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Funzioni trigonometriche

Corso di accompagnamento in matematica

Lezione 5

Sommario

1 Angoli

2 Funzioni trigonometrichesimmetrieformule

3 Equazioni trigonometriche

4 Proprietà dei triangoli

Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 2 / 21

Angoli

Consideriamo due semirette (r , s) uscenti da un punto O nel piano

(r , s) coppia ordinata

rotazioni in senso antiorario

α angolo convesso

β angolo concavo

O

β

r

s

α

Angoli particolari (misure in gradi sessagesimali)se r = s =⇒ α = 0◦

se r⊥s =⇒ α = 90◦ cioè, r e s sono ortogonali

se r = −r =⇒ α = 180◦


RadiantiSistema cartesiano conorigine 0r semiasse positivo delleascisseC (0,R) circonferenza centro0 e raggio R > 0P = C (0,R) ∩ sAP lunghezza arco da A a P

0

P

A = (R,0)

R

C (0,R)

r

s

α

Misura in radianti dell’angolo (r , s): α = AP/R

Angoli particolari

gradi 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

rad 0 π6

π4

π3

π2 π 3π

2 2π


Funzioni trigonometriche: y = sin x

C (0, 1) circonferenzagoniometrica (R = 1)

P = (cos x , sin x)

b

b

0

P

rx

La funzione seno

dom(f ) = R, im(f ) = [−1, 1]

periodica T = 2π;

sin(0) = sin(π) = 0;

sin(

π

2

)

= 1 e sin(

3π2

)

= −1;

sin(−x) = − sin(x).

xπ/2 π

−π/2−π

1

−1


Funzioni trigonometriche: f (x) = cos x


P = (cos x , sin x)

b

b

0

P

rx

La funzione coseno

dom(f ) = R, im(f ) = [−1, 1]

periodica T = 2π;

cos(

π

2

)

= cos(

3π2

)

= 0;

cos(0) = 1 e cos(π) = −1;

cos(−x) = cos(x).

xπ/2

π

−π/2

−π

1

−1


Funzioni trigonometriche: f (x) = tan x


P = (cos x , sin x)

b

b

0

P

rx

La funzione tangente

y = tan x = sin xcos x

dom(f ) = R \{

π

2 + kπ, k ∈ Z}

;

im(f ) = R

periodica T = π;

tan(0) = 0;

tan(−x) = − tan(x).

−π

−π/2

π/2

π

x


Formule trigonometriche fondamentali

C (0,1) circonferenzagoniometrica (R = 1)

P = (cos x , sin x)

b

b

0

P

rx

sin2 x + cos2 x = 1

Angoli notevoli

sin(

π6

)

= 12 sin

(

π3

)

=√

32 sin

(

π4

)

=√

22

cos(

π6

)

=√

32 cos

(

π3

)

= 12 cos

(

π4

)

=√

22

tan(

π6

)

=√

33 tan

(

π3

)

=√

3 tan(

π4

)

= 1


Angoli associati e simmetrie I


P = (cos x , sin x)

b

b

b

0

P

P1

rx

P1 = (cos(x + π), sin(x + π)) = (− cos x ,− sin x)

Relazioni notevolisin(π + x) = − sin(x)

cos(π + x) = − cos(x)

tan(π + x) = tan(x)


Angoli associati e simmetrie II


P = (cos x , sin x)

b

b

b

0

P

P1

rx

P2 = (cos(2π − x), sin(2π − x)) = (cos x ,− sin x)

Relazioni notevolisin(2π − x) = sin(−x) = − sin(x)

cos(2π − x) = cos(−x) = cos(x)

tan(2π − x) = tan(−x) = − tan(x)


Angoli associati e simmetrie III


P = (cos x , sin x)

b

bb

0

PP3

rx

P3 = (cos(π − x), sin(π − x)) = (− cos x , sin x)

Relazioni notevolisin(π − x) = sin(x)

cos(π − x) = − cos(x)

tan(π − x) = − tan(x)


Angoli associati e simmetrie IV


P = (cos x , sin x)

b

b

b

0

PP4

rx

P4 =(

cos(π

2+ x

)

, sin(π

2+ x

))

= (− sin x , cos x)

Relazioni notevoli

sin(

π2 + x

)

= cos x

cos(

π2 + x

)

= − sin x

tan(

π2 + x

)

= − cot x


Angoli associati e simmetrie V


P = (cos x , sin x)

b

b

b

0

PP5

r

P5 =(

cos(π

2− x

)

, sin(π

2− x

))

= (sin x , cos x)

Relazioni notevoli

sin(

π2 − x

)

= cos x

cos(

π2 − x

)

= sin x

tan(

π2 − x

)

= cot x


Formule di addizione e di sottrazione

Formule di addizione

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos xcos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

Formule di sottrazioneUsare f (x − y) = f (x + (−y)), formule di addizione e simmetrie

sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x

Formule di duplicazioneUsare 2x = x + x e formule di addizione

sin(2x) = 2 sin x cos x


Formule di Werner e prostaferesi

Formule di Werner

sin x cos y = 12(sin(x + y) + sin(x − y))

sin x sin y = 12(cos(x − y)− cos(x + y))

cos x cos y = 12(cos(x + y) + cos(x − y))

Formule di prostaferesi

sin x ± sin y = 2 sin x±y2 cos x∓y

2

cos x + cos y = 2 cos x+y2 cos x−y

2

cos x − cos y = −2 sin x+y2 sin x−y

2


Equazioni trigonometriche I

Si cercanox ∈ R : sin(x) = c

se |c| > 1 =⇒ nessuna soluzione

se |c| ≤ 1 =⇒ infinite soluzioni della forma

α1 ∈[

−π2 ,

π2

]

, α1 + 2kπ

α2 = π − α1, α2 + 2kπ

x

c1

−1π 2π 3π x

c 1

−1π 2π 3π

α1 α2


Equazioni trigonometriche II

Si cercanox ∈ R : cos(x) = c

se |c| > 1 =⇒ nessuna soluzione

se |c| ≤ 1 =⇒ infinite soluzioni della forma

α1 ∈ [0, π] , α1 + 2kπ

α2 = 2π − α1, α2 + 2kπ

x

c1

−1π 2π 3π x

c1

−1π 2π 3π

α1α2


Equazioni lineari in seno e coseno

Dati a,b, c,∈ R, si cercano

x ∈ R : a sin(x) + b cos(x) = c

Si pongonot = sin(x), s = cos(x)

e si risolve, in t e s

at + bs = c

t2 + s2 = 1

Se (̄t , s̄) soluzioni, si cercano x ∈ R :

{

sin(x) = t̄cos(x) = s̄


Eqz. omogenee di II grado in seno e coseno

Dati a, b, c,∈ R, si cercano x ∈ R :

a sin2(x) + b cos2(x) + c sin(x) cos(x) = d

a = d

d = d(cos2(x) + sin2(x))

si risolve

cos(x) [(b−d) cos x+c sin x ]=0

a 6= d

d = d(cos2(x) + sin2(x))

si divide per cos2(x)

si risolve il sistema

(a−d)t2+ct+(b−d) = 0 ⇒ t

soluzioni x ∈ R :

tan(x) = t


Equazioni e disequazioni trigonometriche

Indicazioni generali

scrivere tutte le funzioni trigonometriche in termini di seno e coseno

scrivere le funzioni utilizzando lo stesso angolo

se non ci sono termini noti, scrivere l’equazione come prodotto di varifattori

studiare attentamente i valori ammissibili quando si fanno certeoperazioni algebriche, come, ad esempio, dividere per una certafunzione

metodo grafico

interpretazione geometrica ricorrendo all’esame della circonferenzatrigonometrica


Proprietà dei triangoli

Teorema dei senia

sinα=

bsinβ

=c

sin γA β B

Cγ

α

c

b a

Teorema di Carnota2 = b2 + c2 − 2bc cosαb2 = a2 + c2 − 2ac cosβc2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Caso: α =π2

b = a sinβ = a cos γc = a sin γ = a cosβb = c tanβc = b tan γ


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