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Analisi delleCorrisponden-

zeMultiple

A. Iodice

Definizione amatrice deidati

Collegamentocon il casobivariato

Formalizzazionedel problema

FormalizzazioneMCA residuistandardizzati

Risultatianalisi ACM

Analisi delle Corrispondenze MultipleStrumenti quantitativi per l’economia e la finanza I

Alfonso Iodice D’[email protected]

Universita degli studi di Cassino e del Lazio Meridionale

A. Iodice () Analisi delle Corrispondenze Multiple Statistica 1 / 58


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Outline

1 Definizione a matrice dei dati

2 Collegamento con il caso bivariato

3 Formalizzazione del problema

4 Formalizzazione MCA residui standardizzati

5 Risultati analisi ACM



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Analisi Delle Corrispondenze

Analisi multidimensionale di dati qualitativi

L’Analisi delle Corrispondenze Multiple rappresenta unostrumento per lo studio delle relazioni tra p caratteri statisticiqualitativi, ognuno caratterizzato da mj modalita (j=1,. . . ,p).Un applicazione molto comune per l’ACM consiste nell’utilizzodi tale metodo per visualizzare i risultati di una indagine viaquestionario (domande in forma chiusa).



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Analisi Delle Corrispondenze

La matrice dei datiSi considerino i seguenti risultati di un’indagine riguardante gli sbocchi occupazionali di un campione di 389laureati a cui sono state sottoposte 12 domande in forma chiusa.Si riporta un esempio delle prime 5 righe ed 8 colonne della matrice di dati

Genere Residenza Voto.di.laurea Eta.attuale1 maschio altre province voti tra 96 e 105 tra 26 e 30 anni2 femmina altre province voti tra 96 e 105 oltre 30 anni3 maschio Napoli voti tra 96 e 105 tra 26 e 30 anni4 maschio provincia di Napoli voti tra 96 e 105 tra 26 e 30 anni5 maschio altre province voti minori di 96 tra 26 e 30 anni

Diploma Voto.di.diploma Frequenza.ai.corsi Materia.della.tesi.di.laurea1 maturita scientifica voto tra 43 e 48 meno del 30% materie economiche2 maturita scientifica voto tra 36 e 42 meno del 30% altre materie3 maturita classica voto tra 43 e 48 tra il 30% ed il 50% materie economiche4 maturita scientifica voto tra 49 e 54 tra il 30% ed il 50% materie giuridiche5 maturit‡ scientifica voto tra 36 e 42 tra il 30% ed il 50% materie giuridiche



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Tabelle di dati

Tabella in codifica ridotta

Un tipo di codifica di dati relativi a n unita statistiche su cuisono osservate p variabili qualitative consiste nella costruzionedella tabella di codifica ridotta R .

n righe corrispondenti alle unita

p colonne quante sono le variabili

il generico elemento rij della matrice R e tale che

rij → numero della modalita



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Tabelle di dati

Tabella in codifica ridotta

Genere Residenza Voto.di.laurea Eta.attuale1 1 3 2 22 2 3 2 33 1 1 2 24 1 2 2 25 1 3 1 2

Diploma Voto.di.diploma Frequenza.ai.corsi Materia.della.tesi.di.laurea1 2 2 2 12 2 1 2 53 1 2 3 14 2 3 3 25 2 1 3 2



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Tabelle di dati

Tabella in codifica disgiuntiva completa

Un tipo di codifica di dati relativi a n unita statistiche su cuisono osservate p variabili qualitative consiste nella costruzionedella tabella di codifica disgiuntiva completa Z .

n righe corrispondenti alle unita

s colonne quante sono le modalita delle p variabili

il generico elemento zij della matrice Z e tale che zij = 1se l’unita i e caratterizzata dalla modalita associata allacolonna j; zij = 0 altrimenti



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Tabelle di dati

Tabella in codifica disgiuntiva completa

maschio femmina Napoli provincia di Napoli altre province1 1 0 0 0 12 0 1 0 0 13 1 0 1 0 04 1 0 0 1 05 1 0 0 0 1

voti minori di 96 voti tra 96 e 105 voti tra 106 e 110 voto 110 e lode1 0 1 0 02 0 1 0 03 0 1 0 04 0 1 0 05 1 0 0 0



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Tabelle di dati

Tabella di Burt

Ottenuta la tabella in codifica disgiuntiva completa Z e siricava la tabella di Burt B = ZTZ una tabella a blocchididimensioni s× s

blocchi diagonali: ciascun blocco diagonale e una matricediagonale i cui valori rappresentano le frequenze dellemodalita della variabile cui il blocco e associato.

blocchi extra-diagonali: ciascun blocco extra-diagonalerappresenta una tabella a doppia entrata che incrocia duedelle p variabili considerate

Tabella D

Si definisce inoltre D la matrice diagonale i cui elementicorrispondono agli elementi diagonali della tabella di Burt.



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Tabelle di dati

Tabella di Burt



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Tabelle di dati

Matrice diagonale D



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Tabelle di dati

E possibile formalizzare il problema in maniera analoga al caso di due variabili, per fare questo occorredefinire opportunamente le matrici F, Dn, Ds.

Tabella F,Dn, Ds

F =1

n× pZ

dove n× p rappresenta il totale di tabella della matrice Z: la somma degli elementi di ciascunadelle n righe e infatti uguale a p.

Matrice diagonale dei marginali di riga della matrice F

Dn =1

nIn

dove In rappresenta la matrice identita di dimensioni n× n.

Matrice diagonale dei marginali di colonna della matrice F

Ds =1

n× pD



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Tabelle di dati

Matrice Fmaschio femmina Napoli provincia di Napoli altre province

1 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.00022 0.0000 0.0002 0.0000 0.0000 0.00023 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 0.00004 0.0002 0.0000 0.0000 0.0002 0.00005 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002

voti tra 96 e 105 voti tra 106 e 110 voto 110 e lode1 0.0002 0.0000 0.00002 0.0002 0.0000 0.00003 0.0002 0.0000 0.00004 0.0002 0.0000 0.00005 0.0000 0.0000 0.0000



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Tabelle di dati

Matrice Fminore di 26 anni tra 26 e 30 anni oltre 30 anni

1 0.0000 0.0002 0.00002 0.0000 0.0000 0.00023 0.0000 0.0002 0.00004 0.0000 0.0002 0.00005 0.0000 0.0002 0.0000

maturita classica maturita scientifica diploma tecnico altri diplomi1 0.0000 0.0002 0.0000 0.00002 0.0000 0.0002 0.0000 0.00003 0.0002 0.0000 0.0000 0.00004 0.0000 0.0002 0.0000 0.00005 0.0000 0.0002 0.0000 0.0000



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Tabelle di dati

Matrice Fvoto tra 36 e 42 voto tra 43 e 48 voto tra 49 e 54 voto tra 55 e 60

1 0.0000 0.0002 0.0000 0.00002 0.0002 0.0000 0.0000 0.00003 0.0000 0.0002 0.0000 0.00004 0.0000 0.0000 0.0002 0.00005 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

solo per esami meno del 30% tra il 30% ed il 50% oltre il 50%1 0.0000 0.0002 0.0000 0.00002 0.0000 0.0002 0.0000 0.00003 0.0000 0.0000 0.0002 0.00004 0.0000 0.0000 0.0002 0.00005 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000



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Le tabelle dei profili

A questo punto e possibile ottenere le tabelle dei profili riga e colonna in maniera del tutto analoga al casodelle Corrispondenze semplici. In questo caso bisogna tenere conto che i profili riga fanno riferimento agliindividui, mentre i profili colonna fanno riferimento alle modalita delle p variabili.

profili riga: si ottiengono dividendo ciascun elemento di F per il rispettivo marginale (totale) di riga

D−1n F

profili colonna: si ottiengono dividendo ciascun elemento di F per il rispettivo marginale (totale) dicolonna,

FD−1s



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Formalizzazione del problema: soluzione in Rs

Analogamente al caso bivariato

La soluzione nello spazio degli individui

Ricorrendo al metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si perviene alla seguente formalizzazione

FTD

−1n FD

−1s u = λu

La soluzione si ottiene diagonalizzando la seguente matrice (nello spazio delle modalita)

S = FTD

−1n FD

−1s

che puo essere espressa come segue

S = FTD

−1n FD

−1s =

(Z

n× p

)T

︸︷︷︸FT

1

1nIn︸︷︷︸

D−1n

(Z

n× p

)︸︷︷︸

F

n× p D−1︸︷︷︸

D−1s

=

=1

pZ

TZD

−1=

1

pBD

−1



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Formalizzazione del problema: soluzione in Rn

Analogamente al caso bivariato

La soluzione nello spazio delle modalita

Ricorrendo al metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si perviene alla seguente formalizzazione

FTD

−1s FD

−1n v = λv

La soluzione si ottiene diagonalizzando la seguente matrice (nello spazio delle modalita)

S = FTD

−1s FD

−1n



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Formalizzazione del problema: soluzione in Rn

Spazio modalita

il versore dell’asse principale e

u

La proiezione di un vettore sull’asse diversore u secondo la distanza delchi-quadro si ottiene moltiplicando ilvettore per il fattore principale

D−1s u

le coordinate principali dei profili rigasono date dal prodotto dalla matrice deiprofili e il fattore principale

c = D−1n F︸︷︷︸

matrice profili riga

× D−1s u︸︷︷︸

fattore principale

Spazio individui

asse principalev

fattore principale

D−1n v

coordinata principale

c = D−1s F

TD

−1n v



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Autovalori

La matrice Z identifica s punti nello spazio Rn. Tuttavia ognuno dei p blocchi che compongono Z ecaratterizzato da un autovalore banale, analogamente a quanto accade nel caso bivariato.

Il numero di autovalori

Il numero di autovalori non nulli e

s1 + (s2 − 1) + (s3 − 1) + . . . + (sp − 1) = s− p + 1

Nell’analisi centrata (baricentro Della nube traslato nell’origine degli assi) il numero di autovalori non nulli

s− p

Dunque, la percentuale di variabilita spiegata e data da

λα∑s−pj=1 λα



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Autovalori

La percentuale di variabilita spiegata

λα∑s−pj=1 λα

Rappresenta una misura pessimistica del potere esplicativo della sintesi ottenuta.

motivo: la codifica disgiuntiva completa impone una sfericita artificiale della nube dei punti.

correzione autovalori Benzecri

λ∗

=

(p

p− 1

)2 (λ−

1

p

)2

per λ > 1p



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Formalizzazione MCA residui standardizzati

Per ottenere una soluzione della MCA, in maniera del tuttoanaloga a quanto detto per la CA, E’ possibile analizzare latabella dei residui standardizzati.

tabella delle contingenzeLa tabella delle frequenze relative (F) ottenuta a partire da Z

maschio femmina Napoli provincia di Napoli altre province1 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.00022 0.0000 0.0002 0.0000 0.0000 0.00023 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 0.00004 0.0002 0.0000 0.0000 0.0002 0.00005 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002



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vettori dei marginali (totali)di riga

x1 0.00262 0.00263 0.00264 0.00265 0.0026

vettore dei marginali (totali)di colonna

xmaschio 0.0490femmina 0.0345

Napoli 0.0393provincia di Napoli 0.0249

altre province 0.0193



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Per ottenere una soluzione della CA e possibile analizzare latabella dei residui standardizzati.

centraturala centratura della matrice F si ottiene sottraendo a ciascun valore il prodotto dei marginali di riga e dicolonna ad esso corrispondenti, formalmente fij − fi.f.j . Da un punto di vista algebrico questocorrisponde a

F − nsT=

maschio femmina Napoli provincia di Napoli altre province1 0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.00022 -0.0001 0.0001 -0.0001 -0.0001 0.00023 0.0001 -0.0001 0.0001 -0.0001 -0.00014 0.0001 -0.0001 -0.0001 0.0002 -0.00015 0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 0.0002



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Per ottenere una soluzione della MCA e possibile analizzare latabella dei residui standardizzati.

standardizzazionedopo aver effettuato la centratura della matrice F si procede alla standardizzazione, formalmentefij−fi.f.j√

fi.f.j. Da un punto di vista algebrico questo corrisponde a

S = D−1/2n (F − nsT)D

−1/2s =

S = D−1/2n (F − nsT)D

−1/2s =

maschio femmina Napoli provincia di Napoli altre province1 0.0079 -0.0095 -0.0101 -0.0081 0.02352 -0.0113 0.0134 -0.0101 -0.0081 0.02353 0.0079 -0.0095 0.0113 -0.0081 -0.00714 0.0079 -0.0095 -0.0101 0.0189 -0.00715 0.0079 -0.0095 -0.0101 -0.0081 0.0235



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Ottenuta la tabella S dei residui standardizzati, per ottenere lasoluzione si effettua la decomposizione in valori singolari,(SVD)

decomposizione in valori singolari

SV D(S) = UDαVT

dove U e l’autovettore di sinistra e rappresenta lo spazio delle righe, V e l’autovettore di destra erappresenta lo spazio delle colonne, Dα e la matrice diagonale dei valori singolari, che sono la radicequadrata degli autovalori.



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Ottenuta la tabella S dei residui standardizzati, per ottenere lasoluzione si effettua la decomposizione in valori singolari,(SVD)

valori singolari

Dα=

1 2 3 4 51 0.4678 0.0000 0.0000 0.0000 0.00002 0.0000 0.3859 0.0000 0.0000 0.00003 0.0000 0.0000 0.3572 0.0000 0.00004 0.0000 0.0000 0.0000 0.3351 0.00005 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3277

vettori singolari

U1 2 3 4 5

1 -0.0201 -0.0157 -0.0197 0.0661 0.00682 -0.0553 -0.0596 -0.0235 -0.0624 0.07863 -0.0037 0.0124 -0.0174 0.0805 -0.01384 0.0058 -0.0442 -0.0379 -0.0271 -0.06835 -0.0453 -0.0357 -0.0913 -0.0380 0.0639

vettori singolari

V1 2 3 4 5

1 -0.1569 0.1573 -0.1237 0.0155 -0.20512 0.1859 -0.1870 0.1441 -0.0195 0.24563 0.0662 0.1754 -0.1503 0.2020 0.03504 -0.0421 -0.0450 0.3146 -0.1087 -0.15705 -0.0481 -0.1982 -0.1479 -0.1657 0.1299



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Calcolo delle coordinate dei profili riga e colonna

coordinate delle righe

standard coords = D−1/2n U

principal coords = D−1/2n UDα

coordinate delle colonne

standard coords = D−1/2s V

principal coords = D−1/2s VDα



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Risultati analisi ACM

Autovalori



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Risultati analisi MCA

Coordinate modalita



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Contributi modalita



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Qualita della rappresentazione delle modalita



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Rappresentazione delle modalita



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Altra applicazione

Il data set e estratto dal sondaggio ISSP del 1993, si riferisce a rispondenti della Germania. Il numero diattributi considerati e p = 7, il numero di unita statistiche e n = 871.Ci sono quattro affermazioni rispetto alle quali si richiede agli intervistati di dare un giudizio. Ci sono inoltretre attributi di tipo demografico come genere, eta and titolo di studio.

Le affermazioni

A Crediamo troppo nella scienza e troppo poco in fede e sentimenti.

B In generale, la scienza moderna comporta piu problemi che vantaggi.

C Ogni intervento dell’uomo sulla natura non fa altro che peggiorare le cose.

D La scienza ci aiutera a risolvere i problemi ambientali determinando pochi cambiamenti nel nostrostile di vita.

Modalita degli attributi

A-D 1. condivido fortemente, 2. condivido abbastanza, 3. indifferente, 4. non condivido, 5. noncondivido affatto.

genere Due modalita.

eta Sei modalita.

titolo di studio Sei modalita.



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