SERIE TRIGONOMETRICHE - Università degli Studi di Milano-Bicocca · 2020. 1. 12. · ze multiple...
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SERIE TRIGONOMETRICHE Leonardo Colzani Dipartimento di Matematica Universit` a di Milano - Bicocca Tolomeo Eulero Clairaut Fourier Gauss Abel Dirichlet Riemann Cantor Michelson Gibbs Poincar´ e
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SERIE TRIGONOMETRICHELeonardo Colzani
Dipartimento di MatematicaUniversita di Milano - Bicocca
Tolomeo Eulero Clairaut Fourier
Gauss Abel Dirichlet Riemann
Cantor Michelson Gibbs Poincare
ii
Introduzione
Figura 1: ”Astronomia Nova” di Johannes Keplero ed il moto retrogrado di
Marte contro il cielo delle stelle fisse
Secondo Apollonio di Perga (III secolo a.C.), Ipparco di Rodi (II secolo
a.C.), Tolomeo (II secolo d.C.), ed altri, il moto dei pianeti intorno alla Terra e
composizione di moti quasi circolari uniformi. Se al moto del Pianeta intorno
al Sole si somma il moto del Sole intorno alla Terra, con raggi delle orbite A
e B e periodi di rivoluzione α e β, l’orbita e
P − T = (P − S) + (S − T ) = A exp
(2πi
αt
)+B exp
(2πi
βt
).
Per esempio, l’anno marziano e 1,88 volte quello terrestre e la distanza me-
dia di Marte dal Sole e 1,52 volte la distanza del Sole dalla Terra. Quindi l’or-
bita di Marte rispetto alla Terra e circa exp(2πit)+(1, 52) ·exp(2πit/(1, 88)).
iii
Di fatto c’e una certa discrepanza tra questa teoria e le osservazioni e, per
vincere la sua guerra con Marte, Keplero (1571-1630) formula l’ipotesi di moti
non uniformi su orbite ellittiche. Un modo alternativo per far tornare i conti
e di aggiungere termini alla serie, A exp(iαt) +B exp(iβt) +C exp(iγt) + ....
L’astronomo Giovanni Schiaparelli (1835-1910) osserva che con un sistema
di epicicli abbastanza complicato e possibile descrivere con buona appros-
simazione qualsiasi moto. Piu in generale, ogni fenomeno periodico o quasi
periodico puo essere scomposto in somma di funzioni sinusoidali con frequen-
ze multiple delle frequenze fondamentali che sono causa del fenomeno. Una
precisa definizione di funzione, di convergenza, di integrale, la teoria degli
insiemi, e tanti altri concetti matematici, hanno una origine conune: le serie
trigonometriche. Si vuole presentare qualche teorema di Eulero, Dirichlet,
Riemann, Cantor, ed altri, cercando di seguire piu o meno fedelmente le
dimostrazioni originali.
iv
Capitolo 1
Leonhardo Eulero
SULLA DETERMINAZIONE DI UNA
SUCCESSIONE, UN NUOVO METODO
PER TROVARE I TERMINI GENERALI
DI UNA SUCCESSIONE
Anche se un teorema ha un nome, non necessariamente e stato lui. Alme-
no non sempre. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) il 21 Dicembre 1807
presenta al Institut de France un manoscritto ”Sur la propagation de la cha-
leur”, ed una versione riveduta e corretta ”Theorie du mouvement de la cha-
leur dans les corps solides”, con il sottotitolo ”Et ignem regunt numeri (Pla-
to)”, viene ripresentata il 28 Settembre 1811. La memoria viene premiata, ma
per delle riserve sul rigore non viene pubblicata. Solo nel 1822 Fourier riesce
a pubblicare la ”Theorie analytique de la chaleur”. In quest’opera Fourier
introduce l’equazione del calore ∂u/∂t = k(∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 + ∂2u/∂z2),
che risolve con il metodo di separazione delle variabili sviluppando in se-
rie di seni e coseni le soluzioni. Ma non e stato lui il primo a definire
1
le serie che ora portano il suo nome. Le serie trigonometriche compaiono
molto presto in calcoli astronomici, gli epicicli di Apollonio, Ipparco, e To-
lomeo, sono serie trigonometriche, e queste serie compaiono anche in altri
problemi di fisica matematica. Nel XVIII secolo Brook Taylor (1685-1731),
Daniel Bernoulli (1700-1782), Leonhardo Eulero (1707-1783), Jean Bapti-
ste Le Ronde d’Alembert (1717-1783), Giuseppe Lodovico Lagrangia (1736-
1813), sviluppano un modello matematico per le vibrazioni di una corda,
∂2y/∂t2 = v2∂2y/∂x2. Nelle ”Recherches sur la courbe que forme une corde
tendue mise en vibration, 1747&1750” d’Alembert ricava e risolve l’equazio-
ne delle onde, y = ϕ(x + vt) + ψ(x − vt). Eulero osserva che le vibrazioni
della corda risultano univocamente determinate dalla posizione e velocita ini-
ziali. Taylor osserva che le funzioni y = cos(πnvt/L) sin(πnx/L) soddisfano
l’equazione delle onde con le condizioni al bordo y(0) = y(L) = 0, in ac-
cordo con l’osservazione sperimentale che le vibrazioni di una corda hanno
una frequenza fondamentale, delle frequenze doppie, triple,... Di fatto, tutte
queste frequenze possono coesistere contemporaneamente. Nelle ”Reflexions
et eclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordes exposees dans les
memoires de l’Academie de 1747&1748” Bernoulli congettura che il suono e
superposizione di armoniche e che tutte le possibili vibrazioni di una corda
di lunghezza L sono superposizione di vibrazioni sinusoidali,
A sin(πxL
)cos
(πvt+ a
L
)+B sin
(2πx
L
)cos
(2πvt+ b
L
)
+C sin
(3πx
L
)cos
(3πvt+ c
L
)+ ...
Eulero osserva che se le soluzioni di d’Alembert e Bernoulli fossero le
stesse, ogni funzione avrebbe uno sviluppo in serie trigonometriche. Que-
sto provoca una vivace controversia. Anche il giovane Lagrange studia il
2
problema, e costruisce delle serie trigonometriche finite che interpolano una
funzione in una successione finita di punti equidistanti.
Nel 1750 Eulero presenta all’Academia Scientiarum Imperialis Petropo-
litanae la memoria ”Methodus aequationes differentiales altiorum graduum
integrandi ulterius promota”, con una ricetta per risolvere le equazioni diffe-
renziali a coefficienti costanti non omogenee,
Ay(x) +Bd
dxy(x) + C
d2
dx2y(x) + ... = X(x).
Se le radici λj del polinomio P (z) = A + Bz + Cz2 + ... sono tut-
te distinte, e se yj(x) sono le soluzioni dell’equazione differenziale del
prim’ordined
dxyj(x)− λjyj(x) = X(x),
yj(x) = exp(λjx)
∫X(x) exp(−λjx)dx,
la soluzione dell’equazione di partenza e una superposizione di queste solu-
zioni parziali,
y(x) =∑j
yj(x)/P′(λj).
Infatti, in notazione operatoriale,
P (d/dx)y(x) =∑j
P (d/dx)
P ′(λj)(d/dx− λj)(d/dx− λj)yj(x)
=
(∑j
P (d/dx)
P ′(λj)(d/dx− λj)
)X(x).
Basta poi osservare che P (z)/P′(λj)(z − λj) e il polinomio di interpola-
zione che vale 1 in z = λj e vale 0 in z = λi se i 6= j. Quindi,
∑j
P (z)
P ′(λj)(z − λj)= 1.
3
Eulero considera anche le equazioni con radici multiple o complesse, e
nella memoria seguente anche delle equazioni differenziali di ordine infinito.
Questa memoria, ”De serierum determinatione, seu nova methodus inve-
niendi terminos generales serierum”, contiene dieci problemi. Il primo e il
seguente.
”Problema. Trovare i termini di una successione in cui ogni termine e
uguale al precedente, ed il primo e 1.
Soluzione. Se il termine con indice x e y(x) ed il seguente y(x + 1),
deve essere y(x+ 1) = y(x) e y(0) = 1. Per il calcolo differenziale,
y(x+ 1) = y(x) +1
1
d
dxy(x) +
1
1 · 2d2
dx2y(x) +
1
1 · 2 · 3d3
dx3y(x) + etc.
Quindi,
0 =1
1
d
dxy(x) +
1
1 · 2d2
dx2y(x) +
1
1 · 2 · 3d3
dx3y(x) + etc.
Questa equazione si puo risolvere come ho mostrato nel Tomo VII dei Mi-
scellanea Berolinensia. Ponendo zn al posto di dny/dxn, si ottiene l’equazione
algebrica
0 =z
1+
z2
1 · 2+
z3
1 · 2 · 3+ ...
Denotando con e il numero il cui logaritmo iperbolico e 1, l’equazione
prende la forma finita ez − 1 = 0... Un fattore e z e gli altri fattori hanno la
forma z2 + 4π2n2... Quindi,
y = A+B sin(2πx) + C cos(2πx) +D sin(4πx) + E cos(4πx)
+F sin(6πx) +G cos(6πx) + etc.
... Quod Erat Inveniendum.”
4
E chiaro che una funzione arbitraria in un intervallo di lunghezza uno puo
essere estesa ad una soluzione. Ma forse questo concetto di soluzione e estra-
neo ad Eulero, che cerca una espressione analitica e procede diversamente.
Se ogni funzione periodica e una soluzione del problema, ogni funzione pe-
riodica ha uno sviluppo in serie trigonometriche. E nel Problema IX Eulero
determina i coefficienti dello sviluppo.
”Problema IX. Trovare i termini di una successione i cui termini sono
uguali ai precedenti piu una data funzione dello stesso indice.
Soluzione. Se il termine di indice x e y(x), il suo antecedente e
y(x− 1) = y(x)− 1
1
d
dxy(x) +
1
1 · 2d2
dx2y(x)− 1
1 · 2 · 3d3
dx3y(x) + ...
Essendo la legge della progressione y(x) = y(x− 1) +X(x), si ha
X(x) =1
1
d
dxy(x)− 1
1 · 2d2
dx2y(x) +
1
1 · 2 · 3d3
dx3y(x)− ...
... Ponendo zn al posto di dny/dxn si ha l’espressione
Z =z
1− z2
1 · 2+
z3
1 · 2 · 3− ... = 1− exp(−z),
di cui si cercano tutti i fattori. Il primo e z e gli altri sono z2 − 4π2k2.
Dal fattore z − 0 nasce la parte integrale
y(x) =
∫X(x)dx+ etc.
... Dal fattore z2 − 4π2k2 nasce la parte integrale...
y(x) = 2 cos(2πkx)
∫cos(2πkx)X(x)dx+ 2 sin(2πkx)
∫sin(2πkx)X(x)dx.
Sommando tutti i valori ottenuti al variare di k, si ottiene il termine
generale cercato:
y(x) =
∫X(x)dx+
5
2 cos(2πx)
∫cos(2πx)X(x)dx+ 2 cos(4πx)
∫cos(4πkx)X(x)dx+ ...
2 sin(2πx)
∫sin(2πx)X(x)dx+ 2 sin(4πx)
∫sin(4πkx)X(x)dx+ ...
Q.E.I.”
Ricapitoliamo quanto sopra. In questa dimostrazione, il polinomio P (z)
della prima memoria e sostituito dalla funzione 1− exp(−z), con radici sem-
plici 2πin e con derivata 1 in questi punti. Si puo mostrare che la formula∑j
P (z)/P′(λj)(z−λj) = 1 valida per un polinomio, non vale per la funzione
1− exp(−z):
+∞∑j=−∞
1− exp(−z)
(z − 2πij)=
1− exp(−z)
2πi
+∞∑j=−∞
1
(z/2πi)− j
=1− exp(−z)
2icot(z/2i) =
1 + exp(−z)
2.
Lo sviluppo in serie della cotangente compare nel §178 della ”Introductio
in Analysin Infinitorum”. Sviluppando in serie y(x − 1), l’equazione fun-
zionale X(x) = y(x) − y(x − 1) si trasforma in una equazione differenziale
lineare di ordine infinito:
X(x) =1
1
d
dxy(x)− 1
1 · 2d2
dx2y(x) +
1
1 · 2 · 3d3
dx3y(x)− ...
Osservando che z − z2/2 + z3/6 − ... = 1 − exp(−z), l’equazione si puo
riscrivere in forma compatta
(1− exp(−d/dx))y(x) = X(x).
La funzione 1 − exp(−z) ha radici semplici 2πin∞n=−∞, con derivata 1
in questi punti. Le equazioni del prim’ordine associate a queste radici sono(d
dx− 2πin
)y(x) = X(x),
6
y(x) = exp(2πinx)
∫ x
0
X(t) exp(−2πint)dt+ C(n) exp(2πinx).
E la somma di tutte queste soluzioni e
+∞∑n=−∞
exp(2πinx)
∫ x
0
X(t) exp(2πint)dt++∞∑
n=−∞
C(n) exp(2πinx).
Applicando l’operatore differenziale 1 − exp(−d/dx), la seconda serie si
annulla, (1− exp
(− d
dx
)) +∞∑n=−∞
C(n) exp(2πinx)
=+∞∑
n=−∞
C(n)1− exp(−d/dx)
(d/dx− 2πin)
(d
dx− 2πin
)exp(2πinx) = 0.
E la prima diventa(1− exp
(− d
dx
)) +∞∑n=−∞
exp(2πinx)
∫ x
0
X(t) exp(−2πint)dt
=+∞∑
n=−∞
1− exp(−d/dx)
(d/dx− 2πin)
(d
dx− 2πin
)exp(2πinx)
∫ x
0
X(t) exp(−2πint)dt
=+∞∑
n=−∞
1− exp(−d/dx)
(d/dx− 2πin)X(x) =
1 + exp(−d/dx)
2X(x) =
X(x) +X(x− 1)
2.
Quindi la soluzione di Eulero e
y(x)− y(x− 1) =X(x) +X(x− 1)
2.
Se X(x) e periodica di periodo 1 il conto torna. Infine, y(x) − y(x − 1)
ha lo sviluppo in serie
+∞∑n=−∞
exp(2πinx)
∫ x
0
X(t) exp(−2πint)dt++∞∑
n=−∞
C(n) exp(2πinx)
−+∞∑
n=−∞
exp(2πin(x− 1))
∫ x−1
0
X(t) exp(−2πint)dt
7
++∞∑
n=−∞
C(n) exp(2πin(x− 1)) =+∞∑
n=−∞
exp(2πinx)
∫ x
x−1
X(t) exp(−2πint)dt.
Concludendo, se X(x) ha periodo uno,
X(x) =+∞∑
n=−∞
exp(2πinx)
∫ 1
0
X(t) exp(−2πint)dt.
La dimostrazione richiede l’analiticita della funzione y(x) e di X(x) =
y(x)− y(x− 1), ma la formula finale richiede solo l’integrabilita di X(x).
In altre memorie Eulero presenta degli esempi espliciti di sviluppi in serie
trigonometriche.
Leonhardo Eulero ”Subsidium calculi sinuum”, ”Novi Commentarii
Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 5, 1754/1755 ”.
”Theorema. Si assignari queat summa huius seriei
Azm +Bzm+n + Czm+2n +Dzm+3n + Ezm+4n + etc. = Z,
semper quoque exhiberi poterunt summae harum serierum
A cos .mφ+B cos .(m+ n)φ+ C cos .(m+ 2n)φ+D cos .(m+ 3n)φ+etc.,
A sin .mφ+B sin .(m+ n)φ+ C sin .(m+ 2n)φ+D sin .(m+ 3n)φ+etc...
Demonstratio. ...Sit
cos .φ+√−1 sin .φ = z...
Erit
cos .νφ+√−1 sin .νφ = zν ...
Q.E.D.
Corollarium. Cum sit
zm + azm+n + a2zm+2n + a3zm+3n + etc. =zm
1− azn,
8
... Sit m = 1 et n = 1; erit
cos .φ+ a cos .2φ+ a2 cos .3φ+ a3 cos .4φ+ etc. =cos .φ− a
1 + aa− 2a cos .φ.
...Sin autem sit a = −1; erit
cos .φ− cos .2φ+ cos .3φ− cos .4φ+ etc. = 1/2.
...Illa autem series per dφ multiplicata et integrata dat
sin .φ− 1
2sin .2φ+
1
3sin .3φ− 1
4sin .4φ+ etc. =
φ
2,
ubi additione constantis non est opus, cum posito φ = 0 summa sponte
evanescat.”
Infine, nel 1777 Eulero presenta una comunicazione all’Accademia di San
Pietroburgo, che viene pubblicata solo quindici anni dopo la morte dell’au-
tore.
Leonhardo Eulero ”Disquisitio ulterior super seriebus secundum mul-
tipla cuiusdam anguli progredientibus”, ”Nova Acta Academiae Scientarum
Imperialis Petropolitinae 11, 1798”. ”Theorema generale. Si functio Φ
anguli φ ita fuerit comparata, ut in talem seriem resolvi se patiatur:
Φ = A+B cos .φ+ C cos .2φ+D cos .3φ+ E cos .4φ+ etc.
tum singulae quantitates A, B, C, D, E, etc. per sequentes formulas integrales
determinantur, siquidem in singulis integratio a termino φ = 0, usque a
terminum φ = π extendantur, denotante π semiperipheriam circuli cuius
radius=1,
A =1
π
∫Φdφ,
9
B =2
π
∫Φ∂φ cos .φ,
C =2
π
∫Φ∂φ cos .2φ,
D =2
π
∫Φ∂φ cos .3φ,
E =2
π
∫Φ∂φ cos .4φ,
etc.
Per dimostrare, si moltiplica la serie per cos(nφ), e si integra su 0 ≤ φ ≤
π...
Sulle dimostrazioni sopra riportate presentiamo un commento critico di
Niels Henrik Abel (1802-1829): ”Fino ad oggi la teoria delle serie infinite e
piuttosto mal fondata. Si applicano tutte le operazioni come se fossero finite,
ma e lecito? Io credo di no. Dove e dimostrato che la derivata di una serie
si puo ottenere derivando ciascun termine? Non c’e niente di piu facile che
trovare dei controesempi. Per esempio, derivando φ/2 = sin(φ)−sin(2φ)/2+
sin(3φ)/3... si ottiene 1/2 = cos(φ)− cos(2φ) + cos(3φ)... Ma e un risultato
falso, perche la serie non converge”. Di fatto, tutti questi risultati trovano
una loro giustificazione con la teoria delle distribuzioni.
10
Capitolo 2
Alexis Claude Clairaut
L’ORBITA APPARENTE DEL SOLE
INTORNO ALLA TERRA, TENENDO
CONTO DELLE PERTURBAZIONI
PRODOTTE DALLA LUNA E DAI
PIANETI PRINCIPALI
Nel 1748 l’Accademia delle Scienze di Parigi premia la memoria ”Recher-
ches sur la question des inegalites du mouvement de Saturne et de Jupiter,
suject propose pour le prix de l’annee 1748 par l’academie royale des sciences
de Paris. . . Par M. Euler, professeur royal de mathematiques a Berlin, de
lacademie imperiale de S. Petersbourg & des societes royales d’Angleterre &
de Prusse”. Ispirandosi a questa memoria, nel 1754 Alexis Claude Clairaut
(1713-1765) pubblica nella Histoire de l’Academie Royale des Sciences la me-
moria ”Sur l’orbite apparente du Soleil autour de la Terre, en ayant egard
aux perturbations produites par les actions de la Lune et des planetes princi-
pales”. Una delle sezioni ha il titolo ”De la maniere de convertir une fontion
11
quelconque T de t en serie, telle que A+Bcos.t+Ccos.2t+Dcos.3t+&c”. In
qusta sezione si ritrovano le serie di Fourier come limite di polinomi trigono-
metrici di interpolazione.
”Come trasformare una funzione qualunque T di t in una serie A +
B cos(t) + C cos(2t) +D cos(3t) + &c.
Supponiamo che H, I, K, L, M , &c, siano i valori della funzione T
quando t e uguale a 2π/n, 4π/n, 6π/n, 8π/n, &c. Allora
H = A+B cos(2π/n) + C cos(4π/n) +D cos(6π/n)+&c,
I = A+B cos(4π/n) + C cos(8π/n) +D cos(12π/n)+&c,
K = A+B cos(6π/n) + C cos(12π/n) +D cos(18π/n)+&c,
L = A+B cos(8π/n) + C cos(16π/n) +D cos(24π/n)+&c,
M = A+&c.
Queste n equazioni sono sufficienti per determinare tutte le incognite
A, B, C, D, &c... Per la teoria della divisione degli angoli, e sufficiente
sommare queste equazioni per ottenere il valore di A, senza le altre incognite,
A =H + I +K + L+M + &c
n.
...Infatti le equazioni da cui dipende la divisione della circonferenza han-
no termini con dimensioni alterne, quindi manca il secondo termine, e questo
rende nulla la somma delle radici. Quindi le somme delle successioni di co-
seni sulle colonne eccetto la prima sono nulle... Trovata A, in modo simile si
possono trovare B, C, D, &c. Se p e il multiplo di t che compare nel termi-
ne che si cerca, e S e il suo coefficiente, si moltiplica per cos(pt) l’equazione
T = A+B cos(t) + C cos(2t) + &c,
T cos(pt) = A cos(pt) +B/2 cos((p+ 1)t) +B/2 cos((p− 1)t)
+C/2 cos((p+ 2)t) + C/2 cos((p− 2)t) + ...+ S/2 cos(2pt) + S/2 + ...
12
...Sostituendo a t i valori 2π/n, 4π/n, 6π/n, ..., 2πp/n, ... si forma una
tabella simile alla precedente, e la somma di tutte le equazioni da
S/2 =H cos(2πp/n) + I cos(4πp/n) +K cos(6πp/n) + L cos(8πp/n) + &c
n.
...Se in numero n in cui si e divisa la circonferenza e infinito, e chiaro
che la somma delle quantita H, I, K, L, &c., cioe i valori successivi di T ,
risulta uguale a
∫Tdt, ed il valore di A diventa
∫Tdt
2π. Per la stessa ra-
gione, se dopo l’integrazione t e fatto uguale a 2π, il valore S del coefficiente
di cos(pt) diventa
∫Tdt cos(pt)
π.
L’equazione da cui dipende la divisione del cerchio e l’equazione cicloto-
mica zn = 1, con radici z = cos(2πm/n) + i sin(2πm/n), con m = 1, 2, ..., n.
La somma delle radicin∑
m=1
cos(2πm/n) + in∑
m=1
sin(2πm/n) e meno il coeffi-
ciente di zn−1, cioe 0. Si puo dimostrare che esistono delle funzioni continue
i cui polinomi trigonometrici di interpolazione non convergono alla funzione
in qualche punto. Ma si puo anche mostrare che se la funzione e abbastanza
regolare, i coefficienti del polinomio di interpolazione convergono abbastanza
velocemente ai coefficienti di Fourier della funzione, i polinomi di interpo-
lazione convergono alla serie di Fourier, e la serie di Fourier converge alla
funzione.
Teorema: I vettori ekNk=−N ottenuti campionando exp(2πikx)Nk=−N
nei punti j/(2N + 1)2Nj=0,
ek =
(1, exp
(2πik
2N + 1
), exp
(4πik
2N + 1
), ..., exp
(4Nπik
2N + 1
)).
sono una base ortonormale dello spazio di Hilbert C2N+1 = (x0, x1, ..., x2N) :
xj ∈ C con prodotto interno < x, y >= (2N + 1)−1
2N∑j=0
xjyj. Se ad una
13
funzione f(x) in 0 ≤ x ≤ 1 si associa il suo campionamento nei punti
j/(2N + 1)2Nj=0,
f = (f(0), f(1/(2N + 1)), f(2/(2N + 1)), ..., f(2N/(2N + 1))),
il polinomio trigonometricoN∑
k=−N
< f, ek > exp(2πikx) interpola f(x) nei
punti j/(2N + 1)2Nj=0, e si ha
N∑k=−N
< f, ek > exp(2πikx)
=2N−1∑j=0
f
(j
2N + 1
)sin(π((2N + 1)x− j))
(2N + 1) sin
(π
(2N + 1)x− j2N + 1
) .Dimostrazione: Per dimostrare l’ortogonalita basta sommare una pro-
gressione geometrica,
< eh, ek >=1
2N + 1
2N∑j=0
exp(2πi(h− k)j/(2N + 1))
=1
2N + 1
1− exp(2πi(h− k))
1− exp
(2πi(h− k)
2N + 1
) .Per dimostrare la completezza basta osservare che 2N + 1 vettori orto-
normali in uno spazio di dimensione 2N+1 sono completi. In particolare per
ogni vettore in C2N+1 si ha f =N∑
k=−N
< f, ek > ek, quindi se f e il vettore
ottenuto campionando f(x) nei punti j/(2N + 1), il polinomio trigonometri-
coN∑
k=−N
< f, ek > exp(2πikx) coincide con f(x) in questi punti j/(2N + 1).
Infine,N∑
k=−N
< f, ek > exp(2πikx)
14
=1
2N + 1
N∑k=−N
(2N∑j=0
f
(j
2N + 1
)exp
(−2πikj
2N + 1
))exp(2πikx)
=1
2N + 1
2N∑j=0
f
(j
2N + 1
)( N∑k=−N
exp
(2πik
(2N + 1)x− j2N + 1
))
=2N∑j=0
f
(j
2N + 1
)sin(π((2N + 1)x− j))
(2N + 1) sin
(π
(2N + 1)x− j2N + 1
) .Questa e un analogo del teorema del campionamento di Whittaker-Shannon
per funzioni a banda limitata,
f(x) =+∞∑
n=−∞
f(n/T )sin(π(Tx− n))
π(Tx− n).
Per la proprieta di interpolazione in punti sempre piu fitti, e naturale
aspettarsi che se N → +∞,
N∑k=−N
< f, ek > exp(2πikx)→ f(x).
Osserviamo anche che < f, ek > e una somma di Riemann dell’integrale∫ 1
0
f(x) exp(−2πikx)dx e se N → +∞, formalmente si ottiene
N∑k=−N
< f, ek > exp(2πikx)→+∞∑
k=−∞
f(n) exp(2πikx).
Si ritrova quindi la formula di inversione della trasformata di Fourier,
f(x) =+∞∑
k=−∞
f(n) exp(2πikx).
Con qualche ipotesi di regolarita sulla funzione f(x) questi argomenti eu-
ristici possono essere resi rigorosi.
15
Teorema: Se f(x) e periodica con periodo uno ed e derivabile con con-
tinuita due volte, i polinomi di interpolazione nei punti j/(2N + 1)2Nj=0
convergono uniformemente alla serie di Fourier,∣∣∣∣∣+∞∑
k=−∞
f(k) exp(2πikx)−N∑
k=−N
< f, ek > exp(2πikx)
∣∣∣∣∣≤ c
(sup
0≤x≤1|f(x)|+ sup
0≤x≤1
∣∣∣∣ ddxf(x)
∣∣∣∣+ sup0≤x≤1
∣∣∣∣ d2
dx2f(x)
∣∣∣∣)N−1/2,
In particolare,
f(x) =+∞∑
k=−∞
f(k) exp(2πikx).
Dimostrazione: Per ogni M e N ,∣∣∣∣∣+∞∑
k=−∞
f(k) exp(2πikx)−N∑
k=−N
< f, ek > exp(2πikx)
∣∣∣∣∣≤∑|k|≤M
∣∣∣∣∫ 1
0
f(x) exp(−2πikx)dx
−(2N + 1)−1
2N∑j=0
f
(j
2N + 1
)exp
(−2πikj
2N + 1
)∣∣∣∣∣+∑|k|>M
∣∣∣∣∫ 1
0
f(x) exp(−2πikx)dx
∣∣∣∣ .L’errore nell’integrazione numerica con la regola dei trapezi e∣∣∣∣∣∫ 1
0
f(x) exp(−2πikx)dx− (2N + 1)−1
2N∑j=0
f
(j
2N + 1
)exp
(−2πikj
2N + 1
)∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∫ 1
0
f(x) exp(−2πikx)dx− (2N + 1)−1·
·2N∑j=0
f
(j
2N + 1
)exp
(−2πikj
2N + 1
)+ f
(j + 1
2N + 1
)exp
(−2πik(j + 1)
2N + 1
)2
∣∣∣∣∣∣∣∣
16
≤ 1
12(2N + 1)2sup
0≤x≤1
∣∣∣∣ d2
dx2f(x) exp(−2πikx)
∣∣∣∣≤ 1 + 2k2
N2
(sup
0≤x≤1|f(x)|+ sup
0≤x≤1
∣∣∣∣ ddxf(x)
∣∣∣∣+ sup0≤x≤1
∣∣∣∣ d2
dx2f(x)
∣∣∣∣) .Inoltre, se k 6= 0,∫ 1
0
f(x) exp(−2πikx)dx = (−2πik)−2
∫ 1
0
d2
dx2f(x) exp(−2πikx)dx,∣∣∣∣∫ 1
0
f(x) exp(−2πikx)dx
∣∣∣∣ ≤ (2π|k|)−2 sup0≤x≤1
∣∣∣∣ d2
dx2f(x)
∣∣∣∣ .Quindi, con M =
√N ,∣∣∣∣∣
+∞∑k=−∞
f(k) exp(2πikx)−N∑
k=−N
< f, ek > exp(2πikx)
∣∣∣∣∣≤ N−2
(sup
0≤x≤1|f(x)|+ sup
0≤x≤1
∣∣∣∣ ddxf(x)
∣∣∣∣+ sup0≤x≤1
∣∣∣∣ d2
dx2f(x)
∣∣∣∣) ··∑|k|≤M
(1 + 2k2) + (2π)−2 sup0≤x≤1
∣∣∣∣ d2
dx2f(x)
∣∣∣∣ ∑|k|>M
|k|−2
≤ C
(sup
0≤x≤1|f(x)|+ sup
0≤x≤1
∣∣∣∣ ddxf(x)
∣∣∣∣+ sup0≤x≤1
∣∣∣∣ d2
dx2f(x)
∣∣∣∣) ·· (N−2M3 +M−1)
≤ C
(sup
0≤x≤1|f(x)|+ sup
0≤x≤1
∣∣∣∣ ddxf(x)
∣∣∣∣+ sup0≤x≤1
∣∣∣∣ d2
dx2f(x)
∣∣∣∣)N−1/2.
Infine, la stima |f(k)| ≤ C|k|−2 implica che la serie di Fourier converge
assolutamente ed uniformemente. Quindi anche i polinomi di interpolazione
convergono uniformemente ad una funzione continua. Ma per ogni razionale
x = p/q con denominatore dispari esiste una sottosuccessione di polinomi
che interpola la funzione nel punto. Quindi il limite dei polinomi di interpo-
lazione e proprio la funzione.
Si puo dimostrare un teorema analogo anche con l’ipotesi di una sola
derivata della funzione f(x).
17
18
Capitolo 3
Johann Carl Friefrich Gauss
LA TEORIA DELL’INTERPOLAZIONE
TRATTATA CON UN NUOVO METODO
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) non diviene famoso per le ”Di-
squisitiones Arithmeticae”, il capolavoro pubblicato nel 1801, ma grazie alla
scoperta dell’astronomo Giuseppe Piazzi (1746-1826):
”Risultati delle osservazioni della nuova stella scoperta il dı primo gen-
naio all’Osservatorio Reale di Palermo - Palermo 1801. Gia da nove anni
travagliando io a verificare le posizioni delle stelle che si trovano raccolte ne’
vari Cataloghi degli astronomi, la sera del primo gennaio dell’anno corren-
te, tra molte altre cercai la 87.a del Catalogo delle stelle zodiacali dell’Abate
La Caille. Vidi pertanto che era essa preceduta da un’altra, che secondo il
costume, volli osservare ancora, tanto maggiormente, che non impediva l’os-
servazione principale. La sua luce era un poco debole, e del colore di Giove,
19
ma simile a molte altre, che generalmente vengono collocate nell’ottava clas-
se rispetto alla loro grandezza. Non mi nacque quindi alcun dubbio sulla di
lei natura. La sera del due replicai le mie osservazioni, e avendo ritrovato,
che non corrispondeva ne il tempo, ne la distanza dallo zenit, dubitai sulle
prime di qualche errore nell’osservazione precedente: concepii in seguito un
leggiero sospetto, che forse esser potesse un nuovo astro. La sera del tre il
mio sospetto divenne certezza, essendomi assicurato che essa non era Stella
fissa. Nientedimeno, avanti di parlarne aspettai la sera del 4, in cui ebbi la
soddisfazione di vedere, che si era mossa colla stessa legge che tenuto aveva
nei giorni precedenti.”
Piazzi non riesce ad osservare il nuovo pianeta Ceres abbastanza a lungo
per determinarne l’orbita, perche scompare entrando in congiunzione col So-
le. Cio nonostante, con i pochi dati pubblicati Gauss riesce in breve tempo
a ritrovarlo. Sempre nel 1801 si scopre Pallas, poi Juno nel 1804 e Vesta
nel 1807. I diari di Gauss nel 1796 contengono le annotazioni (44) ”For-
mula interpolationis elegans” e (46) ”Formulae trigonometricae per series
expressae”, e nel 1805 (124) ”Theoriam interpolationis ulterius excoluimus”.
Nel manoscritto ”Theoria interpolationis methodo novo tractata”, databile
al 1805, Gauss costruisce una serie trigonometrica che interpola l’orbita di
Pallas. L’ascensione retta x, la longitudine sulla sfera celeste, e misurata in
gradi e la declinazione y, la latitudine sulla sfera celeste, e misurata in primi.
x = 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330
y = 408 89 −66 10 338 807 1238 1511 1583 1462 1183 804
20
y = 780, 6
−411, 0 cos(x)− 720, 2 sin(x)
+43, 4 cos(2x)− 2, 2 sin(2x)
−4, 3 cos(3x) + 5, 5 sin(3x)
−1, 1 cos(4x)− 1, 0 sin(4x)
+0, 3 cos(5x)− 0, 3 sin(5x)
+0, 1 cos(6x).
Di fatto, le serie trigonometriche finite che interpolano una funzione in
una successione finita di punti equidistanti compaiono gia negli studi sulla
corda vibrante di Giuseppe Lodovico Lagrangia (1736-1813). Dati N + 1
punti nel piano con ascisse distinte, esiste un polinomio algebrico di grado N
che passa per questi punti. Similmente, per 2N +1 punti esiste un polinomio
trigonometrico di grado N per questi punti, e si puo calcolare questo poli-
nomio risolvendo un sistema di equazioni lineari. Ad ogni funzione f(x) in
−1/2 ≤ x ≤ 1/2 si puo associare il suo campionamento f(k/(2N+1))Nk=−N
nei punti k/(2N + 1)Nk=−N , ed a questo campionamento si puo associare
una serie di Fourier finita
N∑j=−N
(1
2N + 1
N∑k=−N
f
(k
2N + 1
)exp
(−2πijk
2N + 1
))exp(2πijx)
=N∑
k=−N
f
(k
2N + 1
)(1
2N + 1
N∑j=−N
exp
(2πij
(x− k
2N + 1
)))
=N∑
k=−N
f
(k
2N + 1
)sin(π((2N + 1)x− k))
(2N + 1) sin
(π
(2N + 1)x− k2N + 1
) .Si ha
sin(π((2N + 1)x− k))
(2N + 1) sin
(π
(2N + 1)x− k2N + 1
) =
0 se x = j/(2N + 1) con j 6= k,
1 se x = k/(2N + 1).
21
Quindi il polinomio trigonometrico interpola la funzione nei punti del
campionamento. Infine, per N +∞ si riconosce lo sviluppo in serie di
Fourier,
limN +∞
N∑
j=−N
(1
2N + 1
N∑k=−N
f
(k
2N + 1
)exp
(−2πijk
2N + 1
))exp(2πijx)
=N∑
j=−N
(∫ 1/2
−1/2
f(y) exp(−2πijy)dy
)exp(2πijx).
Comunque, ne Lagrange ne Gauss considerano questo limite all’infinito.
Nel calcolo di un coefficiente del polinomio di interpolazione compaiono 2N
somme e 2N + 1 prodotti, quindi un calcolo brutale dei 2N + 1 coefficienti di
Fourier richiede circa 8N2 operazioni. Pero Gauss scopre un modo furbo di
calcolare questi coefficienti di Fourier, che abbatte in modo drastico il numero
di operazioni. E questa trasformata di Fourier rapida e riscoperta nel 1965
da J.W.Cooley e J.W.Tukey. L’algoritmo permette di ridurre il calcolo di
una trasformata di Fourier su MN punti al calcolo di due trasformate di
Fourier su M e N punti,
M−1∑k=0
N−1∑h=0
f((hM + k)/MN) exp(2πi(aN + b)(hM + k)/MN)
=M−1∑k=0
(exp(2πibk/MN)
N−1∑h=0
f(h/N + k/MN) exp(2πibh/N)
)exp(2πiak/M).
Teorema: Per una data funzione f(x) in 0 ≤ x ≤ 1 ed un intero positivo
N , sia
F (N, k) =N−1∑j=0
f(j/N) exp(2πikj/N).
(1) Se per una generica f(x) e possibile effettuare il calcolo degli N coef-
ficienti di Fourier F (N, k)N−1k=0 con non piu di X(N) addizioni o molti-
plicazioni, allora e anche possibile calcolare gli MN coefficienti di Fourier
22
F (MN, k)MN−1k=0 con non piu di MN + MX(N) + NX(M) addizioni o
moltiplicazioni.
(2) Il calcolo dei coefficienti di Fourier F (N, k)N−1k=0 quando N = 2n non
richiede piu di 2N log2(N) = 2n2n addizioni o moltiplicazioni.
Dimostrazione: (1) Decomponendo il vettore f(j/MN)MN−1j=0 e la sua
trasformata di Fourier F (MN,w)MN−1w=0 secondo gli indici j = hM + k e
w = aN + b, si puo ridurre il calcolo di una trasformata di Fourier su MN
punti al calcolo di due trasformate di Fourier su M e N punti,
F (MN, aN + b) =M−1∑k=0
N−1∑h=0
f
(hM + k
MN
)exp
(2πi(aN + b)(hM + k)
MN
)
=M−1∑k=0
(exp
(2πibk
MN
)N−1∑h=0
f
(h/N + k
MN
)exp
(2πibh
N
))exp
(2πiak
M
).
Per ipotesi, per un dato k, si puo calcolare la trasformata di Fourier
di f(h/N + k/MN)N−1h=0 con X(N) operazioni. Questo vettore deve essere
moltiplicato per exp(2πibk/MN), e con queste moltiplicazioni il parziale delle
operazioni sale a N +X(N). Ripetendo queste operazioni per ogni 0 ≤ k <
M − 1, si arriva a MN + MX(N) operazioni. Rimangono poi da calcolare
N , una per ogni 0 ≤ b < N − 1, trasformate di Fourier di ordine M , e questo
richiede NX(M) operazioni. Il totale del numero di operazioni e arrivato a
MN +MX(N) +NX(M).
(2) Il calcolo di F (2, 0), F (2, 1) richiede una somma ed una sottrazione,
F (2, 0) = f(0) + f(1/2), F (2, 1) = f(0)− f(1/2).
Quindi X(2) = 2. Per induzione, assumendo X(2n) ≤ 2n2n, dal punto
(1) si ricava che
X(2n+1) ≤ 2n+1 + 2nX(2) + 2X(2n) ≤ 2n+2 + 4n2n = 2(n+ 1)2n+1.
23
Per esempio, se N = 1024 = 210 il calcolo brutale dei coefficienti di
Fourier richiede circa otto milioni di operazioni, mentre il calcolo furbo ne
richiede circa ventimila.
24
Capitolo 4
Lejeune Dirichlet
SULLA CONVERGENZA DELLE SERIE
TRIGONOMETRICHE CHE SERVONO
A RAPPRESENTARE UNA FUNZIONE
ARBITRARIA ENTRO DATI LIMITI
Ecco l’opinione di Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) sull’amico Jo-
hann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): ”Non io, non Cauchy, non
Gauss, ma solo lui sa cos’e una dimostrazione matematica perfettamente ri-
gorosa. Quando Cauchy dice di aver provato qualcosa, ci si puo scommettere
al 50%. Quando lo afferma Gauss, con molta probabilita e vero. Se lo dice
Dirichlet, e cosı... Dirichet ha creato una nuova branca della Matematica,
l’applicazione delle serie infinite, intodotte da Fourier nella teoria del calore,
nell’investigazione delle proprieta dei numeri primi”.
Nel 1822 Joseph Fourier (1768-1830) pubblica la ”Teoria analitica del ca-
lore”, dove risolve un certo numero di equazioni differenziali con il metodo di
separazione delle variabili scomponendo le soluzioni in serie trigonometriche
25
ed enuncia un principio generale: ”Le funzioni arbitrarie, anche discontinue,
possono essere sempre rappresentate da sviluppi in seni o coseni di archi
multipli”. In particolare, nell’Articolo 235 compare la formula
πFx =
∫Fαdα
1
2
+ cos .x cos .α + cos .2x cos .2α + cos .3x cos .3α+etc.
+ sin .x sin .α + sin .2x sin .2α + sin .3x sin .3α+etc.
=
∫Fαdα
1
2+ cos .x− α + cos .2x− α + cos .3x− α + etc.
.
Fourier ottiene questi sviluppi in serie risolvendo un sistema infinito di
equazioni lineari. Se f(x) e una funzione dispari in −π < x < +π, e se
f′(0) = A, f
′′′(0) = B, f
′′′′′(0) = C, ...,
a sin(x) + b sin(2x) + c sin(3x) + ... = f(x),
a+ 2b+ 3c+ ... = f′(0),
a+ 23b+ 33c+ ... = f′′′
(0),
a+ 25b+ 35c+ ... = f′′′′′
(0), ...
Si puo risolvere il sistema delle prime N equazioni nelle prime N incogni-
te, ponendo tutte le altre incognite uguali a zero, e calcolando il limite per
N +∞ si ottiene lo sviluppo completo. Pero la dimostrazione rigorosa
che ogni funzione sufficientemente regolare ha uno sviluppo in serie trigono-
metriche non e di Fourier, ma di Lejeune Dirichlet, che nel 1829 pubblica
una memoria ”Sur la convergence des series trigonometriques qui servent
a representer une fonction arbitraire entre des limites donnees”. Dopo aver
criticato delle precedenti presunte dimostrazioni, Dirichlet enuncia il suo teo-
rema.
26
Teorema: Se f(x) e una funzione periodica con periodo 1, limitata e
con un numero finito di massimi e minimi in 1/2 ≤ x < 1/2, allora in ogni
punto x,
limN +∞
+N∑
n=−N
(∫ 1/2
−1/2
f(y) exp(−2πiny)dy
)exp(2πinx)
= limε 0
f(x− ε) + f(x+ ε)
2
.
Dimostrazione: Sommando una serie geometrica si ottiene
+N∑n=−N
(∫ 1/2
−1/2
f(y) exp(−2πiny)dy
)exp(2πinx)
=
∫ 1/2
−1/2
f(y)
(+N∑
n=−N
exp(2πin(x− y))
)dy
=
∫ 1/2
−1/2
f(y)sin(π(2N + 1)(x− y))
sin(π(x− y))dy.
Con una traslazione si puo assumere x = 0. Basta quindi mostrare che
limN +∞
∫ 0
a
f(y)sin(π(2N + 1)y)
sin(πy)dy
=
1
2limε 0−f(ε) se a < 0,
limN +∞
∫ b
0
f(y)sin(π(2N + 1)y)
sin(πy)dy
=
1
2limε 0+f(ε) se b > 0,
limN +∞
∫ d
c
f(y)sin(π(2N + 1)y)
sin(πy)dy
= 0 se c < d < 0 o 0 < c < d.
In particolare, spezzando la funzione negli intervalli in cui e monotona,
basta mostrare che se f(x) e monotona in 0 ≤ a < x < b ≤ π/2,
limN +∞
∫ b
a
f(x)sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)dx
=
1
2limx 0+f(x) se a = 0,
0 se a > 0
Assumendo f(x) continua positiva decrescente in 0 ≤ x ≤ 1/2, spezzando
l’intervallo di integrazione nei punti n/(2N + 1) ed applicando il teorema
27
della media negli intervalli ottenuti si ha∫ 1/2
0
f(x)sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)dx
=N−1∑n=0
(f((n+ ϑ)/(2N + 1))
∫ (n+1)/(2N+1)
n/(2N+1)
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)dx
)
+f(1/2− ϑ)
∫ 1/2
N/(2N+1)
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx))dx.
Se f(x) non e continua vale una formula simile, con f((n+ϑ)/(2N+1)) un
opportuno valore tra gli estremi inferiore e superiore di f(x) in n/(2N+1) <
x < (n + 1)/(2N + 1). I termini della somma hanno segni alterni e modulo
decrescente e, per la disuguaglianza sin(x) > 2x/π in 0 < x < π/2, questi
termini sono dominati da
|f((n+ ϑ)/(2N + 1))|∫ (n+1)/(2N+1)
n/(2N+1)
∣∣∣∣sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)
∣∣∣∣ dx≤
sup0≤x≤1/2|f(x)|sin(πn/(2N + 1))
∫ (n+1)/(2N+1)
n/(2N+1)
| sin(π(2N + 1)x)|dx
≤sup0≤x≤1/2|f(x)|
πn.
Quindi, ricordando che una somma di termini con segni alterni e modulo
decrescente e limitata dal primo termine, per ogni M < N si ha∣∣∣∣∣N−1∑n=M
(f((n+ ϑ)/(2N + 1))
∫ (n+1)/(2N+1)
n/(2N+1)
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)dx
)
+f(1/2− ϑ)
∫ 1/2
N/(2N+1)
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx))dx
∣∣∣∣∣≤
sup0≤x≤1/2|f(x)|πM
.
Questa stima non dipende da N , e si puo rendere piccola a piacere pur
di prendere M sufficientemente grande. Posto poi f(0+) = limx 0+f(x),
28
si ha
M−1∑n=0
(f((n+ ϑ)/(2N + 1))
∫ (n+1)/(2N+1)
n/(2N+1)
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)dx
)
= f(0+)
(N−1∑n=0
(∫ (n+1)/(2N+1)
n/(2N+1)
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)dx
)
+
∫ 1/2
N/(2N+1)
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx))dx
)
− f(0+)
(N−1∑n=M
(∫ (n+1)/(2N+1)
n/(2N+1)
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)dx
)
+
∫ 1/2
N/(2N+1)
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx))dx
)
+M−1∑n=0
((f((n+ ϑ)/(2N + 1))− f(0+))
∫ (n+1)/(2N+1)
n/(2N+1)
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)dx
).
Il primo termine e uguale a
f(0+)
∫ 1/2
0
sin(π(2N + 1)x)
sin(πx))dx
=1
2f(0+)
∫ 1/2
−1/2
(+N∑
n=−N
exp(2πinx)dx
)dx =
1
2f(0+).
Il secondo termine e una somma di termini a segni alterni con modulo
decrescente, ed e dominato dal primo termine,
|f(0+)|∫ (n+1)/(2N+1)
n/(2N+1)
∣∣∣∣sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)
∣∣∣∣ dx ≤ |f(0+)|πM
.
Questa quantita si puo rendere piccola a piacere pur di prendere M
sufficientemente grande. Il terzo termine e dominato da
M−1∑n=0
f((n+ ϑ)/(2N + 1))− f(0+)| ≤M sup0<x<M/(2N+1)
|f(x)− f(0+)|.
29
Fissato M , questa quantita si puo rendere piccola a piacere pur di pren-
dere N sufficientemente grande. La stessa dimostrazione mostra che se f(x)
e monotona positiva e decrescente in 0 < a ≤ x ≤ b ≤ 1/2, allora
limN +∞
∫ b
a
f(x)sin(π(2N + 1)x)
sin(πx)dx
= 0.
Infine, siccome il risultato vale per funzioni costanti, sostituendo se neces-
sario una nuova funzione c± f(x), si puo assumere f(x) positiva decrescente
in a < x < b.
La dimostrazione presentata e essenzialmente l’originale di Dirichlet, con
quache cambio di notazione. Invece del sistema trigonometrico con seni e
coseni sono stati utilizzati gli esponenziali complessi. E una dimostrazione
elementare, lineare, rigorosa. Al termine della memoria Dirichlet presenta
un semplice esempio di funzione a cui il teorema non si applica:
f(x) =
a se x e razionale,
b se x e irrazionale.
Dirichlet osserva che questa funzione e perfettamente definita, ma gli in-
tegrali che definiscono i coefficienti di Fourier perdono di senso. Nel 1837
Diriclet pubblica una memoria ”Sur les series dont le terme general depend
de deux angles, et qui servent a exprimer des fonctions arbitraires entre des
limites donnees”, in cui i risultati per le serie trigonometriche sono estesi alle
serie in armoniche sferiche.
Teorema: I polinomi di Legendre sono definiti dalla funzione generatrice
1√1− 2tr + r2
=+∞∑n=0
Pn(t)rn.
30
Per ogni funzione sufficientemente regolare f(x) definita sulla sfera S2 =
x ∈ R2, |x| = 1,
f(x) =1
4π
+∞∑n=0
(2n+ 1)
∫S2f(y)Pn(x · y)dy.
Gli angoli nel titolo della memoria sono le latitudini e longitudini dei
punti sulla sfera. Ed ancora nel 1837 Dirichlet pubblica una memoria ”Di-
mostrazione di un teorema sulle progressioni aritmetiche” in cui applica le
serie di Fourier finite allo studio dei numeri primi.
TEOREMA: Ogni progressione aritmetica, in cui il primo termine e le
differenze non hanno fattori comuni, contiene infiniti numeri primi.
Vista l’importanza del teorema di convergenza delle serie trigonometri-
che, ci permettiamo di accennarne un’altra dimostrazione. Nel 1900 L.Fejer
dimostra che le medie aritmetiche delle somme parziali della serie di Fourier
di una funzione integrabile convergono in ogni punto di continuita.
Teorema: Le medie aritmetiche delle somme parziali di una funzione
periodica localmente integrabile convergono alla funzione in ogni punto di
continuita della funzione. Se
SNf(x) =+N∑
n=−N
f(n) exp(2πinx),
allora
limN +∞
S0f(x) + S1f(x) + ...+ SNf(x)
N + 1
= lim
ε 0
f(x− ε) + f(x+ ε)
2
.
Dimostrazione: Vale la rappresentazione integrale
S0f(x) + S1f(x) + ...+ SNf(x)
N + 1
31
=+N∑
n=−N
(1− |n|
N + 1
)f(n) exp(2πinx)
=1
N + 1
∫ 1/2
−1/2
(sin(π(N + 1)y)
sin(πy)
)2
f(x− y)dy.
Quindi,
S0f(x) + S1f(x) + ...+ SNf(x)
N + 1− f(x−) + f(x+)
2
=1
N + 1
∫ 1/2
0
(sin(π(N + 1)y)
sin(πy)
)2
(f((x− y)− f(x−)))dy
+1
N + 1
∫ 1/2
0
(sin(π(N + 1)y)
sin(πy)
)2
(f((x+ y)− f(x+)))dy.
Infine, per ogni δ > 0,
=
∣∣∣∣∣ 1
N + 1
∫ 1/2
0
(sin(π(N + 1)y)
sin(πy)
)2
(f((x± y)− f(x±)))dy
∣∣∣∣∣≤ 1
2sup
0<y<δ|f((x± y)− f(x±))|
+1
(N + 1) sin2(δ)
∫ 1/2
0
|f((x± y)− f(x±))|dy.
Prendendo δ sufficientemente piccolo, si puo rendere sup0<y<δ|f((x±y)−
f(x±))| arbitrariamente piccolo. Poi, fissato δ, pur di prendere N sufficien-
temente grande si puo rendere (N + 1)−1 sin−2(δ) arbitrariamente piccolo.
Nel 1909 G.H.Hardy dimostra il seguente teorema tauberiano.
Teorema: Se S(N) =N∑n=0
a(n), se σ(N) =S(0) + S(1) + ...+ S(N)
N + 1, se
|a(n)| ≤ c/n, e se σ(N) ha limite, allora anche S(N) ha limite, ed i due
limiti sono uguali.
32
Dimostrazione: Per ogni λ > 1 si ha
S(N) =[λN ] + 1
[λN ]−Nσ([λN ])− N + 1
[λN ]−Nσ(N)
− [λN ] + 1
[λN ]−N∑
N<n≤λN
(1− n
[λN ] + 1
)a(n).
Quindi,
S(N)− σ(N)
=[λN ] + 1
[λN ]−N
(σ([λN ])− σ(N)−
∑N<n≤λN
(1− n
[λN ] + 1
)a(n)
).
Dato ε > 0 e posto λ = exp(ε), se |a(n)| ≤ c/n, per N abbastanza grande
si ha ∣∣∣∣∣ ∑N<n≤λN
(1− n
[λN ] + 1
)a(n)
∣∣∣∣∣ ≤ ∑N<n≤λN
c
n≤ C log(λ) = Cε.
Similmente, se σ(N) converge, dato ε > 0, per N abbastanza grande si
ha
|σ([λN ])− σ(N)| ≤ ε.
Infine, se N +∞ si ha ([λN ] + 1)/([λN ]−N) 1. Quindi,
lim supN +∞
|S(N)− σ(N)| ≤ Cε.
Teorema: I coefficienti di Fourier di una funzione limitata e monotona
a tratti verificano la stima |f(n)| ≤ c/|n|.
Dimostrazione: Se f(x) e monotona in un intervallo a ≤ x ≤ b, per il
teorema della media esiste a ≤ ϑ ≤ b tale che∫ b
a
f(x) cos(2πnx)dx
= f(b)
∫ b
a
cos(2πnx)dx−∫ b
a
∫ x
a
cos(2πny)dyd
dxf(x)dx
33
= f(b)
∫ b
a
cos(2πnx)dx−∫ ϑ
a
cos(2πny)dy
∫ b
a
d
dxf(x)dx
=f(a)(sin(ϑ)− sin(a)) + f(b)(sin(b)− sin(ϑ))
2πn.
Il teorema di Dirichlet segue quindi dai teoremi di Fejer e di Hardy. Nel
1881 C.Jordan mostra che il teorema di Dirichlet si applica anche alle funzioni
a variazione limitata. Infatti ogni funzione a variazione limitata e somma di
due funzioni monotone, una crescente ed una decrescente. Inoltre, se la
funzione e a variazione limitata e continua in un intervallo, la serie di Fourier
converge uniformemente in ogni sottointervallo interno. Infine, nel trattato
del 1880 ”Serie di Fourier ed altre rappresentazioni analitiche per funzioni di
una variabile reale” U.Dini enuncia un altro semplice ed importante criterio
di convergenza delle serie di Fourier: ”La serie di Fourier per x = α sara
convergente e avra per somma f(x) quando il rapporto f(α + t)− 2f(α) +
f(α − t)/t non cresce indefinitivamente col diminuire indefinitivamente di
t, o almeno resta atto alla integrazione anche ridotto ai valori assoluti.”
34
Capitolo 5
Bernhard Riemann
SULLA POSSIBILITA DI
RAPPRESENTARE UNA FUNZIONE
PER MEZZO DI UNA SERIE
TRIGONOMETRICA
Per l’abilitazione all’insegnamento nel 1854 Bernhard Riemann (1826-
1866) presenta alla Facolta di Filosofia dell’Universita di Gottinga una me-
moria ”Sulla possibilita di rappresentare una funzione per mezzo di una serie
trigonometrica”, e tiene una lezione ”Sulle ipotesi alla base della Geometria”.
La memoria sulle serie trigonometriche, pubblicata nel 1867 dopo la morte
dell’autore, si divide in tre parti. Nella prima si ripercorre la storia di queste
serie: D’Alembert, Eulero, Bernoulli, Lagrange, Fourier, Poisson, Cauchy,
Dirichlet, ... Nella seconda, per definire i coefficienti di Fourier si presenta
una precisa e rigorosa definizione di integrale definito, con condizioni ne-
cessarie e sufficienti per l’integrabilita. Nella terza si studia la possibilita
di rappresentare una funzione per mezzo di una serie trigonometrica, senza
35
alcuna ipotesi su questa funzione. Prima di lui si e studiato sotto quali pro-
prieta una funzione e sviluppabile in serie di Fourier. Lui studia il problema
inverso: Che proprieta deve avere una funzione sviluppabile in serie trigono-
metriche? Prima si sono studiate delle condizioni sufficienti, ora si cercano
delle condizioni necessarie.
Una serie trigonometrica nei punti dove converge la serie definisce una
funzione,
f(x) = 2C ++∞∑n=1
(a(n) sin(nx) + b(n) cos(nx)).
Riemann assume che i coefficienti a(n), b(n) tendano a 0, G.Cantor di-
mostra che se la serie converge in un intervallo allora i coefficienti tendono
a 0, e H.Lebesgue dimostra che se la serie converge in un insieme di misura
positiva allora i coefficienti tendono a 0.
Teorema: Se+∞∑n=1
(a(n) sin(2πnx) + b(n) cos(2πnx)) converge su un in-
sieme di misura positiva, allora a(n), b(n) 0.
Dimostrazione:
a(n) sin(2πnx) + b(n) cos(2πnx) = c(n) sin(2πnx+ d(n)).
Se c(n) non tende a 0, allora sin(2πnx + d(n)) tende a 0, ed anche
2 sin2(2πnx+ d(n)) tende a 0. Ma∫Ω
2 sin2(2πnx+ d(n))dx =
∫Ω
(1− cos(4πnx+ d(n)))dx = |Ω|+ o(1).
Il primo teorema dimostrato da Riemann e il seguente.
36
Teorema: Integrando due volte termine a termine una serie trigonome-
trica con coefficienti che tendono a 0,
f(x) =+∞∑
n=−∞
a(n) exp(2πinx)
si ottiene una serie che converge uniformemente ed assolutamente ad una
funzione continua,
F (x) = B + Cx+a(0)
2x2 −
∑n 6=0
a(n)
4π2n2exp(2πinx).
Se la serie f(x) converge in un punto x, in questo punto
limα,β 0
F (x+ α + β)− F (x+ α− β)− F (x− α + β) + F (x− α− β)
4αβ
= f(x).
Se la serie converge uniformemente in un insieme Ω, anche questo limite
e uniforme in Ω.
Dimostrazione: Raggruppando i termini con gli indici ±n si puo scri-
vere
f(x) = a(0) ++∞∑n=1
A(n), F (x) = B + Cx+a(0)
2x2 −
+∞∑n=1
A(n)
4π2n2.
Assumendo per semplicita α = β, si ha
exp(2πin(x+ α))− 2 exp(2πinx) + exp(2πin(x− α))
4π2n2
= − exp(2πinx)
(sin(πnα)
πn
)2
.
Quindi,
F (x+ α)− 2F (x) + F (x− α)
α2= a(0) +
+∞∑n=1
A(n)
(sin(πnα)
πnα
)2
.
37
Sommando per parti,
a(0) ++∞∑n=1
A(n)
(sin(πnα)
πnα
)2
= f(x)
(sin(πα)
πα
)2
+ a(0)
(1−
(sin(πα)
πα
)2)
++∞∑n=1
(+∞∑
j=n+1
A(j)
)((sin(π(n+ 1)α)
π(n+ 1)α
)2
−(
sin(πnα)
πnα
)2).
Per ogni ε > 0 esiste N tale che
∣∣∣∣∣+∞∑
j=n+1
A(j)
∣∣∣∣∣ < ε per ogni n > N . Quindi,
+∞∑n=N+1
∣∣∣∣∣+∞∑
j=n+1
A(j)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(
sin((n+ 1)α)
(n+ 1)α
)2
−(
sin(nα)
nα
)2∣∣∣∣∣
≤ ε+∞∑
n=N+1
∣∣∣∣∣∫ (n+1)α
nα
d
dt
(sin(t)
t
)2
dt
∣∣∣∣∣≤ ε
∫ +∞
0
∣∣∣∣2 sin(t)(t cos(t)− sin(t))
t3
∣∣∣∣ dt.Questa stima vale per ogni α. Ma, per ogni n, limα→0
(sin(nα)
nα
)2
=
1. Quindi, fissato N , esiste δ > 0 tale che se |α| < δ,∣∣∣∣∣a(0)
(1−
(sin(πα)
2πα
)2)∣∣∣∣∣ < ε,
N∑n=1
∣∣∣∣∣+∞∑
j=n+1
A(j)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(
sin((n+ 1)α)
(n+ 1)α
)2
−(
sin(nα)
nα
)2∣∣∣∣∣ < ε,
limα→0
f(x)
(sin(α)
α
)2
= f(x).
Definizione: La serie a(0) ++∞∑n=1
A(n) e sommabile secondo Riemann
alla funzione f(x) se
limα 0
a(0) +
+∞∑n=1
A(n)
(sin(πnα)
πnα
)2
= f(x).
38
In particolare, il teorema di Riemann asserisce che una serie convergente
e Riemann sommabile. Questo teorema ha degli antecedenti e conseguenti.
Il piu noto e un classico risultato di Abel sulla convergenza di serie di potenze.
Teorema: Se+∞∑n=0
A(n) = A allora limz→1−
+∞∑n=0
A(n)zn
= A.
Il secondo teorema dimostrato da Riemann e il seguente.
Teorema: Se A(n) tende a 0, allora
limα 0
F (x+ α)− 2F (x) + F (x− α)
α
= 0.
In particolare, la funzione F (x) non ha angoli,
limα 0
F (x+ α)− F (x)
α− F (x) + F (x− α)
α
= 0.
Dimostrazione:
F (x+ α)− 2F (x) + F (x− α)
α= αa(0) + α
+∞∑n=1
A(n)
(sin(πnα)
πnα
)2
.
Per ogni ε > 0 esiste M tale che |A(n)| < ε per ogni n > M . Quindi, se
|α| < ε/M e se N = [1/|α|] > M , si ha∣∣∣∣∣α+∞∑n=1
A(n)
(sin(nα)
nα
)2∣∣∣∣∣
≤M |α| sup1≤n≤M
|A(n)|+N |α| supn>M|A(n)|+ sup
n>M|A(n)| 1
|α|
+∞∑n=N+1
1
n2.
≤ cε+ cε+ cε.
Il terzo teorema dimostrato da Riemann e il principio di localizzazione.
39
Teorema: Se a(n) 0, se
f(x) =+∞∑
n=−∞
a(n) exp(2πinx),
F (x) = B + Cx+a(0)
2x2 −
∑n6=0
a(n)
4π2n2exp(2πinx),
se a < c < d < b e b− a < 1, se g(x) e una funzione infinitamente differen-
ziabile con supporto in a ≤ x ≤ b e con g(x) = 1 in c ≤ x ≤ d, allora per
ogni c ≤ x ≤ d,
limN→+∞
+N∑
n=−N
a(n) exp(2πinx)
−∫ b
a
g(y)F (y)d2
dy2
(+N∑
n=−N
exp(2πin(x− y))
)dy
= 0.
In particolare:
(1) La convergenza o divergenza della serie+∞∑
n=−∞
a(n) exp(2πinx) in un
punto x dipende solo dal comportamento della funzione F (y) in intorno
arbitrario del punto x.
(2) Se due funzioni integrabili coincidono in un intervallo, le rispettive
serie di Fourier sono equiconvergenti nell’intervallo.
Dimostrazione: Con una traslazione si puo assumere x = 0. Si ha∫ 1/2
−1/2
g(y)F (y)d2
dy2
(+N∑
n=−N
exp(2πiny)
)dy
=
∫ 1/2
−1/2
g(y)
(B + Cy +
a(0)
2y2
)d2
dy2
(+N∑
n=−N
exp(2πiny)
)dy
−∫ 1/2
−1/2
(∑n6=0
a(n)
4π2n2exp(2πiny)
)d2
dy2
(+N∑
n=−N
exp(2πiny)
)dy
40
+
∫ 1/2
−1/2
(1− g(y))
(∑n6=0
a(n)
4π2n2exp(2πiny)
)d2
dy2
(+N∑
n=−N
exp(2πiny)
)dy.
Integrando per parti due volte si ha∫ 1/2
−1/2
g(y)
(B + Cy +
a(0)
2y2
)d2
dy2
(+N∑
n=−N
exp(2πiny)
)dy
=
∫ 1/2
−1/2
(+N∑
n=−N
exp(2πiny)
)d2
dy2
(g(y)
(B + Cy +
a(0)
2y2
))= a(0).
Similmente, derivando due volte ed integrando si ha
−∫ 1/2
−1/2
(∑n 6=0
a(n)
4π2n2exp(2πiny)
)d2
dy2
(+N∑
n=−N
exp(2πiny)
)dy
=
∫ 1/2
−1/2
(∑n6=0
a(n)
4π2n2exp(2πiny)
)(+N∑
n=−N
4π2n2 exp(2πiny)
)dy
=∑
0<|n|≤N
a(n).
Similmente, derivando due volte il nucleo di Dirichlet si ottiene∫ 1/2
−1/2
(1− g(y))
(∑n6=0
a(n)
4π2n2exp(2πiny)
)d2
dy2
(+N∑
n=−N
exp(2πiny)
)dy
=
∫ 1/2
−1/2
(1− g(y))
(∑n6=0
a(n)
4π2n2exp(2πiny)
)d2
dy2
(sin(π(2N + 1)y)
sin(πy)
)dy
=
∫ 1/2
−1/2
(1− g(y))
(∑n 6=0
a(n)
4π2n2exp(2πiny)
)·
·(−π2(2N + 1)2 sin(π(2N + 1)y)
sin(πy)+ ...
)dy
=±i2
∑n6=0
(N + 1/2)2a(n)
n2
∫ 1/2
−1/2
1− g(y)
sin(πy)exp(2πi(n±N ± 1/2)y)dy + ...
41
=±i8π2
∑n6=0
(N + 1/2)2a(n)
n2(n±N ± 1/2)2·
·∫ 1/2
−1/2
d2
dy2
(1− g(y)
sin(πy)
)exp(2πi(n±N ± 1/2)y)dy + ...
=±i8π2
∑n6=0
(N + 1/2)2a(n)b(n±N)
n2(n±N ± 1/2)2+ ...
Si ha supN
∑n6=0
(N + 1/2)2
n2(n±N ± 1/2)2
< +∞, e a(n) 0 e b(n) 0.
Quindi, ∑n6=0
(N + 1/2)2|a(n)||b(n±N)|n2(n±N ± 1/2)2
0.
Infine, le serie di Fourier di funzioni integrabili si possono integrare termi-
ne a termine, e le funzioni di Riemann coincidono a meno di termini lineari
con degli integrali iterati
F (x) = Ax+B +
∫ x
a
(∫ y
a
f(z)dz
)dy.
Quindi, se due funzioni integrabili coincidono in un intervallo, in questo
intervallo le loro funzioni di Riemann differiscono solo per termini lineari.
Nei teoremi precedenti i coefficienti delle serie tendono a zero. Rie-
mann presenta anche esempi di funzioni integrabili in senso generalizzato
con coefficienti di Fourier che non convergono a zero:
f(x) =d
dx(xν cos(1/x)),∫ 2π
0
d
dx(xν cos(1/x)) cos(nx)dx ≈
√π/2 sin(2
√n+ π/4)n(1−2ν)/4.
Infine Riemann conclude la sua memoria con degli esempi di serie con
coefficienti che non convergono a zero ma che convergono in infiniti punti:
+∞∑n=1
sin(n!πx).
42
Ogni 0 ≤ x ≤ 1 ha uno sviluppo in base variabile, x =+∞∑k=1
a(k)/k!, con
0 ≤ a(k) < k. Si puo dimostrare per induzione chek−1∑n=1
n! ≤ 2(k − 1)!.
Quindi,+∞∑n=1
∣∣∣∣∣sin(n!π
+∞∑k=1
a(k)
k!
)∣∣∣∣∣≤ π
+∞∑n=1
(n!
+∞∑k=n+1
a(k)
k!
)= π
+∞∑k=2
(a(k)
k!
k−1∑n=1
n!
)≤ 2π
+∞∑k=2
a(k)
k.
Se+∞∑k=2
a(k)/k converge, la serie+∞∑n=1
sin(n!πx) converge. In particolare, la
serie converge per ogni razionale e in un insieme non numerabile di irrazionali.
Accenniamo ad un risultato posteriore a Riemann. Dall’identita∫ +∞
−∞α−1(1− |x/α|)+ exp(−2πinx)dx
= 2
∫ 1
0
(1− y) cos(2πnαy)dy =
(sin(πnα)
πnα
)2
si ricava che se Kα(x) e la periodizzazione di α−1(1 − |x/α|)+, per ogni
funzione f(x) periodica e localmente integrabile si ha
+∞∑n=−∞
(sin(πnα)
πnα
)2
f(n) exp(2πinx) =
∫ 1/2
−1/2
Kα(x− y)f(y)dy.
Da questa rappresentazione integrale segue facilmente che la serie di Fou-
rier di una funzione continua e Riemann sommabile in ogni punto, e la serie
di Fourier di una funzione integrabile e Riemann sommabile quasi ovunque.
Terminiamo con una congettura formulata da Riemann nel 1861. Secondo
Riemann la funzione definita dalla serie+∞∑n=1
sin(πn2x) e continua ma non e
derivabile in nessun punto. K.T.W.Weierstrass non riesce a dimostrare la
congettura, ma nel 1872 dimostra che+∞∑n=1
an cos(πbnx) non e derivabile in
43
nessun punto se 0 < a < 1, b dispari, e ab > 1 + 3π/2. Nel 1916 G.H.Hardy
dimostra la funzione di Weierstrass non e differenziabile in nessun punto se
ab ≥ 1, e la funzione di Riemann non e differenziabile nei punti irrazionali e
nei razionali della forma p/q con p e q non entrambi dispari. Infine, nel 1970
J.Gerver dimostra che nei punti p/q con p e q dispari la funzione di Riemann
ha derivata −π/2.
44
Capitolo 6
Georg Cantor
DIMOSTRAZIONE CHE UNA
FUNZIONE F(X) DATA PER OGNI
VALORE REALE DI X DA UNA SERIE
TRIGONOMETRICA HA UNA SOLA
RAPPRESENTAZIONE DI QUESTA
FORMA
Se una serie trigonometrica converge uniformemente, la somma e conti-
nua, si puo integrare termine a termine, ed i coefficienti della serie sono i
coefficienti di Fourier,∫ 1/2
−1/2
(+∞∑
n=−∞
a(n) exp(2πinx)
)exp(−2πimx)dx
=+∞∑
n=−∞
a(n)
∫ 1/2
−1/2
exp(2πi(n−m)x)dx = a(m).
Se non c’e convergenza uniforme o in qualche norma integrale, la funzio-
ne limite puo non essere integrabile. Ma anche ammesso che lo sia, non e
45
chiaro se l’integrazione termine a termine sia lecita. In particolare, non e
ovvio se un eventuale sviluppo in serie trigonometrica sia unico. Georg Can-
tor (1845-1918) ha mostrato che questa unicita e un semplice corollario della
teoria delle serie trigonometriche di Riemann e, come sottoprodotto di questo
studio, e nata la definizione di numero reale come successione di Cauchy di
razionali e la teoria degli insiemi. Ma prima di occuparci dell’unicita della
rappresentazione in serie trigonometrica, presentiamo una semplice caratte-
rizzazione delle funzioni convesse.
Teorema: (1) Se F (x) e differenziabile due volte,
limα 0
F (x+ α)− 2F (x) + F (x− α)
α2
=
d2
dx2F (x).
(2) Una funzione continua e convessa in un intervallo se e solo se per
ogni x± α nell’intervallo
lim supx 0
F (x+ α)− 2F (x) + F (x− α)
α2
≥ 0.
Dimostrazione: (1) e conseguenza della formula di Taylor
F (x± α) = F (x)± d
dxF (x)α +
d2
dx2F (x)
α2
2+ o(α2).
(2) e una conseguenza di (1) se la funzione e derivabile due volte. Il caso
generale e un po’ piu complicato. Le differenze seconde di funzioni convesse
sono positive,
F (x+α)− 2F (x) +F (x−α) = (F (x+α)−F (x))− (F (x)−F (x−α)) ≥ 0.
Viceversa, poiche il limite di funzioni convesse e convesso, se F (x) non
e convessa esiste n tale che F (x) + x2/n non e convessa. Quindi per a e b
opportuni la funzione G(x) = F (x)+x2/n−(ax+b) ha un massimo all’interno
dell’intervallo. In punto di massimo
G(x+ α)− 2G(x) +G(x− α) ≤ 0.
46
Ma
G(x+ α)− 2G(x) +G(x− α) = F (x+ α)− 2F (x) + F (x− α) + 2/n > 0.
Questa caratterizzazione delle funzioni convesse e di H.Schwartz. Invece
il seguente risultato e di Cantor.
Teorema: La rappresentazione di una funzione in serie trigonometrica
se esiste e unica. Se una serie trigonometrica
f(x) =+∞∑
n=−∞
a(n) exp(2πinx)
converge a zero ovunque, tutti i suoi coefficienti sono nulli. Piu in generale,
se una serie trigonometrica e Riemann sommabile a zero salvo al piu in un
insieme chiuso Ω di eccezioni, se Ω = Ω(0), se Ω(n+1) e l’insieme dei punti
di accumulazione di Ω(n), e se esiste N tale che Ω(N) e vuoto, allora tutti i
coefficienti della serie sono nulli.
Dimostrazione: Se f(x) = 0 ovunque, per il primo teorema di Riemann,
limα 0
F (x+ α)− 2F (x) + F (x− α)
α2
= 0.
Questo implica che F (x) e lineare,
F (x) = B + Cx+a(0)
2x2 −
∑n6=0
a(n)
4π2n2exp(2πinx) = D + Ex.
Per x +∞ si ricava a(0) = 0 e poi C = E. Infine, moltiplicando per
un esponenziale ed integrando si ricava B = D e a(n) = 0.
Piu in generale, se la serie e Riemann sommabile a 0 salvo al piu in un
insieme chiuso Ω di eccezioni, allora F (x) e una funzione continua lineare in
ogni intervallo del complementare di Ω. Ma per il secondo teorema di Rie-
mann la funzione F (x) non ha angoli, quindi se e lineare in due intervalli con
47
un estremo in comune, e lineare anche nell’unione di questi intervalli. Quindi
F (x) e una funzione continua lineare in ogni intervallo del complementare di
Ω(n) per ogni n.
Studiando gli insiemi di possibili eccezioni per l’unicita della rappresen-
tazione in serie trigonometriche, Cantor crea la teoria degli insiemi. All’in-
duzione finita si puo sostituire quella transfinita. Se Ω e chiuso e se Ω(n+1) e
l’insieme dei punti di accumulazione di Ω(n), al limite si ottiene il piu gran-
de insieme perfetto contenuto in Ω. Nel 1903 H.Lebesgue mostra che ogni
insieme chiuso numerabile Ω e un insieme di unicita, e nel 1909 W.H.Young
mostra che ogni insieme numerabile Ω e di unicita, se una serie trigonometri-
ca converge a 0 in ogni punto in R−Ω, allora converge a 0 anche in Ω e tutti
i coefficienti della serie sono nulli. Il successo dell’integrale di Lebesgue porta
a congetturare una stretta relazione tra misura ed unicita, ma si scopre pre-
sto che il problema e piu complicato. Nel 1916 D.E.Menchov costruisce una
misura di probabilita singolare, supportata in un insieme chiuso Ω di misura
nulla, con coefficienti di Fourier che tendono a 0, e con serie di Fourier che
converge a 0 in R − Ω. L’insieme di molteplicita di Menchov e un insieme
di Cantor con rapporti di dissezione variabili, nel passo n-esimo si elimina
(n+ 1)/(2n+ 4) degli intervalli precedenti. Menchov dimostra anche che per
ogni funzione misurabile finita e periodica esiste una serie trigonometrica che
ci converge quasi ovunque. Nel 1955 R.Salem e A.Zygmund dimostrano che
un insieme di Cantor con rapporti di dissezione costanti 1/α e di unicita se e
solo se α e un numero algebrico maggiore di 1 con tutti i coniugati con modulo
minore di 1. Le potenze di questi numeri si avvicinano a degli interi. Le serie
di Fourier di funzioni regolari a tratti convergono puntualmente dappertutto.
Quali altre funzioni che possono essere rappresentate da serie trigonometri-
48
che? Come calcolarne i coefficienti? P.du Bois-Reymond nel 1873 costruisce
una funzione continua con serie di Fourier che diverge in un punto, e nel
1877 dimostra che se una funzione integrabile puo essere rappresentata dalla
somma di una funzione trigonometrica allora i coefficienti della serie sono
precisamente i coefficienti di Fourier. Nel 1922 A.Kolmogorov costruisce una
funzione integrabile con serie di Fourier che diverge quasi ovunque, e quattro
anni dopo una serie che diverge ovunque. Quindi esistono funzioni integra-
bili che non sono rappresentabili da serie trigonometriche. Ma esistono serie
trigonometriche che convergono dappertutto e che non sono serie di Fourier
di funzioni integrabili. Un classico esempio di P.Fatou e
+∞∑n=2
sin(2πnx)
log(n).
49
50
Capitolo 7
Fenomeno di Wilbraham-Gibbs
UNA SERIE DI
EULERO-FOURIER ED IL
FENOMENO DI
WILBRAHAM-GIBBS+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx) =
x
2
Ogni funzione localmente integrabile e periodica di periodo 2π puo essere
scomposta in serie di Fourier,
ϕ(x) =a0
2+
+∞∑n=1
(an cos(nx) + bn sin(nx)),
an =1
π
∫ π
−πϕ(x) cos(nx)dx, bn =
1
π
∫ π
−πϕ(x) sin(nx)dx.
Sotto opportune ipotesi, verificate per ogni funzione ragionevole, la se-
rie converge in ogni punto, ma le somme parziali della serie di Fourier di
una funzione con un salto, in un intorno della discontinuita hanno del-
le rapide oscillazioni e, per cosı dire, mancano il bersaglio per circa il 9%
51
del valore del salto. Per esempio, sommando i primi m termini della serie
x/2 =+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx), in un periodo −π < x < π si notano m oscilla-
zioni ed avvicinandosi ai punti di salto x = ±π le oscillazioni divengono piu
marcate. Questo fenomeno ha una semplice spiegazione, ma e ancora oggetto
di studio perche nei processi di approssimazione si cerca spesso di eliminare o
almeno di tenere sotto controllo queste oscillazioni. Inoltre, questo fenomeno
ha una storia interessante e personaggi importanti vi hanno contribuito. E’
questa storia che qui vogliamo presentare.
Il 21 Dicembre 1807, J.B.J.Fourier presenta un manoscritto ”Sur la propa-
gation de la chaleur” all’Istituto di Francia a Parigi. I risultati sorprendenti
ma non del tutto giustificati causano una vivace controversia tra gli esamina-
tori, Lacroix, Lagrange, Laplace, Monge. Comunque, una versione riveduta
e corretta del lavoro, ”Theorie du mouvement de la chaleur daps les corps
solides”, vince nel 1811 un premio sul problema della diffusione del calore
con la motivazione:
”La classe a decerne le prix, d’une valeur de 3000 F, au memoire enre-
gistre sous le n.2, portant cette epitaphe ”Et ignem regunt numeri (Plato)”.
Cette piece renferme les veritables equations differentielles de la transmis-
sions de la chaleur, soit a l’interieur des corps, soit a leur surface: et la
nouveaute du sujet, jointe a son importance, a determine la Classe a cou-
ronner cet Ouvrage, en observant cependant que la maniere dont l’Auteur
parvient a ses equations n’est pas exempte de difficultes, et que son analyse,
pour les integrer, laisse encore quelque chose a desirer, soit relativement a la
generalite, soit meme du cote de la rigueur.”
52
”La classe ha assegnato il premio del valore di 3000 franchi alla memoria
registrata con il n.2 e sottotitolata ”Et ignem regunt numeri (Plato)”. Que-
sta memoria contiene le corrette equazioni differenziali della trasmissione del
calore, sia all’interno dei corpi, che sulla loro superficie: e la novita del sog-
getto, insieme alla sua importanza, hanno determinato la Classe a premiare
questo lavoro, osservando tuttavia che il modo con cui l’autore arriva alle
sue equazioni non e esente da difficolta, e che la sua analisi, per integrarle,
lascia qualcosa a desiderare, sia relativamente alla generalita, sia anche dal
punto di vista del rigore.”
Nel 1822 Fourier pubblica la ”Theorie analytique de la chaleur”. Per ri-
solvere delle equazioni alle derivate parziali con il metodo di separazione delle
variabili, Fourier introduce le serie di seni e coseni che poi prenderanno il suo
nome. Nel 1827 P.G.L.Dirichlet presenta la prima dimostrazione rigorosa
della convergenza delle serie di Fourier. Esempi specifici di sviluppi trigono-
metrici erano noti dal XVIII secolo e c’erano stati tentativi di A.L.Cauchy,
S.D.Poisson ed altri, di provare questo importante risultato, ma nessuna delle
dimostrazioni presentate sembrava essere completamente soddisfacente. In
particolare, riferendosi ad una memoria di Cauchy, Dirichlet scrive:
”L’auteur de ce travail avoue lui meme que sa demostration se trouve en
defaut pour certain fonctions pour lesquelle la convergence est pourtant in-
contestable. Un examen attentif du Memoire cite m’a porte a croire que la
demonstration qui y est exposee n’est pas meme suffisante pour les cas aux-
quelle l’auteur la croit applicable.”
”L’autore stesso di questo lavoro confessa che la sua dimostrazione si
53
trova in difetto per certe funzioni per le quali la convergenza e tuttavia in-
contestabile. Un attento esame della memoria citata mi ha portato a credere
che la dimostrazione esposta non e neppure sufficiente per casi ai quali l’au-
tore la crede applicabile.”
Anche se non del tutto soddisfacenti, le dimostrazioni di Fourier, Poisson,
Cauchy dell’inversione della trasformata di Fourier sono pero convincenti e
molto interessanti. Comunque, questo e l’enunciato del teorema di Dirichlet,
”Sur la convergence des series trigonometriques qui servent a representer une
fonction arbitraire entre des limites donnees”, Crelle, Journal fur die Reine
und Angewandte Mathematik 4, 1829:
”Si la fonction ϕ(x), dont toutes les valeurs sont supposees finies et
determinees, ne presente qu’un nombre fini des solutions de continuite entre
les limites −π et π, et si en outre elle n’a qu’un nombre determine de maxima
et de minima entre ces meme limites, la serie
1
2π
∫ϕ(a)da+
1
π
cosx
∫ϕ(a) cos a da+ cos 2x
∫ϕ(a) cos 2a da+ ...
sinx
∫ϕ(a) sin a da+ sin 2x
∫ϕ(a) sin 2a da+ ...
,
dont les coefficients sont des integrales definies dependantes de la fonction
ϕ(x), est convergente et a un valeur generalement exprimee par:
1
2[ϕ(x+ ε) + ϕ(x− ε)],
ou ε designe un nombre infiniment petit...
On aurait un exemple d’une fonction qui ne remplit pas cette condition,
si l’on supposait ϕ(x) egale a une constante determinee c lorsque la variable
x obtient un valeur rationnelle, et egale a une autre constante determinee d,
54
lorsque cette variable est irrationnelle. La fonction ainsi definie a des va-
leurs finies et determinees pour toute valeur de x, et cependant on ne saurait
la substituer dans la serie, attendu que les differentes integrales qui entrent
dans cette serie, perdraient toute signification dans ce cas.”
”Se la funzione ϕ(x), i cui valori si suppongono finiti e determinati, non
presenta che un numero finito di discontinuita tra i limiti −π e π, e se inoltre
non ha che un numero finito di massimi e minimi tra questi limiti, la serie
1
2π
∫ϕ(a)da+
1
π
cosx
∫ϕ(a) cos a da+ cos 2x
∫ϕ(a) cos 2a da+ ...
sinx
∫ϕ(a) sin a da+ sin 2x
∫ϕ(a) sin 2a da+ ...
,
i cui coefficienti sono degli integrali definiti dipendenti dalla funzione ϕ(x),
e convergente ad un valore generalmente espresso da:
1
2[ϕ(x+ ε) + ϕ(x− ε)],
dove ε denota un numero infinitamente piccolo...
Si ha un esempio di funzione che non soddisfa questa condizione, se si
suppone ϕ(x) uguale ad una costante determinata c quando la variabile x as-
sume un valore razionale, ed uguale ad un’altra costante determinata d quan-
do questa variabile e irrazionale. La funzione cosı definita assume dei valori
finiti e determinati, tuttavia non si sa come sostituirla nella serie, perche in
questo caso gli integrali che entrano in questa serie perdono ogni significato.”
In particolare, le serie di Fourier di funzioni con semplici discontinuita
convergono in ogni punto a queste funzioni. Una serie di funzioni continue
puo convergere ad una funzione discontinua, questo e il paradosso alla base
del fenomeno di Gibbs.
55
In una lettera a A.M.Legendre, C.G.J.Jacobi scrive:
”M.Fourier avait l’opinion que le but principal des mathematiques etait
l’utilite publique et l’explication des phenomenes naturels; mais un philosophe
comme lui aurait du savoir que le but unique de la science, c’est l’honneur
de l’esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant
qu’une question du systeme du monde.”
”Fourier riteneva che lo scopo principale della matematica fosse la pub-
blica utilita e la spiegazione dei fenomeni naturali; ma un filosofo come lui
avrebbe dovuto sapere che l’unico scopo della scienza e l’onore dello spirito
umano, e sotto questo aspetto un problema di teoria dei numeri ha lo stesso
valore del sistema del mondo.”
Di fatto, le serie di Fourier si applicano sia ai numeri, che ai fenomeni na-
turali. Le maree sono un effetto delle forze gravitazionali della Luna e del Sole
e della rotazione della Terra. Le ampiezze e frequenze delle maree sono legate
ai suddetti fenomeni astronomici, distanza, inclinazione dell’orbita sul piano
equatoriale, e alla morfologia della costa e del fondale, ma hanno influenza
anche, il vento e la pessione atmosferica,... Se si trascurano questi fenomeni
atmosferici, l’altezza della marea si puo scomporre in costituenti armoniche
A cos(ωt− ϕ) con velocita angolari combinazioni di velocita astronomiche:
T = 15 gradi/ora, la rotazione della Terra intorno al suo asse rispetto al
Sole,
H = 0, 04106864 gradi/ora, la rotazione della Terra intorno al Sole,
S = 0, 54901653 gradi/ora, la rotazione della Luna intorno alla Terra,
P = 0, 00464183 gradi/ora, la precessione del perigeo della Luna,
56
N = −0, 00220641 gradi/ora, la precessione del piano dell’orbita della
Luna.
Per esempio, la rotazione della Terra rispetto al cielo delle stelle fisse e
T +H, ed il cambio di longitudine della Luna e T +H−S. Le forze di marea
della Luna sono circa doppie di quelle del Sole. La velocita angolare con
ampiezza maggiore e M2 = 2T + 2H − 2S, seguita da S2 = 2T . Conoscendo
le frequenze ω, e monitorando le maree su un opportuno intervallo di tempo,
si possono stimare le ampiezze A ed i ritardi di fase ϕ, e prevedere le maree
future∑
A cos(ωt− ϕ). Di fatto, se le frequenze non sono commensurabili
tra loro, la serie e quasi periodica.
Figura 7.1: Thomson. Tide Predicting Machine
Nel 1872 W.Thomson, Lord Kelvin, progetta e costruisce una ”Tide Pre-
dicting Machine”, che somma fino a 10 componenti di marea, e versioni per-
fezionate di questa apparecchiatura sono rimaste in uso fino all’avvento dei
calcolatori elettronici. Queste macchine meccaniche calcolano i coefficienti di
Fourier di una funzione data e, viceversa, a partire dai coefficienti disegnano
la funzione. Nella rivista ”Nature”, 3 Febbraio 1898, troviamo una breve
57
descrizione di uno di questi analizzatori armonici.
”A new harmonic analiser, by A.A.Michelson and S.W.Stroud. This is an
instrument designed to sum up as many as eighty terms of a Fourier series,
or to analise a given curve into its original series. The pen which traces the
curve is worked up and down by a lever controlled by a spring. This spring
is stretched by an excentric, which imparts a ”simple harmonic” variation to
the force. The stretching is resisted by another spring. Eighty such elements
are connected together, with one resisting spring to counterbalance the sum
of the elementary springs. The pen therefore moves in accordance with the
sum of the elementary periodic motions. The authors obtain by this machine
the mathematical series representing the profile of a human face.”
”Un nuovo analizzatore armonico, di A.A.Michelson e S.W.Stroud. Que-
sto e uno strumento progettato per sommare fino ad ottanta termini di una
serie di Fourier, o per analizzare una data curva nella sua serie. Il pennino
che traccia la curva e mosso su e giu da una leva controllata da una molla.
Questa molla e tesa da un eccentrico che fornisce una variazione ”armonica
semplice” alla forza. La tensione e controbilanciata da un’altra molla. Ottan-
ta di questi elementi sono connessi insieme, con una molla che controbilancia
la somma delle molle elementari. Il pennino quindi si muove in accordo con
la somma dei moti periodici elementari. Con questa macchina gli autori ot-
tengono la serie matematica che rappresenta il profilo di una faccia umana.”
”Nature” prosegue poi con ”Un esame delle velocita registrate dei cavalli
da trotto americani, con osservazioni sul loro valore come dato ereditario”.
E uno studio su 5703 cavalli che hanno corso un miglio in meno di 2’30”.
58
Il fisico Michelson, probabilmente motivato da esperimenti con questo
analizzatore armonico, in una lettera a ” Nature”, 6 Ottobre 1898, critica
l’asserzione dei matematici che la serie di Fourier di una funzione converge a
questa funzione anche in un intorno di una discontinuita.
”In all expositions of Fourier series which have come to my notice, it is
expressly stated that the series can represent discontinuous functions. The
idea that a real discontinuity can replace a sum of continuos curves is so
utterly at variance with the physicists’ notion of quantity, that it seems to
me worth while giving a very elementary statement of the problem in such
simple form that the mathematicians can at once point to the inconsistency
if any there be.
Consider the series
y = 2
[sinx− 1
2sin 2x+
1
3sin 3x− ...
].
In the language of the text-books (Byerly’s ”Fourier’s Series and Spherical
Harmonics”) this series ”coincides with y = x from x = −π to x = π...
Moreover the series in addition to the continuous portions of the locus...
gives the isolated points (−π, 0) (π, 0) (3π, 0), &c.”
If for x in the given series we substitute x+ε we have, omitting the factor
2,
−y = sin ε+1
2sin 2ε+
1
3sin 3ε+ ...+
1
nsinnε+ ...
This series increases with n until nε = π. Suppose therefore ε = kπ/n,
where k is a small fraction. The series will now be nearly equal to nε = kπ, a
finite quantity even if n =∞. Hence the value of y in the immediate vicinity
of x = π is not an isolated point y = 0, but a straight line −y = nx.
59
The same result is obtained by differentiation, which gives
−dydx
= cosx− cos 2x+ cos 3x− ...
Putting x = π + ε this becomes
−dydx
= cos ε+ cos 2ε+ cos 3ε+ ...
which is nearly equal n to for values of nε less than kπ. It is difficult to see
the meaning of the tangent if y were an isolated point.
Albert A.Michelson.”
”In tutte le esposizioni sulle serie di Fourier che mi sono note, si di-
ce espressamente che la serie puo rappresentare una funzione discontinua.
L’idea che una discontinuita puo rimpiazzare la somma di curve continue e
cosı in totale contrasto con la nozione di quantita dei fisici, che mi sembra
opportuno dare una elementare esposizione del problema in una forma cosı
semplice che i matematici ne possano mostrare l’inconsistenza se presente.
Consideriamo la serie
y = 2
[sinx− 1
2sin 2x+
1
3sin 3x− ...
].
Nel linguaggio del libro di testo (Byerly ”Fourier’s Series and Spherical
Harmonics”) questa serie ”coincide con y = x da x = −π a x = π... Inoltre
la serie oltre al luogo continuo di punti... da i punti isolati (−π, 0) (π, 0)
(3π, 0), &c.”
Se per x nella data serie sostituiamo x+ε otteniamo, omettendo il fattore
2,
−y = sin ε+1
2sin 2ε+
1
3sin 3ε+ ...+
1
nsinnε+ ...
Questa serie cresce con n fino a nε = π. Supponiamo quindi ε = kπ/n,
con k piccolo. La serie sara ora quasi uguale a nε = kπ, una quantita finita
60
anche quando n = ∞. Quindi il valore di y nelle immediate vicinanze di
x = π non e un punto isolato y = 0, ma una linea retta −y = nx.
Lo stesso risultato si puo ottenere per differenziazione,
−dydx
= cosx− cos 2x+ cos 3x− ...
Ponendo x = π + ε questo diventa
−dydx
= cos ε+ cos 2ε+ cos 3ε+ ...
che e quasi uguale a n per valori di nε minori di kπ. E difficile vedere il
senso della tangente se y e un punto isolato.
Albert A.Michelson.”
Una risposta a Michelson viene da A.E.H.Love con due lettere a ”Natu-
re”, 13 Ottobre 1898 e 29 Dicembre 1898. La prima lettera e piuttosto brusca
e scortese.
”If there are physicists who hold ”notions of quantity” opposed to the ma-
thematical result that the sum of an infinite series of continuous functions
may itself be discontinuous, they woud be likely to profit by reading some
standard treatise dealing with the theory of infinite series... Neither of these
statements is correct... The processes employed are invalid... It is not legiti-
mate...”
”Se ci sono fisici che sostengono ”nozioni di quantita” opposte al risul-
tato matematico che la somma di una serie infinita di funzioni continue puo
essere essa stessa discontinua, questi trarrebbero probabilmente profitto dal
leggere qualche trattato di base sulla teoria delle serie infinite... Nessuna di
queste affermazioni e corretta... I metodi impiegati non sono validi... Non e
61
legittimo...”
Nella seconda lettera Love spiega la differenza tra convergenza puntuale
ed uniforme.
”This peculiarity is always presented by a series whose sum is disconti-
nuous: in the neighbourhood of the discontinuity the series do not converge
uniformly, or the sums of the first n terms is always appreciably different
from the graph of the limit of the sum.”
”Questa peculiarita e sempre presente in una serie la cui somma e discon-
tinua: in un intorno della discontinuita la serie non converge uniformemente,
o la somma dei primi n termini differisce in modo apprezzabile dal grafico
del limite della somma”
Anche se questa affermazione e formalmente corretta, di fatto Love non
prende seriamente in considerazione il punto di vista di Michelson. Michelson
replica brevemente con una lettera a ”Nature”, 29 Dicembre 1898. Quindi,
in due lettere a ”Nature”, 29 Dicembre 1898 e 27 Aprile 1899, J.W.Gibbs
chiarisce la differenza tra
”... the limit of the graphs... and the graph of the limit...”
”... il limite dei grafici... e il grafico del limite...”
Se la serie di Fourier converge, il grafico del limite e il grafico della funzio-
ne, ma se la funzione e discontinua il limite dei grafici delle somme parziali
62
e differente dal grafico della funzione limite.
Figura 7.2: Il limite dei grafici. Il grafico del limite
Come Michelson, anche Gibbs considera la serie di Fourier della funzione
y = x in −π < x < π. La periodicizzata di questa funzione e una funzione
lineare a tratti con salti da +π a −π nei punti x = π + 2kπ, questa funzione
e detta dente di sega. La prima lettera di Gibbs contiene un errore e non
fa menzione del fatto che le somme parziali della serie di Fourier mancano
il bersaglio per circa il 9% del salto, mentre la seconda lettera descrive con
precisione, ma senza dimostrazioni, il limite dei grafici delle somme parzia-
li. Questo limite e una linea a zigzag formata alternativamente da segmenti
centrati nei punti (2kπ, 0) e inclinati di 45o, e da segmenti verticali centrati
in (π+ 2kπ, 0). I segmenti verticali sono lunghi 4
∫ π
0
sin(x)
xdx = 7, 407748...
e si estendono oltre il punto di intersezione con i segmenti inclinati. Il rap-
porto tra questo numero e l’ammontare del salto e7, 407748...
6, 283185...= 1, 178979...,
quindi le somme parziali mancano il bersaglio di circa il 9%, per eccesso in
x = π − ε e per difetto in x = π + ε.
Come abbiamo detto, la lettera di Gibbs contiene una precisa descrizione
del fenomeno, ma senza alcuna dimostrazione. Dopo tre settimane troviamo
ancora una difesa del punto di vista di Michelson in un’altra lettera a ”Na-
ture”, 18 Maggio 1899.
63
”I have M.Poincare authority to publish the accompanying note regarding
the applicability of Fourier’s series to discontinuous functions, and send it
accordingly for pubblication in Nature.
A.A.Michelson.
Mon cher collegue, comme je l’avais prevenu vous avez tout a fait raison.
Prenons d’abord l’integrale
∫ y
0
sinxz
xdx, dont la limite pour y =∞ est π/4,
0, −π/4 selon que z est positif, nul ou negatif. Faisons maintenant tendre
simultanement z vers 0 et y vers l’infini de telle facon que zy tende vers a.
La limite sera
∫ a
0
sinx
xdx qui peut prendre toutes valeurs possibles depuis 0
jusqu’a
∫ π
0
sinx
xdx. Si prenons maintenant n termes de la serie
∑ sin kz
zen faisant tendre simultanement z vers 0 et n vers l’infini de telle facon
que le produit nz tende vers a, cela sera evidemment la meme chose; et la
difference entre la somme et l’integrale sera d’autant plus petıte que z sera
plus petıt. Cela se voit aisement. Tout a vous,
Poincare.
”Ho il permesso del Sig. Poincare di pubblicare la seguente nota sul-
l’applicabilita delle serie di Fourier a funzioni discontinue, e la invio per la
pubblicazione su Nature.
A.A.Michelson.
Mio caro collega, come avevo previsto voi avete del tutto ragione. Per co-
minciare prendiamo l’integrale
∫ y
0
sinxz
xdx, il cui limite per y =∞ e π/4, 0,
−π/4 (π/2?) a seconda che z e positivo, nullo o negativo. Facciamo ora ten-
dere simultaneamente z verso 0 e y verso l’infinito in modo tale che zy tenda
verso a. Il limite sara
∫ a
0
sinx
xdx che puo prendere tutti i valori da 0 fino a
64
∫ π
0
sinx
xdx. Se prendiamo ora n termini della serie
∑ sin kz
z
(∑ sin kz
k?
)facendo tendere simultaneamente z verso 0 e n verso l’infinito in modo tale
che il prodotto nz tenda verso a, questo sara evidentemente la stessa cosa; e
la differenza tra la somma e l’integrale sara tanto piu piccola quanto z sara
piu piccolo. Questo si vede facilmente. Vostro,
Poincare.
Probabilmente Poincare ha scritto la lettera di getto e non la ha neanche
riletta, infatti contiene un paio di errori. La lettera di Poincare su Nature e
seguita da ”Una nota su dei lombrichi fosforescenti”.
La serie+∞∑k=1
sin(kx)
k=
+∞∑k=1
(−1)k+1
ksin(k(π − x)) e lo sviluppo della fun-
zioneπ − x
2nell’intervallo 0 < x < 2π e in zero c’e un salto di π. Le som-
me parzialin∑k=1
sin(kx)
kse x = a/n sono somme di Riemann dell’integrale∫ a
0
sin(t)
tdt,
n∑k=1
sin(ka/n)
k=
n∑k=1
sin(ka/n)
(ka/n)· (a/n) ≈
∫ a
0
sin(t)
tdt.
Piu precisamente, se n→ +∞ e x→ 0+,
n∑k=1
sin(kx)
k=π − x
2−∫ +∞
nx
sin(t)
tdt+ o(1).
Ricordiamo che
∫ +∞
0
sin(t)
tdt =
π
2= 1, 570796..., il massimo dell’inte-
grale
∫ a
0
sin(t)
tdt si ha per a = π,
∫ π
0
sin(t)
tdt = 1, 851937...
Dopo gli interventi di Gibbs e di Poincare c’e un’ultima lettera di Love su
”Nature”, 1 Giugno 1899. Si ribadisce che il fenomeno osservato da Michelson
e paradossale solo se non si chiarisce il significato di somma di una serie
infinita, ma il tono di questa lettera e piu cortese delle precedenti.
65
Di fatto, cinquant’anni prima di Gibbs, questo fenomeno e stato descritto
con precisione da H.Wilbraham, ”On a certain periodic function”, Cambridge
& Dublin Mathematical Journal 3, 1848). Wilbraham considera la funzione
y = cos(x)− cos(3x)
3+
cos(5x)
5− ...
che prende alternativamente i valori ±π/4 e descrive una onda quadra. Il
comportamento delle somme parziali della serie di Fourier dell’onda qua-
dra e del tutto analogo a quello dell’onda triangolare. Piu in generale, la
serie di Fourier di una funzione a variazione limitata in un intorno di una
discontinuita presenta il fenomeno di Gibbs. Questo segue dal teorema di
convergenza di Dirichlet. Se f(x) e g(x) sono due funzioni a variazione li-
mitata con un salto in x = a e se f(x) − g(x) e continua in un intorno di
a, allora la serie di Fourier di f(x) − g(x) converge uniformemente in un
intorno di a. In particolare, le serie di Fourier di f(x) e g(x) hanno lo stesso
comportamento in un intorno di a. Per funzioni non a variazione limitata c’e
ancora un fenomeno di Gibbs, ma le oscillazioni delle somme parziali sono
piu marcate e possono mancare il bersaglio di piu del 9%.
+∞∑n=0
(−1)n
2n+ 1cos((2n+ 1)x) =
π/4 se |x| < π/2,
0 se |x| = π/2, π,
−π/4 se π/2 < |x| < π.
Abbiamo accennato al fatto che nelle applicazioni si cerca a volte di smor-
zare le oscillazioni delle somme parziali di Fourier in un intorno delle discon-
tinuita. Un possibile modo di procedere e quello di considerare opportune
medie che pesano meno le frequenze alte rispetto a quelle basse. Nel grafi-
66
co sono rappresentate la funzione x/2, le somme parziali della sua serie di
Fourier10∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx) e le medie di Fejer
10∑n=1
11− n11
(−1)n+1
nsin(nx).
x
2,
10∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx),
10∑n=1
11− n11
(−1)n+1
nsin(nx).
Il fenomeno di Gibbs non e una particolarita delle serie trigonometriche,
ma e una patologia presente in molti processi di approssimazione. Molti si-
stemi di funzioni speciali, per esempio i polinomi di Legendre o di Jacobi o
le funzioni di Bessel, hanno dei semplici sviluppi asintotici in termini di fun-
zioni trigonometriche ed il comportamento degli sviluppi in serie con queste
funzioni speciali non e troppo differente dagli sviluppi in serie trigonometri-
che. Nel 1908 C.J. de la Vallee Poussin considera un analogo del fenomeno di
Gibbs nell’interpolazione con polinomi trigonometrici o con funzioni intere
di tipo esponenziale finito. Nel 1910 H.Weyl studia il fenomeno di Gibbs per
sviluppi in armoniche sferiche. Poi il numero di lavori su questo fenomeno si
moltiplica.
Avremmo ancora parecchio da dire su questo argomento, ma invece che
andare avanti con la storia del fenomeno di Gibbs, preferiamo tornare indietro
con la storia delle serie di Fourier. In particolare, andando a ritroso nel tempo
vogliamo presentare qualche curiosita sulla serie+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx).
Nel 1826 N.H.Abel pubblica un lavoro sulla formula del binomio (1+x)α =+∞∑n=0
(α
n
)xn e dimostra che una serie di potenze e una funzione continua sui
raggi del cerchio di convergenza.
67
Considerando la serie di Taylor del logaritmo nel piano complesso
log(1 + z) = log |1 + z|+ iArg(1 + z) =+∞∑n=1
(−1)n+1
nzn.
Ponendo z = cos(x) + i sin(x), si ottengono le serie
log√
2 + 2 cos(x) = −+∞∑n=1
(−1)n
ncos(nx),
x
2=
+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx).
Niels Henrik Abel ”Recherches sur la serie
1 +m
1x+
m(m− 1)
1 · 2x2 +
m(m− 1)(m− 2)
1 · 2 · 3x3 + ...etc.”
Crelle, Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik 1, 1826.
”L’exellent ouvrage de M.Cauchy ” Cours d’analyse de l’ecole polytechni-
que” qui doit etre lu par tout analyste qui aime la riguer dans les recherches
mathematiques, nous servira de guide...
Dans l’ouvrage cite de M. Cauchy on trouve le theoreme suivant:
”Lorsque les different termes de la serie, u0 + u1 + u2 + ...etc. sont des
fonctions d’une meme variable x, continues par rapport a cette variable dans
le voisinage d’une valeur particuliere pour laquelle la serie est convergente, la
somme s de la serie est aussi, dans le voisinage de cette valeur particuliere,
fonction continue de x.”
Mais il me semble que ce theoreme admet des exceptions. Par example la
serie
sinϕ− 1
2sin 2ϕ+
1
3sin 3ϕ− ...etc.
est discontinue pour tout valeur (2m+ 1)π de ϕ, ou m est un nombre entier.
Il y a, comme en sait, plusieurs series de cette espece...
1
2log(1 + 2α cosϕ+ α2) = α cosϕ− 1
2α2 cos 2ϕ+
1
3α3 cos 3ϕ− etc.
68
arc.tang
(α sinϕ
1 + α cosϕ
)= α sinϕ− 1
2α2 sin 2ϕ+
1
3α3 sin 3ϕ− etc.
Pour avoir les sommes de ces series lorsque α = +1 ou −1, il faut seule-
ment faire α converger vers cette limite.”
”L’eccellente opera del Sig. Cauchy ”Corso d’analisi della scuola politec-
nica” che deve essere letta da ogni analista che ami il rigore nelle ricerche
matematiche, ci servira da guida...
Nell’opera citata del Sig. Cauchy si trova il seguente teorema:
”Quando i diversi termini della serie, u0 + u1 + u2 + ...etc. sono delle
funzioni di una stessa variabile x, continue rispetto a questa variabile in un
intorno di un valore particolare per il quale la serie e convergente, anche
la somma s della serie e, nell’intorno di questo valore particolare, funzione
continua di x.”
Ma mi sembra che questo teorema ammetta delle eccezioni. Per esempio
la serie
sinϕ− 1
2sin 2ϕ+
1
3sin 3ϕ− ...etc.
e discontinua per ogni valore (2m + 1)π di ϕ, dove m e un numero intero.
Ci sono, come e noto, parecchie serie di questo tipo...
1
2log(1 + 2α cosϕ+ α2) = α cosϕ− 1
2α2 cos 2ϕ+
1
3α3 cos 3ϕ− etc.
arc.tang
(α sinϕ
1 + α cosϕ
)= α sinϕ− 1
2α2 sin 2ϕ+
1
3α3 sin 3ϕ− etc.
Per avere le somme di queste serie quando α = +1 o −1, basta solamente
fare convergere α verso questo limite.”
Nel 1807 Fourier introduce le serie che poi prenderanno il suo nome e pre-
senta vari esempi di sviluppi trigonometrici. Tra questi troviamo lo sviluppo
69
+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx) = x/2.
Jean Baptiste Joseph Fourier ”Sur la propagation de la chaleur”, ma-
noscritto presentato il 21 Dicembre 1807 al Institut de France, Paris.
”Soit par example
y = sin .x− 1
2sin .2x+
1
3sin .3x− 1
4sin .4x...+
1
m− 1sin .m− 1x− 1
msin .mx
(m etant un nombre pair quelconque), on tire de cette equation
dy
dx= cos .x− cos .2x+ cos .3x− cos .4x...+ cos .m− 1x− cos .mx.
Si l’on multiplie les deux membres par 2 sin .x on aura
2dy
dxsin .x = ... = sin .x− 2 cos .
(m+
1
2
)x sin .
1
2x.
Donc
dy
dx=
1
2−
cos .
(m+
1
2
)x sin .
1
2x
sin .x=
1
2−
cos .
(m+
1
2
)x
2 cos .1
2x
.
On a donc
y =1
2x−
∫ cos .
(m+
1
2
)x
2 cos .1
2x
dx = C +1
2x− 1
2
1
m+1
2
sin .
(m+
1
2
)x
2 cos .1
2x
+ &c.,
et si m est infini on aura
y = C +1
2x.
La valeur de y etant nulle en meme temp que x, la constante est nulle et
l’on trouve
1
2x = sin .x− 1
2sin .2x+
1
3sin .3x− 1
4sin .4x+ ...&c.,
70
equation connue qui a ete remarquee par Euler.
... Il est essentiel d’observer a l’egard de toutes ces series que les equations
qui la contiennent n’ont point lieu de la meme maniere toutes les valeurs de
la variable, et que les valeurs des series infinie de sinus ou de cosinus d’arcs
changent de signes subitement.
... Quant a la fonction
sin .x− 1
2sin .2x+
1
3sin .3x− 1
4sin .4x+ ...&c.,
elle donne la valeur1
2x tant que l’arc x est plus grand que zero et moindre
que π. Elle devient nulle subitement a la fin de cet interval et au-dela elle
reprende les valeurs precedentes avec le signe contraire. Ainsi l’equation
1
2x = sin .x− 1
2sin .2x+
1
3sin .3x− 1
4sin .4x+ ...&c.,
appartient a une ligne composee des paralleles inclinee aa...bb...cc... &c. et
des droites perpendiculaires ab, bc, cd, ...&c.
”Sia per esempio
y = sin .x− 1
2sin .2x+
1
3sin .3x− 1
4sin .4x...+
1
m− 1sin .m− 1x− 1
msin .mx
(essendo m un numero pari qualunque), da questa equazione si ricava
dy
dx= cos .x− cos .2x+ cos .3x− cos .4x...+ cos .m− 1x− cos .mx.
Se si moltiplicano i due membri per 2 sin .x si avra
2dy
dxsin .x = ... = sin .x− 2 cos .
(m+
1
2
)x sin .
1
2x.
Dunque
dy
dx=
1
2−
cos .
(m+
1
2
)x sin .
1
2x
sin .x=
1
2−
cos .
(m+
1
2
)x
2 cos .1
2x
.
71
Si ha dunque
y =1
2x−
∫ cos .
(m+
1
2
)x
2 cos .1
2x
dx = C +1
2x− 1
2
1
m+1
2
sin .
(m+
1
2
)x
2 cos .1
2x
+ &c.,
e se m e infinito si avra
y = C +1
2x.
Il valore di y essendo nullo nello stesso tempo di x, la costante e nulla e
si trova
1
2x = sin .x− 1
2sin .2x+
1
3sin .3x− 1
4sin .4x+ ...&c.,
equazione nota che e stata trovata da Eulero.
... E essenziale osservare riguardo a tutte queste serie che le equazioni
che le contengono non hanno affatto luogo nella stessa maniera per tutti i
valori della variabile, e che i valori delle serie infinite di seni e coseni di arco
cambiano di segno all’improvviso.
... Quanto alla funzione
sin .x− 1
2sin .2x+
1
3sin .3x− 1
4sin .4x+ ...&c.,
questa assegna il valore1
2x quando l’arco x e maggiore di zero e minore di
π. Questa diviene all’improvviso nulla alla fine di questo intervallo e al di la
riprende i valori precedenti con il segno contrario. Cosı l’equazione
1
2x = sin .x− 1
2sin .2x+
1
3sin .3x− 1
4sin .4x+ ...&c.,
appartiene ad una linea composta di parallele inclinate aa...bb...cc...&c. e di
rette perpendicolari ab, bc, cd,...&c.”
72
Fourier attribuisce a L.Eulero la scoperta, nel 1754, della relazionex
2=
+∞∑n=1
(−1)n+1
nsin(nx). Per il lettore italiano non e difficile decifrare l’originale
latino.
Leonhardo Eulero ”Subsidium calculi sinuum”, Novi Commentarii Aca-
demiae Scientiarum Petropolitanae 5, 1754/1755.
”Theorema. Si assignari queat summa huius seriei
Azm +Bzm+n + Czm+2n +Dzm+3n + Ezm+4n + etc. = Z,
semper quoque exhiberi poterunt summae harum serierum
A cos .mϕ+B cos .(m+ n)ϕ+ C cos .(m+ 2n)ϕ+D cos .(m+ 3n)ϕ+ etc.,
A sin .mϕ+B sin .(m+ n)ϕ+ C sin .(m+ 2n)ϕ+D sin .(m+ 3n)ϕ+ etc.
Demonstratio. Ponantur summae harum serierum
A cos .mϕ+B cos .(m+n)ϕ+C cos .(m+2n)ϕ+D cos .(m+3n)ϕ+etc. = S,
A sin .mϕ+B sin .(m+n)ϕ+C sin .(m+ 2n)ϕ+D sin .(m+ 3n)ϕ+ etc = T,
sitque ut supra
cos .ϕ+√−1 sin .ϕ = u et cos .ϕ−
√−1 sin .ϕ = v;
erit
cos .νϕ+√−1 sin .νϕ = uν et cos .νϕ+
√−1 sin .νϕ = vv.
Hinc ergo erit
S + T√−1 = Aum +Bum+n + Cum+2n +Dum+3n + etc. = U,
73
S − T√−1 = Avm +Bvm+n + Cvm+2n +Dvm+3n + etc. = V.
Summae scilicet harum serierum U et V per hypothesin dantur, cum U
et V tales sint functiones ipsarum u et v, qualis functio Z est ipsius z. Hinc
itaque elicitur
S =U + V
2et T =
U − V2√−1
,
ideoque summae propositarumserierum S et T innotescunt. Q.E.D.
Corollarium. Cum sit
zm + azm+n + a2zm+2n + a3zm+3n + etc. =zm
1− azn,
...Sit m = 1 et n = 1; erit
cos .ϕ+ a cos .2ϕ+ a2 cos .3ϕ+ a3 cos .4ϕ+ etc. =cos .ϕ− a
1 + aa− 2a cos .ϕ,
...Sin autem sit a = −1, erit
cos .ϕ− cos .2ϕ+ cos .3ϕ− cos .4ϕ+ etc. =1
2,
... Illa autem series per dϕ multiplicata et integrata dat
sin .ϕ− 1
2sin .2ϕ+
1
3sin .3ϕ− 1
4sin .4ϕ+
1
5sin .5ϕ− etc. =
ϕ
2,
ubi additione constantis non est opus, cum posito ϕ = 0 summa sponte eva-
nescat.”
Cioe, se siamo capaci di sommare una serie di potenze, siamo anche ca-
paci di sommare le serie trigonometriche corrispondenti. Se z = r(cos(ϑ) +
i sin(nϑ)),
+∞∑n=0
cnzn =
+∞∑n=0
cnrn cos(nϑ) + i
+∞∑n=0
cnrn sin(nϑ).
74
Eulero non si preoccupa nel prendere valori di z sul bordo del cerchio di
convergenza della serie e questo lo porta a considerare delle serie divergenti
che poi integra e deriva a piacimento. Sentiamo cosa ne pensa J.d’Alembert:
”Devo confessare che tutti i ragionamenti ed i calcoli fondati su serie che
non sono convergenti o che si puo supporre non essere tali, mi sembrano
sempre molto sospetti.”
E Abel rincara la dose:
”Le serie divergenti sono una invenzione del demonio ed e una disgrazia
fondarci sopra delle dimostrazioni.”
Comunque, proprio con i risultati di Abel non e difficile rendere rigorosi
gli argomenti di Eulero. La serie 1/2−cos(x)+cos(2x)−cos(3x)+... e la serie
di Fourier della misura che associa massa π ad ogni punto (2n+ 1)π. Questa
serie converge nel senso delle distribuzioni e le operazioni di differenziazione
ed integrazione termine a termine sono lecite.
Eulero non disdegna di tornare piu volte sulle sue conquiste ed in un al-
tro lavoro riottiene questi sviluppi trigonometrici come limite di processi di
interpolazione.
Leonhardo Eulero ”De eximio uso methodi interpolationum in serie-
rum doctrina”, Opuscula Analytica 1, 1783.
”Si enim quaeratur eius modi aequatio inter binas variabiles x et y, ut
sumpto x = 0, a, b, c, d, e etc. fiat y = 0, p, q, r, s, t etc., aequatio haec in
75
genere ita repraesentari poterit
y
x=p
a· bb− xxbb− aa
· cc− xxcc− aa
· dd− xxdd− aa
· ee− xxee− aa
· etc.
+q
b· aa− xxaa− bb
· cc− xxcc− bb
· dd− xxdd− bb
· ee− xxee− bb
· etc.
+r
c· aa− xxaa− cc
· bb− xxbb− cc
· dd− xxdd− cc
· ee− xxee− cc
· etc.
+s
d· aa− xxaa− dd
· bb− xxbb− dd
· cc− xxcc− dd
· ee− xxee− dd
· etc.+etc.,
ex qua forma simul manifestum est, quomodo sigulis conditionibus satisfiat.
... Progrediantur arcus a, b, c, d, etc. secundum seriem numerorum
naturalium sitque a = ϕ, b = 2ϕ, c = 3ϕ, d = 4ϕ, etc. in infinitum: ex
quorum sinibus p, q, r, etc veram longitudinem arcus ϕ determinari oporteat.
Solutio ergo problematis pro hoc casu suppediat hanc equationem
ϕ =sin .ϕ
1· 2 · 2
1 · 3· 3 · 3
2 · 4· 4 · 4
3 · 5· 5 · 5
4 · 6· etc.
−sin .2ϕ
2· 1 · 1
1 · 3· 3 · 3
1 · 5· 4 · 4
2 · 6· 5 · 5
3 · 7· etc.
+sin .3ϕ
3· 1 · 1
2 · 4· 2 · 2
1 · 5· 4 · 4
1 · 7· 5 · 5
2 · 8· etc.
−sin .4ϕ
4· 1 · 1
3 · 5· 2 · 2
2 · 6· 3 · 3
1 · 7· 5 · 5
1 · 9· etc.
+sin .5ϕ
5· 1 · 1
4 · 6· 2 · 2
3 · 7· 3 · 3
2 · 8· 4 · 4
3 · 7· etc.+etc.;
omnia autem haec producta eundem reperiendum habere valorem = 2, ita ut
sit
1
2ϕ = sin .ϕ− 1
2sin .2ϕ+
1
3sin .3ϕ− 1
4sin .4ϕ+
1
5sin .5ϕ− etc.,
cuius seriei veritas casu, quo angulus ϕ est infinite parvus, per se est mani-
festa. Evolvamus ergo casus seguentes:
Sit ϕ = 90o =π
2ac prodit series Leibniziana
π
4= 1− 1
3+
1
5− 1
7+
1
9− etc.,
76
...Circa seriem invenita1
2ϕ = sin .ϕ− 1
2sin .2ϕ+
1
3sin .3ϕ− etc. dubium
oriri potest, quod sumto arcu ϕ = 180o = π singuli seriei termini evane-
scant ideoque summa nequeat1
2π aequari. Verum ad hoc dubium solvendum
statuatur primo ϕ = π − ω et resultabit haec equatio
π − ω2
= sin .ω +1
2sin .2ω +
1
3sin .3ω +
1
4sin .4ω + etc.
nunc vero arcus ω infinite parvus sumatur, unde adipiscimur hancπ − ω
2=
ω+ω+ω+ω+etc., quae nihil amplius continet absurdi. Quod idem tenendum
est, si velimus accipere ϕ = 2π vel ϕ = 2π etc.”
77
