DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA - … · Aritmetica e algebra ... funzioni e proprietà...

LICEO SCIENTIFICO STATALE

“LORENZO MASCHERONI”

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Cod.Mecc.BGPS05000B Cod.Fisc.95010190163

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA

Anno scolastico 2015/2016

PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA PER IL SECONDO BIENNIO

Secondo le indicazioni dei nuovi Liceo Scientifico e Liceo delle Scienze Applicate

OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO

Aritmetica e algebra

Lo studio della circonferenza e del cerchio, del numero π , e di contesti in cui compaiono crescite

esponenziali con il numero e, permetteranno di riprendere lo studio dei numeri reali, con riguardo

alla tematica dei numeri trascendenti. In questa occasione sarà approfondita la formalizzazione dei

numeri reali anche come introduzione alla problematica dell’infinito matematico (e alle sue

connessioni con il pensiero filosofico). Sarà anche affrontato il tema del calcolo approssimato, sia

dal punto di vista teorico sia mediante l’uso di strumenti di calcolo.

Saranno studiate la definizione e le proprietà dei numeri complessi nella forma algebrica,

geometrica e trigonometrica.

Geometria

Le sezioni coniche saranno studiate sia da un punto di vista geometrico sintetico che analitico. Lo

studente sarà introdotto alla comprensione della specificità dei due approcci, sintetico e analitico,

allo studio della geometria.

Saranno studiate le proprietà della circonferenza e del cerchio e il problema della determinazione

dell'area del cerchio.

Sarà sviluppata la nozione di luogo geometrico, con alcuni esempi significativi.

Lo studio della geometria proseguirà con l'estensione allo spazio di alcuni dei temi della geometria

piana, anche al fine di sviluppare l’intuizione geometrica. In particolare, saranno studiate le

posizioni reciproche di rette e piani nello spazio,il parallelismo e la perpendicolarità, nonché le

proprietà dei principali solidi geometrici (in particolare dei poliedri e dei solidi di rotazione).

Relazioni e funzioni

Sarà affrontato il problema del numero delle soluzioni delle equazioni polinomiali.

Saranno presentati semplici esempi di successioni numeriche, anche definite per ricorrenza, e

saranno studiate situazioni in cui si presentano progressioni aritmetiche e geometriche.

Sarà approfondito lo studio delle funzioni elementari dell’analisi e, in particolare, delle funzioni

esponenziale e logaritmo. Lo studente dovrà essere in grado di costruire semplici modelli di crescita

o decrescita esponenziale, nonché di andamenti periodici, anche in rapporto con lo studio delle altre

discipline. Ciò potrà essere fatto sia in un contesto discreto sia continuo.

Lo studente dovrà essere in grado di analizzare sia graficamente che analiticamente le principali

funzioni e operare su funzioni composte e inverse.

Sarà introdotto il concetto di velocità di variazione di un processo rappresentato mediante una

funzione per aprire la strada all’introduzione del concetto di derivata.

Liceo Scientifico “L. Mascheroni” Dipartimento di Matematica-Fisica

Anno scolastico 2015-16 Matematica secondo biennio - 2 -

Dati e previsioni

Come nel primo biennio, lo studio sarà sviluppato il più possibile in collegamento con le altre

discipline e in contesti via via più complessi in cui i dati potranno essere raccolti direttamente dagli

studenti.

Saranno studiare le distribuzioni doppie condizionate e marginali, i concetti di deviazione standard,

dipendenza, correlazione e regressione, e di campione.

Saranno studiate la probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sue applicazioni.

Saranno introdotti gli elementi di base del calcolo combinatorio. Sarà ulteriormente approfondito il

concetto di modello matematico in relazione con le nuove conoscenze acquisite.

Lo studente dovrà quindi:

conoscere e utilizzare in modo sempre più rigoroso il linguaggio specifico della matematica;

imparare a “matematizzare” situazioni problematiche, utilizzando le tecniche di calcolo;

assimilare il metodo ipotetico-deduttivo e recepire il significato di sistema assiomatico;

rilevare il valore dei procedimenti induttivi e la loro portata nella risoluzione dei problemi reali;

comprendere i concetti trasversali della disciplina e cogliere analogie di strutture tra ambiti diversi;

saper individuare modelli matematici di situazioni reali, essendo consapevole dei loro limiti di

applicabilità.

LINEE METODOLOGICHE DI INSEGNAMENTO

Nel corso degli studi è previsto un graduale processo verso esigenze razionali e verso sistemazioni

via via più rigorose; l’assetto logico-assiomatico non sarà tuttavia imposto a priori, ma sarà il punto

d’arrivo della ricerca.

Le diverse fasi del lavoro in classe possono essere così sintetizzate:

presentazione di una situazione problematica;

tentativo di superamento;

sistemazione teorico-rigorosa

utilizzazione degli strumenti matematici acquisiti o interni alla materia o riguardanti altre

discipline.

Nell’approfondire i vari problemi si cercheranno diverse vie di risoluzione, cercando di portare

gradualmente gli alunni a preferire quella più breve e semplice, non solo in nome di un principio di

economia, ma per favorire un maggior spirito critico, una ricerca personale e scoraggiare la

ripetitività.

MODALITÀ DI VALUTAZIONE

Il lavoro svolto sarà valutato attraverso:

verifiche scritte;

verifiche orali e/o verifiche scritte per l’orale;

controllo del lavoro individuale e/o di gruppo.

In particolare per la valutazione si farà riferimento al numero di prove deliberato dal Collegio

Docenti e sarà valutata anche la capacità dello studente di partecipare in modo costruttivo al lavoro

di classe.



PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CLASSE TERZA

MODULO 1 – Propedeutico-allineamento

Prerequisiti

Calcolo numerico e letterale

Rappresentazione di punti, rette e parabole nel piano cartesiano

Trasformazioni: trattazione geometrica di isometrie

Geometria piana: assiomi del piano, triangoli e proprietà relative

Abilità

A. Riconoscere l'equazione di una retta e di una parabola

B. Tracciare il grafico di una retta e di una parabola

C. Determinare l'equazione di una traslazione e di una simmetria

D. Determinare l’equazione di una dilatazione e omotetia

E. Determinare le coordinate di un punto corrispondente ad uno dato in una

trasformazione

F. Determinare la curva corrispondente di una data in una trasformazione assegnata

G. Determinare l'insieme delle soluzioni di una equazione e di una disequazione

razionale e/o con valore assoluto (intera e fratta),irrazionale

Articolazione del modulo in unità

didattiche

Conoscenze

Contenuti unità didattiche

U.D.1

Equazioni e disequazioni

Regola di Ruffini

Equazioni algebriche razionali intere e fratte

Disequazioni algebriche razionali intere e fratte

Equazioni e disequazioni con valore assoluto

Equazioni e disequazioni irrazionali

U.D.2

Geometria analitica

Piano cartesiano; distanza (tra punti e punto-retta); equazione e grafico di

una retta; equazione e grafico di una parabola.

U.D.3

Trasformazioni

Isometrie: trattazione analitica di traslazioni e simmetrie rispetto agli assi

cartesiani e a parallele agli assi cartesiani, alle bisettrici dei quadranti e

rispetto ad un punto, rispetto a una retta qualsiasi.

Applicazione di trasformazioni a rette e parabole.



MODULO 2 - Insiemi numerici –Funzioni - Successioni

Prerequisiti Insiemi e operazioni con insiemi

Modulo 1

Abilità

A. Riconoscere le proprietà di un insieme numerico

B. Riconoscere la cardinalità di un insieme numerico

C. Individuare le proprietà di una operazione in un insieme numerico

D. Operare in un insieme numerico

E. Riconoscere il grafico di una funzione

F. Tracciare il grafico di funzioni elementari

G. Individuare le caratteristiche di una funzione elementare

H. Determinare, se esiste, la funzione inversa di una funzione data

I. Tracciare il grafico della funzione inversa di una funzione data

J. Comporre due funzioni

K. Definire una successione e riconoscerne il carattere e la monotonia.

L. Rappresentare nel piano cartesiano i primi elementi di una successione

M. Stabilire l’ennesimo elemento di una successione di cui è nota la legge iterativa o

ricorsiva

N. Dimostrare proprietà con il principio di induzione

O. Riconoscere e studiare una progressione aritmetica o geometrica


didattiche

Conoscenze


U.D.1

Insiemi numerici

Insiemi N, Z, Q, ed R.

Approssimazione dei numeri trascendenti: pi greco, numero di Nepero.

Cardinalità di un insieme.

Insiemi finiti e infiniti.

Proprietà degli insiemi numerici.

U.D.2

Funzioni elementari

Relazione, funzioni e proprietà (ripasso)

Funzioni elementari negli insiemi numerici: xxf )( , 2)( xxf ,

xxf )( , xxf )( , xxf /1)(

Caratteristiche delle funzioni elementari (dominio, codominio, insieme di

definizione, insieme immagine, zeri e segno) e proprietà (iniettiva,

suriettiva, biiettiva)

Funzioni definite per casi.

Funzioni elementari:3)( xxf ,

nxxf )( , 3)( xxf , n xxf )( .

Funzioni periodiche: xsenxf )( , xxf cos)( , xtgxf )(

Simmetrie particolari: funzioni pari e dispari.

Funzioni trasformate di funzioni elementari

Funzione composta e funzione inversa

U.D.3

Successioni-progressioni

Definizione di successione

Carattere di una successione.

Progressioni.

Principio di induzione.

Leggi iterative e ricorsive.



MODULO 3 - Geometria analitica

Prerequisiti Modulo 1, 2

Abilità

A. Scrivere l’equazione di un luogo geometrico, assegnata la condizione caratteristica

B. Classificare e rappresentare graficamente le coniche di cui è assegnata l’equazione

in forma canonica

C. Scrivere l’equazione di una conica in forma canonica, noti i suoi elementi

caratteristici

D. Scrivere l’equazione di una conica assegnate alcune condizioni

E. Determinare le intersezioni tra rette e coniche e tra coniche

F. Tracciare il grafico di una conica trasformata

G. Riconoscere e classificare una conica degenere e non degenere

H. Riconoscere e classificare un fascio di coniche

I. Scrivere l'equazione di un fascio di coniche

J. Individuare in un fascio la conica che soddisfa una condizione assegnata

K. Risolvere problemi di media difficoltà

L. Tracciare grafici di funzioni riconducibili a coniche

M. Rappresentare nel piano l'insieme delle soluzioni di disequazioni in due variabili


didattiche

Conoscenze


U.D.1

Le coniche

Luoghi geometrici

Circonferenza. Ellisse, iperbole con assi di simmetria coincidenti con gli

assi cartesiani.

Ellisse e iperbole con assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani.

Iperbole equilatera riferita agli asintoti.

Parabola.

Problemi relativi alle coniche: intersezioni tra retta e conica, intersezioni

tra coniche, ecc.

Le sezioni coniche. Coniche degeneri.

U.D.2

Fasci Fasci di coniche: fasci di circonferenze e di parabole.

U.D.3

Applicazioni

Grafici di funzioni riconducibili a coniche.

Disequazioni in due variabili.

MODULO 4 – Statistica.

Abilità

A. Stabilire i caratteri di una variabile statistica

B. Determinare la frequenza assoluta, relativa o cumulata di una modalità

C. Rappresentare una distribuzione di frequenze

D. Calcolare gli indici statistici di una distribuzione

E. Calcolare l’equazione della retta dei minimi quadrati per una serie di dati

F. Stabilire se due variabili statistiche sono linearmente dipendenti


didattiche

Conoscenze


U.D.1

Statistica

Variabili e mutabili statistiche (qualitative, quantitative, discrete,

continue ecc.)

Distribuzione di frequenze e rappresentazioni relative.

Indicatori statistici (media, moda, mediana, varianza, scarto quadratico

medio).

Regressione lineare: retta dei minimi quadrati.

Indice di correlazione lineare.

Tabelle in Excel per la retta di regressione



N. B.

Le indicazioni nazionali prevedono una suddivisione degli argomenti sul secondo biennio,

ogni docente, a sua discrezione, potrà quindi scegliere di iniziare a svolgere in terza uno dei

moduli inseriti nella programmazione della classe quarta contrassegnati da (*): moduli 1, 3 o

5.

LICEO DELLE SCIENZE APPLICATE CLASSE TERZA

Vengono di seguito indicati alcuni argomenti specifici per questo indirizzo da sviluppare, compatibilmente

con il tempo a disposizione:

La matematica e i matematici al tempo di Dante ( vedi programma esplicitato su quali

terzine e quali temi di matematica e fisica).

Numerologia e significato dei numeri nella Divina Commedia.

Lorenzo Mascheroni e l’età dei lumi a Bergamo:DA” l’equilibrio delle volte “ richiami alle

sezioni coniche degli elementi architettonici e da “ La geometria del compasso “ richiami ai

luoghi geometrici.



PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CLASSE QUARTA

MODULO 1 - Goniometria e trigonometria (*)

Abilità

A. Definire il seno, coseno, tangente e cotangente di un numero reale

B. Determinare il valore delle funzioni goniometriche in corrispondenza ad angoli o

archi particolari

C. Stabilire le relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche

D. Determinare il valore delle funzioni goniometriche in corrispondenza ad archi

associati

E. Definire le caratteristiche delle funzioni goniometriche, dirette e inverse, e dei

grafici corrispondenti

F. Utilizzare la calcolatrice per determinare il valore delle funzioni goniometriche in

corrispondenza ad angoli particolari

G. Utilizzare le principali formule goniometriche

H. Risolvere equazioni e disequazioni goniometriche elementari

I. Ridurre ad equazioni e disequazioni elementari equazioni e disequazioni

goniometriche più complesse

J. Risolvere equazioni e disequazioni goniometriche di diversa tipologia

K. Risolvere un triangolo rettangolo e un triangolo qualsiasi

L. Individuare l’angolo incognito, le relazioni tra elementi noti ed elementi incogniti

in un problema di trigonometria

M. Individuare intervalli di variazione dell’angolo incognito


didattiche

Conoscenze


U.D.1

Funzioni goniometriche

Elementi di goniometria e trigonometria: misura di angoli in gradi e

radianti, definizione di seno, coseno, tangente di un angolo.

Valori delle funzioni goniometriche per angoli o archi particolari, per

archi associati.

Grafici delle funzioni seno, coseno, tangente; funzioni periodiche.

Funzioni seno, coseno. Funzioni tangente e cotangente.

Funzioni inverse.

U.D.2


Equazioni elementari.

Formule di addizione e sottrazione. Formule di duplicazione, di bisezione

e parametriche.

Equazioni di secondo grado, lineari, omogenee.

Disequazioni elementari.

Disequazioni di secondo grado, lineari, omogenee.

U.D.3

Teoremi di trigonometria

Teoremi sui triangoli rettangoli e problemi

Teorema della corda, teorema dei seni, teorema del coseno, teoremi

dell’area di un triangolo e di un quadrilatero.

Risoluzione di un triangolo. Problemi di geometria piana.



MODULO 2 – Numeri complessi

Abilità

A. Trasformare coordinate cartesiane in coordinate polari e viceversa

B. Rappresentare un numero complesso nel piano di Argand-Gauss

C. Rappresentare regioni di numeri complessi nel piano di Argand-Gauss

D. Calcolare nell’insieme dei numeri complessi somma, prodotto, quoziente, potenza

e radice ennesime.

E. Riconoscere la struttura di campo dell’insieme dei numeri complessi

F. Risolvere un’equazione nel campo complesso


didattiche

Conoscenze


U.D.1

Numeri complessi

Coordinate polari.

Numeri complessi: rappresentazione in coordinate cartesiane e in

coordinate polari.

Operazioni tra numeri complessi. Campo complesso.

Rappresentazione di numeri complessi e di regioni nel piano di Argand-

Gauss.

Risoluzione di equazioni nel campo complesso.

MODULO 3 –Funzioni esponenziali e logaritmiche (*)

Abilità

A. Operare con le potenze

B. Definire la funzione esponenziale

C. Tracciare il grafico di una funzione esponenziale elementare e trasformata

D. Analizzare le caratteristiche delle funzioni esponenziali e dei grafici

corrispondenti

E. Definire il logaritmo di un numero reale positivo

F. Operare con i logaritmi

G. Definire la funzione logaritmica

H. Tracciare il grafico di una funzione logaritmica elementare e trasformata

I. Analizzare le caratteristiche delle funzioni logaritmiche e dei grafici

corrispondenti

J. Risolvere equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche elementari

K. Risolvere equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche di diversa

tipologia

L. Risolvere problemi di crescita e di decadimento.


didattiche

Conoscenze


U.D.2

Funzioni esponenziali e

logaritmiche

Successioni esponenziali.

Potenze ad esponente reale. Funzione esponenziale.

Definizione di logaritmo. Funzione logaritmica.

Proprietà dei logaritmi.

U.D.3


esponenziali e logaritmiche

Equazioni esponenziali elementari e non

Equazioni logaritmiche elementari e non.

Disequazioni esponenziali elementari e non.

Disequazioni logaritmiche elementari e non.

Problemi di crescita e di decadimento.



MODULO 4 - Probabilità

Abilità

A. Calcolare permutazioni, disposizioni e combinazioni B. Calcolare la potenza di un binomio

C. Definire un evento

D. Fornire la definizione classica, frequentista e soggettivista di probabilità.

E. Stabilire gli assiomi della funzione di probabilità

F. Stabilire se due eventi sono incompatibili o compatibili

G. Dimostrare con gli assiomi il teorema dell’evento contrario

H. Calcolare la probabilità di eventi variamente definiti attraverso i connettivi logici

e , o, non

I. Calcolare la probabilità condizionata di un evento

J. Stabilire se due eventi sono indipendenti o dipendenti

K. Costruire un albero di probabilità

L. Applicare il teorema di Bayes


didattiche

Conoscenze


U.D.1

Calcolo combinatorio

Permutazioni, disposizioni e combinazioni

Binomio di Newton

U.D.2

Probabilità

Definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista,

assiomatica.

Proprietà della probabilità (probabilità dell’evento contrario, dell’unione

e intersezione di eventi incompatibili e compatibili, dell’evento

condizionato, dell’intersezione di eventi indipendenti).

Teorema della moltiplicazione, teorema della probabilità totale, teorema

di Bayes.



MODULO 5 – Geometria nello spazio (*)

Abilità

A. Definire gli enti geometrici fondamentali dello spazio

B. Stabilire nello spazio la posizione reciproca di due rette, di una retta e un

piano, di due piani

C. Definire la relazione di perpendicolarità tra retta e piano

D. Dimostrare il teorema delle tre perpendicolari

E. Definire la relazione di perpendicolarità tra due piani

F. Individuare figure congruenti

G. Determinare l’angolo tra due piani incidenti

H. Determinare l’angolo tra una retta e un piano incidenti

I. Classificare prismi e poliedri

J. Individuare le simmetrie di un parallelepipedo

K. Individuare le proprietà di una piramide

L. Individuare le proprietà dei solidi regolari

M. Definire cilindro, cono, sfera come solidi di rotazione

N. Determinare la posizione reciproca tra piano e sfera

O. Stabilire se due solidi sono equiestesi

P. Stabilire se due solidi sino equiscomponibili

Q. Applicare il principio di Cavalieri

R. Risolvere problemi di misura relativi a poliedri e a solidi di rotazione


didattiche

Conoscenze


U.D.1

Oggetti e relazioni dello spazio

La definizione dello spazio euclideo tridimensionale.

Incidenza e parallelismo nello spazio euclideo.

Rette e piani perpendicolari. Teorema delle tre perpendicolari.

Diedri, triedri, prismi e angoloidi.

U.D.2

Poliedri

I poliedri. Poliedri regolari.

Solidi di rotazione.

Equiestensione ed equiscomponibilità nei poliedri. Principio di Cavalieri.

Volumi di poliedri e di solidi di rotazione.

(*) Le indicazioni nazionali prevedono una suddivisione degli argomenti sul secondo biennio, si potrà

quindi scegliere di svolgere il Modulo in quarta qualora non sia stato affrontato in terza.

PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA PER LA CLASSE QUINTA

Secondo le indicazioni del nuovo Liceo Scientifico

OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO

Nell'anno finale sarà approfondita la comprensione del metodo assiomatico e la sua utilità

concettuale e metodologica anche dal punto di vista della modellizzazione matematica. Verranno

sviluppati esempi nel contesto dell'aritmetica, della geometria euclidea o della probabilità a seconda

del settore disciplinare che l'insegnante, intenderà privilegiare allo scopo.

Geometria



L'introduzione delle coordinate cartesiane nello spazio permetterà di studiare dal punto di vista

analitico rette, piani e sfere.

Relazioni e funzioni

Lo studente proseguirà lo studio delle funzioni fondamentali dell’analisi anche attraverso esempi

tratti dalla fisica o da altre discipline. Sarà introdotto il concetto di limite di una successione e di

una funzione. Saranno introdotti i principali concetti del calcolo infinitesimale – in particolare la

continuità, la derivabilità e l’integrabilità – anche in relazione con le problematiche in cui sono nati

(velocità istantanea in meccanica, tangente di una curva, calcolo di aree e volumi). Non bisognerà

restringersi agli aspetti tecnici del calcolo, che saranno limitati alla derivazione delle funzioni già

note, funzioni razionali, semplici prodotti, quozienti e composizioni di funzioni e all’integrazione

delle funzioni polinomiali intere e di altre funzioni elementari, nonché alla determinazione di aree e

volumi in casi semplici.

Altro tema di studio sarà il concetto di equazione differenziale, cosa si intende con le sue soluzioni

e le loro principali proprietà, nonché alcuni esempi importanti e significativi di equazioni

differenziali, in particolare l’equazione della dinamica di Newton.

Si tratterà soprattutto di approfondirne il ruolo del calcolo infinitesimale in quanto strumento

concettuale fondamentale nella descrizione e nella modellizzazione di fenomeni fisici o di altra

natura. In particolare, saranno introdotte l’idea generale di ottimizzazione e le sue applicazioni in

numerosi contesti.

Dati e previsioni

Lo studente apprenderà le caratteristiche di alcune distribuzioni discrete e continue di probabilità

(come la distribuzione binomiale, la distribuzione normale, la distribuzione di Poisson).

In relazione con le nuove conoscenze acquisite, anche nell’ambito delle relazioni della matematica

con altre discipline, lo studente approfondirà il concetto di modello matematico e svilupperà la

capacità di costruirne ed analizzarne esempi.

Lo studente dovrà quindi:

conoscere e utilizzare in modo rigoroso il linguaggio specifico della matematica;

saper “matematizzare” situazioni problematiche di varia complessità, utilizzando in modo

consapevole le tecniche di calcolo;

aver assimilato il metodo ipotetico-deduttivo e recepito il significato di sistema assiomatico;

aver rilevato il valore dei procedimenti induttivi e la loro portata nella risoluzione dei problemi

reali;

comprendere i concetti trasversali della disciplina e cogliere analogie di strutture tra ambiti diversi;

saper individuare modelli matematici di situazioni reali, essendo consapevole dei loro limiti di

applicabilità;

essere in grado di inquadrare storicamente l’ evoluzione delle idee matematiche fondamentali.

LINEE METODOLOGICHE DI INSEGNAMENTO

Nel corso degli studi è previsto un graduale processo verso esigenze razionali e verso sistemazioni

via via più rigorose; l’assetto logico-assiomatico non sarà tuttavia imposto a priori, ma sarà il punto

d’arrivo della ricerca.

Le diverse fasi del lavoro in classe possono essere così sintetizzate:

presentazione di una situazione problematica;

tentativo di superamento;



sistemazione teorico-rigorosa

utilizzazione degli strumenti matematici acquisiti o interni alla materia o riguardanti altre

discipline.

Nell’approfondire i vari problemi si cercheranno diverse vie di risoluzione, cercando di portare

gradualmente gli alunni a preferire quella più breve e semplice, non solo in nome di un principio di

economia, ma per favorire un maggior spirito critico, una ricerca personale e scoraggiare la

ripetitività.

MODALITÀ DI VALUTAZIONE

Il lavoro svolto sarà valutato attraverso:

verifiche scritte;

verifiche orali e/o verifiche scritte per l’orale;

controllo del lavoro individuale e/o di gruppo.

In particolare per la valutazione si farà riferimento al numero di prove deliberato dal Collegio

Docenti e sarà valutata anche la capacità dello studente di partecipare in modo costruttivo, razionale

e problematico al lavoro di classe.



PROGRAMMA DI MATEMATICA CLASSE QUINTA

MODULO 1 – Analisi infinitesimale: limiti

Prerequisiti

Le funzioni e le loro proprietà:

dominio, segno, iniettività, suriettività, biettività, (dis)parità, (de)crescenza,

periodicità, funzione inversa di una funzione

funzione composta di due o più funzioni

trasformazioni geometriche del grafico di una funzione

Rappresentazione di una successione con espressione analitica e per ricorsione

Abilità

P. Apprendere il concetto di limite di una funzione

Q. Calcolare i limiti di funzioni

R. Calcolare i limiti di successioni

S. Calcolare i limiti di progressioni


didattiche

Conoscenze


U.D.1

I limiti delle funzioni Topologia della retta: intervalli, intorno di un punto, punti isolati e di

accumulazione di un insieme

Definizione di limite di una funzione

Teoremi sui limiti (unicità del limite, permanenza del segno, confronto)

U.D.2

Il calcolo dei limiti

Operazioni con i limiti

Forme indeterminate

Limiti notevoli

Infinitesimi, infiniti e loro confronto

Funzioni continue

Punti di discontinuità di una funzione

Asintoti di una funzione

Grafico probabile di una funzione

U.D.3

Le successioni Limite di una successione

Teoremi sui limiti

Limiti delle progressioni



MODULO 2 – Analisi infinitesimale: derivate

Prerequisiti Modulo 1

Abilità

A. Calcolare la derivata di una funzione

B. Applicare i teoremi sulle funzioni derivabili

C. Studiare i massimi, i minimi e i flessi di una funzione

D. Studiare il comportamento di una funzione reale di variabile reale

E. Applicare lo studio di funzioni

F. Risolvere un’equazione in modo approssimato


didattiche

Conoscenze


U.D.1

La derivata di una funzione Definizione di derivata di una funzione

Retta tangente al grafico di una funzione

Continuità e derivabilità

Derivate fondamentali e regole di derivazione

Derivate di ordine superiore al primo

Differenziale di una funzione

Applicazione delle derivate alla fisica

U.D.2

I teoremi del calcolo differenziale Teorema di Rolle

Teorema di Lagrange

Teorema di Cauchy

Teorema di De L’Hospital

U.D.3

I massimi, i minimi e i flessi Definizioni

Massimi, minimi, flessi orizzontali e la derivata prima

Flessi e derivata seconda

Massimi, minimi, flessi e derivate successive

Problemi di massimo e di minimo

U.D.4

Lo studio delle funzioni Studio di una funzione

I grafici di una funzione e della sua derivata

Applicazione dello studio di una funzione

Risoluzione approssimata un’equazione



MODULO 3 – Analisi infinitesimale: integrali

Prerequisiti Moduli 1 e 2

Abilità

A. Definire la primitiva e l'integrale indefinito di una funzione

B. Calcolare gli integrali indefiniti di funzioni anche non elementari

C. Calcolare gli integrali definiti di funzioni anche non elementari

D. Usare gli integrali per calcolare aree e volumi di elementi geometrici

E. Calcolare il valore approssimato di un integrale

F. Risolvere alcuni tipi di equazioni differenziali


didattiche

Conoscenze


U.D.1

Gli integrali indefiniti Integrale indefinito

Integrali indefiniti immediati

Integrazione per sostituzione e per parti

Integrazione di funzioni razionali fratte

U.D.2

Gli integrali definiti Integrale definito

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Valor medio di una funzione

Funzione integrale e sua derivata

Area di superfici piane e volume di solidi

Integrali impropri

Applicazione degli integrali alla fisica

Integrazione numerica

U.D.3

Le equazioni differenziali

Equazioni differenziali del primo ordine del tipo y’ = f(x), a variabili

separabili, lineari

Equazioni differenziali del secondo ordine lineari a coefficienti costanti

ed omogenee

Applicazione delle equazioni differenziali alla fisica

MODULO 4 - Geometria analitica dello spazio

Prerequisiti Geometria analitica del piano

Geometria euclidea nello spazio

Abilità O. Calcolare l’equazione di piani e rette nello spazio

P. Calcolare l’intersezione tra rette, piani, rette e piani


didattiche

Conoscenze


U.D.1

Geometria analitica dello spazio Le coordinate cartesiane nello spazio

Il piano

La retta



MODULO 5 - Distribuzioni di probabilità

Prerequisiti Calcolo delle probabilità

Abilità

A. Determinare la distribuzione di probabilità e la funzione di ripartizione di una

variabile casuale discreta, valutandone media, varianza, deviazione standard

B. Valutare l’equità di un gioco aleatorio

C. Studiare variabili casuali che hanno distribuzione discreta e continua (binomiale,

di Poisson, normale)


didattiche

Conoscenze


U.D.1

Distribuzioni di probabilità Variabili casuali discrete e distribuzione di probabilità

Giochi aleatori

Valori caratterizzanti una variabile casuale discreta

Distribuzioni di probabilità di uso frequente

Bergamo, 15 ottobre 2015

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