Funzioni Elementari 1/2 - mozzanica.net · • Funzioni trigonometriche y =x y =ax y =log a (x) = =...
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Funzioni Elementari 1/2Funzioni Elementari 1/2• Funzioni Lineari :
• Funzione quadrato:
•Modulo
• Funzione omografica (iperbole):
• Funzioni Potenza:
qmxy +=
cbxaxy ++= 2
axy =
dcx
baxy
++=
xy =
1
• Funzioni Potenza:
• Funzione Esponenziale
• Funzione Logaritmica
• Funzioni trigonometriche
axy =xay =
)(log xy a=
===
)tan(
)cos(
)sin(
xy
xy
xy
Funzioni Elementari 2/Funzioni Elementari 2/22
• Conoscenza Proprietà Elementari• Monotonia• Invertibilità• Concavità• Simmetrie• Periodicità
2
• Periodicità• Conoscenza grafici elementari• Conoscenza grafici immediatamente riconducili ai grafici elementari
MonotoniaMonotonia
•Def. Funzione Monotona Crescente
•Def. Funzione Monotona Crescente in senso stretto
•Def. Funzione Monotona Decrescente
)()( con , 212121 xfxfxxAxx ≤→<∈∀
)()( con , 212121 xfxfxxAxx <→<∈∀
YXAf →⊆:
x1 x2
3
•Def. Funzione Monotona Decrescente
•Def. Funzione Monotona Decrescente in senso stretto
)()( con , 212121 xfxfxxAxx ≥→<∈∀
)()( con , 212121 xfxfxxAxx >→<∈∀
x1 x2
Le funzioni Monotone in senso stretto su tutto il campo di esistenza sono biunivoche e dunque invertibili
Concavità Concavità -- ConvessitàConvessità
•Def. Funzione Concava (su un intervallo)La funzione f:R→R è detta concava sull’intervallo [x ,x ] se la corda
•Def. Funzione Convessa (su un intervallo)•La funzione f:R→R è detta convessasull’intervallo [x1,x2] se la corda congiungente i punti (x1 , f(x1)), (x2 , f(x2)) sta al di sopra del grafico di f.
4
La funzione f:R→R è detta concava sull’intervallo [x1,x2] se la cordacongiungente i punti (x1 , f(x1)), (x2 , f(x2)) sta al di sotto del grafico di f.
Simmetria PariSimmetria Pari•Def. Funzione PariUna funzione è detta pari se f(x)=f(-x) per ogni x di A•Una funzione pari risulta simmetrica (simmetria assiale) rispetto all’asse delle ordinate (asse y)
YXAf →⊆:
5
32)( 24 −+= xxxf
)(3)(2)()( 24 xfxxxf =−−+−=−
Simmetria DispariSimmetria Dispari
Def. Funzione Dispari•Una funzione è detta pari se f(x)=-f(-x) per ogni x di A
•Es.
•Una funzione dispari risulta simmetrica (simmetria centrale) rispetto all’origine degli sistema di assi cartesiani
YXAf →⊆:
xxxf −= 3)( )()()()( 33 xfxxxxxf −=+−=−−−=−
6
Periodicità 1/2Periodicità 1/2•Def. Funzione Periodica
è detta periodica se
T è il più piccolo numero reale positivo che soddisfa alla condizione precedente, ed è chiamato Periodo della funzione f.
Es. Poichéil periodo della funzione seno è pari a 2π
YXAf →⊆: +∈∈∀=+ RTAxxfTxf , )()(
Rxxx ∈∀=+ )sin()2sin( π
7
Periodicità 2/Periodicità 2/22Rx(x) x ∈∀=+ cos)2cos( π il periodo della funzione coseno è pari a 2π
8
il periodo della funzione tangente è pari a π
∈+∈∀=+ ZkkRx(x) x ,
2\ tan)tan( πππ
Funzione MantissaFunzione MantissaDef. Funzione Parte Intera :x �[x] .[x] è il più grande intero minore o uguale ad x
Def. Funzione Mantissa :x �Mant(x):=x-[x] .
9il periodo della funzione mantissa è pari a 1
Def. Funzione Mantissa :x �Mant(x):=x-[x] .
Funzione Lineare 1/3Funzione Lineare 1/3• Funzione Costante: f(x)=k
Il grafico è rappresentato da una retta orizzontale: y=k• Retta Verticale (Non è una funzione!): x=k
Il grafico è rappresentato da una retta verticale
• Diretta proporzionalità (Funzione Lineare): f(x)=mxIl grafico è rappresentato da una retta passante per l’origine: y=mx .m è detto Coefficiente Angolare della retta ed è legato all’angolo α che la retta forma con l’asse delle x (semiasse positivo) dalla relazione m=tan(α).
Ma anche )tan(α=∆∆=
x
ym
10
Ma anche
Rappresentazione geometrica del coefficiente angolare.Proprietà di additività:
Proprietà di omogeneità :
Una funzione in generale è detta lineare se soddisfa contemporaneamente alle due precedenti proprietà cioè se è additiva ed omogenea.
)()()( 2121 xfxfxxf +=+
)()( 11 xkfkxf =
)tan(α=∆
=x
m
Funzione Lineare 2/3Funzione Lineare 2/3
• Funzione Lineare Affine: f(x)=mx+qIl grafico è rappresentato da una retta non verticale non passante per l’origine: y=mx+q .q=f(0) rappresenta l’ordinata dell’intercetta all’origine.
• Es. Si consideri la retta y=-2x+1Se ne tracci un graficoSi trovino le intercette (punti di intersezione) con gli assi coordinati cartesiani
[R. (0,1) (1/2,0) ]
11
[R. (0,1) (1/2,0) ]
Date due rette: y=m1x+q1 e y=m2x+q2
• Rette Parallele (Condizione di parallelismo): m 1=m2• Rette Perpendicolari (Condizione di perpendicolarità ): m1*m2=-1
•Intersezione tra rette:
+=+=
22
11
qxmy
qxmy
Funzione Lineare 3/Funzione Lineare 3/33
• Fascio Proprio di rette di centro (x 1,y1)y-y1=m(x-x 1)
• Retta per due punti (x 1,y1) e (x2,y2)
Vale la formula sopra con
quindi
)(
)(
12
12
xx
yym
−−=
)()(
)(1
121 xx
xx
yyyy −
−−=−
12
)( 12 xx −
Es. Determinare la retta passante per P=(-1,2) e perpendicolare alla retta y=3x-5[R. y=-1/3x+5/3 ]Es. Determinare la retta passante per P=(-1,2) e parallela alla congiungente A=(-1,0) e B=(1,1)[R. -1/2x + 5/2 ]Es. Siano y1=2x+5 e y2=-x+7. Scrivere l’equazione della retta passante per il punto di intersezione di y1 ed y2 e parallela alla retta di equazione y3=1/2x+2.[R. y=1/2x + 6 ]
Equazioni e Disequazioni di Equazioni e Disequazioni di II °° gradogrado
• Equazioni mx+q=0• Possono essere viste come la ricerca del punto di intersezione tra la retta y=mx+q e l’asse delle x (y=0)• Soluzione: x=-q/m
• Disequazioni mx+q>0 (mx+q<0)• Insieme dei valori x per cui il grafico della retta y=mx+q sta al di sopra (sotto) l’asse delle x .• Ricorda : moltiplicando entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo, la disequazione cambia di verso
13
• Es. Eq. I° grado : 3x+7=2(x-5) [ R. X=-17 ]
26
5
3
3
2
2 +<+++x
xx• Es. Diseq. di I° grado
[ R. S=Ø ]
Funzione Quadrato 1/3Funzione Quadrato 1/3
• Funzione: f(x)=ax 2
• Rappresenta una parabola y= ax2
• E’ una funzione pari (grafico simmetrico rispetto all’asse y)• E’ convessa se a>0, concava se a<0• Per disegnarla occorre trovare il vertice (punto di massimo (a<0), o minimo (a>0))• Passa per l’origine e non ha altre intersezione con gli assi coordinati
• Funzione: f(x)=ax 2+bx+c• Rappresenta una parabola y= ax2+bx+c• E’ convessa se a>0, concava se a<0
14
• E’ convessa se a>0, concava se a<0• Per disegnarla occorre trovare il vertice (punto di massimo (a<0), o minimo (a>0))
• e le intersezioni con gli assi coordinati
• Intersezione asse y
acaa
bV 4b con
4,
22 −=∆
∆−−=
=++=
0
2
x
cbxaxy ( )c,0
Funzione Quadrato 2/3Funzione Quadrato 2/3• Intersezione asse x
=++=
0
2
y
cbxaxy02 =++ cbxax a
bx
22,1
∆±−=
• ∆>0 Due Intersezioni Distinte (Parabola secante l’asse delle x)• ∆=0 Due Intersezioni Coincidenti (Parabola tangente l’asse delle x) • ∆<0 Non ci sono intersezioni tra la Parabola e l’asse delle x
15
Funzione Quadrato 3/Funzione Quadrato 3/33
• Es. Determinare l’equazione della parabola con vertice v=(1,2) passante per il P(0,4)[R. y=2x2-4x+4 ]• Es. Disegnare la parabola: f(x)=x2-5x-14• Es. Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle y e passante per i punti di coordinate (0,0) (1,1) e (-2,4)[R. y=x2 ]
16
Equazioni e Disequazioni di Equazioni e Disequazioni di IIII °° grado 1/4grado 1/4
• ∆>0 Radici Reali Distinte• a>0
• ax2+bx+c>0 (all’esterno delle radici x1 ed x2) x< x1 vel x> x2• ax2+bx+c<0 (all’interno delle radici x1 ed x2) x1 <x< x2
• a<0• ax2+bx+c>0 (all’interno delle radici x1 ed x2) x1 <x< x2• ax2+bx+c<0 (all’esterno delle radici x ed x ) x< x vel x> x
02 =++ cbxaxa
bx
22,1
∆±−= )0( 02 <>++ cbxax
17
• ax2+bx+c<0 (all’esterno delle radici x1 ed x2) x< x1 vel x> x2
Equazioni e Disequazioni di Equazioni e Disequazioni di IIII °° grado 2/4grado 2/4• ∆=0 Radici Reali Coincidenti
• a>0• ax2+bx+c>0 per x≠-b/2a • ax2+bx+c<0 per nessun x (la disequazione non ha soluzioni)
• a<0• ax2+bx+c>0 per nessun x (la disequazione non ha soluzioni)• ax2+bx+c<0 per x≠-b/2a
18
Equazioni e Disequazioni di Equazioni e Disequazioni di IIII °° grado 3/4grado 3/4• ∆<0 Radici Complesse Coniugate
• a>0• ax2+bx+c>0 per ogni x reale• ax2+bx+c<0 per nessun x (le disequazione non ha soluzioni)
• a<0• ax2+bx+c>0 per nessun x (le disequazione non ha soluzioni)• ax2+bx+c<0 per ogni x reale
19
Equazioni e Disequazioni di Equazioni e Disequazioni di IIII °° grado 4/grado 4/44
]12 [R. 022 ≥∨−≤≤+−− xxxxEs.
Es.
Es. Risolvere , in dipendenza del parametro reale k, le seguenti disequazioni:
] 31 R.[ 34)32( 2 >∨<−>− xxxx
20
Es. Risolvere , in dipendenza del parametro reale k, le seguenti disequazioni:
082 I) 2 ≥−+ xkx
∅=<
+−≤≤−−<<−
==
+−≥−−≤>
≥=
S -1/8,k
8/118/11,08/1
8,81
8/11
8/11,0
4,0
.
perk
kx
k
kkper
x/- kperk
kxvel
k
kxkper
xkper
R
xk 21 xII) 2 +<+
+<<−>
∅=≤
kxkkper
kperR
11,0
S ,0 .
Funzione Modulo (Valore Assoluto)Funzione Modulo (Valore Assoluto)
Def.
<−≥
=0 se
0 se ||
xx
xxx
<−≥
=0)f( se )(
0 se )(|)(|
xxf
f(x)xfxf
Proprietà: yxyx +≤+Disuguaglianza triangolare
yxyx −≤−
21
yxyx −≤−
Funzione Modulo (Valore Assoluto)Funzione Modulo (Valore Assoluto)
yxyx +≤+
yxyx −≤−
xxx ≤≤−yyy ≤≤−
( ) ( ) ⇔+≤+≤+− yxyxyx yxyx +≤+
=−=
by
bax bbaabba +−≤=+− aabb +−≤
22
= by aabb +−≤
baba −≤− baab −≤− baba −≤−
Equazioni e Disequazioni con ModuloEquazioni e Disequazioni con Modulo
Es. |f(x)|=kse k <0 non esistono soluzionise k=0 → f(x)=0se k>0 → f(x)=±k
Es. |x+4|=3 Es. |x+4|=3 |x|-1
Es. |f(x)|<kse k <0 non esistono soluzionise k=0 non esistono soluzionise k>0 → -k<f(x)<k
<−>
⇔<<−kxf
kxfkxfk
)(
)()(
Es. |x+4|<3
23
Es. |f(x)|>kse k <0 : ogni x (che definisce f) è soluzionese k=0 : ogni x (che definisce f(x)≠0) è soluzionese k>0 → f(x)>k vel f(x)<-k
Es. |x 2+2x|>2x+1 [R. x<-2+ √3 v x>1 ]
Es. |x+4|>3
Disequazioni Razionali FratteDisequazioni Razionali Fratte
• Sono del tipo
• Risoluzione: si studia N(x)>0, D(x)>0 separatamente, poi si fa un grafico di confronto, mettendo su una retta il segno di N e su una retta parallela il segno di D, poi si determina il segno di N/D tenendo conto della regola dei segni
• Es.
( )0 0)(
)( <>xD
xN
872 −+ xx
24
• Es.
• La stessa risoluzione vale anche per N(x)*D(x)>0 (<0)
0103
872
2
≥+−−+
xx
xx]18 .[ ≥∨−≤ xxR
Sistemi di DisequazioniSistemi di Disequazioni
• Sono del tipo
• Si determina l’insieme delle soluzioni delle prima disequazione S1 , si determina l’insieme delle soluzioni delle seconda disequazione S2 l’insieme delle soluzioni del sistema sarà allora
( )( )
<><>
0 0)(
0 0)(
xG
xF
SSS =
25
• Es.
21 SSS I=
>−+<−
054
0162
2
xx
x ]41 .[ << xR
Funzione OmograficaFunzione Omografica• Inversa Proporzionalità: funzione f(x)=a/x
• Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti (gli assi cartesiani sono gli asintoti dell’iperbole)• Ha simmetria dispari, dunque l’origine è un centro di simmetria
• Funzione Omografica: f(x)=(ax+b)/(cx+d) con ad-bc ≠0
• Iperbole equilatera gli asintoti non coincidono con gli assi cartesiani ma sono ad
dcx
baxxf
++=)(
26
• Iperbole equilatera gli asintoti non coincidono con gli assi cartesiani ma sono ad essi paralleli. Essi hanno equazioni x=-d/c y=a/c• Il centro di simmetria (-d/c , a/c)
•Es. Disegnare il grafico di
−=c
a
c
dC ,
x
xxf
3
7)(
+=
Funzione Potenza (esponente intero pari )Funzione Potenza (esponente intero pari )
• Funzione Potenza: f(x) = x n
• n pari• Simmetria pari, f(x)>0 per x≠0, , f(x)=0 per x=0• Non invertibile• Monotona crescente per x positive, descrescente per x negative• confronto y=x^2 con y=x^4 [si provi per x=1/2, x=2]
28
y=x^4
y=x^2
Funzione Potenza (esponente intero dispari )Funzione Potenza (esponente intero dispari )
•Funzione Potenza: f(x) = x n
• n dispari • Simmetria dispari, f(x)>0 per x>0, f(x)<0 per x<0, f(x)=0 per x=0• Invertibile• Monotona crescente• confronto y=x^3 con y=x^5 [si provi per x=1/2, x=2]
29
y=x^5
y=x^3
Funzione Potenza (esponente frazionario) 1/4Funzione Potenza (esponente frazionario) 1/4•Funzione Potenza: f(x) = x 1/n
• n pari• definita solo per x≥0• Inversa del ramo positivo di y=x^n• confronto y=x^(1/2) con y=x^(1/4) [si provi x=1/16 , x=16]
y=x^(1/2)
30
y=x^(1/2)
y=x^(1/4)
PotenzePotenze--Radici: Funzioni Inverse 2/4Radici: Funzioni Inverse 2/4
y=x^(1/2)
31
y=x^(1/2)
y=x^(2)
Funzione Potenza (esponente frazionario) 3/4Funzione Potenza (esponente frazionario) 3/4•Funzione Potenza: f(x) = x 1/n
• n dispari• simmetria dispari • definita solo per ogni x reale• Inversa di y=x^n• confronto y=x^(1/3) con y=x^(1/5)
32
y=x^1/3
y=x^1/5
Proprietà Potenze Proprietà Potenze
0 >xassumiamo
baa
aaa
baba
xx
yxyx
xxx
=
⋅=⋅=⋅
−
+
)(
)(
)(
0 1
0
1
≠∀=∈∀=
xx
Rxxx
34
( )n
mn m
a-aabba
bab
xx
x xxx
xx
x
=
=⇒=
= −
1
)( 0 1 ≠∀= xx
Equazioni/Disequazioni Irrazionali 1/3Equazioni/Disequazioni Irrazionali 1/3
• n dispari• Risolta da :)()( xgxfn > [ ]nxgxf )()( >
)()( xgxfn = • n dispari• Risolta da : [ ]nxgxf )()( =
35
)()( xgxfn < • n dispari• Risolta da : [ ]nxgxf )()( <
Nota: applicando ad entrambi i membri di una disequazione una funzione monotona crescente, la disequazione con cambia verso e mantiene inalterate le proprie soluzioni. Facendo la stessa cosa con una funzione monotone decrescente la disequazione cambia di verso (e mantiene sempre inalterate le proprie soluzioni).
Equazioni/Disequazioni Irrazionali 2/3Equazioni/Disequazioni Irrazionali 2/3
• n pari• Risolta da :)()( xgxfn >
≥≥
<≥
xg
xfxf
0)(
n.n. 0)(
vel0)(
)()( xgxfn = • n pari• Risolta da :
[ ]
=
≥≥
nxgxf
xg
xf
)()(
0)(
n.n. 0)(
36
[ ]
>
≥ <
nxgxf
xgxg
)()(
0)( vel0)(
)()( xgxfn < • n pari• Risolta da :
[ ]
<
≥≥
nxgxf
xg
xf
)()(
0)(
0)(
Equazioni/Disequazioni Irrazionali 3/Equazioni/Disequazioni Irrazionali 3/33
483 3 −>+ xx ]R .[ =SR
xx −≤+ 51
xxx >+−+ 1432
]3x1 .[ ≤≤−R
])(4/3,,-4](- .[ +∞∪∞R
37
Funzione Esponenziale 1/4Funzione Esponenziale 1/4• Funzione f(x)=a x
• può essere ben definita solo per a>0• per a=1 si ottiene la funzione costante f(x)=1• per a>1 è monotona crescente
• confronto tra 2^x e 4^x• per 0<a<1 è monotona decrescente
• confronto tra (1/2)^x e (1/4)^x• f(x) >0 per ogni x reale , f(0)=1• f(x) è sempre invertibile ed è sempre convessa
38
+∞=+∞→
x
xalim 0lim =
−∞→
x
xa
0lim =+∞→
x
xa +∞=
−∞→
x
xalim
per a>1
•Per 0<a<1
Funzione Esponenziale 2/4Funzione Esponenziale 2/4
39
y=(2)^x y=(1/2)^x
n
n ne
+=+∞→
11lim
e=2.718281828…
Funzione Esponenziale 3/4Funzione Esponenziale 3/4
y=(4)^x
40
y=(2)^x
• si provi per x=-1/2 , x=1/2 x=2
Funzione Esponenziale 4/Funzione Esponenziale 4/44
y=(1/4)^x
41
y=(1/2)^x
• si provi per x=-1/2 , x=1/2 x=2
Disequazioni esponenzialiDisequazioni esponenziali
•Poiché exp(x) è una funzione monotona crescente
403232
<<⇔<−⇔<− xxxxee xxx
1132
1
2
113
−≤⇔−≤+⇔
≥
−+
xxxxx
42
•Poiché (1/2)^(x) è una funzione monotona decrescente
Funzione Logaritmica 1/2Funzione Logaritmica 1/2
• Funzione Logaritmica: funzione inversa dell’esponenzia le(La funzione esponenziale è invertibile in quanto sempre monotona.)
• a>0 et a≠1
• Fissiamo a >1• definita per x >0• monotona crescente
ya axxxfy =↔== )(log)(
y=log4(x)
43
• monotona crescente• f(1)=0• f(x) è concava
−∞=+→
)(loglim0
xax
+∞=+∞→
)(loglim xax
• si provi per x=1/2 x=2•log4(1/2)=-1/2 log4(2)=1/2
•log2(1/2)=-1 log2(2)=1
y=log2(x)
Funzione Logaritmica 2/Funzione Logaritmica 2/22
• Funzione Logaritmica: funzione inversa dell’esponenzia le
• a>0 a≠1
• Fissiamo 0<a<1• definita per x >0• monotona decrescente• f(1)=0• f(x) è convessa
ya axxxfy =↔== )(log)(
y=log1/4(x)
y=log (x)
44
• f(x) è convessa
+∞=+→
)(loglim0
xax
−∞=+∞→
)(loglim xax
• si provi per x=1/2 x=2
•log1/4(1/2)=1/2 log1/4(2)=-1/2•log1/2(1/2)=1 log1/2(2)=-1
y=log1/2(x)
Proprietà LogaritmiProprietà Logaritmi
0yx, )(log)(log)(log >+= yxxy aaa
0yx, )(log)(loglog >−=
yx
y
xaaa
( ) Rk 0,x )(loglog ∈∀>= xkx ak
a
( ) 0x )(log
)(loglog >=
a
xx b
a
45
( ) 0x )(log
log >=a
xb
a
( ) 1b 1a0ba, )(log
1log ≠∧≠∧>=
ab
ba
• CONVENZIONI
( ) )ln(log xxe = ( ) )(log10 xLogx = ( ) )ln(log)log( xxx e ==
Equazioni/Disequazioni Esponenziali e LogaritmicheEquazioni/Disequazioni Esponenziali e Logaritmiche
• Applico la funzione inversa45 =x
)5ln(
)4ln()4(log5 ==x
)3log()log( −= xx2
3
03
0
3
=⇒
>−>
−=x
x
x
xx
)3log()log( −< xx • Identità Esponenziali
46
)3log()log( −< xx
)(log)4(log21
2
21 xx <−
2)3(log5 <+ x2
2
≤+xxe
Rxex x ∈∀= )ln(+∈∀= Ryey y )ln(
+∈∀== Rxexxxx e xln(x))ln(
)3log()log( xx −<
R]S [R. 1
15 =
+>+
xx
ee 2] x[R. 0)2( 3 ≥≥−− xe x
Funzioni GoniometricheFunzioni Goniometriche
O
A
B
C D
θ
47
C D
OA
AC=)sin(ϑ
OA
OC=)cos(ϑ
)cos(
)sin()tan(
ϑϑϑ ===
OC
AC
OA
BDTeorema di Pitagora :
1)(cos)(sin 22 =+ ϑϑ
Trigonometria: triangoli rettangoliTrigonometria: triangoli rettangoli
)sin(αca =
A
B
C
a
b
c
α
β
γ
)cos(βca = )tan(αba =
rad
rad
290
290
πβα
πγ
=°=+
=°=
48
)sin(αca =)cos(αcb =
)cos(βca =)sin(βcb =
)tan(αba =)tan(βab =
Trigonometria: triangoli qualsiasiTrigonometria: triangoli qualsiasi
Rcba
2===
A
B
C
a
b
c
α
β
γ
rad 180 πγβα =°=++
Teorema dei seni:
49
R2)sin()sin()sin(
===γβα
)cos(2222 γabbac −+=
Teorema dei seni:
Teorema di Carnot (del coseno):
Funzione Seno 1/2Funzione Seno 1/2
• Funzione y=sin(x)• Periodo 2π• Limitata (assume valori tra -1 e 1 compresi)• Simmetria dispari• Crescente per 0≤x ≤ π/2 e per 3/2π ≤x < 2π• Decrescente per π/2 ≤x ≤ 3/2π• Concava 0 ≤ x≤ π• Convessa π ≤ x< 2π
50
Funzione Seno 2/Funzione Seno 2/22
• Particolari valori
0)0sin( =2
1
6sin =
π
2
2
4sin =
π2
3
3sin =
π
12
sin =
π
• Valori uguali
)sin()sin( xx =−π• Valori opposti
)sin()sin( xx −=+π)sin()2sin( xx −=−π
51
Funzione Coseno 1/2Funzione Coseno 1/2
• Funzione y=cos(x)• Periodo 2π• Limitata (assume valori tra -1 e 1 compresi)• Simmetria pari• Crescente per π ≤x < 2π• Decrescente per 0 ≤x ≤π• Concava per 0 ≤ x≤ π/2 e per 3/2π ≤ x< 2π• Convessa π/2 ≤ x< 3/2π
52
Funzione Coseno 2/Funzione Coseno 2/22
• Particolari valori
1)0cos( =2
3
6cos =
π
2
2
4cos =
π2
1
3cos =
π
02
cos =
π
• Valori uguali
)cos()2cos( xx =−π• Valori opposti
)cos()cos( xx −=−π)cos()cos( xx −=+π
53
Funzione Tangente 1/2Funzione Tangente 1/2
• Funzione y=tan(x)• Periodo π. Si studia tra 0 e π• Illimitata• Simmetria dispari• Crescente per x ≠π/2 • Concava per π/2 < x ≤ π• Convessa per 0 ≤ x< π/2
54
Funzione Tangente 2/Funzione Tangente 2/22
• Particolari valori
0)0tan( =3
3
6tan =
π
14
tan =
π3
3tan =
π
• Valori opposti
55
• Valori opposti
)tan()tan( xx −=−π
Equazioni/Disequazioni GoniometricheEquazioni/Disequazioni Goniometriche
01)sin(2 =+x
03)sin(8)(sin4 2 =+− xx
0)cos()(cos2 2 >− xx
57
0)cos()(cos2 2 >− xx
0)cos()sin( >− xx
Funzione ArcoFunzione Arco --senoseno
• Viene operato un taglio in[-π/2 , +π/2] per poter invertire la funzione per cui:
58
la funzione per cui:
[ ]
−→−2
,2
1,1:)arcsin(ππ
x
Funzione Funzione ArcoArco --cosenocoseno
• Viene operato un taglio in[0 , π] per poter invertire la funzione per cui:
59
funzione per cui:
[ ] [ ]π,01,1:)arccos( →−x
Funzione ArcoFunzione Arco --tangentetangente• Viene operato un taglio in[-π/2, π/2] per poter invertire la funzione per cui:
−→2
,2
:)arctan(ππ
Rx
60
Grafici Riconducibili 1/9Grafici Riconducibili 1/9
• Grafico y=|f(x)|
Notiamo:
La parte del grafico corrispondente a valori negativi della funzione (sotto l’asse delle x) viene simmetrizzata rispetto all’asse delle ascisse. La parte del grafico corrispondente a valori positivi della funzione viene lasciata invariata.
<≥
==0
0|)(|
f(x)-f(x) se
(x)f(x) se fxfy
61
Grafici Riconducibili 2/9Grafici Riconducibili 2/9
• Grafico y=f(|x|)
Notiamo:
Per le x positive o nulle il grafico coincide con quello di f(x) per quelle negative il grafico è il simmetrico di quello per le x positive rispetto all’asse delle y (ordinate).
<−≥
==0
0 |)(|
x) se xf(
xsef(x) xfy
62
Grafici Riconducibili 3/9Grafici Riconducibili 3/9
• Grafico y=f(x)+bIl grafico presenta una traslazione di b lungo l’asse delle y.
b=-3
63
b=2
Grafici Riconducibili 4/9Grafici Riconducibili 4/9• Grafico y=a f(x)se a>0
se a>1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore a lungo l’asse delle yse 0<a<1 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore a lungo l’asse delle y
64
a=2
a=0.5
Grafici Riconducibili 5/9Grafici Riconducibili 5/9• Grafico y=a f(x)se a<0
•se a=-1 il grafico è ottenuto da quello di f(x) att raverso una simmetria assiale rispetto all’asse delle x (ascisse)• se a<-1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore |a| lungo l’asse delle y, composto con la simmetria (assiale) rispetto all’asse delle ascisse•se -1<a<0 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore |a| lungo l’asse delle y,
composto con la simmetria (Assiale)rispetto all’asse delle ascisse
65
a=2
a=-0.5
a=-1
Grafici Riconducibili 6/9Grafici Riconducibili 6/9
• Grafico y= f(x+c)
Il grafico presenta una traslazione di –c lungo l’asse delle x
c=+2
67c=-2
Grafici Riconducibili 7/9Grafici Riconducibili 7/9• Grafico y=f(dx )
se d>0se d>1 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore 1/d lungo l’asse delle x
se 0<d<1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore 1/d lungo l’asse delle x
68
d=2
d=0.5
Grafici Riconducibili 8/9Grafici Riconducibili 8/9• Grafico y=f(dx)se d<0se d=-1 il grafico presenta una simmetria assiale ( asse delle y) rispetto al
grafico originalese d<-1 è una dilatazione (zoom) di ingrandimento di un fattore 1/|d| lungo l’asse delle x,
composta con la simmetria assiale rispetto all’asse delle yse 0<d<1 è una dilatazione (zoom) di rimpicciolimento di un fattore 1/|d| lungo l’asse
delle x , composta con la simmetria assiale rispetto all’asse delle y
d=-1
69
d=-0.5
d=-1
d=-2
Grafici Riconducibili 9/Grafici Riconducibili 9/99
• Grafico y=f(dx). Caso funzioni goniometriche (o peri odiche).Supponiamo d>0.Il valore d va a modificare il periodo della funzion e f.Precisamente se il periodo della funzione f è T, il grafico della funzione y=f(dx) presenta un periodo T’=T/d.Se d<0 alla variazione di periodo indicata sopra va aggiunta la simmetria rispetto all’asse y.Es. y=sin(x) ha periodo T=2π.
La funzione y=sin(2x) ha periodo T’= πLa funzione y=sin(x/2) ha periodo T’= 4π y=sin(x)
71
La funzione y=sin(x/2) ha periodo T’= 4π y=sin(x)
y=sin(x/2)
y=sin(2x)
Grafici Riconducibili Composti 1/2Grafici Riconducibili Composti 1/2
• Grafico y= f(2x-1)y=f(2(x-1/2))
rimpicciolimento di un fattore ½ lungo l’asse delle x seguito da una traslazione di +1/2 lungo l’asse delle x.
y=f(x)
73
y=f(2x-1)
Grafici Riconducibili Composti 2/Grafici Riconducibili Composti 2/22
• Grafico y= -2 f(2x+2)+1y=-2 f(2(x+1)) +1
rimpicciolimento di un fattore ½ lungo l’asse delle x seguito da una traslazione di -1 lungo l’asse delle xseguito da una simmetria rispetto l’asse delle xseguito da una dilatazione di fattore 2 lungo l’asse delle yseguito da una traslazione di +1 lungo l’asse delle y
y=f(x)
74
y=f(2x+2)
y=-2*f(2x+2)+1
Confronto Grafico 1/2Confronto Grafico 1/2
• Equazione: f(x)=g(x)• Disequazione: f(x)>g(x) [f(x)<g(x)]• Si tenga conto del grafico di y=f(x) e del grafico di g(x) e poi se ne operi un confronto “quantitativo” e, ove non è possibile, “qualitativo”.
>==
⇔> 2
1
)cos(
)sin(
)cos()sin(
yy
xy
xy
xx
Es. sin(x)-cos(x)>0
75
> 21 yy
ππ4
5
4)cos()sin( =∨=⇒= xxxx
<<∈= ππ
4
5
4: xRxS