LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE A. Martini. IL SENO DI UN ANGOLO.

LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

A. Martini

ILSENO DI UN ANGOLO

DISEGNAMO UN ANGOLO

DISEGNAMO UN ANGOLO

b

c

b

c

E TRACCIAMO UNA PERPENDICOLARE AL LATO b

SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC

b

c

SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC

A

B

C

ORA TRACCIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE CHE PASSA PER IL PUNTO C’

A

B

C

A

B

C C’

B’

ORA TRACCIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE CHE PASSA PER IL PUNTO C’

SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’

A

B

C C’

B’

A

B

C C’

B’

SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’

POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE:

A

B

C C’

B’

A

B

C C’

B’

ac

c’

a’


A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=


SE ORA MANDIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLAREDAL PUNTO C”

A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=

SE ORA MANDIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLAREDAL PUNTO C”

A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=

C”

B”

INDIVIDUIAMO UN TERZO TRIANGOLO AB”C”

A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=

C”

B”

INDIVIDUIAMO UN TERZO TRIANGOLO AB”C”

A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

ac’=

C”

B”

ANCHE QUESTO TRIANGOLO È SIMILE AI PRECEDENTI

A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=

c”

C”

B”

a”

PER CUI POTREMO SCRIVERE ANCORA:

A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=

c”

C”

B”

a”

PER CUI POTREMO SCRIVERE ANCORA:

A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=

c”

C”

B”

a”c”=

a”

DUNQUE:QUESTI RAPPORTI SONO UGUALI AD UNA COSTANTE

CHE DIPENDE SOLO DALL’ANGOLO

A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=

c”

C”

B”

a”c”=

a”

= COST

A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=

c”

C”

B”

a”c”=

a”

= COST

DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTACOSTANTE.

LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO



A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=

c”

C”

B”

a”c”=

a”

= COST



A

B

C C’

B’

ac

c’

a’

ac

a’c’=

c”

C”

B”

a”c”=

a”

= sen

POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO ,CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA (c)DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO

CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD ac


CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD E COSTRUIRE COSÌ UNA TABELLA DEI SENI DI OGNI ANGOLO

ac


CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD E COSTRUIRE COSÌ UNA TABELLA DEI SENI DI OGNI ANGOLO

VEDIAMO ORA IL SENO DI ALCUNI ANGOLI PARTICOLARI

ac

PARTIAMO DALL’ANGOLO = 0

ca


c


IN QUESTO CASO

ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD è UGUALE A ZERO

c


IN QUESTO CASO


ca


IN QUESTO CASO


PER CUI: sen =

ca

0ca= c

0=


IN QUESTO CASO


PER CUI: sen = 0

c

ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,

AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/cE QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO

c sen = 0



c

sen = 0a



c

sen = 0

a

QUANDO L’ANGOLO È DI 90 GRADI

a È UGUALE A c

c

sen = 0

a


a È UGUALE A cE QUINDI:

c

sen = 0

a

1ca= c

c=sen =


a È UGUALE A cE QUINDI:

c

sen = 0

a

sen = 1

POSSIAMO RAPPRESENTARE IL SENO DI UN ANGOLO COSTRUENDO UN GRAFICO

DI sen IN FUNZIONE DELL’ANGOLO a

Disegnamo un cerchio di raggio r=1


r=1


Se disegnamo questa perpendicolare

r=1


Se disegnamo questa perpendicolare, il seno di coincide con a:

r=1a


Se disegnamo questa perpendicolare, il seno di coincide con a:

r=1a

1a

= asen =

Tracciamo allora il grafico


sen


sen

90 180 270 360 0

+1

- 1


sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

Procedendo in modo analogo si ottiene:


sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

Come si vede, il valore del seno di unangolo non può mai essere maggiore di 1né minore di -1

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

Vediamo alcuni casi particolarmente interessanti

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

sen 0 0

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

sen 90 1

sen 0 0

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

sen 90 1

sen 0 0

sen 180 0

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

sen 90 1

sen 0 0

sen 180 0

sen 270 -1

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

sen 90 1

sen 0 0

sen 180 0

sen 270 -1

sen 360 0

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

sen (180 -sen

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

sen (180 -sen

sen

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

sen (180 + sen

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

sen

sen (180 + sen

ILCOSENO DI UN ANGOLO

ANALOGAMENTE A QUANTO FATTO PER LA

FUNZIONE sen, DEFINIAMO UN’ALTRA FUNZIONE,

CHE CHIAMIAMO: COSENO DELL’ANGOLO

A

B

C C’

B’

b

c

c’

b’

c”

C”

B”

b”

bc

b’c’= b”

c”= = cos

Consideriamo nuovamente il cerchio di raggio r=1

È chiaro che questa volta è il segmento b, che coincide con il coseno dell’angolo

r=1

b

1b

= bcos =

Prova a costruire il grafico della funzione cos , analogamente a quanto abbiamo fatto per sen e scopri le differenze e le analogie fra queste due funzioni trigonometriche

r=1

b

bcos =

cos

90 180 270 360 0

+1

- 1


r=1

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

Quando avrai finito, torna qui per verificare le tue conclusioni

cos


r=1

b

bcos =

sen

90 180 270 360 0

+1

- 1

Quando avrai finito, torna qui per verificare le tue conclusioni

VERIFICA

b=r=1

bcos =

cos

90 180 270 360 0

+1

- 1

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos

b=0

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos

-b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos

b=-r= -1

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos 0 1cos

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos 0 1

cos 90 0cos

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos 0 1

cos 90 0

cos 180 -1

cos

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos 0 1

cos 90 0

cos 180 -1

cos 270 0

cos

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos 0 1

cos 90 0

cos 180 -1

cos 360 +1

cos

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos 0 1

cos 90 0

cos 180 -1

cos 360 +1

cos 270 0

cos

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos (180 -- (cos

cos

b

bcos =

90 180 270 360 0

+1

- 1

cos (180 +- (cos

cos

RIEPILOGANDO

cos 0 1

cos 90 0

cos 180 -1

cos 270 0

sen 90 1

sen 0 0

sen 180 0

sen 270 -1

a

b

c

sen a/c cos b/c

cos (180 +- (cos

cos (180 -- (cos sen (180 + sen

sen (180 -sen

fine

LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE A. Martini. IL SENO DI UN ANGOLO.

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