generale,cos(π/2 + kπ)=0 ∀k∈Z

In generale si osserva che, per ogni θ, cosθ =cos(-θ), lafunzione coseno è una funzione pari


La funzione seno, ordinata del punto P(θ), risulteràstrettamente crescente da 0, dove assume valore 0(sin0=0), fino a π/2, dove assume valore massimo 1(sinπ/2=1); strettamente decrescente da π/2 fino a 3π/2,dove assume valore minimo -1 (sin3π/2= -1); di nuovocrescente da 3π/2 fino a 2π, a partire dal quale, data laperiodicità ripeterà questo andamento. sinθ risulterà strettamente decrescente negli intervalli[2kπ + π/2 , 2kπ + 3π/2] ∀k∈Zsinθ risulterà strettamente crescente negli intervalli[2kπ - π/2, 2kπ + π/2] ∀k∈Z


La funzione seno risulterà positiva nell’intervallo(0, π) e, più in generale, negli intervalli(2kπ , (2k+1)π ) ∀k∈Z

Si ha sin0= 0 =sinπ = sin(kπ)sinπ/2 =1 =sin(2kπ + π/2)sin(-π/2) = -1 = sin(2kπ - π/2)

In generale si osserva che, per ogni θ, si hasin(-θ) = -sin θ per cui la funzione seno è unafunzione dispari

Grafici delle funzioni sinx e cosx


Ruotando di ±π, cambiamo di segno ascisse e ordinatedei punti, quindicos(θ ± π) = -cos θ, sin(θ ± π) = -sin θRuotando in senso antiorario di π/2, trasformiamo leascisse in ordinate sin(θ + π/2) = cosθ e le ordinate inascisse cambiate di segno cos(θ + π/2) = -sin θ

Le funzioni seno e coseno non hanno limite sia perθ→+∞ che per θ→−∞ , infatti continuano ad oscillaretra i valori -1 ed 1.


Il punto P(θ) si muove sulla circonferenza di centrol’origine e raggio 1, quindi dista dall’origine 1, per cuivale per le sue coordinate la relazione cos2 θ + sin2 θ = 1

E’ possibile, inoltre, ricavare le seguenti relazioni, notecome formule di addizione sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ


Tenendo conto che coseno è una funzione pari e che senoè una funzione dispari, si hanno anche

sin(α- β) = sinαcosβ - cosαsinβ cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ


In generale, se consideriamo nel piano cartesiano unpunto P= (x,y) a distanza r dall’origine ed indichiamocon θ l’angolo che la semiretta per l’origine e per Pforma con l’asse positivo delle ascisse, dalla similitudinedei triangoli otteniamo

x=rcosθ, y= rsinθ

(r, θ) sono chiamate le coordinate polari di P


Conoscendo le coordinate cartesiane di un punto èpossibile determinare le sue coordinate polari, bastautilizzare il teorema di Pitagora e le due relazioniprecedenti, si har=sqr(x2 + y2 )cosθ = x/r = x/sqr(x2 + y2 )sinθ = y/r =y/ sqr(x2 + y2 )


Si definisce la funzione tangente, tanθ, (talvolta indicatatgθ), nel modo seguente tanθ =sinθ/cosθLa funzione tangente non è definita dove si annulla ilcoseno, quindi è definita per θ≠ π/2 +kπ per ogni k∈Ztanθ è periodica di periodo π tan(θ +kπ) = tanθtanθ è strettamente crescente in ciascun intervallo(kπ - π/2, kπ + π/2) , per ogni k∈Z


tanθ è positiva in ciascun intervallo(kπ , kπ + π/2) , per ogni k∈Z

Il grafico di tanθ ha un asintoto verticale nei punti disingolarità limθ→(π/2+k π)+ tanθ =−∞ limθ→(π/2+k π)- tanθ =+∞

L’insieme immagine è tutto R

Grafico della funzione tanx

Alcuni limiti: limx→0 sinx/x = 1


Consideriamo il caso α→0+, analogo è il caso α→0-.Con riferimento alla figura precedente, si osserva chel’area del triangolo di vertici ABC, è minore dell’areadel settore circolare ABE, che a sua volta è minoredell’area del triangolo ADE (essendo questi insiemicontenuti uno dentro l’altro). Poiché l’area di un settorecircolare è proporzionale alla lunghezza dell’arco,essendo l’area del cerchio unitario, sotteso ad un arco dilunghezza 2π , uguale a π, la costante di proporzionalitàè 1/2 e quindi l’area del settore circolare ABE è α/2


1/2 sinα cosα < α/2 < 1/2 tan α

Dividiamo per sinα (che per α>0 è positivo) emoltiplichiamo per 2 cosα < α/sinα < 1/cosαPassiamo ai reciproci cosα < sinα/α < 1/cosαDa cui, per il teorema del confronto, otteniamo

limx→0+sin α/α = 1

Analogo risultato si ha per il limite sinistro

Alcuni limiti……

Dal precedente limite ricaviamo anche limx→0 (1-cosx)/x2 = 1/2

Funzioni inverse: arcsinxLa funzione sinx non è iniettiva e quindi non puòessere globalmente invertibile, ma se la restringiamo aopportuni intervalli, è possibile determinare unafunzione inversa.Nell’intervallo [-π/2, π/2 ] la funzione seno èstrettamente crescente e quindi iniettiva, seconsideriamo come codominio l’intervallo [-1, 1]possiamo definire la funzione inversa arcoseno,arcsin: [-1, 1] → [-π/2, π/2 ]arcsinx è l’unica soluzione nell’intervallo [-π/2, π/2 ]dell’equazione sinθ =x

Grafico della funzione arcsinx

Funzioni inverse: arccosx

Analogamente, considerando la funzione cosenoristretta all’intervallo [0, π], dove è strettamentedecrescente, e con codominio l’intervallo [-1, 1],otteniamo una funzione invertibile. Definiamo lafunzione inversa arcocosenoarccos: [-1, 1]→ [0, π], arcocosx è l’unica soluzionenell’intervallo [0, π] dell’equazione cosθ =x

Attenzione! L’equazione cosθ =x ha infinite soluzioni,ma per θ∈ [0, π] la soluzione è unica.

Grafico della funzione arccosx

Funzioni inverse: arctanx

Infine, considerando la funzione tanx ristrettaall’intervallo [-π/2, π/2], dove è strettamente crescente,e con codominio R, otteniamo una funzioneinvertibile. Definiamo la funzione inversaarcotangentearctan: R → [-π/2, π/2], arctanx è l’unica soluzionenell’intervallo [-π/2, π/2], dell’equazione tanθ =x

Attenzione! L’equazione tanθ =x ha infinite soluzioni,ma per θ∈ [-π/2, π/2], la soluzione è unica.

Grafico della funzione arctanx

FUNZIONI SINUSOIDALI

Diremo curva sinusoidale una curva ottenuta dal graficodella funzione seno tramite traslazioni o moltiplicazionidi ascisse e /o ordinate, la funzione di cui la curva ègrafico si dirà funzione sinusoidale.


Una funzione sinusoidale è determinata da:- il periodo (per seno e coseno 2π)- l’ampiezza, data da (M-m)/2, dove M è il valoremassimo, ed m è il valore minimo, è, quindi, metàdell’intervallo di variazione (per seno e coseno è 1)- il valor medio, dato da (M+m)/2, punto centraledell’intervallo di variazione, (per seno e coseno è 0)- la fase, primo punto non negativo in cui la funzioneassume valore massimo M (per il coseno la fase è 0, peril seno la fase è π/2)

FUNZIONI SINUSOIDALI: UN ESEMPIO

Una popolazione di uccelli varia stagionalmente da unminimo di circa 1000 (inizio aprile) individui ad unmassimo di circa 1500 (inizio ottobre). Cerchiamo unafunzione sinusoidale che rappresenti questo andamento infunzione dei giorni dell’anno.La funzione sinusoidale che cerchiamo deve avere:Periodo 365 giorniAmpiezza (1500-1000)/2 = 250 e valor medio(1500+1000)/2 =1250Fase : il primo massimo si ha all’inizio di ottobre, quindiil giorno 274


Partiamo dalla funzione cosx e modifichiamo il periodoper passare dall’intervallo [0, 2π] all’intervallo [0, 365] cos[(2π/365)x]Sistemiamo la fase, perché la precedente funzione ha ilprimo massimo in 0, mentre la funzione che cerchiamodeve averlo in 274 cos[(2π/365)(x - 274)]Sistemiamo l’ampiezza, la funzione precedente haampiezza 1, quella che cerchiamo deve avere ampiezza250 250cos[(2π/365)(x - 274)]


Il valore massimo deve essere 1500, la funzioneprecedente ha valore massimo 250, quindi la funzione checerchiamo è 250cos[(2π/365)(x - 274)] + 12501250 è il valor medioA questa funzione corrisponde valore minimo giusto1000, assunto per x*= 91.5, quindi inizi aprile come deveessere. Per avere 0 ≤ x*≤ 365 basta porre(2π/365)(x - 274) = (2k +1)π


In generale, se cerchiamo una funzione sinusoidale diperiodo P, ampiezza A, valor medio y*, fase F, avremo,analogamente a quanto visto nell’esempio precedente,una funzionef(x) = Acos[(2π/P)(x-F)] + y*

Il numero f= 1/P è chiamato frequenza della funzioneLa quantità ω=2π/P viene detta frequenza angolare dellafunzione, e, talvolta la funzione sinusoidale è espressacome f(x) = Acos[ω(x-F)] + y*

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