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FENOMENI PERIODICI E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

f: R→ R è detta funzione periodica di periodo T>0 se per ogni x∈R f(x+T) = f(x) Gli angoli hanno natura periodica: un angolo di 30° o un angolo di 30°+360° = 390° sono lo stesso angolo. Il grado è un’unità di misura non collegabile all’unità di misura delle lunghezze. Il radiante è strettamente legato all’unità di misura delle lunghezze


Si definisce l’angolo di 1 radiante, l’angolo che sottende un arco di lunghezza 1 in una circonferenza di raggio 1. La misura in radianti di un angolo coincide con la lunghezza dell’arco sotteso in una circonferenza di raggio unitario. L’angolo giro, 360°, sottende l’intera circonferenza che è lunga 2π , quindi l’angolo giro misura 2π radianti


L’angolo piatto, 180°, sottende mezza circonferenza che è lunga π , quindi l’angolo piatto misura π radianti L’angolo retto, 90°, sottende un quarto di circonferenza che è lunga 2π/4 , quindi l’angolo giro misura π/2 radianti In generale, un angolo di x gradi, x°, sottende x/360 di circonferenza e quindi misura 2πx/360 radianti x°= πx/180 rad


Viceversa, avendo la misura di un angolo in radianti si ottiene la corrispondente misura in gradi moltiplicando per 180/π r rad =(180r/ π)° Si ha quindi 1 rad =(180/ π)° ≈ 57.29° Gli angoli hanno un verso: possiamo percorrerli in senso orario o antiorario, di conseguenza la loro misura ha un segno positivo o negativo.


Per convenzione, si considera positivo un angolo percorso in senso antiorario, e negativo un angolo percorso in senso orario. Sia C ⊂ R2 la circonferenza nel piano cartesiano di centro l’origine e di raggio unitario. Per ogni θ∈R l’angolo di θ radianti, misurato a partire dalla semiretta positiva delle ascisse, identifica in modo unico un punto P(θ) sulla circonferenza C. Definiamo le due seguenti funzioni: cosθ (coseno di θ) l’ascissa del punto P(θ), sinθ (seno di θ) l’ordinata di P(θ).


Abbiamo definito due funzioni sin: R→ R cos: R→ R periodiche di periodo 2π ∀ k∈Z cos(θ+2k π)=cosθ e sin(θ+2k π) = sinθ Poiché ascissa e ordinata del punto P(θ) variano tra -1 ed 1, lo stesso accade per seno e coseno -1 ≤ cos θ ≤ 1 -1 ≤ sin θ ≤ 1 Quindi l’insieme immagine delle funzioni seno e coseno è l’intervallo [-1, 1]


La funzione coseno, ascissa del punto P(θ), risulterà strettamente decrescente da 0, dove assume valore massimo 1 (cos0=1), fino a π, dove assume valore minimo -1 (cosπ=-1); strettamente crescente da π fino a 2π, e, data la sua periodicità, ripeterà questo andamento, quindi cosθ risulterà strettamente decrescente negli intervalli [2kπ, (2k+1)π] ∀k∈Z cosθ risulterà strettamente crescente negli intervalli [(2k-1)π, 2kπ] ∀k∈Z


La funzione coseno risulterà positiva nell’intervallo (-π/2, π/2) e, più in generale, negli intervalli (2kπ -π/2, 2kπ + π/2) ∀k∈Z Si ha cosπ/2=0= cos(-π/2) e quindi, più in generale, cos(π/2 + kπ)=0 ∀k∈Z In generale si osserva che, per ogni θ, cosθ =cos(-θ), la funzione coseno è una funzione pari


La funzione seno, ordinata del punto P(θ), risulterà strettamente crescente da 0, dove assume valore 0 (sin0=0), fino a π/2, dove assume valore massimo 1 (sinπ/2=1); strettamente decrescente da π/2 fino a 3π/2, dove assume valore minimo -1 (sin3π/2= -1); di nuovo crescente da 3π/2 fino a 2π, a partire dal quale, data la periodicità ripeterà questo andamento. sinθ risulterà strettamente decrescente negli intervalli [2kπ + π/2 , 2kπ + 3π/2] ∀k∈Z sinθ risulterà strettamente crescente negli intervalli [2kπ - π/2, 2kπ + π/2] ∀k∈Z


La funzione seno risulterà positiva nell’intervallo (0, π) e, più in generale, negli intervalli (2kπ , (2k+1)π ) ∀k∈Z Si ha sin0= 0 =sinπ = sin(kπ) sinπ/2 =1 =sin(2kπ + π/2) sin(-π/2) = -1 = sin(2kπ - π/2) In generale si osserva che, per ogni θ, si ha sin(-θ) = -sin θ per cui la funzione seno è una funzione dispari

Grafici delle funzioni sinx e cosx


Ruotando di ±π, cambiamo di segno ascisse e ordinate dei punti, quindi cos(θ ± π) = -cos θ, sin(θ ± π) = -sin θ Ruotando in senso antiorario di π/2, trasformiamo le ascisse in ordinate sin(θ + π/2) = cosθ e le ordinate in ascisse cambiate di segno cos(θ + π/2) = -sin θ Le funzioni seno e coseno non hanno limite sia per θ→+∞ che per θ→-∞ , infatti continuano ad oscillare tra i valori -1 ed 1.


Il punto P(θ) si muove sulla circonferenza di centro l’origine e raggio 1, quindi dista dall’origine 1, per cui vale per le sue coordinate la relazione cos2 θ + sin2 θ = 1 E’ possibile, inoltre, ricavare le seguenti relazioni, note come formule di addizione sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ


Tenendo conto che coseno è una funzione pari e che seno è una funzione dispari, si hanno anche sin(α- β) = sinαcosβ - cosαsinβ cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ


In generale, se consideriamo nel piano cartesiano un punto P= (x,y) a distanza r dall’origine ed indichiamo con θ l’angolo che la semiretta per l’origine e per P forma con l’asse positivo delle ascisse, dalla similitudine dei triangoli otteniamo x=rcosθ, y= rsinθ (r, θ) sono chiamate le coordinate polari di P


Conoscendo le coordinate cartesiane di un punto è possibile determinare le sue coordinate polari, basta utilizzare il teorema di Pitagora e le due relazioni precedenti, si ha r=sqr(x2 + y2 ) cosθ = x/r = x/sqr(x2 + y2 ) sinθ = y/r =y/ sqr(x2 + y2 )


Si definisce la funzione tangente, tanθ, (talvolta indicata tgθ), nel modo seguente tanθ =sinθ/cosθ La funzione tangente non è definita dove si annulla il coseno, quindi è definita per θ≠ π/2 +kπ per ogni k∈Z tanθ è periodica di periodo π tan(θ +kπ) = tanθ La funzione tangente è una funzione dispari tan(-θ) = -tanθ


tanθ è strettamente crescente in ciascun intervallo (kπ - π/2, kπ + π/2) , per ogni k∈Z tanθ è positiva in ciascun intervallo (kπ , kπ + π/2) , per ogni k∈Z Il grafico di tanθ ha un asintoto verticale nei punti di singolarità limθ→(π/2+k π)+ tanθ =-∞ limθ→(π/2+k π)- tanθ =+∞ L’insieme immagine è tutto R

Grafico della funzione tanx

Alcuni limiti: limx→0 sinx/x = 1��


Consideriamo il caso α→0+, analogo è il caso α→0-. Con riferimento alla figura precedente, si osserva che l’area del triangolo di vertici ABC, è minore dell’area del settore circolare ABE, che a sua volta è minore dell’area del triangolo ADE (essendo questi insiemi contenuti uno dentro l’altro). Poiché l’area di un settore circolare è proporzionale alla lunghezza dell’arco, essendo l’area del cerchio unitario, sotteso ad un arco di lunghezza 2π , uguale a π, la costante di proporzionalità è 1/2 e quindi l’area del settore circolare ABE è α/2


1/2 sinα cosα < α/2 < 1/2 tan α Dividiamo per sinα (che per α>0 è positivo) e moltiplichiamo per 2 cosα < α/sinα < 1/cosα Passiamo ai reciproci cosα < sinα/α < 1/cosα Da cui, per il teorema del confronto, otteniamo

limx→0+sin α/α = 1 ��Analogo risultato si ha per il limite sinistro

Alcuni limiti……

Dal precedente limite ricaviamo anche limx→0 (1-cosx)/x2 = 1/2

Funzioni inverse: arcsinx La funzione sinx non è iniettiva e quindi non può essere globalmente invertibile, ma se la restringiamo a opportuni intervalli, è possibile determinare una funzione inversa. Nell’intervallo [-π/2, π/2 ] la funzione seno è strettamente crescente e quindi iniettiva, se consideriamo come codominio l’intervallo [-1, 1] possiamo definire la funzione inversa arcoseno, arcsin: [-1, 1] → [-π/2, π/2 ] arcsinx è l’unica soluzione nell’intervallo [-π/2, π/2 ] dell’equazione sinθ =x

Grafico della funzione arcsinx

Funzioni inverse: arccosx

Analogamente, considerando la funzione coseno ristretta all’intervallo [0, π], dove è strettamente decrescente, e con codominio l’intervallo [-1, 1], otteniamo una funzione invertibile. Definiamo la funzione inversa arcocoseno arccos: [-1, 1]→ [0, π], arcocosx è l’unica soluzione nell’intervallo [0, π] dell’equazione cosθ =x Attenzione! L’equazione cosθ =x ha infinite soluzioni, ma per θ∈ [0, π] la soluzione è unica.

Grafico della funzione arccosx

Funzioni inverse: arctanx

Infine, considerando la funzione tanx ristretta all’intervallo (-π/2, π/2), dove è strettamente crescente, e con codominio R, otteniamo una funzione invertibile. Definiamo la funzione inversa arcotangente arctan: R → (-π/2, π/2), arctanx è l’unica soluzione nell’intervallo (-π/2, π/2), dell’equazione tanθ =x Attenzione! L’equazione tanθ =x ha infinite soluzioni, ma per θ∈ (-π/2, π/2), la soluzione è unica.

Grafico della funzione arctanx

FUNZIONI SINUSOIDALI

Diremo curva sinusoidale una curva ottenuta dal grafico della funzione seno tramite traslazioni o moltiplicazioni di ascisse e /o ordinate, la funzione di cui la curva è grafico si dirà funzione sinusoidale.


Una funzione sinusoidale è determinata da: -  il periodo (per seno e coseno 2π) -  l’ampiezza, data da (M-m)/2, dove M è il valore massimo, ed m è il valore minimo, è, quindi, metà dell’intervallo di variazione (per seno e coseno è 1) -  il valor medio, dato da (M+m)/2, punto centrale dell’intervallo di variazione, (per seno e coseno è 0) - la fase, primo punto non negativo in cui la funzione assume valore massimo M (per il coseno la fase è 0, per il seno la fase è π/2)

FUNZIONI SINUSOIDALI: UN ESEMPIO

Una popolazione di uccelli varia stagionalmente da un minimo di circa 1000 (inizio aprile) individui ad un massimo di circa 1500 (inizio ottobre). Cerchiamo una funzione sinusoidale che rappresenti questo andamento in funzione dei giorni dell’anno. La funzione sinusoidale che cerchiamo deve avere: Periodo 365 giorni Ampiezza (1500-1000)/2 = 250 e valor medio (1500+1000)/2 =1250 Fase : il primo massimo si ha all’inizio di ottobre, quindi il giorno 274


Partiamo dalla funzione cosx e modifichiamo il periodo per passare dall’intervallo [0, 2π] all’intervallo [0, 365] cos[(2π/365)x] Sistemiamo la fase, perché la precedente funzione ha il primo massimo in 0, mentre la funzione che cerchiamo deve averlo in 274 cos[(2π/365)(x - 274)] Sistemiamo l’ampiezza, la funzione precedente ha ampiezza 1, quella che cerchiamo deve avere ampiezza 250 250cos[(2π/365)(x - 274)]


Il valore massimo deve essere 1500, la funzione precedente ha valore massimo 250, quindi la funzione che cerchiamo è 250cos[(2π/365)(x - 274)] + 1250 1250 è il valor medio A questa funzione corrisponde valore minimo giusto 1000, assunto per x*= 91.5, quindi inizi aprile come deve essere. Per avere 0 ≤ x*≤ 365 basta porre (2π/365)(x - 274) = (2k +1)π


In generale, se cerchiamo una funzione sinusoidale di periodo P, ampiezza A, valor medio y*, fase F, avremo, analogamente a quanto visto nell’esempio precedente, una funzione f(x) = Acos[(2π/P)(x-F)] + y* Il numero f= 1/P è chiamato frequenza della funzione La quantità ω=2π/P viene detta frequenza angolare della funzione, e, talvolta la funzione sinusoidale è espressa come f(x) = Acos[ω(x-F)] + y*

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