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Funzioni e loro graficiDicesi funzione y=f(x) della variabile x una legge qualsiasi che faccia corrispondere adogni valore di x, scelto in un certo insieme, detto dominio, uno ed uno solo valore di yappartenente ad un certo insieme detto codominio.

La fuzioni iniettive hanno l’ulteriore proprietà che ad elementi distinti del dominiocorrispondono elementi distinti del codominio

La fuzioni surgettive ogni elemento del codominio è l’immagine di almeno un elementodel dominio

Le funzioni biiettive hanno entrambe le proprietà ossia ad uno ed un solo elemento deldominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio

Dominio Codominio

CodominioDominio

CodominioDominio

NB:solo le funzioni biiettive sono invertibili

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È una funzione suriettiva se si limita il codomino all’insieme [-Δ/4a, +∞[

-Δ/4a

-Δ/4a

È una funzione iniettiva se si considera solo un ramo limitando il dominoall’insieme ]-∞,-b/2a]

Per renderla biiettiva dobbiamo limitare anche il codominio all’insieme

[-Δ/4a, +∞[

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Le funzioni base:

Funzioni polinomiali :

n è detto grado del polinomio

Es: y=costante y=x ,

Funzioni razionali fratte si ottengono dal quoziente di due funzionipolinomiali:

Es:

Funzioni potenza:y=xb

Funzioni esponenziali: y=ax

Es: y=ex (dove e=2.7182...)

Funzioni logaritmiche y=logax

Funzioni trigonometriche

Es: y=sin x

y = anxn+ an!1x

n!1+ .... + a

0

y =x2 ! 3x + 5

x + 2

a > 0

x !R

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Si ottengono altre funzioni usando:

• le 4 operazioni aritmetiche

• la composizione funzionale (y=f(t) t=g(x) il dominio è degli x tali che g(x)appartenga al dominio di f)

• l’inversione funzionale y=f(x) → x=g(y) (solo per funzioni biiettive)

•Il legame tra due variabili x e y del tipo x2+y2=16 non è una funzione (non èuna funzione perché ad ogni valore di x compreso tra -4 e 4 corrispondono duevalori distinti di y)

•. Si scrivano le espressioni analitiche y=f1(x) e y=f2(x) tali che considerandol’unione dei loro grafici si ottenga lo stesso luogo geometrico individuato dallarelazione x2+y2=16

Le funzioni sono f1(x )=-√ (16-x2) e f2(x)=√ (16-x2)

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Esempi•In uno stesso sistema di riferimento disegnare il grafico di

y=3x , y=-3x , y=3x+1,

y=|3x | , y= | 3x | +1

•Disegnate il grafico di

y=x2, y=x2+1, y=3x2+1,

y= | x2-2 |

•Disegnare il grafico di

y=1/x+1, y= |1/x |, y=1/(x+1), y=x2/3

y= | x2-2 |

y=|3x | y= | 3x | +1

y=x2/3y= |1/x |y=1/x+1

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Funzioni esponenziali e logaritmiche

Funzione esponenziale: y=ax con

Si possono considerare funzioni esponenziali con base un numero positivo a qualsiasi

Per a>1 il grafico della funzione y=ax è rappresentato dalla curva nera

Per a<1 il grafico di y=ax è invece decrescente e rappresentato dalla curva rossa!

x " R a > 0 costan te

Una base molto usata è il numero di Neper e=2.7182 e quindi y=ex, si può semprepassare da una funzione esponenziale del tipo y=ax con base a qualsiasi allacorrispondente y=emx con m costante opportuna

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Esempio: y=10x=emx con m=2.30259.

La funzione inversa dell’esponenziale si denota con il simbolo

x=logay e si chiama logaritmo di y (argomento del logaritmo) in base a; rappresenta quelnumero che elevato alla base da l’argomento; qualunque sia la base a NON ESISTONOlogaritmi di numeri negativi e la funzione y=logax è definita solo per x>0 ha il seguentegrafico

a>1

A

a<1

B

Dalle proprietà delle potenze e dalla definizione di funzione inversa si deducono le seguentiregole di calcolo con i logaritmi:

loga1=0; logaa=1; loga(b.c)=logab+logac; logab/c=logab-logac;

logaab=b; logabn=nlogab;

alog

ab= b

y=logax=lnx/lna

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Le basi di uso più frequente per i logaritmi sono 10 (logaritmi decimali si indicanocon L maiuscola Log) ed e (logaritmi naturali ln)

I Log sono particolarmente comodi per affrontare problemi di calcolo numerico

Infatti si ha

Log1=0 Log10=1 Log100=2 Log1000=3

Log0.1=-1 Log0.01=-2 Log0.001=-3

La conoscenza della sola parte intera di un Log fornisce l’ordine di grandezza delcorrispondente numero

Es: Log x =19.26 x=10 19.26=1019.10 0.26

I ln sono invece particolarmente utili nel calcolo infinitesimale perchè y=ex ha comederivata y’=y

Il passaggio dai logaritmi in una data base a ai logaritmi in un’altra base b si ottieneusando la seguente relazione

logac=logab logbc es.: lnx=2.302 Logx Logx=0.434lnx

Uso della scala logaritmica. Es.: riportiamo su una scala i seguenti dati

1 750 000 000, 24 000 000, 2 620 000

10 6 10 7 10 8 10 9 10 10

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Esempi di grandezze che vengono abitualmente rappresentate in scala logaritmica:

-frequenze dei suoni percepiti dall’orecchio umano 20Hz-20000Hz

-il numero dei leucociti/mm3 nel sangue (da qualche migliaio a varie centinaia)

Rappresentazione in un piano di due grandezze correlate

Es: y=kax e y=kxn

I logaritmi sono inoltre usati nella definizione di:

-pH di una soluzione pH=-Log[H+] (H+ indica la concentrazione di ioni + di idrogeno ingrammoioni/litro)

-misura del suono: S=10Log (I/Io) quantità misurata in dB, Io rappresenta la soglia di intensitàminima affinché il suono venga udito

10 1 10 2 10 3 10 4 10 5

Esercizio: La popolazione mondiale aumenta ad un tasso annuo di 1.7% , se questo incremento restacostante, calcolare in quanto tempo la popolazione :

-raddoppia

-quadruplica

-decuplica

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Esempi

•In un sistema di coordinate semilogaritmiche disegnare i grafici di

y=4x, y=0.5x, y= 10• 2x

•In un sistema di coordinate doppiamente logaritmiche disegnare i grafici di

y=x, y=x2, y=x0.5

•Molte grandezze fisiche (decadimento radioattivo nucleare, scarica di un condensatoreattraverso una resistenza ,….) hanno un andamento in funzione del tempo descrittodalla curva

y=e-x, disegnarne il grafico

•Disegnare il grafico di

y=1- e-x

•la funzione

rappresenta la distribuzione di una serie di misure di una grandezza fisica attorno alvalor medio in questo caso uguale a 0,più in generale

•La funzione rappresenta la distribuzione delle velocità degli atomi o delle molecole diun gas

y = e!x 2

y = ke

!( x!m )2

2"2

y = x2

e! x 2

Dove m rappresenta il valor medio e il parametro σ è legato alla larghezza della curva “gaussiana”

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y = x2

e! x 2

!

y = 2x

!

y = e"x

2

!

y =1" e"x

12

!

y = e"x

!

y = x2

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•Sapendo che Log 2~0.30103 calcolare i valori di Log4, Log 8, Log5,Log0,5 e Log0,2

•Determinare m,n in modo tale che il grafico della funzioney=ln(mx+n) passi per i punti A(1;-1) e B(6;0)

•Individuare il domino della funzione y=log(2x-x2)

•Individuare il domino della funzione y=√ ( sinx)

esercizi