Funzioni definite per casi in matematica - Treccani · 2017. 7. 17. · Le funzioni ‘strane’...

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Funzioni definite per casi in matematica Daniela Valenti, Treccani Scuola 1

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  • Funzioni definite per casi in matematica

    Daniela Valenti, Treccani Scuola 1

  • Un video per richiamare una funzione definita per casi che avete

    già incontrato in matematica.

    Daniela Valenti, Treccani Scuola 2

    Video ‘Absolute value’

  • Modulo (o valore assoluto)

    3 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    La nozione geometrica

    indica il modulo di -2 �

    −2

  • Modulo (o valore assoluto)

    4 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    La definizione

    È una funzione definita per casi. Il grafico illustra la definizione

    x =x, se x ≥ 0−x, se x < 0

  • 5 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    x 0 2 -2 0 2 2

    y = x

    Se x < 0 y = −x

    Se x ≥ 0 y = x

    Il grafico di y = IxI

    x =x, se x ≥ 0−x, se x < 0

  • Uno sguardo alla storia

    6 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    La storia del modulo è legata alla lunga e controversa storia dei numeri negativi.

  • I numeri negativi

    7 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    Dei numeri negativi si trovano tracce a partire dal 2000 a.C., ma ancora nel 1500 matematici famosi come Stiefel o Viète li consideravano ‘Numeri assurdi’

    M. Stifel 1487 - 1567 F. Viète 1540 - 1603

  • I numeri negativi

    8 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    Altri matematici ‘progressisti’, come Stevin e Bombelli, a partire dalla fine del 1500, propongono di rappresentare i numeri su una retta. Così anche i numeri negativi hanno una visualizzazione geometrica.

    S. Stevin 1548 - 1620

    R. Bombelli 1526 - 1572

  • La scrittura dei numeri negativi

    9 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    In questo panorama confuso, fra le ricerche dei matematici e le necessità delle applicazioni, si diffondono vari modi di intendere i numeri negativi e il valore assoluto. Ad esempio, nel 1821 in un famoso testo di analisi di Cauchy si trova:

    Questo forse suggerisce l’idea di ‘togliere il segno a un numero’ e spiega alcune definizioni che si trovano talvolta ancora oggi.

    ‘il segno + o – messo davanti ad un numero ne modificherà il significato, pressappoco come un aggettivo modifica quello di un sostantivo' .

    A. Cauchy 1789 - 1857

  • 10 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    La scrittura dei numeri negativi Da fine del 1800 ai primi del 1900 ricerche su natura e scrittura dei numeri

    il segno ‘−’è parte inseparabile di un numero negativo e va ben distinto dal simbolo di sottrazione.

    Testo di matematica per l’università di Harvard (USA), 1917

    I segni ‘−’ e ‘+’ nei numeri relativi sono esponenti davanti alle cifre

    Questa ‘scomoda’ scrittura è stata abbandonata, ma è rimasto pienamente valido un concetto importante:

    Perciò non si trova più la definizione: ‘valore assoluto = numero senza segno’

  • Valore assoluto, calcolo letterale e funzioni

    11 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    “Valore assoluto = numero senza segno” può rimanere una ‘regola pratica’ per il calcolo numerico? E che succede quando passo a calcolo letterale e funzioni?

    x è ‘un contenitore’ dove trovo numeri positivi e negativi. NON trovo il ‘segno da togliere’ ad x.

  • La funzione valore assoluto

    12 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    x è ‘un contenitore’ dove trovo numeri positivi e negativi. NON trovo il ‘segno da togliere’ ad x.

    Capisco allora che debbo ‘guardare i numeri contenuti in x’ e decidere come procedere. -  Se il numero è positivo o 0 lo lascio inalterato. -  Se il numero è negativo, debbo ‘trasformarlo in positivo’ e per questo ho il procedimento: la moltiplicazione per (-1).

    x =x , se x ≥ 0−1( ) ⋅ x = −x, se x < 0

    Ed ecco la funzione valore assoluto

  • Le funzioni ‘strane’ dell’Analisi Matematica

    13 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    La funzione y = IxI è diventata una componente importante di vari rami della matematica, fra cui la geometria analitica e l’analisi matematica. Ma, proprio per trovare esempi e controesempi di proprietà caratteristiche dell’analisi matematica, i matematici ‘inventano’ e studiano tante funzioni. Ora ne vedremo alcuni esempi.

  • La funzione ‘parte intera’

    14 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    Definizione Per un numero reale x la parte intera y è il più grande numero intero che non supera x. Simboli y = [x] o y = int(x)

    1 non supera 1,9999 1 è a sinistra di 1,9999

    -1 non supera -0,001 -1 è a sinistra di -0,001

  • Il grafico della funzione ‘parte intera’

    15 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    Definizione Per un numero reale x la parte intera y è il più grande numero intero che non supera x. Simboli y = [x] o y = int(x)

    x y = [x]

    1,999 1 1 1

    0,999 0 0 0

    -0,001 -1 -1 -1

    -1,001 -2

    A(3, 2) NON fa parte del grafico

    B(3, 4) fa parte del grafico

    A B

    La funzione fa corrispondere ad ogni x una sola y

  • Funzioni ottenute con polinomi 1

    16 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    Ecco due funzioni da confrontare

    Dove trovo la diversità di queste due funzioni? Solo in un punto: - il punto A(1, 1) fa parte del grafico di f(x) - nella funzione definita per casi g(x) il punto A(1, 1) è stato ‘spostato’

    in A’(1, 2) e ha lasciato ‘un foro vuoto’ sulla curva.

    f(x) = x2

    g(x) = x2 , se x ≠1

    2 , se x = 1

    ⎧ ⎨ ⎩

    A(1, 1) fa parte del grafico

    A(1, 1) NON fa parte del grafico

    A’(1, 2) fa parte del grafico

  • Funzioni ottenute con polinomi 2

    17 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    Ecco altre due funzioni da confrontare

    f(x) = x + 2

    A(2, 4) NON fa parte del grafico

    f (x) = x2 − 4x − 2

    = x + 2( ) x − 2x − 2

    Dominio : x ≠ 2

    A(2, 4) fa parte del grafico

    Ancora diversità solo in un punto e attenzione nel ‘semplificare’ quozienti di polinomi!

  • La funzione di Dirichlet

    18 Daniela Valenti, Treccani Scuola

    D(x) =1 , se x è un numero razionale 0 , se x è un numero irrazionale⎧ ⎨ ⎩

    La funzione ha come dominio e come codominio l’insieme R dei numeri reali ed è definita per casi nel modo seguente:

    P. Dirichlet 1805 - 1859

    La funzione è ben definita, … ma non riesco disegnarne il grafico: posso forse immaginare una polvere di punti che fa intravedere le rette d’equazione y = 0 e y = 1.

  • Attività 2. funzioni definite per casi in matematica

    Daniela Valenti, Treccani Scuola

    Avete 20 minuti di tempo

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    Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone. Ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro per esaminare altre funzioni definite per casi tratte dalla realtà.

  • Che cosa abbiamo ottenuto

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  • Problema 1

    Daniela Valenti, Treccani Scuola 21

    Ricorda Non si può

    dividere per 0

    Ricorda R0 è l’insieme dei

    numeri reali escluso 0

  • Problema 2

    Daniela Valenti, Treccani Scuola 22

    Ricorda Non si può

    dividere per 0

    Ricorda R0 è l’insieme dei

    numeri reali escluso 0

  • Una riflessione

    Daniela Valenti, Treccani Scuola 23

    Posso creare varie funzioni a partire dalla formula

    x 3 − xx

    Ecco alcuni esempi, con il loro grafico. Con le funzioni definite per casi posso ‘scatenare la fantasia’.

    Scrittura più semplice: y = x2 − 1

  • Problema 3

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    Quesito a

    x + x =x + x = 2x , se x ≥ 0x + −x( ) = 0 , se x < 0⎧ ⎨ ⎩

    x ⋅ x =x ⋅ x = x2 , se x ≥ 0x ⋅ −x( ) = −x2 , se x < 0⎧ ⎨ ⎩

  • Problema 3

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    Quesito b

    In matematica si trovano due definizioni equivalenti della ‘funzione segno’:

    Geogebra non mostra i ‘punti vuoti’ , qui visibili per sottolineare l’assenza dei punti (0, 1) e (0, -1). Ma, in geometria, quanto è grande un punto?

  • Problema 3

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    Quesito c

    Anche in questo grafico e in quello seguente Geogebra non mostra i ‘punti pieni e punti vuoti’

  • Problema 3

    Daniela Valenti, Treccani Scuola

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    Quesito c