RELAZIONE

Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano:

R X x Y = (x,y): xX, yYL’insieme costituito dai primi (secondi)

elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino)

FUNZIONE

Una relazione è una funzione se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y

Noi consideriamo X, Y R , cioè funzioni reali di una variabile reale.

FUNZIONE ESPONENZIALE

Si chiama funzione esponenziale in base a, a R+ \ {1}, la funzione f : R R+:

f(x)=ax

N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x

y

x

1

CASO a > 1 f(x)=ex

y

x

x y

-1 1/e

1 e

0 1

-2 1/e2

2 e2

0

1

-1

1/e

-21/e2

1

e

2

e2

CASO a > 1 confronto tra basi diverse

y

x-2 1 2-1

y = ex

y = 2x

x y

-1 1/2

1 2

0 1

-2 1/22

2 22

y = 2x

CASO a > 1

• Dominio R

• Codominio R+

• Passa per (0,1)

• Monotona crescente

• Se la base aumenta è più ripida

CASO a < 1 f(x)=(1/e)x

y

x

-1 e

1 1/e

0 1

-2 e2

2 1/e2

x y

-2

e2

-1

e

0

1

1

1/e

2

1/e2

CASO a < 1 confronto tra basi diverse

y

x

x y

-1 2

1 1/2

0 1

-2 22

2 1/22y = (1/e)x

y = (1/2)x

y = (1/2)x

-2 1 2-1

CASO a < 1

• Dominio R

• Codominio R+

• Passa per (0,1)

• Monotona decrescente

• Se la base aumenta è meno ripida

LOGARITMI

Siano a un numero reale positivo, a 1,e b un numero reale positivoallora esiste un numero reale c tale che:

ac = bTale numero c si dice logaritmo in base a di be si indica con il simbolo:

logab

NB log logb ba

aa b a b

ESEMPI

log28 = 3

log22 = 1

log51 = 0

log(1/3)3 = -1

log381 = 4

log1010000 = 4

log2(1/4) = - 2

Esercizi

Determinare la base:

logx7 = -1x = 1/7

logx49 = 2x = 7

logx(1/1000) = -3x = 10

logx(41/3) = -2/3

x = ½

BASI DEL LOGARITMO

• Le due basi più usate sono la base 10 e la base “e” (dove “e” è il numero di Nepero, e = 2,7182….)

• Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo “Log”

• Per indicare il logaritmo in base “e” si usa il simbolo “ln”

FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE

• Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d,

log ( )log ( )

log ( )d

ad

cc

a

a,d R+ \ {1} c R+

ESEMPI

3og(10) 1

og (10)og(3) og(3)

Ll

L L

22

4ln( ) 2

og ( )ln(4) ln(4)

el e

3og(5)

og (5)og(3)

Ll

L

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

• PROPRIETA’ DEL PRODOTTO

• PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE

• PROPRIETA’ DELLA POTENZA

PROPRIETA’ DEL PRODOTTO:

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi:

loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2

a R+ \ {1} x1, x2 R+

Esempio: loga(3 · 4 )= loga 3 + loga 4

PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE:Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore:

loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2

a R+ \ {1} x1, x2 R+

Esempio: loga(8 : 3 )= loga 8 - loga 3

PROPRIETA’ DELLA POTENZA:

Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base:

loga(x= loga x

a R+ \ {1} x R+ R

Esempio: loga(2= loga 2

ESERCIZIO

1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] =

Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] =

Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 : (a+b)1/9]}

FUNZIONE LOGARITMICA

Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+ \ {1}, la funzione f : R+ R:

f(x)=logaxx > 0

E’ la funzione inversa della funzione esponenziale:

x = ay y = logax

Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x

Caso a > 1 y=ln(x)

x y

1/e -1

e2 2

1 0

e 1

-1

1/e1

e

2

e21

0

y

x

Caso a > 1 confronto tra basi diverse

-1

1

2

1/e

e e2

y = log2x

y = lnx

Caso a > 1

• Dominio R+

• Codominio R

• Passa per (1,0)

• Monotona crescente

• Se la base aumenta è meno ripida

Caso a < 1 y=log(1/e)x

y

x

1

1/e

-1

e

x y

1/e 1

1 0

e -1

10

Caso a < 1 confronto tra basi diverse

y

x

-1

1

1/e

e

y = log(1/e)(x)

y = log(1/2)(x)

Caso a < 1

• Dominio R+

• Codominio R

• Passa per (1,0)

• Monotona decrescente

• Se la base aumenta è più ripida