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Funzioni e loro grafici Dicesi funzione y=f(x) della variabile x una legge qualsiasi che faccia corrispondere ad ogni valore di x, scelto in un certo insieme, detto dominio, uno ed uno solo valore di y appartenente ad un certo insieme detto codominio.

La fuzioni iniettive hanno l’ulteriore proprietà che ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio

La fuzioni surgettive ogni elemento del codominio è l’immagine di almeno un elemento del dominio

Le funzioni biiettive hanno entrambe le proprietà ossia ad uno ed un solo elemento del dominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio

Dominio Codominio

Codominio Dominio

Codominio Dominio

NB:solo le funzioni biiettive sono invertibili

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È una funzione suriettiva se si limita il codomino all’insieme [-Δ/4a, +∞[

-Δ/4a

-Δ/4a

È una funzione iniettiva se si considera solo un ramo limitando il domino all’insieme ]-∞,-b/2a]

Per renderla biiettiva dobbiamo limitare anche il codominio all’insieme

[-Δ/4a, +∞[

x

y

x

y

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Le funzioni base:

Funzioni polinomiali :

n è detto grado del polinomio

Es: y=costante y=x ,

Funzioni razionali fratte si ottengono dal quoziente di due funzioni polinomiali:

Es:

Funzioni potenza: y=xb

Funzioni esponenziali: y=ax

Es: y=ex (dove e=2.7182...)

Funzioni logaritmiche y=logax

Funzioni trigonometriche

Es: y=sin x

y = anxn + an−1x

n−1 + .... + a0

y =x2 − 3x + 5x + 2

a > 0x ∈R

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Si ottengono altre funzioni usando:

•  le 4 operazioni aritmetiche

•  la composizione funzionale (y=f(t) t=g(x) il dominio è degli x tali che g(x) appartenga al dominio di f)

•  l’inversione funzionale y=f(x) → x=g(y) (solo per funzioni biiettive)

• Il legame tra due variabili x e y del tipo x2+y2=16 non è una funzione (non è una funzione perché ad ogni valore di x compreso tra -4 e 4 corrispondono due valori distinti di y)

• Si scrivano le espressioni analitiche y=f1(x) e y=f2(x) tali che considerando l’unione dei loro grafici si ottenga lo stesso luogo geometrico individuato dalla relazione x2+y2=16

Le funzioni sono f1(x )= - √(16-x2) e f2(x)= √(16-x2)

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Esempi • In uno stesso sistema di riferimento disegnare il grafico di

y=3x , y=-3x , y=3x+1,

y=|3x | , y= | 3x | +1

• Disegnate il grafico di

y=x2, y=x2+1, y=3x2+1,

y= | x2-2 |

• Disegnare il grafico di

y=1/x+1, y= |1/x |, y=1/(x+1), y=x2/3

y= | x2-2 |

y=|3x | y= | 3x | +1

y=x2/3 y= |1/x | y=1/x+1

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Esempio: y=10x=emx con m=2.30259.

La funzione inversa dell’esponenziale si denota con il simbolo

x=logay e si chiama logaritmo di y (argomento del logaritmo) in base a; rappresenta quel numero che elevato alla base da l’argomento; qualunque sia la base a NON ESISTONO logaritmi di numeri negativi e la funzione y=logax è definita solo per x>0 ha il seguente grafico

a>1

A

a<1

B

Dalle proprietà delle potenze e dalla definizione di funzione inversa si deducono le seguenti regole di calcolo con i logaritmi:

loga1=0; logaa=1; loga(b.c)=logab+logac; logab/c=logab-logac;

logaab=b; logabn=nlogab;

a loga b = b

y=logax=lnx/lna

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Le basi di uso più frequente per i logaritmi sono 10 (logaritmi decimali si indicano con L maiuscola Log) ed e (logaritmi naturali ln)

I Log sono particolarmente comodi per affrontare problemi di calcolo numerico

Infatti si ha

Log1=0 Log10=1 Log100=2 Log1000=3

Log0.1=-1 Log0.01=-2 Log0.001=-3

La conoscenza della sola parte intera di un Log fornisce l’ordine di grandezza del corrispondente numero

Es: Log x =19.26 x=10 19.26=1019.10 0.26

I ln sono invece particolarmente utili nel calcolo infinitesimale perchè y=ex ha come derivata y’=y

Il passaggio dai logaritmi in una data base a ai logaritmi in un’altra base b si ottiene usando la seguente relazione

logac=logab logbc es.: lnx=2.302 Logx Logx=0.434lnx

Uso della scala logaritmica. Es.: riportiamo su una scala i seguenti dati

1 750 000 000, 24 000 000, 2 620 000

10 6 10 7 10 8 10 9 10 10

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Esempi di grandezze che vengono abitualmente rappresentate in scala logaritmica:

-frequenze dei suoni percepiti dall’orecchio umano 20Hz-20000Hz

-il numero dei leucociti/mm3 nel sangue (da qualche migliaio a varie centinaia di migliaia)

Rappresentazione in un piano di due grandezze correlate

Es: y=kax e y=kxn

I logaritmi sono inoltre usati nella definizione di:

-pH di una soluzione pH=-Log[H+] (H+ indica la concentrazione di ioni + di idrogeno in grammoioni/litro)

-misura del suono: S=10Log (I/Io) quantità misurata in dB, Io rappresenta la soglia di intensità minima affinché il suono venga percepito

10 1 10 2 10 3 10 4 10 5

Esercizio: La popolazione mondiale aumenta ad un tasso annuo di 1.7% , se questo incremento resta costante, calcolare in quanto tempo la popolazione :

-raddoppia

-quadruplica

-decuplica

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Esempi

• In un sistema di coordinate semilogaritmiche disegnare i grafici di

y=4x, y=0.5x, y= 10• 2x

• In un sistema di coordinate doppiamente logaritmiche disegnare i grafici di

y=x, y=x2, y=x0.5

• Molte grandezze fisiche (decadimento radioattivo nucleare, scarica di un condensatore attraverso una resistenza ,….) hanno un andamento in funzione del tempo descritto dalla curva

y=e-x, disegnarne il grafico

• Disegnare il grafico di

y=1- e-x

• la funzione

rappresenta la distribuzione di una serie di misure di una grandezza fisica attorno al valor medio in questo caso uguale a 0,più in generale

• La funzione rappresenta la distribuzione delle velocità degli atomi o delle molecole di un gas

y = e−x2

y = ke−( x−m )2

2σ 2

y = x2e− x2

Dove m rappresenta il valor medio e il parametro σ è legato alla larghezza della curva “gaussiana”

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y = x2e− x2

€

y = 2x

€

y = e−x2

€

y =1− e−x

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€

y = e−x

€

y = x 2

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• Sapendo che Log 2~0.30103 calcolare i valori di Log4, Log 8, Log5, Log0,5 e Log0,2

• Determinare m,n in modo tale che il grafico della funzione y=ln(mx+n) passi per i punti A(1;-1) e B(6;0)

• Individuare il domino della funzione y=log(2x-x2)

• Individuare il domino della funzione y=√(sinx)

esercizi