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Corso di Analisi Matematica

Funzioni di una variabile

Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale

A.A. 2013/2014

Universita di Bari

ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 24

1 Generalita

2 Funzioni reali di variabile reale

3 Funzioni limitate

4 Funzioni simmetriche

5 Funzioni monotone

6 Funzioni periodiche

7 Funzioni composte

8 Funzioni invertibili, funzioni inverse


Il concetto di funzione

Il concetto di funzione nasce per descrivere matematicamente grandezze

variabili:

la posizione o la velocita di un oggetto al variare del tempo;

la temperatura in ogni punto di una stanza;

la densita in ogni punto di un oggetto;

il prezzo di una merce nel tempo.

Deve dunque esistere una relazione tra due grandezze o meglio la

dipendenza di una grandezza da un’altra.



Esempio: lo spazio percorso da un oggetto pesante lasciato cadere da una

certa altezza varia nel tempo secondo la legge:

s(t) =1

2gt2

(g accelerazione di gravita).

Si noti che ad un numero reale (ingresso o variabile indipendente) viene

associato univocamente un altro numero reale (uscita o variabile

dipendente).

In generale gli ingressi ammissibili sono soggetti a restrizioni. Nell’esempio

precedente si deve imporre t ≥ 0.



Esempio di corrispondenza non univoca: siano

A l’insieme degli studenti di un corso

B l’insieme dei nomi degli studenti del corso.

La corrispondenza da A in B che ad ogni studente associa il suo

nome e univoca.

La corrispondenza da B in A che ad ogni nome associa uno studente

con quel nome non e univoca (evidentemente ci possono essere piu

studenti con lo stesso nome).



Definizione

Siano A e B insiemi non vuoti. Una funzione f di dominio A a valori in B

(o di codominio B) e una corrispondenza univoca da A in B, ovvero una

legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Si scrive:

f : A→ B x 7→ f(x)

f : x ∈ A 7→ f(x) ∈ B

Il simbolo f(x) indica il valore della funzione in x.



L’immagine di f e l’insieme delle possibili “uscite”:

Im f = f(A) = {y ∈ B | ∃x ∈ A y = f(x)} ⊆ B.

Il grafico di f e l’insieme

Graf f = {(x, f(x)) ∈ A×B | x ∈ A} ⊆ A×B.

In generale il codominio di f puo essere piu grande dell’immagine di f :

puo accadere che Im f $ B.


Funzioni reali di variabile reale

Ci occuperemo d’ora in poi delle funzioni reali di variabile reale.

Sia f : A→ B.

Se B ⊆ R f si dice reale, se A ⊆ R f si dice di variabile reale.

Ogni funzione f : N→ R si chiama successione.

Il grafico di una funzione reale di variabile reale e un sottoinsieme di

R2.


Rappresentazione geometrica di R2

Si e visto che R e rappresentato da una retta. Analogamente l’insieme

R2 = R× R = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R}

ha come rappresentazione grafica un piano reale. Ad ogni punto S del

piano corrisponde una coppia di numeri reali (x, y) e viceversa:

S

x

y

Il grafico di una funzione f : D ⊆ R→ R e un sottoinsieme del piano

reale.ICD (Bari) Analisi Matematica 9 / 24

Sia f : D ⊆ R→ R. L’univocita dell’uscita f(x) ∈ R ammette

un’interpretazione geometrica.

Proprieta del grafico:

(x, y1) ∈ Graf f, (x, y2) ∈ Graf f ⇒ y1 = y2.

Ogni retta parallela all’asse delle ordinate che taglia l’asse delle

ascisse in un punto x ∈ D interseca Graf f in uno ed un solo punto.


Funzioni limitate

Definizione

Sia f : D ⊆ R→ R.

La f si dice limitata superiormente se esiste M ∈ R tale che

f(x) ≤M ∀x ∈ D.

La f si dice limitata inferiormente se esiste m ∈ R tale che

f(x) ≥ m ∀x ∈ D.

La f si dice limitata in D se e limitata sia superiormente e che

inferiormente.


La f e limitata superiormente (risp. inferiormente) se Im f = f(D) e

un insieme limitato superiormente (risp. inferiormente) di R.

Geometricamente: f e limitata superiormente (risp. inferiormente) se

Graf f e contenuto in un semipiano inferiore (risp. superiore)

delimitato da una retta parallela all’asse delle ascisse.

Geometricamente: f e limitata se Graf f e contenuto in una striscia

orizzontale del piano cartesiano.


Funzioni simmetriche

Definizione

Una funzione reale di variabile reale f definita in un dominio simmetrico

(tipicamente un intervallo del tipo (−a, a)) si dice

pari se

∀x ∈ Dom f f(−x) = f(x);

dispari se

∀x ∈ Dom f f(−x) = −f(x).

Il grafico di una funzione pari e simmetrico rispetto all’asse y.

Il grafico di una funzione dispari e simmetrico rispetto all’origine.


Funzioni monotone

Definizione

Sia f : D ⊆ R→ R una funzione. Si dice che

f e monotona crescente se

∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2);

f e strettamente crescente se

∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).


Funzioni monotone

Definizione

Sia f : D ⊆ R→ R una funzione. Si dice che

f e monotona decrescente se

∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2);

f e strettamente decrescente se

∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).


Somma di funzioni e monotonia

E facile dimostrare che

La somma di due funzioni crescenti e crescente.

La somma di due funzioni decrescenti e decrescente.

La somma di una funzione crescente e una funzione strettamente

crescente e strettamente crescente.

La somma di una funzione decrescente e una funzione strettamente

decrescente e strettamente decrescente.


Funzioni periodiche

Definizione

Sia T > 0. Una funzione f : D ⊆ R→ R si dice T–periodica o periodica

di periodo T se

∀x ∈ D f(x+ T ) = f(x).


Funzioni composte

Definizione

Siano E,F insiemi e siano f : E → R e g : F → R due funzioni tali che

Im(f) = f(E) ⊆ F (cioe per ogni x ∈ E f(x) ∈ F ). Si definisce la

funzione composta di f e g come la funzione h (denotata con

h = g ◦ f : E → R) definita da

h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) ∀x ∈ E.

La composizione non e commutativa:

f ◦ g 6= g ◦ f.

La composizione e associativa:

f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.


Composizione e monotonia

Teorema

Siano f, g : D ⊆ R→ R. Allora

f crescente e g crescente ⇒ g ◦ f crescente;

f crescente e g decrescente ⇒ g ◦ f decrescente;

f decrescente e g crescente ⇒ g ◦ f decrescente;

f decrescente e g decrescente in ⇒ g ◦ f crescente.


Funzioni invertibili

Data f : D ⊆ R→ R, e possibile costruire una nuova funzione che porti

ogni elemento di Im f , f(x) nel corrispondente x ∈ D? Ovviamente,

occorre che dato y ∈ Im f , l’equazione f(x) = y ammetta al piu una

soluzione.

Definizione

Una funzione f : D ⊆ R→ R si dice invertibile se per ogni

y ∈ Im f = f(D) esiste un solo x ∈ D tale che f(x) = y.

Se f e invertibile, f realizza una corrispondenza biunivoca tra D e

f(D).


Funzioni invertibili

Piu formalmente:

Definizione

Una funzione f : D ⊆ R→ R e invertibile se vale una delle seguenti

condizioni equivalenti:

1 ∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2);

2 ∀x1, x2 ∈ D, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2;

3 ∀y ∈ f(D) esiste un solo x ∈ D tale che f(x) = y.

Una funzione che soddisfa una delle condizioni 1, 2, 3 si dice iniettiva

o ingettiva.

La condizione di invertibilita equivale a chiedere che ogni retta

parallela all’asse delle ascisse intersechi il grafico di f al piu in un

punto.


Funzioni inverse

Definizione

Data una funzione f : D ⊆ R→ R invertibile, si chiama funzione inversa

di f la funzione da Im f = f(D) in D che associa ad ogni

y ∈ Im f = f(D) l’unica soluzione x ∈ D di f(x) = y. La funzione inversa

si denota con il simbolo f−1.

f−1 : f(D) = Im f → D = Dom f y = f(x) 7→ x

Classi di funzioni non invertibili: le funzioni periodiche, le funzioni pari.


Una classe di funzioni invertibili

Teorema

Una funzione f : D ⊆ R→ R strettamente monotona in D e invertibile in

D. Inoltre l’inversa f−1 e strettamente monotona, dello stesso tipo di f .

Proprieta:

∀y ∈ Dom f−1 f(f−1(y)) = y,

∀x ∈ Dom f f−1(f(x)) = x;

Quindi, se f e invertibile in D e f−1 e la sua inversa, allora

f−1 ◦ f = ID f ◦ f−1 = If(D)

ove IA denota la funzione identita sull’insieme A.


Grafico di f−1

Se y = f(x) allora x = f−1(y), cioe

(x, y) ∈ Graf f ⇔ (y, x) ∈ Graf f−1.

Il grafico di f−1 e il simmetrico del grafico di f rispetto alla retta y = x.

f−1

f

y

y

x

x


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