Precorso di Matematica

Maria Margherita Obertino mariamargherita.obertino@unito.it

Davide Ricauda

davide.ricauda@unito.ii

MATEMATICA – CdS Scienze e Tecnologie Agrarie e Scienze Forestali ed Ambientali

Obiettivi del precorso: rapido ripasso degli argomenti di base, già trattati nelle scuole superiori, richiesti per seguire con profitto il corso di matematica.

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Programma del precorso Cenni agli insiemi numerici Numeri naturali, naturali relativi, razionali, reali, complessi Potenze di dieci Proporzioni Percentuali Algebra dei polinomi Monomi e polinomi Operazioni elementari con monomi e polinomi Raccoglimento a fattor comune Algoritmo per la divisione di due polinomi Divisione con la regola di Ruffini Regola del resto Prodotti notevoli e triangoli di Tartaglia Scomposizione in fattori Equazioni algebriche di I e II grado Equazioni di I grado intere e fratte Equazioni di II grado intere e fratte

M. Obertino

Sistemi di equazioni Disequazioni algebriche e sistemi di disequazioni Disequazioni di I e II grado intere e fratte Sistemi di disequazioni  Valore assoluto Radicali Radicali aritmetici ed algebrici Proprietà ed operazioni con i radicali Razionalizzazione del denominatore e radicali doppi Cenni alle equazioni e disequazioni irrazionali Logaritmi ed esponenziali Logaritmi, proprietà e operazioni Equazioni logaritmiche Equazioni esponenziali

D. Ricauda

Totale ore: 19 (prime 3 settimane del corso)

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R. D’Ercole: Precorso di matematica per Economia e Scienze, Pearson

Testo di riferimento

N.B.1: questo testo non è obbligatorio, se avete già altri libri (universitari o delle scuole superiori) che trattano gli argomenti in programma usate quelli! N.B.2: questo non è il testo per il corso di Matematica!

à MyMathlab: piattaforma e-learning con numerosi esercizi da svolgere per ciascuno degli argomenti trattati

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Sono disponibili sulla piattaforma Moodle, corso Matematica (AGR0047) §  le slide utilizzate a lezione §  la soluzione degli esercizi svolti in classe

http://elearning.moodle2.unito.it/disafa/course/view.php?id=64

Piattaforma Moodle

Programma della prima lezione

§  Cenni sugli insiemi numerici: Numeri naturali, naturali relativi, razionali, reali, complessi à § 1.1, 1.2, 1.6 del testo

§  Proprietà delle potenze

§  Potenze di 10 e notazione scientifica

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Gli insiemi Un insieme è una collezione di elementi: §  ben definiti à gli elementi devono obbedire ad un preciso criterio

che indica la loro appartenenza all’insieme; il criterio deve essere preciso in modo tale da stabilire senza ambiguità l’appartenenza all’insieme

§  ben separati à non devono esserci elementi non distiguibili l’uno dall’altro

L’insieme delle persone alte à

L’insieme delle persone di altezza maggiore di 1.8 m à

Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole, i loro elementi con le lettere minuscole

Insieme vuoto: insieme privo di elementi [ ] ∅

non soddisfa la prima condizione, NON è un insieme

è un insieme!

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Rappresentazioni degli insiemi Forma estensiva à si elencano gli elementi dell’insieme

Es. I = {3,4,5,6} Forma intensiva à si specifica la proprietà caratteristica dell’insieme Es. I = {x | } Rappresentazione grafica à diagrammi di Eulero-Venn

2 < x < 7, x ∈ N

I . 3

. 4

. 5 . 6

4∈ I2 ∉ I

∈

∉

∀

∃

∃!∃

à Appartiene

à Non appartiene

à Per ogni

à Esiste

à Esiste ed è unico

à Non esiste

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Sottoinsiemi Dati due insiemi A e B si dice che B è sottoinsieme di A se …. … ogni elemento di B appartiene a A

“A contiene B”

“B è incluso in A”

Se esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B, B è un sottoinsieme proprio di A

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Operazioni fra insiemi Intersezione tra due insiemi A e B: insieme di tutti e soli gli elementi appartenenti ad entrambi gli insiemi.

A∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Unione tra due insiemi A e B: insieme di tutti e soli gli elementi appartenenti ad almeno uno dei due insiemi.

A∪B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

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Insiemi numerici

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Insieme dei numeri naturali (I) N = {0,1,2,3,…n…} (insieme discreto).

Operazioni sempre possibili:

§  addizione

§  moltiplicazione

“N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione”

∀m,n ∈ N→ (m+ n)∈ N∀m,n ∈ N→ (m ⋅n)∈ N

N0 = N-{0}

Sottrazione

∀m,n ∈ N→ (m− n)∈ N solo se m ≥ n

Divisione ∀m,n ∈ N→ (m / n)∈ N solo se m multiplo di n

4− 2 ∈ N2− 4∉ N

Es.

4 / 2 ∈ N4 / 3∉ N

Es.

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Insieme dei numeri naturali (II) Proprietà di addizione e motiplicazione §  Commutativa:

§  Associativa

§  Distributiva del prodotto sulla somma

§  Esistenza dello zero

§  Esistenza dell’unità

§  Leggi di cancellazione

∀m,n, p∈ N→ (m+ n)+ p =m+ (n+ p)→ (m ⋅n) ⋅ p =m ⋅ (n ⋅ p)

∀m,n ∈ N→m+ n = n+m→ m ⋅n = n ⋅m

∀m,n, p∈ N→ (m+ n) ⋅ p =m ⋅ p+ n ⋅ p

∀m ∈ N→m+ 0 = 0+m =m

∀m ∈ N→m ⋅1=1⋅m =m

∀m,n, p∈ N→m+ p = n+ p→m = n∀m,n, p∈ N, p ≠ 0→m ⋅ p = n ⋅ p→m = n

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N è un insieme totalmente ordinato è vera una sola delle seguenti relazioni:

m<n m=n m>n N è un insieme induttivo

∀m,n ∈ N,m ≠ n,∃!p∈ N0tale che m = n+ p o n =m+ p

m>n m<n

∀m,n ∈ N

0 ∈ Nn ∈ N→ n+1∈ N

Insieme dei numeri naturali (III)

L’elemento n+1 si dice successivo del numero naturale n

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Insieme dei numeri interi relativi (Z)

Z = {….-2, -1, 0,1,2,3,…n…} (insieme discreto)

N ⊂ Z

Valgono le proprietà di somma e prodotto viste in precedenza ∀m,n ∈ Z m− n ∈ Z

Z è un ampliamento di N

∀m ∈ Z ∃!m* :m+m*= 0 m*= −m

Modulo o valore assoluto di m [ |m| ] il numero che si ottiene trascurando il segno

Es. |-5| = 5

Due numeri opposti hanno lo stesso modulo: es. |-5| = |5| = 5

Volendo eseguire la sottrazione senza limitazioni sugli operandi occorre introdurre l’insieme dei numeri interi relativi.

m* è l’opposto di m

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Insieme dei numeri razionali (Q)

Q = {mn| m,n ∈ Z, n ≠ 0 }

∀mn∈Q : −m

nopposto

Volendo eseguire la divisione senza limitazioni sugli operandi occorre introdurre l’insieme dei numeri razionali o frazionari

m ⋅n > 0→ mnpositivo

nm

inverso

Q è un insieme denso: fissati arbitrariamente due numeri razionali esiste sempre un numero razionale fra essi compreso

m ⋅n < 0→ mnnegativo

Un numero razionale si può sempre rappresentare come un numero decimale limitato o un numero decimale illimitato periodico:

34= 0.75 65

14= 4,64285714285714...=4,64285714

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Insiemi dei numeri irrazionali I numeri decimali illimitati non periodici costituiscono l’insieme dei numeri irrazionali. Numeri irrazionali algebrici: si ottengono come radice di un’equazione algebrica a coefficienti interi:

a0xn + a1xn-1 + …an-1x + an = 0 con Es. 2 =1,4142135623731...

Numeri irrazionali trascendenti: non sono radici di alcuna equazione algebrica

Es. π = 3,14159265358… rapporto tra la circonferenza e il suo diametro numero di Nepero e =

n→∞lim(1+ 1

n)n = 2,71828...

Il numero di Nepero è collegato con la funzione esponenziale e con la funzione logaritmo naturale.

a0,...an ∈ Z, n ∈ N, a0 ≠ 0

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Insiemi dei numeri reali (R) L’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e dei numeri irrazionali costituisce l’insieme dei numeri reali R

R= Q + {Irrazionali}

viene definita una corrispondenza biunivoca fra tutti i punti della retta ed i numeri reali: à ad ogni punto di tale retta corrisponde uno e un solo numero reale. Tale numero (detto ascissa del punto) in valore assoluto individua la distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, inoltre è positivo se il punto si trova a destra di O e negativo altrimenti. à ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della retta

0 U 2U 3U …

Se su una retta si fissano: §  un orientamento §  un punto O (origine) a cui si associa il valore 0 §  a destra di O, un altro punto U (punto unità) a cui si associa il valore 1

R è un insieme completo

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Insiemi dei numeri complessi (C)

C = {a+ ib | a,b∈ R}

Parte reale

Parte immaginaria

Unità Immaginaria:

R ⊂C

L’operazione di estrazione di radice non ha sempre soluzione in R

Es. −2 ∉ R→ non esiste b∈ R | b2 = −2

i = −1 ∉ R

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Le potenze Si dice potenza di un numero il prodotto di più fattori tutti uguali al quel numero.

€

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ....⋅ an volte

a à base n à esponente

Es. 23 = 2x2x2 = 8

a0 =1

a1 = a

a−n = 1an

Es. 60 = 1 100 = 1 ….

Es. 61 = 6 101 = 10 ….

Es 6−3 = 163=

16 ⋅6 ⋅6

=1216

N.B. “Quando si porta una potenza da sopra a sotto la linea di frazione (e viceversa) si deve cambiare segno all’esponente!”

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Proprietà delle potenze

an ⋅am ⋅ap = an+m+p

Es. 23 x 25 x 2-4 x 22= 23+5-4+2 = 26 N.B. La somma degli esponenti è algebrica!

an ⋅bn ⋅cn = (a ⋅b ⋅c)n

Es. 33 x 23 x 73 x 53= (3x2x7x5)3 = 2103

1. Prodotto di potenze con stessa base e diverso esponente

2. Prodotto di potenze con base diversa e stesso esponente

(an )m = anm

(24 )3 = 212Es.

3. Potenza di potenza

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Proprietà delle potenze

an

am= an ⋅a−m = an−m

an

bn= (ab)n

54

57= 54 ⋅5−7 = 54−7 = 5−3 = 1

53=1125

Es.

143

73= (147)3 = 23 = 8Es.

4. Rapporto di potenze con stessa base e diverso esponente

5. Rapporto di potenze con base diversa e stesso esponente

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Esercizi

133⋅[ 5

3 ⋅55

52 ⋅54+3− 2

3 ⋅2(22 )2

]

1. 2.

3. 4. 5. 6. 7.

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−43

21

21

( )( ) =+− 222

( ) ( ) =−+ 33 32

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−84

21

21

( ) =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−3

5

313

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−32

121

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=1281.R

[ ]8. −=R

[ ]216. −=R

[ ]16.=R

[ ]9.=R

[ ]64.=R

R. =1[ ]

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m√an = an/m

È l’operazione inversa dell’elevamento a potenza:

è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a: n a

( ) anaaa nnnn =⋅⋅= volte)( !

•  la radice di indice pari di un numero negativo non esiste

•  la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica

• esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo

4−

327;28 33 −=−=

525 ±=

Una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale che ha per indice il denominatore della frazione:

a = radicando n = indice

Radice di un numero

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Notazione scientifica

Parte numerica: numero compreso tra 1 e 9,999..

Potenza di 10: lʼ’esponente rappresenta il numero di posti decimali di cui occorre spostare la virgola

Un qualunque numero reale può essere scritto in notazione scientifica, ossia come un numero compreso tra 1 (incluso) e 10 (escluso) moltiplicato per una potenza di 10.

5.213·10-7

à 5.213·10-7 = 5.213· 0.0000001 = 0.0000005213

100 = 1 101 = 10 102 = 10·10 = 100 ……. 106 = 1000000 ……

10-1 = 1/101 = 0,1 10-2 = 1/102 = 0,01 10-3 = 1/103 = 0,001 ……. 10-6 = 0,000001 …….

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Convertire da notazione scientifica a notazione ordinaria

Il prodotto di un numero per una potenza 10n con esponente positivo si ottiene dal numero iniziale spostandone la virgola di n posizioni verso destra

Esempi: 3·10 = 3,000·101 = 30 1,5·102 = 1,5000·102 = 150

1,543·104 = 1,54300·104 = 15430

Il prodotto di un numero per un potenza 10-n con esponente negativo, si ottiene invece spostando la virgola del numero iniziale di n posizioni verso sinistra.

Esempi: 3·10-1 = 3/101 = 3/10 =0,3 1,5·10-2 = 1,5/100 = 0,015

1,5·10-4 = 0,00015

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Convertire da notazione ordinaria a notazione scientifica

Se il numero è M ≥10: §  sposto la virgola verso sinistra fino ad ottenere un numero m tale

che 1≤m<10 §  scrivo M = m·10n con n numero di posizioni di cui ho spostato la

virgola

Esempio: 160000 = 1,6·105

Esempio: 0,00000175 = 1,75·10-6

Se il numero è M <1: §  sposto la virgola verso destra fino ad ottenere un numero m tale

che 1≤m<10 §  scrivo M = m·10-n con n numero di posizioni di cui ho spostato la

virgola

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Convertire da notazione decimale a notazione scientifica (o

viceversa) i seguenti numeri:

0,035 =

324000 =

0,000742 =

9450000 =

7,16·107 =

3.2·10-5 =

Esercizi