Argomenti preliminari

regole delle espressioni algebriche

potenze

equazioni di primo grado

equazioni di secondo grado

coordinate cartesiane

angolo piano

seno coseno tangente

trigonometria di triangoli rettangoli

nozione di vettore

Funzioni

funzioni e limiti

grafici di funzioni

retta

parabola

esponenziale eX

altri esempi

derivata di una funzione

studi di funzioni semplici

cenno allintegrale

ALCUNE RfGOLE DELLE ESPRESSIONI A16fBRleacuteUE ~egni dei p2odoW

+ + = + + - shy

+

== +

lQ(o~figraveele un atrole comune

ab + dc - a Q (b+ oe - ~) d d

nb+c Q(b+~) a

eCL

lnoft pfi (Gte pel un faUOle Lomune

come 10plO

fe~ltjeJe da de~Qo a ~i nigrave~ThQ

(Dnne1Jione (Qy fa )emp~S(C02ione

e~UoQAgraveanegraveeuro e OpelQ~iOni di cambiamenTo cL meMmo

3b-Q=c+2d

~ 3b=Q+c+2d

3b-a-c=2d 0= 3b-c-)d

etL

combicunenTo cL memblO= combiamenTo di ~no

CL = be ~ b= Cl C

(=0shyb

a+b =cd ~ c = a+b cl

cl ob c

ALCUNE RfGOLE DELLE ESPRESSIONI A16fBRleacuteUE ~egni dei p2odoW

+ + = + + - shy

+

== +

lQ(o~figraveele un atrole comune

ab + dc - a Q (b+ oe - ~) d d

nb+c Q(b+~) a

eCL

lnoft pfi (Gte pel un faUOle Lomune

come 10plO

fe~ltjeJe da de~Qo a ~i nigrave~ThQ

(Dnne1Jione (Qy fa )emp~S(C02ione

e~UoQAgraveanegraveeuro e OpelQ~iOni di cambiamenTo cL meMmo

3b-Q=c+2d

~ 3b=Q+c+2d

3b-a-c=2d 0= 3b-c-)d

etL

combicunenTo cL memblO= combiamenTo di ~no

CL = be ~ b= Cl C

(=0shyb

a+b =cd ~ c = a+b cl

cl ob c

-

VARlE ALTR E VARi

b2bull Plodotlo di un numeugraveJ ~ ZelO io 2e20 bull (o b)2 a + 2ob -tshy

bull ~igrave01-iOne (l Ib bull (a_b)L ~ d-2ob-t-b2

non egrave dJ~ruro K b =0 bull (o+b)(o-b) =- Q2_b 2

non egrave ~rUTo anLhe fa DlmQ

bull tacLCi quoobaIa rotgomenIo deve UflPN non negofivo

vn 1t~O doTo 1 fa 1JUO wdilt quochaTa dagrave plusmnVfLI

bull moclufo cL un rwmflO

11t I n -1e 11 ~ O

111 I =-11 1e Y1 lt O

POTENZE ALCUNE REGOLE ESEMPIO

a ft a SASr lJ1 fSPONEWTE bull (a b) = a 11 bti (34)2= 3 2 4 2

bull 1e 1t egrave un nume10 INTERO ) fa poTenta e (~)11 ~ bfO (2)2 ~ c)(mple deli niTQ Q bull a a n voffe b b 882

o -l1 6-3~middot 00 ~ bull ~e 11 e un 1Umelo REALE 6 3a

a 11 egrave df~ ru ra 1Dfo ~e Q gtO lJn 1l 1ft + h J 5 -3 lin Tof lfraquolo 0- gt O 0 ~ o ~Obull o Q = o

1-5 a -3 -2 pe 3 J J

041 - 3 ~ti ecc bull a a m-rL iL ~O-s fO 30

~Mr~ df~rure 42 bull (om)1l = o 1Yt~ (~O1)4 40 8

-2 ~Il2 1lt 110

( fO~) 42 ~O 32

bull ~e a O

0- = O 1~ 1l gtO ~uaP11aMJ

011 non de~ruTo 1e -n ltO

O1 non depniro ~f 1L =O

bull ~e 1l =O

nO=i

I CENTl TA

e~~tota f2a dru UlpltJY)1OrU ~Ligraved1e che

1) conXengono ~fD numeltAgrave

2) conftnsono oncne amp6~le ) 1OdeL1joITa pm quolhiOhi vo101e deffe ~liele

1 4 + 3 = 5+ 2 3 ~ = G+ 3

J

2 (o+b)c Qc+bc

EQUAilONE

~uo9U~1Q r~a dwl eAp1M~lonj ~ebli(he J ue egrave vw~coXQ ~ pVl ofwnAgrave patacoPaIugrave volati de Pfe ~tle cile )Ono cowridutafe Veacuteltiahi~

bull 4x-+~ 5x lOfD ~e x =2

x egrave f inco9rUfamp ) )( =2 e fa ~futiolle

middot r~ non ehWtLi 1ofutionAgrave

Q X + =Q X -+ 3 NO

x2 = - 9 NO

fQUAll0NI DI PRlMO GRADO rrefo1igraveone t1Q 1lumeUgrave dei ~uat afmeno uno egrave

inCtJgoilo (igravendicofo (00 x ) cJuamlQ HinwgniTnl )

eigraveowgrugraveTo (OmpOle affa (YLimo poTen~Q

fOlmo ~ene1f)fe o X+ b = O

a e b llume4 nOli 110n 1luft

~ofutione x - Q po~iG va o negafivQ Q

fOlme pala(oPali

QJX +02 a~ =) UJX +Q2- Q3 =0

0= 01 b G1 -03

bix+ b2 b3x + blf =) (b4 -b3)x + bz- bJc O

a b4- b3 b b2 -bJt

Ci ~ puograve ~tnp1Q ticonc1u2e offQ olmo gene(QPe

~QUA110NI DI SECONDO GRADO

fOlmo 3enelofe Qx2+bx+c 1 o Q non nufto

210~1 ione x = - b plusmnVb - 4 o C 2ltl

bull b2 - 4ac gtO due ~tuegravek)lUgrave X1e)(2

bull bZ _ 4ac = O una ~fa lofu2ione

bull bZ -~QC ~ O ne~una ~w2-ione

CO~O powcofene b=0

x = plusmnV-4ac = plusmnv- c 2amiddot a

~ a e c di ~no oppoio due 1Ofu~ioni otiUnuui nvnuno ~2-ione

COllO pOItIicolble co )(= -bplusmnb 9 )(1=0 _~X22n ~J

AVVER1EN1A G-ENERAlE PER TUTTE LE EQUA210NI

tlOVoto Po ~ofUtigraveolle r veu~(Q f

~ ~lAQtione c1ve~a uno ~middotdett1ira

E5ERCf1

fQuAiION DI PRIMO ampRADO

~ f daro fequoegraveione 3-1x ~X-t- RiWAlaM x

- lt3x -2 ) x =2g 0211

2 E doTa fequo1ione 3x-5 = 1+4x RiUWeacutel2R x

-Xb )

X=-b

3 f dofQ t~UD-2l0ne -x+ 3 ~ (- 3S+0S x)

RimvaJlQ x

-x+3 =-t+x I -2x=-~O

J x=s

~ f dolo fequotigraveone 8 - bx =5 fa )Li 1oampi~loneI

egrave )( == t s Ri UUJaJl1 b

b=~euro-_S =_3 = 2 x te

5 QUQf egrave iP vofolQ cL x (he ~oddi~Q x = 06 2)(+1

x t2x+ O b ) - 02)( O b J x~ - 3

POTENZE ALCUNE REGOLE ESEMPIO

a ft a SASr lJ1 fSPONEWTE bull (a b) = a 11 bti (34)2= 3 2 4 2

bull 1e 1t egrave un nume10 INTERO ) fa poTenta e (~)11 ~ bfO (2)2 ~ c)(mple deli niTQ Q bull a a n voffe b b 882

o -l1 6-3~middot 00 ~ bull ~e 11 e un 1Umelo REALE 6 3a

a 11 egrave df~ ru ra 1Dfo ~e Q gtO lJn 1l 1ft + h J 5 -3 lin Tof lfraquolo 0- gt O 0 ~ o ~Obull o Q = o

1-5 a -3 -2 pe 3 J J

041 - 3 ~ti ecc bull a a m-rL iL ~O-s fO 30

~Mr~ df~rure 42 bull (om)1l = o 1Yt~ (~O1)4 40 8

-2 ~Il2 1lt 110

( fO~) 42 ~O 32

bull ~e a O

0- = O 1~ 1l gtO ~uaP11aMJ

011 non de~ruTo 1e -n ltO

O1 non depniro ~f 1L =O

bull ~e 1l =O

nO=i

I CENTl TA

e~~tota f2a dru UlpltJY)1OrU ~Ligraved1e che

1) conXengono ~fD numeltAgrave

2) conftnsono oncne amp6~le ) 1OdeL1joITa pm quolhiOhi vo101e deffe ~liele

1 4 + 3 = 5+ 2 3 ~ = G+ 3

J

2 (o+b)c Qc+bc

EQUAilONE

~uo9U~1Q r~a dwl eAp1M~lonj ~ebli(he J ue egrave vw~coXQ ~ pVl ofwnAgrave patacoPaIugrave volati de Pfe ~tle cile )Ono cowridutafe Veacuteltiahi~

bull 4x-+~ 5x lOfD ~e x =2

x egrave f inco9rUfamp ) )( =2 e fa ~futiolle

middot r~ non ehWtLi 1ofutionAgrave

Q X + =Q X -+ 3 NO

x2 = - 9 NO

fQUAll0NI DI PRlMO GRADO rrefo1igraveone t1Q 1lumeUgrave dei ~uat afmeno uno egrave

inCtJgoilo (igravendicofo (00 x ) cJuamlQ HinwgniTnl )

eigraveowgrugraveTo (OmpOle affa (YLimo poTen~Q

fOlmo ~ene1f)fe o X+ b = O

a e b llume4 nOli 110n 1luft

~ofutione x - Q po~iG va o negafivQ Q

fOlme pala(oPali

QJX +02 a~ =) UJX +Q2- Q3 =0

0= 01 b G1 -03

bix+ b2 b3x + blf =) (b4 -b3)x + bz- bJc O

a b4- b3 b b2 -bJt

Ci ~ puograve ~tnp1Q ticonc1u2e offQ olmo gene(QPe

~QUA110NI DI SECONDO GRADO

fOlmo 3enelofe Qx2+bx+c 1 o Q non nufto

210~1 ione x = - b plusmnVb - 4 o C 2ltl

bull b2 - 4ac gtO due ~tuegravek)lUgrave X1e)(2

bull bZ _ 4ac = O una ~fa lofu2ione

bull bZ -~QC ~ O ne~una ~w2-ione

CO~O powcofene b=0

x = plusmnV-4ac = plusmnv- c 2amiddot a

~ a e c di ~no oppoio due 1Ofu~ioni otiUnuui nvnuno ~2-ione

COllO pOItIicolble co )(= -bplusmnb 9 )(1=0 _~X22n ~J

AVVER1EN1A G-ENERAlE PER TUTTE LE EQUA210NI

tlOVoto Po ~ofUtigraveolle r veu~(Q f

~ ~lAQtione c1ve~a uno ~middotdett1ira

E5ERCf1

fQuAiION DI PRIMO ampRADO

~ f daro fequoegraveione 3-1x ~X-t- RiWAlaM x

- lt3x -2 ) x =2g 0211

2 E doTa fequo1ione 3x-5 = 1+4x RiUWeacutel2R x

-Xb )

X=-b

3 f dofQ t~UD-2l0ne -x+ 3 ~ (- 3S+0S x)

RimvaJlQ x

-x+3 =-t+x I -2x=-~O

J x=s

~ f dolo fequotigraveone 8 - bx =5 fa )Li 1oampi~loneI

egrave )( == t s Ri UUJaJl1 b

b=~euro-_S =_3 = 2 x te

5 QUQf egrave iP vofolQ cL x (he ~oddi~Q x = 06 2)(+1

x t2x+ O b ) - 02)( O b J x~ - 3

I CENTl TA

e~~tota f2a dru UlpltJY)1OrU ~Ligraved1e che

1) conXengono ~fD numeltAgrave

2) conftnsono oncne amp6~le ) 1OdeL1joITa pm quolhiOhi vo101e deffe ~liele

1 4 + 3 = 5+ 2 3 ~ = G+ 3

J

2 (o+b)c Qc+bc

EQUAilONE

~uo9U~1Q r~a dwl eAp1M~lonj ~ebli(he J ue egrave vw~coXQ ~ pVl ofwnAgrave patacoPaIugrave volati de Pfe ~tle cile )Ono cowridutafe Veacuteltiahi~

bull 4x-+~ 5x lOfD ~e x =2

x egrave f inco9rUfamp ) )( =2 e fa ~futiolle

middot r~ non ehWtLi 1ofutionAgrave

Q X + =Q X -+ 3 NO

x2 = - 9 NO

fQUAll0NI DI PRlMO GRADO rrefo1igraveone t1Q 1lumeUgrave dei ~uat afmeno uno egrave

inCtJgoilo (igravendicofo (00 x ) cJuamlQ HinwgniTnl )

eigraveowgrugraveTo (OmpOle affa (YLimo poTen~Q

fOlmo ~ene1f)fe o X+ b = O

a e b llume4 nOli 110n 1luft

~ofutione x - Q po~iG va o negafivQ Q

fOlme pala(oPali

QJX +02 a~ =) UJX +Q2- Q3 =0

0= 01 b G1 -03

bix+ b2 b3x + blf =) (b4 -b3)x + bz- bJc O

a b4- b3 b b2 -bJt

Ci ~ puograve ~tnp1Q ticonc1u2e offQ olmo gene(QPe

~QUA110NI DI SECONDO GRADO

fOlmo 3enelofe Qx2+bx+c 1 o Q non nufto

210~1 ione x = - b plusmnVb - 4 o C 2ltl

bull b2 - 4ac gtO due ~tuegravek)lUgrave X1e)(2

bull bZ _ 4ac = O una ~fa lofu2ione

bull bZ -~QC ~ O ne~una ~w2-ione

CO~O powcofene b=0

x = plusmnV-4ac = plusmnv- c 2amiddot a

~ a e c di ~no oppoio due 1Ofu~ioni otiUnuui nvnuno ~2-ione

COllO pOItIicolble co )(= -bplusmnb 9 )(1=0 _~X22n ~J

AVVER1EN1A G-ENERAlE PER TUTTE LE EQUA210NI

tlOVoto Po ~ofUtigraveolle r veu~(Q f

~ ~lAQtione c1ve~a uno ~middotdett1ira

E5ERCf1

fQuAiION DI PRIMO ampRADO

~ f daro fequoegraveione 3-1x ~X-t- RiWAlaM x

- lt3x -2 ) x =2g 0211

2 E doTa fequo1ione 3x-5 = 1+4x RiUWeacutel2R x

-Xb )

X=-b

3 f dofQ t~UD-2l0ne -x+ 3 ~ (- 3S+0S x)

RimvaJlQ x

-x+3 =-t+x I -2x=-~O

J x=s

~ f dolo fequotigraveone 8 - bx =5 fa )Li 1oampi~loneI

egrave )( == t s Ri UUJaJl1 b

b=~euro-_S =_3 = 2 x te

5 QUQf egrave iP vofolQ cL x (he ~oddi~Q x = 06 2)(+1

x t2x+ O b ) - 02)( O b J x~ - 3

~QUA110NI DI SECONDO GRADO

fOlmo 3enelofe Qx2+bx+c 1 o Q non nufto

210~1 ione x = - b plusmnVb - 4 o C 2ltl

bull b2 - 4ac gtO due ~tuegravek)lUgrave X1e)(2

bull bZ _ 4ac = O una ~fa lofu2ione

bull bZ -~QC ~ O ne~una ~w2-ione

CO~O powcofene b=0

x = plusmnV-4ac = plusmnv- c 2amiddot a

~ a e c di ~no oppoio due 1Ofu~ioni otiUnuui nvnuno ~2-ione

COllO pOItIicolble co )(= -bplusmnb 9 )(1=0 _~X22n ~J

AVVER1EN1A G-ENERAlE PER TUTTE LE EQUA210NI

tlOVoto Po ~ofUtigraveolle r veu~(Q f

~ ~lAQtione c1ve~a uno ~middotdett1ira

E5ERCf1

fQuAiION DI PRIMO ampRADO

~ f daro fequoegraveione 3-1x ~X-t- RiWAlaM x

- lt3x -2 ) x =2g 0211

2 E doTa fequo1ione 3x-5 = 1+4x RiUWeacutel2R x

-Xb )

X=-b

3 f dofQ t~UD-2l0ne -x+ 3 ~ (- 3S+0S x)

RimvaJlQ x

-x+3 =-t+x I -2x=-~O

J x=s

~ f dolo fequotigraveone 8 - bx =5 fa )Li 1oampi~loneI

egrave )( == t s Ri UUJaJl1 b

b=~euro-_S =_3 = 2 x te

5 QUQf egrave iP vofolQ cL x (he ~oddi~Q x = 06 2)(+1

x t2x+ O b ) - 02)( O b J x~ - 3

b [ dora P equa1igraveOlle 16 - ~4 X k POTENIE Dl 10

peraquoquoPe vofo2e ltt le ti~erQ ( = O 1 (areofole if llUfflelO eJJpUMO do x= ~ -Ilt = ~6

J ili ~g to- i

1 D 10b =~smiddot (0shy

oppUle cLlailamenTe ~e x =O ~6 k

2 (oVeOfole igravef 1lU1lltno etlpleuro110 do1 ~dofo fequo~ione 3x - ~ - 5 -t- i j

~OfU1iOne q~1S oq4middotld~pel qlJDfe vo101e ru )( ~~UerQ fj = 2 ~

3 COV(Ofeacutel1e il numelO erple~O do~e ~2 3x - ~ 5 + i 55 2

3x =95 ) x 953- 3 i7 1ofulione 82210-2

8 f doto feq~igraveone 3- 5)( = ~ Le (af(of~ne if numelO ~p~e~o da lJ

pu qunfe vololl di )( ugrave~ffQ ~ 1 Xgtfu~ione 04middot to-3

1igrave r~o(ede come I)()p~ meUendD 1IJbifograve ~ i 5 (aV(of(ne igravef nurne10 ehple~O da nefe equotione 1i titllVil )( - ~5 - 02J

~ofu1ione O Si oppuu ~ ft = 3 - 5x ~

3-5x

x - ~5

)iOtt bull gmiddot~o-s

3middot (0-2bull L 08

s 2t5fO middot5middotl0shymiddot232middot(0- 4middot10

~jmiddotIOmiddot 5(0-3

4middot10- 38middot102

lt -)(~middotIO middotSbmiddotIO 8middot (02 28middot IOgt

- lO1fmiddot ~o 42- lO S~middot IO-t bull t ~ fO~

( d S -2 l6 (Qf(ofcue x nek t eqUUtigraveone ) to g O 32middot ~O x 3 Esercizi equazioni di primo grado

X = ~b to~ ~ 50 31 tograve

1 (OrCOfCHR x doffelpOtOIe 9 -t -Jtt3middotto middotLtmiddotfO = ~O X

3 f l -(X = 0 O -l3bmiddot to

tO-~

lt -3 3 g Cofcofole)( doVeeqUQiiOne middot3-~omiddot 8middot10 48middotQ x

l) l -2 )(= (4middottO =510

48 tO~

2x (3-x) = 2 3( 4x-2) = 5-3x (x -4) 5 x =-18 (4x+1) O5x = -14 15x (2x+ 1) = -04 28-07x = -4(05x+07) 2(08+ 14x) = 2x-04 (x+O5) 2x = 07 05x (1 +x) = -2

15104 X = 4210-2610-5

5610-2 X = 1810729106

37103 x = 6510-582102

7510-3 x = 9410521104

3210-1 X = 461025910-4

6110-3 x = 8910-172104

97102 x = 131062510-1

5110-4 X = 3910-548102

3310-5 X = 7610427102

x=l5 x = 0733 x =04 x = -0213 x = -0174 x = -431 x = -25 x = 125 x =-08

x = 46710-2

X = 111102

X = 21410- 11

X = 597103

X = 244106

X = 20310-3

X = 536103

X = 15910-4

X = 853106

Esercizi equazioni di secondo grado

2x2+4x-3 = O b2-4ac = 40 due soluzioni Xl = 058 X2 = -258

3x2-2x5 = O b2-4ac = -56 nessuna sol

x2+2x+1=0 b2-4ac = O una soluzione X =-1

nota se a e c sono di segno opposto sempre due soluzioni

4x2-3x = O x(4x-3) = O Xl = O X2 = 075

nota se c = O sempre due soluzioni una egrave sempre x =O

5x2+8 =O X2 = -85 nessuna soluzione 5X2-8 =O X2 = 85 x = + 1265

nota se b = O o due soluzioni o nessuna

ASSE CARTESIANO )

O P(x) x

letto olienToTa Jaoegrave ronun VERSO [ioo-10 O oUgravel3igravene

p punTo onetigrave(o J ~o oU r~t-ioneegrave indiduaIa doHo di~JlO con ~egravegno doff ougigravene O

x egrave fo coouirQIo def ruffo p

x gt O p egrave ~f ~miOMe pcnfivo

x =O P COincide ron f61igine

x lt O P egrave ~f 1t(rniooe nesofvo

igravef vofo1e Wx egrave eIlpumo -in Telmini deeeunirOgrave di lILIgrave~lQ voficlo ptl fa VQliQbifomiddot x

~ x egrave una diionlo J i~ VoJolfl egrave e)pltlOCgt in merli ~ x egrave un Tempo if vuPo1tl egrave fJ)p1VograveO in ~()ndi

eCl

PIANO CARTESIANO

dUl QMi clltTe-ionigrave o qOO T1O fOlo

indAViduano un piano

~ __ bull P(XI~) middotbull bull I middot

01 X

un plinTD dee piono egrave ~ndiVlduoTo dofle cke cooldtnaIe x e laquoj

x ~ dtiDroct ASCISSA ~ ii duomo ORDIt-JATA

i punfigrave )UffOJYlf x honno olcLnOTa nuUa l3 =O

i pun(j J)Uff GlMe l1 nonno aJlUgrave~Q nuffa 1 )(0

~ xlto xgto

1gt0 1gt0 ~ x

XltO xgto

~lto ~lto

SPA110 CARTES lA NO

tre a~ (Qtre~Qni muTuamenTe olfoBooofigrave

x ~

un fgtunTo deffo ~po~iO T1ilttmen~onoft egrave ~VdividuolO

doPfe Tle coo1CUnaIe (oufh10ne (ol~not) )( lt1 i

(ONV[N~IONE SUI VER~1 Dt6Ll ASSI

a~~e OlienToTo do t1rtAgravel)r1o n deJflQ piano ~u(lldardo il piano fOMe x va Wff~ y

in ltl~o Onn01QUO

~poliO doffa punTo deff OMe 1 ~ vede fOMe x (2ndale

~ltPf 0Jnt Cj in ~MO onTigraveolOuo

---

-----~

ANGOLO PIANO

_ due 1fmilelle Uh~n(j da unoligine (oMln(

XL (Jwne1entQ di1a~~igraveO l

a1(O deffa uUDlfeten~a fungq 1

1i de~i1Ugrave1(e nnljofo fOlmoTo doffe ~errugraveetre

igravef 10ppOUgraveO e=1 (igravendipendeYfe da 1Z ) 7

angoro ~igravetO 1 = 2liZ 9 e 2laquo 62g =00

on90fo pialTo 1 Tt 9 figrave =lr e 344 =1800

=angofa terra ~ l ) ti ~ 4 57 qOo 2 Z

1shy10 tnAgrave~1Q egrave eMUMQ in RADIANTI t 6~AI)

1 lQdigraveQYTe ~ S1t tgO lif f qlodo ~ O Oll lOd = T 1(80

~

~f una ~11Ugravee[a moTo Upe[o oftalJlQ nello igrave9u2ltQl

dopo un ~i10 9 =e+ 21T dopo 11 ~igravelIgrave 8tl =e+ 21L1igrave

Lf FUN1ONI TRIGONOMETRICHE

x

(IgraveZ(Onfelen~a di l09laquo3igraveo Il OP

punTo P ~uffo (Agravet(f)llfelenlQ

pwieligraveollf x punTo C ploigraveelione ~ punTo S

ongofo a founolo daP Zogqigraveo OP con flN)f x

bull ~eno defeongoPo e ~ene=PC os YP OP Il ~

bull (~no defpangDfo e (f1) 9 PS oc Xp

OP z Z

=gt xp lZ eme J Y = rz ~eneP

xi y 12~2f) + l ~en29 ~ io

1en e (Uj io

amp=i ~ l (VITA60RA)

bull Tangente deff Qn~ofo e Tg9 = 1en9 05 = fjp ~amp oc xp

~gt yp = xp i9 9

appPiC01ione od un Ttionejofo 2efJon~ofo

b b2 2shy(ateti a J b igravepoTenu~o c 02

+ =c

O(-t~ = E 2

o = c ~ct b C (01 o (1= b t~o(

Q C cm~ b=c~en~ b= Q tra ~

~

len ~ = U1l ~ =Uh ( - ex )J

CJj) a =~n~ = ~en (u -O()2

if ~eno di ynangofo egrave ~uofe oP (a)eno deffoogofo

WWlpetMJlMOle e vlt1Ve11Q

( ~m =CDl ) =450

)Lt It

Grandezze scalari

caratterizzate soltanto da un numero massa costante temperatura variabile

Grandezze vettoriali

caratterizzate da modulo direzione verso regola di somma

spostamento velocitagrave accelerazione forza

possono essere costanti o variabili

primo esempio di grandezza vettori aIe lo spostamento rettilineo

la frase spostamento di 1 metro a partire dal punto O non egrave univoca il punto di arrivo puograve essere un qualsiasi punto della circonferenza di centro O e raggio 1 metro

2 infinite soluzioni

se oltre al modulo direzione si hanno

1 metro si precisa la

due soluzioni o

se si precisa il verso si ha

una sola soluzione O

)

solo cosigrave egrave chiaro da dove si parte e dove amva

SI

~

--_~--- -shy

Rappresentazione di un vettore

segmento orientato ~ lettera con freccetta v

o in grassetto v

due vettori eguali ~ due vettori diversi ~-Regola di somma

due vettori qualsiasi ~ ~ si riportano alla stessa origine -Il

~~ ~ -Igt

b ~ 0+b~ si disegnano uno di seguito

-II

allaltro ~b _)~(Agrave+b

------l r

la somma dei due vettori egrave eguale alla diagonale del parallelogramma avente i due vettori come lati si verifica dai disegni che a + b = b + a

la regola si estende a tanti vettori disegnandoli uno di seguito allaltro nel piano o nello spazio

~R[gty a+b+c+d+ =R R si dice risultante

differenza a - b =a + (-b) egrave laltra diagonale del parallelogramma

- Qlt -- ~ Qtb

~

lt-6

agrave-b Nota dato v il vettore avente stessa direzione stesso modulo e verso opposto si dice vettore opposto e si scrive -v

41 I

I I

Vettore unitario (versore)

vettore di modulo unitario u I

111individua una direzione orientata I

I I

direzione e verso come da disegno I

modulo u = 1

Moltiplicazione di un vettore per un numero b=ma

b ha la stessa direzione di a ha verso eguale o opposto a seconda del segno di m ha modulo eguale al prodotto del modulo di a per il modulo di m (se m =-1 si ritrova il vettore opposto)

=gt qualsiasi vettore v si puograve sempre scrivere v=+vu

Il direzione modulo

Il ) verso

scrittura separata delle tre proprietagrave

Scomposizione cartesiana di un vettore Scomposizione cartesiana di una somma

~ v=vx+vy = vxux+ VyUy

11~

Vxe vysono 1

vettori componenti u il -+ x

UxVxe vysono le componenti cartesiane

si vede dal disegno che v=v(v+v) Vx= vcos8 vy= vsen8

per esempio se v = 3u e forma langolo 8 = 60deg con lasse x

v x = 3cos60deg = 15 vy= 3sen60deg = 26 v =3u = 15ux+ 26uy

~ c=a+b a = ~Ux + ayuy b = bxux+ byuy si verifica dal disegno Cx= ax+ bx cy= ay+ by

b~

ak b~ )(

il vettore somma ha come componenti la somma delle componenti degli addendi

modulo c = v(c + c) angolograve econ lasse x tale che tg8 = cycx

si dimostra che il modulo di c si ottiene anche con la formula di Carnot

c = v(a2 + b2 + 2abcosltlraquo essendo ltIgt langolo tra a e b

nota a paritagrave di addendi la somma cambia se cambia langolo ltIgt tra gli addendi

Esercizi scomposizione di vettori

Un vettore F ha le componenti cartesiane Fx = 141 e Fy = Il7 Calcolare il modulo di F e langolo che F forma con lasse x

F2=F+F F = 183 ~ tg8=Fy Fx 8=397deg

~

Un vettore F di modulo 204 ha le componenti cartesiane Fx = 131 e Fy bull

Calcolare il valore di F y e langolo che F forma con lasse x

FF2= F 2+F 2

F = Fx2-F

y

Fy =156 cos8 = Fx IF 8 = 500deg oppure tg8 =Fy Fx 8 = 500deg

fx

~

Un vettore F di modulo 72 ha le componenti cartesiane Fx e Fy =53 Calcolare il valore di Fx e langolo che F forma con lasse x

-F2=F x 2+Fy2 1=F~F =F2_F Fx =49

sen8 =F y IF 8 =474deg oppure tg8 =Fy F x 8 =474deg

Un vettore F forma langolo 8 = 30deg con lasse x e la componente cartesiana F y vale 16 Calcolare il valore di F x e il modulo di F

tg30deg = Fy Fx Fx = Fy tg30deg =277 F = V(F+F) =32 J - oppure

Lltij(tF =Fy sen30deg =32 F x = Fcos30deg = 277

~ -~ ---- ---------- ----- ------shy

Esercizi somma cartesiana di vettori

Sono dati i vettori a == 3u e b == 4uy Calcolare cx

== a + b e disegnarlo

c == 3ux + 4uy c == v(9+16) == 5 hltg8 == cy1Cx =43 8 =531 deg -l ()

Un vettore di modulo 06 egrave disposto lungo la direzione orientata 1 un altro vettore di modulo 04 egrave disposto lungo la direzione orientata 2 langolo tra le due direzioni egrave 8 =36deg Calcolare il modulo del vettore somma

si applica la formula di Carnot c =v(062 + 042 + 2middot06middot02middotcos36deg) =095

oy ~

02

Sono dati due vettori a di modulo 6 formante langolo a == 30deg con lasse x b di modulo 8 formante langolo B = 30deg con lasse y Calcolare il vettore somma c e disegnarlo

y ax == acos30deg =520 ay =asen30deg == 3 bx =-bsen30deg == -4 by == bcos30deg == 693 Cx =ax + bx = 120

~ ccy== ay + by == 993 c =v(1202 + 9932

) == lO tg8 == cycx == 8275 8 == 8311 deg

l

x

Sono dati i vettori a == 2u e b == -uy Calcolare c x

=a + b e disegnarlo ~

lt1 c == 2ux - uy br c == v(4+ 1) == 224 tg8 == -12 == -05 8 =-266deg

x

------l r

la somma dei due vettori egrave eguale alla diagonale del parallelogramma avente i due vettori come lati si verifica dai disegni che a + b = b + a

la regola si estende a tanti vettori disegnandoli uno di seguito allaltro nel piano o nello spazio

~R[gty a+b+c+d+ =R R si dice risultante

differenza a - b =a + (-b) egrave laltra diagonale del parallelogramma

- Qlt -- ~ Qtb

~

lt-6

agrave-b Nota dato v il vettore avente stessa direzione stesso modulo e verso opposto si dice vettore opposto e si scrive -v

41 I

I I

Vettore unitario (versore)

vettore di modulo unitario u I

111individua una direzione orientata I

I I

direzione e verso come da disegno I

modulo u = 1

Moltiplicazione di un vettore per un numero b=ma

b ha la stessa direzione di a ha verso eguale o opposto a seconda del segno di m ha modulo eguale al prodotto del modulo di a per il modulo di m (se m =-1 si ritrova il vettore opposto)

=gt qualsiasi vettore v si puograve sempre scrivere v=+vu

Il direzione modulo

Il ) verso

scrittura separata delle tre proprietagrave

Scomposizione cartesiana di un vettore Scomposizione cartesiana di una somma

~ v=vx+vy = vxux+ VyUy

11~

Vxe vysono 1

vettori componenti u il -+ x

UxVxe vysono le componenti cartesiane

si vede dal disegno che v=v(v+v) Vx= vcos8 vy= vsen8

per esempio se v = 3u e forma langolo 8 = 60deg con lasse x

v x = 3cos60deg = 15 vy= 3sen60deg = 26 v =3u = 15ux+ 26uy

~ c=a+b a = ~Ux + ayuy b = bxux+ byuy si verifica dal disegno Cx= ax+ bx cy= ay+ by

b~

ak b~ )(

il vettore somma ha come componenti la somma delle componenti degli addendi

modulo c = v(c + c) angolograve econ lasse x tale che tg8 = cycx

si dimostra che il modulo di c si ottiene anche con la formula di Carnot

c = v(a2 + b2 + 2abcosltlraquo essendo ltIgt langolo tra a e b

nota a paritagrave di addendi la somma cambia se cambia langolo ltIgt tra gli addendi

Esercizi scomposizione di vettori

Un vettore F ha le componenti cartesiane Fx = 141 e Fy = Il7 Calcolare il modulo di F e langolo che F forma con lasse x

F2=F+F F = 183 ~ tg8=Fy Fx 8=397deg

~

Un vettore F di modulo 204 ha le componenti cartesiane Fx = 131 e Fy bull

Calcolare il valore di F y e langolo che F forma con lasse x

FF2= F 2+F 2

F = Fx2-F

y

Fy =156 cos8 = Fx IF 8 = 500deg oppure tg8 =Fy Fx 8 = 500deg

fx

~

Un vettore F di modulo 72 ha le componenti cartesiane Fx e Fy =53 Calcolare il valore di Fx e langolo che F forma con lasse x

-F2=F x 2+Fy2 1=F~F =F2_F Fx =49

sen8 =F y IF 8 =474deg oppure tg8 =Fy F x 8 =474deg

Un vettore F forma langolo 8 = 30deg con lasse x e la componente cartesiana F y vale 16 Calcolare il valore di F x e il modulo di F

tg30deg = Fy Fx Fx = Fy tg30deg =277 F = V(F+F) =32 J - oppure

Lltij(tF =Fy sen30deg =32 F x = Fcos30deg = 277

~ -~ ---- ---------- ----- ------shy

Esercizi somma cartesiana di vettori

Sono dati i vettori a == 3u e b == 4uy Calcolare cx

== a + b e disegnarlo

c == 3ux + 4uy c == v(9+16) == 5 hltg8 == cy1Cx =43 8 =531 deg -l ()

Un vettore di modulo 06 egrave disposto lungo la direzione orientata 1 un altro vettore di modulo 04 egrave disposto lungo la direzione orientata 2 langolo tra le due direzioni egrave 8 =36deg Calcolare il modulo del vettore somma

si applica la formula di Carnot c =v(062 + 042 + 2middot06middot02middotcos36deg) =095

oy ~

02

Sono dati due vettori a di modulo 6 formante langolo a == 30deg con lasse x b di modulo 8 formante langolo B = 30deg con lasse y Calcolare il vettore somma c e disegnarlo

y ax == acos30deg =520 ay =asen30deg == 3 bx =-bsen30deg == -4 by == bcos30deg == 693 Cx =ax + bx = 120

~ ccy== ay + by == 993 c =v(1202 + 9932

) == lO tg8 == cycx == 8275 8 == 8311 deg

l

x

Sono dati i vettori a == 2u e b == -uy Calcolare c x

=a + b e disegnarlo ~

lt1 c == 2ux - uy br c == v(4+ 1) == 224 tg8 == -12 == -05 8 =-266deg

x

Scomposizione cartesiana di un vettore Scomposizione cartesiana di una somma

~ v=vx+vy = vxux+ VyUy

11~

Vxe vysono 1

vettori componenti u il -+ x

UxVxe vysono le componenti cartesiane

si vede dal disegno che v=v(v+v) Vx= vcos8 vy= vsen8

per esempio se v = 3u e forma langolo 8 = 60deg con lasse x

v x = 3cos60deg = 15 vy= 3sen60deg = 26 v =3u = 15ux+ 26uy

~ c=a+b a = ~Ux + ayuy b = bxux+ byuy si verifica dal disegno Cx= ax+ bx cy= ay+ by

b~

ak b~ )(

il vettore somma ha come componenti la somma delle componenti degli addendi

modulo c = v(c + c) angolograve econ lasse x tale che tg8 = cycx

si dimostra che il modulo di c si ottiene anche con la formula di Carnot

c = v(a2 + b2 + 2abcosltlraquo essendo ltIgt langolo tra a e b

nota a paritagrave di addendi la somma cambia se cambia langolo ltIgt tra gli addendi

Esercizi scomposizione di vettori

Un vettore F ha le componenti cartesiane Fx = 141 e Fy = Il7 Calcolare il modulo di F e langolo che F forma con lasse x

F2=F+F F = 183 ~ tg8=Fy Fx 8=397deg

~

Un vettore F di modulo 204 ha le componenti cartesiane Fx = 131 e Fy bull

Calcolare il valore di F y e langolo che F forma con lasse x

FF2= F 2+F 2

F = Fx2-F

y

Fy =156 cos8 = Fx IF 8 = 500deg oppure tg8 =Fy Fx 8 = 500deg

fx

~

Un vettore F di modulo 72 ha le componenti cartesiane Fx e Fy =53 Calcolare il valore di Fx e langolo che F forma con lasse x

-F2=F x 2+Fy2 1=F~F =F2_F Fx =49

sen8 =F y IF 8 =474deg oppure tg8 =Fy F x 8 =474deg

Un vettore F forma langolo 8 = 30deg con lasse x e la componente cartesiana F y vale 16 Calcolare il valore di F x e il modulo di F

tg30deg = Fy Fx Fx = Fy tg30deg =277 F = V(F+F) =32 J - oppure

Lltij(tF =Fy sen30deg =32 F x = Fcos30deg = 277

~ -~ ---- ---------- ----- ------shy

Esercizi somma cartesiana di vettori

Sono dati i vettori a == 3u e b == 4uy Calcolare cx

== a + b e disegnarlo

c == 3ux + 4uy c == v(9+16) == 5 hltg8 == cy1Cx =43 8 =531 deg -l ()

Un vettore di modulo 06 egrave disposto lungo la direzione orientata 1 un altro vettore di modulo 04 egrave disposto lungo la direzione orientata 2 langolo tra le due direzioni egrave 8 =36deg Calcolare il modulo del vettore somma

si applica la formula di Carnot c =v(062 + 042 + 2middot06middot02middotcos36deg) =095

oy ~

02

Sono dati due vettori a di modulo 6 formante langolo a == 30deg con lasse x b di modulo 8 formante langolo B = 30deg con lasse y Calcolare il vettore somma c e disegnarlo

y ax == acos30deg =520 ay =asen30deg == 3 bx =-bsen30deg == -4 by == bcos30deg == 693 Cx =ax + bx = 120

~ ccy== ay + by == 993 c =v(1202 + 9932

) == lO tg8 == cycx == 8275 8 == 8311 deg

l

x

Sono dati i vettori a == 2u e b == -uy Calcolare c x

=a + b e disegnarlo ~

lt1 c == 2ux - uy br c == v(4+ 1) == 224 tg8 == -12 == -05 8 =-266deg

x

Esercizi scomposizione di vettori

Un vettore F ha le componenti cartesiane Fx = 141 e Fy = Il7 Calcolare il modulo di F e langolo che F forma con lasse x

F2=F+F F = 183 ~ tg8=Fy Fx 8=397deg

~

Un vettore F di modulo 204 ha le componenti cartesiane Fx = 131 e Fy bull

Calcolare il valore di F y e langolo che F forma con lasse x

FF2= F 2+F 2

F = Fx2-F

y

Fy =156 cos8 = Fx IF 8 = 500deg oppure tg8 =Fy Fx 8 = 500deg

fx

~

Un vettore F di modulo 72 ha le componenti cartesiane Fx e Fy =53 Calcolare il valore di Fx e langolo che F forma con lasse x

-F2=F x 2+Fy2 1=F~F =F2_F Fx =49

sen8 =F y IF 8 =474deg oppure tg8 =Fy F x 8 =474deg

Un vettore F forma langolo 8 = 30deg con lasse x e la componente cartesiana F y vale 16 Calcolare il valore di F x e il modulo di F

tg30deg = Fy Fx Fx = Fy tg30deg =277 F = V(F+F) =32 J - oppure

Lltij(tF =Fy sen30deg =32 F x = Fcos30deg = 277

~ -~ ---- ---------- ----- ------shy

Esercizi somma cartesiana di vettori

Sono dati i vettori a == 3u e b == 4uy Calcolare cx

== a + b e disegnarlo

c == 3ux + 4uy c == v(9+16) == 5 hltg8 == cy1Cx =43 8 =531 deg -l ()

Un vettore di modulo 06 egrave disposto lungo la direzione orientata 1 un altro vettore di modulo 04 egrave disposto lungo la direzione orientata 2 langolo tra le due direzioni egrave 8 =36deg Calcolare il modulo del vettore somma

si applica la formula di Carnot c =v(062 + 042 + 2middot06middot02middotcos36deg) =095

oy ~

02

Sono dati due vettori a di modulo 6 formante langolo a == 30deg con lasse x b di modulo 8 formante langolo B = 30deg con lasse y Calcolare il vettore somma c e disegnarlo

y ax == acos30deg =520 ay =asen30deg == 3 bx =-bsen30deg == -4 by == bcos30deg == 693 Cx =ax + bx = 120

~ ccy== ay + by == 993 c =v(1202 + 9932

) == lO tg8 == cycx == 8275 8 == 8311 deg

l

x

Sono dati i vettori a == 2u e b == -uy Calcolare c x

=a + b e disegnarlo ~

lt1 c == 2ux - uy br c == v(4+ 1) == 224 tg8 == -12 == -05 8 =-266deg

x

~ -~ ---- ---------- ----- ------shy

Esercizi somma cartesiana di vettori

Sono dati i vettori a == 3u e b == 4uy Calcolare cx

== a + b e disegnarlo

c == 3ux + 4uy c == v(9+16) == 5 hltg8 == cy1Cx =43 8 =531 deg -l ()

Un vettore di modulo 06 egrave disposto lungo la direzione orientata 1 un altro vettore di modulo 04 egrave disposto lungo la direzione orientata 2 langolo tra le due direzioni egrave 8 =36deg Calcolare il modulo del vettore somma

si applica la formula di Carnot c =v(062 + 042 + 2middot06middot02middotcos36deg) =095

oy ~

02

Sono dati due vettori a di modulo 6 formante langolo a == 30deg con lasse x b di modulo 8 formante langolo B = 30deg con lasse y Calcolare il vettore somma c e disegnarlo

y ax == acos30deg =520 ay =asen30deg == 3 bx =-bsen30deg == -4 by == bcos30deg == 693 Cx =ax + bx = 120

~ ccy== ay + by == 993 c =v(1202 + 9932

) == lO tg8 == cycx == 8275 8 == 8311 deg

l

x

Sono dati i vettori a == 2u e b == -uy Calcolare c x

=a + b e disegnarlo ~

lt1 c == 2ux - uy br c == v(4+ 1) == 224 tg8 == -12 == -05 8 =-266deg

x